정답과 풀이
2 • 2
중학 수학
I 삼각형의 성질
사각형의 성질
II
도형의 닮음
III
피타고라스 정리
IV V 확률
2
12
25
44
49
△
DBC에서∠DCE=∠B+∠CDB=∠x+2∠x=3∠x 즉 3∠x=108ù이므로 ∠x=36ù
∴ ∠B=∠x=36ù
05
Action 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 서로 같음을 이용하여∠ABC, ∠ACE의 크기를 각각 구한다.
△
ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로∠ABC=∠ACB=;2!;_(180ù-40ù)=70ù
∴ ∠DBC=;2!;∠ABC=;2!;_70ù=35ù …… 40%
이때 ∠ACE=180ù-∠ACB=180ù-70ù=110ù이므로
∠DCE=;2!;∠ACE=;2!;_110ù=55ù …… 40%
따라서
△
BCD에서 ∠DBC+∠BDC=∠DCE이므로 35ù+∠x=55ù∴ ∠x=20ù …… 20%
각의 크기를 구할 때, 자주 이용되는 성질
① 평각의 크기는 180ù이다.
② 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이다.
③ 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기 의 합과 같다.
Lecture
06
Action DEÓ를 접는 선으로 하여 접었으므로 ∠ABE=∠A=∠x임을 이용한다.
∠ABE=∠A=∠x이므로
∠DBC=∠C=∠x+24ù
△
ABC에서∠x+(∠x+24ù)+(∠x+24ù)=180ù이므로 3∠x=132ù ∴ ