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(1)

정답과 풀이

2 2

중학 수학

I 삼각형의 성질

사각형의 성질

II

도형의 닮음

III

피타고라스 정리

IV V 확률

2

12

25

44

49

(2)

DBC에서

∠DCE=∠B+∠CDB=∠x+2∠x=3∠x 즉 3∠x=108ù이므로 ∠x=36ù

∴ ∠B=∠x=36ù

05

Action 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 서로 같음을 이용하여

∠ABC, ∠ACE의 크기를 각각 구한다.

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

∠ABC=∠ACB=;2!;_(180ù-40ù)=70ù

∴ ∠DBC=;2!;∠ABC=;2!;_70ù=35ù …… 40%

이때 ∠ACE=180ù-∠ACB=180ù-70ù=110ù이므로

∠DCE=;2!;∠ACE=;2!;_110ù=55ù …… 40%

따라서

BCD에서 ∠DBC+∠BDC=∠DCE이므로 35ù+∠x=55ù

∴ ∠x=20ù …… 20%

각의 크기를 구할 때, 자주 이용되는 성질

① 평각의 크기는 180ù이다.

② 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이다.

③ 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기 의 합과 같다.

Lecture

06

Action DEÓ를 접는 선으로 하여 접었으므로 ∠ABE=∠A=∠x

임을 이용한다.

∠ABE=∠A=∠x이므로

∠DBC=∠C=∠x+24ù

ABC에서

∠x+(∠x+24ù)+(∠x+24ù)=180ù이므로 3∠x=132ù ∴ ∠x=44ù

∴ ∠y=∠C=∠x+24ù=44ù+24ù=68ù

07

Action 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형임을 이용한다.

ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로

∠ABC=∠C=;2!;_(180ù-36ù)=72ù

∴ ∠ABD=∠DBC=;2!;_72ù=36ù(①)

DAB는 ∠A=∠ABD인 이등변삼각형이다.(⑤)

∴ ADÓ=BDÓ yy`㉠

DAB에서 ∠BDC=36ù+36ù=72ù(②)이므로

BCD 는 ∠BDC=∠C인 이등변삼각형이다.(④)

∴ BDÓ=BCÓ yy`㉡

㉠, ㉡에서 ADÓ=BDÓ=BCÓ(③) 따라서 옳지 않은 것은 ③이다.

삼각형의 성질

1.

I. 삼각형의 성질

01①, ④ 0224ù 03∠x=30ù, ∠y=50ù 0436ù 0520ù 06∠x=44ù, ∠y=68ù 07083`cm 0910⑴ 14 ⑵ 50 1157ù 1212 cm

최고 입문하기

수준 P 7 - P 8

01

Action 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분함

을 이용한다.

①, ④ 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이 등분하므로 ADÓ⊥BCÓ, BDÓ=CDÓ

02

Action 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 서로 같음을 이용한다.

BCD에서 BCÓ=BDÓ이므로 ∠BDC=∠C=68ù

∴ ∠DBC=180ù-2_68ù=44ù

이때

ABC에서 ∠ABC=∠C=68ù이므로

∠x+44ù=68ù ∴ ∠x=24ù

03

Action 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분함

을 이용한다.

∠ADB=90ù이므로

ABD에서 20ù+(∠x+40ù)+90ù=180ù

∠x+150ù=180ù ∴ ∠x=30ù

PBD와

PCD에서

BDÓ=CDÓ, ∠PDB=∠PDC=90ù, PDÓ는 공통 즉

PBDª

PCD ( SAS 합동)이므로

∠PCD=∠PBD=40ù

PCD에서 ∠y+90ù+40ù=180ù이므로

∠y+130ù=180ù ∴ ∠y=50ù

04

Action 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크

기의 합과 같음을 이용한다.

∠B=∠x라 하면

ABC에서

∠ACB=∠B=∠x

∴ ∠CAD =∠B+∠ACB

=∠x+∠x

=2∠x

CDA에서

∠CDA=∠CAD=2∠x

x x 108∞

2x 2x A

B C

D

E

(3)

08

Action 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형임을 이용한다.

ADÓ∥BCÓ이므로 ∠GFE=∠FEC ( 엇각)

∠GEF=∠FEC ( 접은 각)

∴ ∠GFE=∠GEF

따라서

GEF는 이등변삼각형이므로 GFÓ=GEÓ=3`cm

09

Action 삼각형의 합동 조건과 직각삼각형의 합동 조건을 이용한다.

① RHA 합동 ② ASA 합동

③ RHS 합동 ④ RHA 합동

따라서 두 직각삼각형 ABC와 DEF가 합동이 되는 경우가 아닌 것은 ⑤이다.

10

Action ADBªBEC ( RHA 합동)임을 이용한다.

ADB와

BEC에서 ∠D=∠E=90ù, ABÓ=BCÓ ∠BAD=90ù-∠ABD=∠CBE ∴

ADBª

BEC ( RHA 합동) 즉 BDÓ=CEÓ=8, BEÓ=ADÓ=6이므로 DEÓ=BDÓ+BEÓ=8+6=14

ABC=( 사각형 ADEC의 넓이)-2

ADB

=;2!;_(6+8)_14-2_{;2!;_6_8}

=98-48=50

11

Action MBDªMCE ( RHS 합동)임을 이용한다.

MBD와

MCE에서

∠BDM=∠CEM=90ù, BMÓ=CMÓ, MDÓ=MEÓ

이므로

MBDª

MCE ( RHS 합동)

∴ ∠B=∠C

ABC는 이등변삼각형이므로

∠B=;2!;_(180ù-66ù)=57ù

12

Action ABDªAED ( RHA 합동)임을 이용한다.

ABD와

AED에서

∠ABD=∠AED=90ù, ADÓ는 공통,

∠BAD=∠EAD

이므로

ABDª

AED ( RHA 합동)

∴ ABÓ=AEÓ, BDÓ=EDÓ …… 40%

즉 AEÓ=ABÓ=6`cm이므로

CEÓ=ACÓ-AEÓ=10-6=4`(cm) …… 30%

따라서

EDC의 둘레의 길이는

EDÓ+DCÓ+CEÓ =BDÓ+DCÓ+CEÓ=BCÓ+CEÓ

=8+4=12`(cm) …… 30%

0173ù 0230ù 0360ù

04∠x=58ù, ∠y=52ù 053`cm 0610 0725ù 086`cmÛ`

최고 완성하기

수준 P 9 - P 10

01

Action 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크

기의 합과 같음을 이용한다.

∠BAD=∠DAE=∠CAE=;3!;∠BAC

=;3!;_102ù=34ù

ABC는 이등변삼각형이므로

∠B=∠C=;2!;_(180ù-102ù)=39ù 따라서

ABD에서

∠ADE=∠BAD+∠B=34ù+39ù=73ù

02

Action ∠ABD=∠a, ∠CBE=∠b로 놓고 ∠a+∠b의 크기를

구한다.

∠ABD=∠a, ∠CBE=∠b라 하면

ABD,

CEB는

모두 이등변삼각형이므로

∠ADB=∠ABD=∠a, ∠CEB=∠CBE=∠b

∠EBD=(∠a+∠b)-120ù yy ㉠

EBD에서

∠EBD =180ù-(∠BDE+∠BED)

=180ù-(∠a+∠b) yy ㉡

㉠, ㉡에서

(∠a+∠b)-120ù=180ù-(∠a+∠b) 2(∠a+∠b)=300ù ∴ ∠a+∠b=150ù

∴ ∠EBD=150ù-120ù=30ù

03

Action ∠BED=∠a, ∠CEF=∠b로 놓고 ∠a+∠b의 크기를

구한다.

오른쪽 그림과 같이 ∠BED=∠a,

∠CEF=∠b라 하면

BED에서 BDÓ=BEÓ이므로

∠BDE=∠BED=∠a

∴ ∠B=180ù-2∠a …… 20%

CFE에서 CEÓ=CFÓ이므로

∠CFE=∠CEF=∠b

∴ ∠C=180ù-2∠b …… 20%

ABC에서 ∠A+∠B+∠C=180ù이므로 60ù+(180ù-2∠a)+(180ù-2∠b)=180ù

2∠a+2∠b=240ù ∴ ∠a+∠b=120ù …… 30%

∴ ∠DEF=180ù-(∠a+∠b)

=180ù-120ù=60ù …… 30%

60∞

a a

b b A

B C

D

E F

. 삼각형의 성질 | 3

(4)

04

Action BDEªCFD ( SAS 합동)임을 이용한다.

BDE와

CFD에서 BEÓ=CDÓ, ∠B=∠C, BDÓ=CFÓ 이므로

BDEª

CFD(SAS 합동)

∴ DEÓ=FDÓ

DFE는 이등변삼각형이므로

∠x=;2!;_(180ù-64ù)=58ù

이때 ∠BDE=∠CFD=∠a, ∠BED=∠CDF=∠b 라 하면 ∠a+64ù+∠b=180ù

∴ ∠a+∠b=116ù

BDE와

CFD에서

∠B =∠C=180ù-(∠a+∠b)

=180ù-116ù=64ù

∴ ∠y=180ù-(64ù+64ù)=52ù

05

Action 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형임을 이용한다.

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C

DEC에서

∠CDE=90ù-∠C=90ù-∠B=∠BFE

이때 ∠BFE=∠DFA(맞꼭지각)이므로

ADF는 이등 변삼각형이다.

ADÓ=x`cm라 하면 AFÓ=ADÓ=x`cm 따라서 ABÓ=ACÓ이므로 x+5=11-x 2x=6 ∴ x=3

∴ ADÓ=3`cm

06

Action AEÓ=a, BDÓ=b로 놓고 문제를 해결한다.

AEÓ=a라 하면 ACÓ=ABÓ=3AEÓ=3a

ADÓ는 BCÓ의 수직이등분선이므로 BDÓ=b라 하면 BCÓ=2BDÓ=2b

AEÓ+BCÓ=17이므로 a+2b=17 yy`㉠

BDÓ+ACÓ=21이므로 b+3a=21 yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, b=6

∴ BEÓ =ABÓ-AEÓ=3a-a

=2a=2_5=10

07

Action APDªCQD ( RHS 합동)임을 이용한다.

APD와

CQD에서

∠DAP=∠DCQ=90ù, DPÓ=DQÓ, ADÓ=CDÓ 이므로

APDª

CQD ( RHS 합동)

∴ ∠CQD=∠APD=90ù-20ù=70ù 이때

∠PDQ =∠PDC+∠CDQ=∠PDC+∠ADP

=∠ADC=90ù

011 023`cm 0316 046`cmÛ`

0524 0618ù 최고 뛰어넘기

수준 P 11 - P 12

01

Action 이등변삼각형의 꼭짓점에서 밑변에 내린 수선은 밑변을 수직

이등분함을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 점 C를 지나고 ABÓ에 평행한 직선이 AHÓ의 연장 선과 만나는 점을 E라 하면

∠CED=∠BAD(엇각)

CAE는 이등변삼각형이므로 CEÓ=ACÓ=6

ABD는 이등변삼각형이므로

∠ADB=∠B

이때 ∠EDC=∠ADB(맞꼭지각),

∠ECD=∠ABD(엇각)이므로

∠ECD=∠EDC

ECD는 이등변삼각형이므로 EDÓ=CEÓ=6

A

H

B D C

E 6

4 4 6

DPQ는 직각이등변삼각형이므로

∠DQP=∠DPQ=45ù

∴ ∠PQB =∠CQD-∠DQP

=70ù-45ù=25ù

08

Action ADEªACE ( RHA 합동)임을 이용한다.

ADE와

ACE에서

∠ADE=∠ACE=90ù, AEÓ는 공통,

∠DAE=∠CAE

ADEª

ACE(RHA 합동) 즉 ADÓ=ACÓ=6`cm이므로 BDÓ=ABÓ-ADÓ=10-6=4`(cm) DEÓ=CEÓ=x`cm라 하면

ABC=

ABE+

ACE이므로

;2!;_8_6=;2!;_10_x+;2!;_x_6 24=5x+3x, 24=8x ∴ x=3

BED=;2!;_BDÓ_DEÓ

=;2!;_4_3=6`(cmÛ`)

(5)

㉠, ㉡에서 AHÓ=GHÓ=DBÓ

이때 HBÓ=BDÓ+HDÓ=BDÓ+BEÓ=8`cm이므로 BDÓ=AHÓ=ABÓ-HBÓ=BCÓ-HBÓ=14-8=6`(cm)

∴ BEÓ=8-BDÓ=8-6=2`(cm)

DBE=;2!;_BDÓ_BEÓ=;2!;_6_2=6`(cmÛ`)

05

Action 점 G에서 EAÓ의 연장선에 내린 수선의 발을 H라 하면

ABCªAHG ( RHA 합동)임을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 점 G에서 EAÓ의 연장선에 내린 수선의 발 을 H라 하자.

ABC와

AHG에서

∠ABC=∠AHG=90ù, ACÓ=AGÓ,

∠BAC =90ù-∠HAC

=∠HAG

이므로

ABC≡

AHG ( RHA 합동)

∴ HGÓ=BCÓ=8

사각형 AEDB는 정사각형이므로 AEÓ=ABÓ=6

AGE=;2!;_AEÓ_HGÓ=;2!;_6_8=24

06

Action 점 G에서 ABÓ, BCÓ에 각각 수선을 그은 후 합동인 삼각형을 찾는다.

오른쪽 그림과 같이 점 G에서 ABÓ, BCÓ 에 내린 수선의 발을 각각 I, J라 하자.

FIG와

GJC에서

∠FIG=∠GJC=90ù, FGÓ=GCÓ,

∠FGI=∠GCJ(동위각)

이므로

FIGª

GJC ( RHA 합동)

∴ FIÓ=GJÓ

FIG와

BIG에서 FIÓ=GJÓ=BIÓ, IGÓ는 공통,

∠FIG=∠BIG=90ù

이므로

FIGª

BIG ( SAS 합동)

∴ FGÓ=BGÓ

ABG와

DFG에서 ABÓ=CDÓ=DFÓ, BGÓ=FGÓ,

∠ABG=∠IFG=∠GCD=∠DFG 이므로

ABGª

DFG ( SAS 합동)

∴ ∠BAG=∠FDG 따라서

DFE에서

∠FDG=180ù-(90ù+72ù)=18ù이므로

∠BAG=∠FDG=18ù

A

B H

D C

E F

G

6 8

B 72∞ C

A D

E FI G

J

따라서 AHÓ=;2!;AEÓ=;2!;_(4+6)=5이므로 DHÓ=AHÓ-ADÓ=5-4=1

02

Action ABF와 FDG가 이등변삼각형임을 이용한다.

ABÓ∥DEÓ이므로 ∠BAF=∠D(엇각)

ADE는

ABC를 회전시킨 것이므로

∠B=∠D

∴ ∠B=∠BAF

ABF는 AFÓ=BFÓ인 이등변삼각형이다.

또 ∠B=∠DGF(엇각)이므로

∠D=∠DGF

FDG는 FDÓ=FGÓ인 이등변삼각형이므로 BG Ó=BFÓ+FGÓ=AFÓ+FDÓ=ADÓ=ABÓ=10`cm

∴ CGÓ=BCÓ-BGÓ=13-10=3`(cm)

03

Action 점 D에서 ABÓ, ACÓ에 수선의 발을 내린 후 합동인 두 삼각형 을 찾는다.

오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ABÓ, ACÓ에 내린 수선의 발을 각 각 E, F라 하자.

AED와

AFD에서

∠AED=∠AFD=90ù, ADÓ는 공통,

∠EAD=∠FAD

AEDª

AFD ( RHA 합동) 이때

ABD의 넓이가 10이므로

;2!;_ABÓ_DEÓ=;2%; DEÓ=10

∴ DEÓ=4

즉 DFÓ=DEÓ=4이므로

ADC=;2!;_ACÓ_DFÓ=;2!;_8_4=16

04

Action 점 G에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면

GHDªDBE ( RHA 합동)임을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 점 G에서 ABÓ 에 내린 수선의 발을 H라 하자.

GHD와

DBE에서

∠GHD=∠DBE=90ù, GDÓ=DEÓ,

∠GDH =90ù-∠EDB

=∠DEB

이므로

GHDª

DBE ( RHA 합동)

∴ HDÓ=BEÓ, GHÓ=DBÓ yy`㉠

AHG는 직각이등변삼각형이므로

AHÓ=GHÓ yy`㉡

A

B D C

E

5 F8

B 45∞

A

H

C D

E F G

14 cm

. 삼각형의 성질 | 5

(6)

05

Action ∠BAC=;2!;∠BOC임을 이용한다.

∠AOB : ∠BOC : ∠COA=3 : 4 : 5이므로

∠BOC=360ù_ 4

3+4+5 =360ù_;1¢2;=120ù

∴ ∠BAC=;2!;∠BOC=;2!;_120ù=60ù

06

Action ∠BAC=;2!;∠BOC임을 이용한다.

점 O는

ABC의 외심이므로

∠BAC=;2!;∠BOC=;2!;_110ù=55ù …… 30%

오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면

110∞ 18∞

A

B C

O

∠OAC=∠OCA=18ù이므로

∠OAB =∠BAC-∠OAC

=55ù-18ù

=37ù …… 40%

OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로

∠OBA=∠OAB=37ù …… 30%

07

Action 점 I는 ABC의 내심임을 이용한다.

③ BEÓ=BDÓ, CEÓ=CFÓ

삼각형의 내심

오른쪽 그림에서 점 I가 ABC의 내심 일 때,

IADªIAF

IBDªIBE

ICEªICF

∴ ADÓ=AFÓ, BDÓ=BEÓ, CEÓ=CFÓ

A

B E C

D I F

Lecture

08

Action ∠IAB+∠IBA+∠ICB=90ù임을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 IAÓ를 그으면

34∞

24∞

A

B C

I

∠IAB+24ù+34ù=90ù이므로

∠IAB+58ù=90ù

∴ ∠IAB=32ù

∴ ∠BAC =2∠IAB=2_32ù

=64ù

09

Action ∠BIC=90ù+;2!;∠A, ∠BI'C=90ù+;2!;∠BIC임을 이용 한다.

점 I는

ABC의 내심이므로

∠BIC=90ù+;2!;∠A=90ù+;2!;_56ù=118ù 점 I'은

IBC의 내심이므로

∠BI'C=90ù+;2!;∠BIC=90ù+;2!;_118ù=149ù

∴ ∠BIC+∠BI'C=118ù+149ù=267ù

01

Action 점 O는 ABC의 외심임을 이용한다.

③ ODÓ=OFÓ인지 알 수 없다.

삼각형의 외심

오른쪽 그림에서 점 O가 ABC의 외심

일 때,

OADªOBD

OBEªOCE

OCFªOAF

A

B E C

D F

O Lecture

02

Action 점 O는 ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ임을 이용

한다.

점 O는

ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ

OAC에서 ∠OAC=∠C=38ù이므로

∠AOH =∠OAC+∠C

=38ù+38ù=76ù 따라서

OAH에서

∠OAH=180ù-(90ù+76ù)=14ù

03

Action ∠OAB+∠OBC+∠OCA=90ù임을 이용한다.

점 O는

ABC의 외심이므로 34ù+28ù+∠OCA=90ù

∠OCA+62ù=90ù

∴ ∠OCA=28ù

OAC에서 ∠OAC=∠OCA=28ù이므로

∠AOC=180ù-(28ù+28ù)=124ù

04

Action 점 O는 ABC의 외심이고, 점 O'은 OBC의 외심이므

로 ∠BOC=2∠A, ∠BO'C=2∠BOC임을 이용한다.

점 O는

ABC의 외심이므로

∠BOC=2∠A=2_36ù=72ù 점 O'은

OBC의 외심이므로

∠BO'C=2∠BOC=2_72ù=144ù

O'BC에서 O'BÓ=O'CÓ이므로

∠O'BC=;2!;_(180ù-144ù)=18ù

삼각형의 외심과 내심

2.

010214ù 03124ù 0418ù

0560ù 0637ù 070864ù 09267ù 1028`cm 1124`cm

12⑴ 5`cm ⑵ 2`cm ⑶ 21p`cmÛ`

최고 입문하기

수준 P 14 - P 15

(7)

⑶ (색칠한 부분의 넓이) =p_5Û`-p_2Û`

=25p-4p

=21p`(cmÛ`) …… 20%

삼각형의 내심과 삼각형의 넓이

오른쪽 그림에서 점 I가 ABC의 내심

일 때,

ABC=IBC+ICA+IAB

=;2!;ar+;2!;br+;2!;cr

=;2!;r(a+b+c)

A

B C

I

a c b

r Lecture

10

Action 점 I는 ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC,

∠ECI=∠ICB임을 이용한다.

점 I가

ABC의 내심이므로

∠DBI=∠IBC, ∠ECI=∠ICB DEÓ∥BCÓ이므로

∠DIB=∠IBC( 엇각), ∠EIC=∠ICB( 엇각)

∴ ∠DBI=∠DIB, ∠ECI=∠EIC 즉

DBI와

ECI는 이등변삼각형이므로 DIÓ=DBÓ, EIÓ=ECÓ

이때

ADE의 둘레의 길이가 17`cm이므로 ADÓ+DEÓ+AEÓ =ADÓ+DIÓ+EIÓ+AEÓ

=ADÓ+DBÓ+ECÓ+AEÓ

=ABÓ+ACÓ

=17`cm

∴ (

ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+ACÓ+BCÓ

=17+11

=28`(cm)

11

Action IADªIAF, IBEªIBD이므로 ADÓ=AFÓ, BEÓ=BDÓ임을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 IFÓ, IDÓ, A

B C

D

E I F10 cm 4 cm

26 cm

IAÓ, IBÓ를 그으면 사각형 IECF는 정사각형이므로 ECÓ=CFÓ=IEÓ=4`cm

IAD와

IAF에서

∠IDA=∠IFA=90ù, IAÓ는 공통, IDÓ=IFÓ

이므로

IADª

IAF ( RHS 합동)

∴ ADÓ=AFÓ=ACÓ-CFÓ=10-4=6`(cm) 같은 방법으로

IBEª

IBD ( RHS 합동)이므로 BEÓ=BDÓ=ABÓ-ADÓ=26-6=20`(cm)

∴ BCÓ=BEÓ+ECÓ=20+4=24`(cm)

12

Action 점 O는 ABC의 외심이고 점 I는 ABC의 내심임을 이 용한다.

⑴ 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 OBÓ=;2!; BCÓ=;2!;_10=5`(cm)

따라서

ABC의 외접원의 반지름의 길이는 5`cm이다.

…… 30%

ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면

ABC=;2!;r_(6+10+8)=;2!;_6_8 12r=24 ∴ r=2

따라서

ABC의 내접원의 반지름의 길이는 2`cm이다.

…… 50%

0131ù 0252`cmÛ` 0360ù 0424`cm 053p`cm 06165ù 0714`cm 0871ù 091`cm 104p`cmÛ` 1112ù 12147ù 최고 완성하기

수준 P 16- P 18

01

Action ∠ACB=∠x로 놓고 점 O는 ABC의 외심임을 이용한다.

OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로

∠OAB=∠OBA=24ù+35ù=59ù

OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로

∠OCB=∠OBC=24ù

∠ACB=∠x라 하면

OAC에서 OAÓ=OCÓ이므로

∠OAC=∠OCA=24ù+∠x

ABC에서 (59ù+24ù+∠x)+35ù+∠x=180ù 2∠x+118ù=180ù, 2∠x=62ù ∴ ∠x=31ù

∴ ∠ACB=∠x=31ù

02

Action 점 O는 ABC의 외심이므로 OADªOBD,

OBEªOCE, OAFªOCF임을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 OAÓ, OBÓ, A

B C

D

E O F

5 cm

4 cm

OCÓ를 그으면 점 O는

ABC의

외심이므로

OADª

OBD

OBEª

OCE

OAFª

OCF

OAB+

OBC

=

OAD+

OBD+

OBE+

OCE =2(

OBD+

OBE)

=2_( 사각형 DBEO의 넓이) =2_16

=32`(cmÛ`)

. 삼각형의 성질 | 7

(8)

이때

OAC=

OAF+

OCF=2

OAF

=2_{;2!;_5_4}=20`(cmÛ`) 이므로

ABC=

OAB+

OBC+

OAC

=32+20

=52`(cmÛ`)

03

Action 점 O는 ABC의 외심이므로 ∠OBC=∠OCB,

∠OAC=∠OCA임을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 OCÓ를 긋고

85∞

95∞

x xy

y A

B D C

O E

∠OCB=∠x, ∠OCA=∠y라 하자.

OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로

∠OBC=∠OCB=∠x

OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로

∠OAC=∠OCA=∠y

ADC에서 85ù=∠y+(∠x+∠y)이므로

∠x+2∠y=85ù ……`㉠

BCE에서 95ù=∠x+(∠x+∠y)이므로

2∠x+∠y=95ù ……`㉡

㉠, ㉡을 변끼리 더하면 3∠x+3∠y=180ù 3(∠x+∠y)=180ù ∴ ∠x+∠y=60ù

∴ ∠C=∠x+∠y=60ù

04

Action 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점임을 이용한다.

ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로 BDÓ=CDÓ

점 D는 직각삼각형 EBC의 빗변의 중점이므로

EBC의 외심이다.

즉 BDÓ=CDÓ=DEÓ=3`cm이므로 BCÓ=2BDÓ=2_3=6`(cm)

이때 ABÓ : BDÓ=3 : 1이므로 ABÓ : 3=3 : 1

∴ ABÓ=9`(cm) ACÓ=ABÓ=9`cm이므로

(

ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+ACÓ

=9+6+9

=24`(cm)

05

Action ∠BOC=2∠BAC임을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면

OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로

∠OAB=∠OBA=20ù

OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로

∠OAC=∠OCA=25ù

20∞

20∞

25∞

25∞

A

B C

O 6 cm

즉 ∠BAC=20ù+25ù=45ù이므로 …… 40%

∠BOC=2∠BAC=2_45ù=90ù …… 30%

∴ µBC=2p_6_;3»6¼0;=3p`(cm) …… 30%

06

Action ∠CAD=∠a, ∠CBE=∠b로 놓고 삼각형의 세 내각의

크기의 합은 180ù임을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이

50∞

x a a

bb y A

B D C

E I

∠CAD=∠a, ∠CBE=∠b라 하면

∠CAB=2∠CAD=2∠a,

∠ABC=2∠CBE=2∠b

ABC에서

2∠a+2∠b+50ù=180ù 2∠a+2∠b=130ù

∴ ∠a+∠b=65ù

BCE에서 ∠x=∠b+50ù

ADC에서 ∠y=∠a+50ù

∴ ∠x+∠y =(∠b+50ù)+(∠a+50ù)

=∠a+∠b+100ù

=65ù+100ù=165ù

07

Action BDÓ=BEÓ=x`cm로 놓고 문제를 해결한다.

점 I는

ABC의 내심이므로 BDÓ=BEÓ=x`cm라 하면 AFÓ=ADÓ=10-x`(cm), CFÓ=CEÓ=13-x`(cm)

∴ ACÓ =AFÓ+CFÓ

=(10-x)+(13-x)

=23-2x`(cm)

이때 ACÓ=9`cm이므로 23-2x=9 2x=14 ∴ x=7

∴ BDÓ=BEÓ=7`cm

또 GPÓ=GDÓ, HPÓ=HEÓ이므로

GBH의 둘레의 길이는 BGÓ+BHÓ+GHÓ =BGÓ+BHÓ+GPÓ+HPÓ

=BGÓ+BHÓ+GDÓ+HEÓ

=BGÓ+GDÓ+BHÓ+HEÓ

=BDÓ+BEÓ

=7+7=14`(cm)

접선의 길이

오른쪽 그림에서 두 점 B, C는 점 A에서 원 O에 그은 두 접선의 접점이라 하자.

OAB와 OAC에서

∠OBA=∠OCA=90ù OAÓ는 공통

OBÓ=OCÓ (반지름의 길이)

이므로 OABªOAC ( RHS 합동)

∴ ABÓ=ACÓ

A B

C O Lecture

(9)

08

Action 점 I는 ABC의 내심이므로 ∠IAB=∠IAC,

∠ICA=∠ICB임을 이용한다.

ABC에서

∠BAC=180ù-(66ù+38ù)=76ù

∠IAB=∠IAC=;2!;∠BAC=;2!;_76ù=38ù

ABH에서 ∠BAH=180ù-(66ù+90ù)=24ù

∴ ∠x=∠IAB-∠BAH=38ù-24ù=14ù

한편 ∠ICA=∠ICB=;2!;∠ACB=;2!;_38ù=19ù이므로

AIC에서 ∠y=38ù+19ù=57ù

∴ ∠x+∠y=14ù+57ù=71ù

09

Action ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면

ABC=;2!;r(ABÓ+BCÓ+CAÓ)임을 이용한다.

점 I는

ABC의 내심이므로 ∠IAB=∠IAC

즉 ADÓ는 이등변삼각형 ABC의 꼭지각의 이등분선이므로 ADÓ⊥BCÓ

ABC=;2!;_BCÓ_ADÓ=;2!;_6_4=12`(cmÛ`) 이때

ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면

ABC=;2!;r(ABÓ+BCÓ+CAÓ)

=;2!;r_(5+6+5)

=8r`(cmÛ`) 즉 8r=12이므로 r=;2#;

∴ AEÓ=ADÓ-DEÓ=ADÓ-2r

=4-2_;2#;=1`(cm)

10

Action 점 I는 ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC,

∠ECI=∠ICB임을 이용한다.

점 I가

ABC의 내심이므로

∠DBI=∠IBC, ∠ECI=∠ICB DEÓ∥BCÓ이므로

∠DIB=∠IBC(엇각), ∠EIC=∠ICB(엇각)

∴ ∠DBI=∠DIB, ∠ECI=∠EIC 즉

DBI와

ECI는 이등변삼각형이므로 DIÓ=DBÓ, EIÓ=ECÓ

∴ (

ADE의 둘레의 길이) =ADÓ+DEÓ+AEÓ

=ADÓ+DIÓ+EIÓ+AEÓ

=ADÓ+DBÓ+ECÓ+AEÓ

=ABÓ+ACÓ

=12+10

=22`(cm)

01120ù 02140ù 03;4(;p`cmÛ` 046`cm 0550ù 0625p-24

최고 뛰어넘기

수준 P 19 - P 20

이때

ADE의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면

ADE=;2!;r_(

ADE의 둘레의 길이)이므로

22=;2!;r_22 ∴ r=2

따라서

ADE의 내접원의 넓이는 p_2Û`=4p`(cmÛ`)

11

Action 점 O는 ABC의 외심이고 점 I는 ABC의 내심임을 이 용한다.

∠BAC=180ù-(38ù+62ù)=80ù 점 I는

ABC의 내심이므로

∠IAB=∠IAC=;2!;∠BAC=;2!;_80ù=40ù 오른쪽 그림과 같이 OBÓ를 그

으면 점 O는

ABC의 외심 이므로

∠AOB =2∠C=2_62ù

=124ù

OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로

∠OAB=∠OBA=;2!;_(180ù-124ù)=28ù

∴ ∠IAO=∠IAB-∠OAB=40ù-28ù=12ù

12

Action 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점임을 이용한다.

ABC의 외심이 ACÓ 위에 있으므로

ABC는

∠ABC=90ù인 직각삼각형이다.

∴ ∠ACB=180ù-(90ù+68ù)=22ù 점 I는

ABC의 내심이므로

∠ICB=;2!;∠ACB=;2!;_22ù=11ù 점 O는

ABC의 외심이므로

∠OBC=∠ACB=22ù 따라서

PBC에서

∠BPC =180ù-(∠ICB+∠OBC)

=180ù-(11ù+22ù)

=147ù

124∞ 62∞

A

B O C

I

. 삼각형의 성질 | 9

(10)

ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면

ABC=;2!;r_(12+9+15)=;2!;_12_9 18r=54 ∴ r=3

따라서 색칠한 부분의 넓이는 p_3Û`_;3»6¼0;=;4(;p`(cmÛ`)

04

Action 점 I는 ABC의 내심이고 ABIªAEI임을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 IAÓ, IBÓ, IEÓ를 그으면 점 I가

ABC의 내심이므로

∠IAB=∠IAC,

∠IBA=∠IBC yy`㉠

IAÓ=IBÓ이므로 ∠IAB=∠IBA yy`㉡

㉠, ㉡에서 ∠IAB=∠IAC=∠IBA=∠IBC이므로

∠CAB=∠CBA

ABC는 이등변삼각형이므로 ACÓ=BCÓ=18`cm 이때

ABI와

AEI에서

IBÓ=IEÓ, ∠AIB=∠AIE, IAÓ는 공통 이므로

ABIª

AEI ( SAS 합동) 따라서 AEÓ=ABÓ=12`cm이므로 ECÓ=ACÓ-AEÓ=18-12=6`(cm)

05

Action 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점임을 이용한다.

ADÓ∥BCÓ이므로 ∠ADB=∠DBC=20ù( 엇각)

ABD에서 ABÓ=ADÓ이므로

∠ABD=∠ADB=20ù

∴ ∠BAD=180ù-(20ù+20ù)=140ù 점 I가

ABD의 내심이므로

∠DAO=;2!;∠BAD=;2!;_140ù=70ù

BCD에서 BDÓ=BCÓ이므로

∠BDC=∠C=;2!;_(180ù-20ù)=80ù 점 I'은

BCD의 내심이므로

∠BDO=;2!;∠BDC=;2!;_80ù=40ù 따라서

AOD에서

∠IOI' =180ù-(∠DAO+∠ADB+∠BDO)

=180ù-(70ù+20ù+40ù)=50ù

06

Action 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이고, ABC의 내접원의

반지름의 길이를 r라 하면 ABC=;2!;r(ABÓ+BCÓ+CAÓ)임을 이용한다.

직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 외접원의 반지름의 길이는 ;2!;ABÓ=;2!;_10=5

A

B D C

I E 12 cm

18 cm

01

Action ∠DBE=∠a, ∠ECD=∠b로 놓고 ∠BOC=2∠A임을

이용한다.

오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 긋고

∠DBE=∠a, ∠ECD=∠b라 하자.

DBE에서 BDÓ=DEÓ이므로

∠DEB=∠DBE=∠a

EDC에서 DEÓ=CEÓ이므로

∠EDC=∠ECD=∠b

OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로

∠OAB=∠OBA=∠a

OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로

∠OAC=∠OCA=∠b

DBE에서

∠ADE=∠DBE+∠DEB=∠a+∠a=2∠a

EDC에서

∠AED=∠EDC+∠ECD=∠b+∠b=2∠b

ADE에서 (∠a+∠b)+2∠a+2∠b=180ù이므로 3∠a+3∠b=180ù ∴ ∠a+∠b=60ù

∴ ∠BOC=2∠A=2(∠a+∠b)=2_60ù=120ù

02

Action ∠OMN=∠x로 놓고 ∠BOC=2∠BAC,

∠AOC=2∠ABC임을 이용한다.

∠OMN=∠x라 하면

∠ABC=4∠OMN=4∠x, ∠ACB=6∠OMN=6∠x

∴ ∠BAC=180ù-(4∠x+6∠x)=180ù-10∠x 점 O는

ABC의 외심이므로 ∠BOC=2∠BAC 이때

OBNª

OCN이므로

∠NOC=;2!;∠BOC=;2!;_2∠BAC

=∠BAC=180ù-10∠x 또 ∠AOC=2∠ABC=8∠x이므로

∠MON= ∠AOC+∠NOC

=8∠x+(180ù-10∠x)

=180ù-2∠x

ONM에서 (180ù-2∠x)+20ù+∠x=180ù이므로 200ù-∠x=180ù ∴ ∠x=20ù

∴ ∠MON=180ù-2∠x=180ù-2_20ù=140ù

03

Action ∠AIC=90ù+;2!;∠ABC임을 이용한다.

점 I가

ABC의 내심이므로

∠AIC=90ù+;2!;∠ABC=90ù+;2!;_90ù=135ù 이때 ∠DIF=∠AIC=135ù(맞꼭지각)이므로 색칠한 부채 꼴의 중심각의 크기의 합은

360ù-2_135ù=90ù

a a

a

b b b 2a 2b

A

B C

D E

O

(11)

만들어지는 정다각형을 정n각형이라 하면 이어 붙인 꼭지각 의 크기의 합이 360ù이어야 하므로

n_20ù=360ù ∴ n=18

따라서 만들어지는 정다각형은 정십팔각형이므로 대각선의 총 개수는

18_(18-3)

2 =135(개)

다각형의 대각선의 총 개수

( n각형의 대각선의 총 개수)=n(n-3)

2 (개) (단, n¾4 ) Lecture

02

Action 직각삼각형의 합동 조건을 이용한다.

㉠ 옳다.

㉡ 옳지 않다.

그 이유는 직각삼각형에서 한 예각의 크기가 정해지면 다 른 예각의 크기도 정해진다. 이때 빗변의 길이가 같을 때 에는 항상 그 양 끝 각의 크기가 각각 같아지지만 빗변이 아닌 다른 한 변의 길이가 같을 때에는 다음 그림과 같이 양 끝 각의 크기가 다른 경우가 있을 수 있으므로 서로 합 동이라 말할 수 없다.

50∞

40∞

3 cm

3 cm 50∞

40∞

03

Action AHÓ=BHÓ=CHÓ이므로 점 H는 ABC의 외심임을 이용

한다.

∠B=180ù-(82ù+44ù)=54ù 물결이 퍼지는 속력이 모두 같으므로 AHÓ=BHÓ=CHÓ

즉 점 H는

ABC의 외심이므로

∠AHC=2∠B=2_54ù=108ù

04

Action 삼각형의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 삼각형의

넓이는 ;2!;r_(삼각형의 둘레의 길이)임을 이용한다.

(직각삼각형의 넓이)=;2!;_70_24=840`(cmÛ`) 직각삼각형의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 (직각삼각형의 넓이)=;2!;r_(직각삼각형의 둘레의 길이)

=;2!;r_(24+70+74)

=84r`(cmÛ`) 즉 84r=840이므로 r=10

따라서 내접원의 지름의 길이가 2_10=20`(cm)이므로 지름의 길이가 20`cm 이하인 ㉠, ㉡, ㉢을 걸 수 있다.

01135개 02풀이 참조

03108ù 04㉠, ㉡, ㉢

창의 사고력

교과서 속 P 21 - P 22

01

Action 이등변삼각형의 두 밑각의 크기가 같음을 이용한다.

ADÓ=DEÓ=EFÓ=FCÓ=CBÓ이므로

ADE,

DFE,

EFC,

FBC는

모두 이등변삼각형이다.

∠A=∠a라 하면

ADE에서

∠DEA=∠A=∠a

∠EDF=∠A+∠DEA=2∠a

DFE에서 ∠EFD=∠EDF=2∠a

AFE에서

∠FEC=∠A+∠EFA=3∠a

EFC에서 ∠FCE=∠FEC=3∠a

AFC에서

∠CFB=∠A+∠FCA=4∠a

FBC에서 ∠B=∠CFB=4∠a 이때

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로

∠ACB=∠B=4∠a

ABC의 세 내각의 크기의 합이 180ù이므로

∠a+4∠a+4∠a=180ù 9∠a=180ù ∴ ∠a=20ù

A

D a

2a a

2a 3a 4a 3a 4a F

B C

E

오른쪽 그림과 같이

ABC의 내심 을 I라 하면 내심에서 ABÓ에 이르는 거리는 IFÓ이므로 IFÓ=2

즉 IDÓ=IEÓ=IFÓ=2이고 사각형 IDCE는 정사각형이므로 CDÓ=CEÓ=2

이때 BFÓ=x, AFÓ=y라 하면

x+y=10, BDÓ=BFÓ=x, AEÓ=AFÓ=y 즉 BCÓ=x+2, ACÓ=y+2이므로

ABC=;2!;_2_{10+(x+2)+(y+2)}

=14+x+y

=14+10=24 따라서 색칠한 부분의 넓이는 p_5Û`-24=25p-24

A

B C

D F E 10 2 I

2 x 2 x

y y

. 삼각형의 성질 | 11

(12)

평행사변형

1.

II . 사각형의 성질

01∠x=26ù, ∠y=44ù 0268ù 0314 044`cm 053`cm 064`cm 0774ù

0844ù 0918`cm 1011

12120ù 1340ù 1410`cm 156`cmÛ`

1660`cmÛ` 1728`cmÛ` 1825 최고 입문하기

수준 P 25 - P 27

02

Action 평행사변형의 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같음을 이용한다.

AEÓ∥DCÓ이므로 ∠CDE=∠AED=34ù(엇각) 즉 ∠ADC=2∠CDE=2_34ù=68ù이므로 ∠x=∠ADC=68ù

03

Action 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분함을 이용

한다.

ADÓ=BCÓ이므로 5x-3=2x+6 3x=9  ∴ x=3

∴ OAÓ=3_3-2=7 이때 OAÓ=OCÓ이므로 ACÓ=2 OAÓ=2_7=14

05

Action 평행한 두 직선이 다른 한 직선과 만날 때 생기는 엇각의 크

기가 같음을 이용한다.

ADÓ∥BCÓ이므로 ∠BEA=∠DAE (엇각) 이때 ∠DAE=∠BAE이므로 ∠BEA=∠BAE 즉

BEA는 이등변삼각형이므로

BEÓ=BAÓ=6`cm

또 ADÓ∥BCÓ이므로 ∠CFD=∠ADF (엇각) 이때 ∠ADF=∠CDF이므로

∠CFD=∠CDF

CDF는 이등변삼각형이므로 CFÓ=CDÓ=ABÓ=6`cm

이때 BCÓ=ADÓ=9`cm이므로 BFÓ=BCÓ-CFÓ=9-6=3`(cm) ∴ EFÓ=BEÓ-BFÓ=6-3=3`(cm)

08

Action 평행사변형의 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같음을 이용한다.

ADÓ∥BEÓ이므로 ∠DAE=∠AEB=32ù(엇각) ∴ ∠DAC=2∠DAE=2_32ù=64ù

ABCD는 평행사변형이므로 ∠D=∠B=72ù

ACD에서

∠DAC+∠ACD+∠D=180ù이므로 64ù+∠x+72ù=180ù  ∴ ∠x=44ù

04

Action 평행한 두 직선이 다른 한 직선과 만날 때 생기는 엇각의 크

기가 같음을 이용한다.

ABCD는 평행사변형이므로 CDÓ=ABÓ=8`cm

ADÓ∥BCÓ이므로 ∠CED=∠ADE (엇각) ∠ADE=∠CDE이므로 ∠CED=∠CDE 즉

CDE는 이등변삼각형이므로

CEÓ=CDÓ=8`cm

06

Action 평행한 두 직선이 다른 한 직선과 만날 때 생기는 동위각, 엇

각의 크기가 각각 같음을 이용한다.

ABÓ∥FCÓ이므로 ∠DFE=∠ABF (엇각) ADÓ∥BCÓ이므로 ∠DEF=∠CBF (동위각) 이때 ∠ABF=∠CBF이므로

∠DFE=∠DEF

DFE는 DEÓ=DFÓ인 이등변삼각형이다. …… 30%

또 ∠CBF=∠CFB이므로

CFB는 CFÓ=CBÓ인 이등변

삼각형이다. …… 30%

즉 CFÓ=CBÓ=8`cm이고 CDÓ=ABÓ=6`cm이므로 DEÓ=DFÓ=CFÓ-CDÓ=8-6=2`(cm) …… 30%

∴ DEÓ+DFÓ=2+2=4`(cm) …… 10%

07

Action 접은 각의 크기가 같고, 평행한 두 직선이 다른 한 직선과 만

날 때 생기는 엇각의 크기가 같음을 이용한다.

∠EDB=∠BDC=53ù(접은 각)

ABÓ∥ DCÓ이므로 ∠EBD=∠BDC=53ù(엇각) 즉

EBD는 이등변삼각형이므로

∠x=180ù-2_53ù=74ù

01

Action 평행사변형의 두 쌍의 대변은 각각 평행함을 이용한다.

ABÓ∥DCÓ이므로 ∠x=∠ODA=26ù(엇각)

OBC에서 외각의 성질에 의하여 ∠x+∠y=70ù, 26ù+∠y=70ù ∴ ∠y=44ù

삼각형의 외각의 성질

삼각형에서 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기 의 합과 같다.

Lecture

이때 BCÓ=ADÓ=12`cm이므로 BEÓ=BCÓ-CEÓ=12-8=4`(cm)

(13)

. 사각형의 성질 | 13

09

Action 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분함을 이용

한다.

ABCD는 평행사변형이므로 OAÓ=OCÓ=;2!; ACÓ

OBÓ=ODÓ=;2!;`BDÓ

이때 ACÓ+BDÓ=22`cm이므로

OAÓ+OBÓ=;2!;`ACÓ+;2!;`BDÓ=;2!;(ACÓ+BDÓ) =;2!;_22=11`(cm)

∴ (

OAB의 둘레의 길이)=ABÓ+OAÓ+OBÓ

=7+11

=18`(cm)

10

Action 평행사변형이 되는 다섯 가지 조건 중 어느 하나를 만족하는

지 확인한다.

③ ∠CDA=360ù-(110ù+70ù+110ù)=70ù

즉 ABCD는 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평 행사변형이다.

11

Action AECF는 평행사변형임을 이용한다.

ABCD는 평행사변형이므로

OAÓ=OCÓ yy ㉠

또 OBÓ=ODÓ이므로

OEÓ=;2!;`OBÓ=;2!;`ODÓ=OFÓ yy ㉡ ㉠, ㉡에서 AECF는 평행사변형이므로

AFÓ=CEÓ (①), AEÓ=CFÓ (②), AEÓ∥CFÓ (④) ∠OEC=∠OFA (엇각) (⑤)

따라서 옳지 않은 것은 ③이다.

12

Action ANCM과 MBND는 평행사변형임을 이용한다.

ABCD가 평행사변형이므로 ADÓ=BCÓ ∴ AMÓ=MDÓ=BNÓ=NCÓ

AMÓ∥NCÓ이고 AMÓ=NCÓ이므로 ANCM은 평행사변 형이다.

∴ ∠MCN=∠MAN=65ù

MDÓ∥BNÓ이고 MDÓ=BNÓ이므로 MBND는 평행사변 형이다.

즉 MBÓ∥DNÓ이므로

∠DNC=∠MBN=55ù (동위각)

FNC에서 외각의 성질에 의하여

∠MFN=∠FCN+∠FNC=65ù+55ù=120ù

13

Action EBFD는 평행사변형임을 이용한다.

∠BEF=∠DFE=90ù이므로 BEÓ∥DFÓ yy ㉠

14

Action AODE는 평행사변형임을 이용한다.

AODE에서 AOÓ∥EDÓ이고 OAÓ=OCÓ=EDÓ이므로

AODE는 평행사변형이다. …… 30%

즉 AFÓ=FDÓ, OFÓ=FEÓ이므로

AFÓ=;2!; ADÓ=;2!; BCÓ=;2!;_12=6`(cm) …… 30%

OFÓ=;2!; OEÓ=;2!; CDÓ=;2!; ABÓ

=;2!;_8=4`(cm) …… 30%

∴ AFÓ+OFÓ=6+4=10`(cm) …… 10%

15

Action OAEªOCF(ASA 합동)임을 이용한다.

OAE와

OCF에서

OAÓ=OCÓ,

∠AOE=∠COF(맞꼭지각), ∠OAE=∠OCF(엇각)

이므로

OAEª

OCF(ASA 합동)

OAE+

ODF=

OCF+

ODF=

OCD

=;4!; ABCD=;4!;_24

=6`(cmÛ`)

ABE와

CDF에서

∠AEB=∠CFD=90ù, ABÓ=CDÓ,

∠BAE=∠DCF(엇각)

이므로

ABEª

CDF(RHA 합동)

∴ BEÓ=DFÓ yy ㉡

㉠, ㉡에서 EBFD는 평행사변형이다.

DEF에서

∠EDF=180ù-(90ù+50ù)=40ù이므로 ∠x=∠EDF=40ù

16

Action 평행사변형의 넓이는 두 대각선에 의해 사등분됨을 이용한다.

ABFE는 평행사변형이므로

BFE=

ABF=15`cmÛ`

이때 BCDE는 평행사변형이므로 BCDE=4

BFE=4_15=60`(cmÛ`)

17

Action PAD+PBC=;2!; ABCD임을 이용한다.

PAD+

PBC=;2!; ABCD이므로 22+

PBC=;2!;_100

22+

PBC=50

PBC=28`(cmÛ`)

(14)

02

Action AFED는 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이 다.

AFED에서 AFÓ∥DEÓ, ADÓ∥FEÓ이므로 AFED는 평행사변형이다.

∴ AFÓ=DEÓ, ADÓ=FEÓ

ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C yy ㉠ 이때 ACÓ∥FEÓ이므로 ∠FEB=∠C (동위각) yy ㉡ ㉠, ㉡에서 ∠B=∠FEB

0175ù 0218`cm` 0325 044`cm 056`cm 0612`cm 075초 08180ù 09192`cmÛ` 1020`cmÛ` 1190`cmÛ` 1215`cmÛ`

최고 완성하기

수준 P 28- P 30

01

Action 평행사변형의 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같음을 이용한다.

ABCD는 평행사변형이므로 ∠ADC=∠B=45ù ∠EDC=;2!;∠ADE이므로

∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ADE+;2!;∠ADE =;2#;∠ADE

∴ ∠ADE=;3@;∠ADC=;3@;_45ù=30ù

AED에서

∠DAE =180ù-(∠AED+∠ADE)

=180ù-(75ù+30ù)=75ù 이때 ADÓ∥BCÓ이므로

∠AEB=∠DAE=75ù(엇각)

04

Action 평행한 두 직선이 다른 한 직선과 만날 때 생기는 엇각의 크

기가 같음을 이용한다.

ADÓ∥BCÓ이므로 ∠CED=∠ADE(엇각) 이때 ∠CDE=∠ADE이므로 ∠CED=∠CDE 즉

CDE는 이등변삼각형이므로

CEÓ=CDÓ=ABÓ=6`cm 오른쪽 그림과 같이 AFÓ와

DEÓ가 만나는 점을 H라 하 고, AFÓ의 연장선이 DCÓ의 연장선과 만나는 점을 G라 하면

∠DGH =90ù-∠GDH

=90ù-∠ADH

=∠DAH

DAG는 이등변삼각형이므로 DGÓ=DAÓ=8`cm

∴ CGÓ=DGÓ-DCÓ=8-6=2`(cm)

8 cm 6 cm

A

B

G C

D

F H E 일차함수의 식

서로 다른 두 점 (xÁ, yÁ), (xª, yª)를 지나는 직선을 그래프로 하 는 일차함수의 식은 다음과 같은 순서로 구한다.

① 기울기 a=yª-yÁ

xª-xÁ 을 구한다.

② y=ax+b에 x=xÁ, y=yÁ 또는 x=xª, y=yª를 대입하여 b 의 값을 구한다.

Lecture

03

Action ABCD가 평행사변형임을 이용하여 점 D의 좌표를 구한다.

ABCD는 평행사변형이므로 ADÓ=BCÓ=5-(-3)=8 즉 점 D의 좌표는 (8, 6)이다.

이때 두 점 C(5, 0), D(8, 6)을 지나는 직선의 방정식을 구 하면 y=2x-10

직선 y=2x-10의 x절편은 5, y절편은 -10이므로 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

따라서 구하는 도형의 넓이는 오른쪽 그림에서 색칠한 부분의 넓이와 같으므로

;2!;_5_10=25

x y

O A

B C

6 D

-3

-10

5 8

y=2x-10

18

Action PDA=2k, PCD=3k, PAB=4k로 놓고 문제를 해결한다.

PDA:

PCD:

PAB=2:3:4이므로

PDA=2k,

PCD=3k,

PAB=4k라 하자.

PAB+

PCD=;2!; ABCD이므로 4k+3k=;2!;_70, 7k=35

∴ k=5

이때

PBC+

PDA=;2!; ABCD이므로

PBC+2k=35,

PBC+2_5=35

PBC=25

FBE는 이등변삼각형이므로 FEÓ=FBÓ

∴ (AFED의 둘레의 길이) =AFÓ+FEÓ+DEÓ+ADÓ

=2(AFÓ+FEÓ)

=2(AFÓ+FBÓ)=2ABÓ

=2_9=18`(cm)

(15)

. 사각형의 성질 | 15

05

Action 평행한 두 직선이 다른 한 직선과 만날 때 생기는 엇각의 크

기가 같음을 이용한다.

ADÓ∥ BCÓ이므로 ∠BEA=∠DAE(엇각) 이때 ∠BAE=∠DAE이므로 ∠BAE=∠BEA 즉

ABE는 이등변삼각형이므로

BEÓ=ABÓ=9`cm

이때 BEÓ:ECÓ=3:2이므로 9:ECÓ=3:2 3 ECÓ=18  ∴ ECÓ=6`(cm)

∠CEF=∠BEA(맞꼭지각), ∠CFE=∠BAE(엇각)이 므로 ∠CEF=∠CFE

따라서

CEF는 이등변삼각형이므로 CFÓ=CEÓ=6`cm

06

Action EDCF는 평행사변형임을 이용한다.

EDCF에서 EFÓ∥DCÓ, DEÓ∥CFÓ이므로 EDCF는 평 행사변형이다.

∴ DEÓ=CFÓ=6`cm

EDÓ∥ACÓ이므로 ∠EDA=∠CAD(엇각) 이때 ∠EAD=∠CAD이므로 ∠EAD=∠EDA 즉

EDA는 이등변삼각형이므로

AEÓ=DEÓ=6`cm

∴ AEÓ+DEÓ=6+6=12`(cm)

07

Action AQÓ∥PCÓ가 되려면 AQCP는 평행사변형이 되어야 한다.

AQÓ∥ PCÓ가 되려면 AQCP는 평행사변형이 되어야 한 다.

이때 AQCP에서 APÓ∥QCÓ이므로 AQCP가 평행사변 형이 되려면 APÓ=CQÓ이어야 한다.

AQÓ∥PCÓ가 되는 것이 점 Q가 출발한 지 x초 후라 하면 APÓ=2(5+x)=10+2x`(m), CQÓ=4x`(m)이므로 10+2x=4x  ∴ x=5

따라서 점 Q가 출발한 지 5초 후에 AQÓ∥PCÓ가 된다.

08

Action ABC와 합동인 삼각형을 찾는다.

FEC와

ABC에서

FCÓ=ACÓ, ECÓ=BCÓ,

∠FCE=60ù-∠ACE=∠ACB 이므로

FECª

ABC(SAS 합동) ∴ FEÓ=ABÓ

09

Action OBQªODP(ASA 합동)임을 이용한다.

OBQ와

ODP에서

OBÓ=ODÓ,

∠BOQ=∠DOP(맞꼭지각), ∠OBQ=∠ODP(엇각)

이므로

OBQª

ODP(ASA 합동) ∴

OBQ=

ODP=28 cmÛ`

이때

OBQ:

OCQ=7:5이므로

28:

OCQ=7:5, 7

OCQ=140

OCQ=20`(cmÛ`)

OBC=

OBQ+

OCQ=28+20=48 (cmÛ`) 이므로

ABCD=4

OBC=4_48=192`(cmÛ`) 이때 ADÓ=ABÓ이므로

ADÓ=FEÓ   yy ㉠ …… 30%

DBE와

ABC에서

DBÓ=ABÓ, BEÓ=BCÓ,

∠DBE=60ù-∠ABE=∠ABC 이므로

DBEª

ABC(SAS 합동) ∴ DEÓ=ACÓ

이때 AFÓ=ACÓ이므로

AFÓ=DEÓ   yy ㉡ …… 30%

㉠, ㉡에서 AFED는 평행사변형이므로 …… 20%

∠DAF+∠AFE=180ù …… 20%

∠AFB=∠DAF (엇각), ∠CFG=∠AFB (맞꼭지각)이 므로 ∠CFG=∠DAF=∠CGF

CFG는 이등변삼각형이므로 CFÓ=CGÓ=2`cm

∴ EFÓ=CEÓ-CFÓ=6-2=4`(cm)

10

Action PAB+PCD=;2!;ABCD임을 이용한다.

PAB+

PCD=;2!;ABCD이므로 40+

PCD=;2!;_120

40+

PCD=60  

PCD=20`(cmÛ`)

EFÓ∥ DCÓ, EDÓ∥PGÓ∥FCÓ이므로 EPGD, PFCG는 모두 평행사변형이다.

따라서

EPD=

DPG,

PFC=

PCG이므로

EPD+

PFC =

DPG+

PCG

=

PCD

=20`(cmÛ`)

평행사변형과 넓이

평행사변형 ABCD의 한 변 위의 점 P 에 대하여

PAB+PCD=APD

=;2!;ABCD Lecture

B P C

A D

(16)

0140ù 0230초 0310`cm 0414`cmÛ`

05120`cmÛ` 0625 최고 뛰어넘기

수준 P 31 - P 32

02

Action ABP와 CDQ가 삼각형이 되려면 점 P는 BCÓ 위에, 점 Q는 ADÓ 위에 있어야 한다.

다음 그림과 같이

ABP와

CDQ가 삼각형이 되려면 점 P는 BCÓ 위에, 점 Q는 ADÓ 위에 있어야 한다.

ABP와

CDQ가 합동이 되려면 BPÓ=DQÓ이어야 한다.

A

P

Q

C B

D 17 cm

10 cm

12

Action 평행사변형의 넓이는 한 대각선에 의해 이등분됨을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 EFÓ를 긋 A

H

B C

E D

F Q

P G

고, 두 점 G, H를 각각 지나고 ADÓ에 평행한 두 직선이 EFÓ 와 만나는 점을 각각 P, Q라 하면 ABÓ∥EFÓ∥DCÓ이므로

AGPE, GBFP, QFCH, EQHD는 모두 평행사 변형이다.

∴ EGFH=

PEG+

PGF+

QFH+

QHE

=;2!; AGPE+;2!; GBFP+;2!; QFCH

+;2!; EQHD

=;2!; ABCD=;2!;_30=15`(cmÛ`)

01

Action ADÓ의 연장선과 BEÓ의 연장선의 교점을 F라 하고

EBCªEFD(ASA 합동)임을 이용한다.

다음 그림과 같이 ADÓ의 연장선이 BEÓ의 연장선과 만나는 점을 F라 하자.

F

20∞

20∞

B H C

A D

E

AFÓ∥BCÓ이므로 ∠F=∠EBC=20ù(엇각)

EBC와

EFD에서

ECÓ=EDÓ,

∠BEC=∠FED(맞꼭지각), ∠ECB=∠EDF(엇각)

이므로

EBCª

EFD(ASA 합동) ∴ FDÓ=BCÓ

ABCD는 평행사변형이므로 BCÓ=ADÓ ∴ FDÓ=ADÓ

이때 점 D는 직각삼각형 AHF의 빗변인 AFÓ의 중점이므로 점 D는 직각삼각형 AHF의 외심이다.

∴ DHÓ=FDÓ

DHF는 이등변삼각형이므로 ∠DHF=∠F=20ù

따라서

DHF에서

∠ADH =∠DHF+∠F

=20ù+20ù=40ù

삼각형의 외심의 성질과 위치

⑴ 삼각형의 외심의 성질

① 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점이다.

② 삼각형의 세 꼭짓점에 이르는 거리가 같은 점이다.

⑵ 삼각형의 외심의 위치 ① 예각삼각형 : 삼각형의 내부 ② 직각삼각형 : 빗변의 중점 ③ 둔각삼각형 : 삼각형의 외부

Lecture

11

Action ABNM, MNCD는 평행사변형임을 이용한다.

ABNM=MNCD=;2!; ABCD =;2!;_72=36`(cmÛ`) 이때 ABNM은 평행사변형이므로

OAB=

ONM=;4!; ABNM=;4!;_36=9`(cmÛ`)

ABN과

QCN에서

BNÓ=CNÓ, ∠ANB=∠QNC(맞꼭지각), ∠ABN=∠QCN(엇각)

이므로

ABNª

QCN(ASA 합동) ∴

QCN=

ABN=;2!; ABNM =;2!;_36=18`(cmÛ`)

같은 방법으로

ABMª

DPM(ASA 합동) ∴

DPM=

ABM=;2!; ABNM =;2!;_36=18`(cmÛ`) 따라서 색칠한 부분의 넓이는

OAB+

ONM+MNCD+

QCN+

DPM

=9+9+36+18+18=90`(cmÛ`)

(17)

. 사각형의 성질 | 17

03

Action 점 P가 BCÓ 위를 움직이므로 점 P가 점 B에 위치하는 경우 와 점 C에 위치하는 경우로 나누어 생각한다.

Ú 점 P가 점 B에 위치하는 경우 오른쪽 그림에서

Q A

B(P) C

6 cm D

6 cm 3 cm 9 cm

∠PAQ=∠DAQ ADÓ∥BCÓ이므로

∠PQA=∠DAQ (엇각) ∴ ∠PAQ=∠PQA

PQA는 이등변삼각형이므로 PQÓ=PAÓ=6`cm

∴ QCÓ=PCÓ-PQÓ=9-6=3`(cm) Û 점 P가 점 C에 위치하는 경우

오른쪽 그림에서 A

B C(P) Q

D 7 cm

7 cm

∠PAQ=∠DAQ ADÓ∥BQÓ이므로

∠PQA=∠DAQ (엇각) ∴ ∠PAQ=∠PQA

PQA는 이등변삼각형이므로 PQÓ=PAÓ=7`cm

∴ QCÓ=PQÓ=7`cm

Ú, Û에서 점 Q가 움직인 거리는 3+7=10`(cm)

04

Action ABD=APD+PBC=;2!; ABCD임을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 대각선 BD와

P Q

B C

A D

APÓ의 교점을 Q라 하면

ABD=;2!;ABCD,

APD+

PBC

=;2!;ABCD 이므로

ABD=

APD+

PBC

ABQ+

AQD=(

AQD+

QPD)+

PBC

이므로

ABQ=

QPD+

PBC

05

Action 두 평행사변형의 높이가 같으면 넓이의 비는 밑변의 길이의

비와 같다.

ADÓ∥EFÓ, AEÓ∥HPÓ∥DFÓ이므로 AEPH:HPFD=AHÓ:HDÓ=7:3

이때 HPFD=2

HPD=2_6=12`(cmÛ`)이므로 AEPH:12=7:3

3AEPH=84   ∴ AEPH=28`(cmÛ`)

∴ AEFD =AEPH+HPFD

=28+12

=40`(cmÛ`)

또 ABÓ∥DCÓ, ADÓ∥EFÓ∥BCÓ이므로 AEFD:EBCF=AEÓ:EBÓ=1:2 40:EBCF=1:2  

∴ EBCF=80`(cmÛ`)

∴ ABCD =AEFD+EBCF

=40+80

=120`(cmÛ`)

06

Action BCE=DFC=;2!; ABCD이므로

BCE+DFC=ABCD임을 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 평행사변형

B

A E

F

G H I J

K D

C a

16 bc

d e 45 f

50 14

x

ABCD에서 나누어진 부분의

넓이를 각각 a, b, c, d, e, f 라 하고, 색칠한 부분의 넓이를 x라 하면

EBC=a+x+c+d+50=;2!; ABCD

DFC=b+x+50+e+f=;2!; ABCD ∴

EBC+

DFC

  =a+b+c+d+e+f+2x+100   =ABCD

x+100 =ABCD-(a+b+c+d+e+f+x)

=AFHE+

FBI+

JCK+

DEG

=45+16+50+14

=125 ∴ x=25

따라서 색칠한 부분의 넓이는 25이다.

두 점 P, Q가 점 A에서 출발한 지 x초 후에

ABP와

CDQ가 합동이 된다고 하면 BPÓ=0.4x-10`(cm) (25<xÉ67.5) DQÓ=17-0.5x`(cm) (0Éx<34) 이때 BPÓ=DQÓ이어야 하므로 0.4x-10=17-0.5x 0.9x=27  ∴ x=30

따라서

ABP와

CDQ가 합동이 되는 것은 30초 후이 다.

ABQ=

ABP-

QBP이므로

ABP-

QBP=

QPD+

PBC

BPD =

QBP+

QPD

=

ABP-

PBC

=26-12

=14`(cmÛ`)

참조

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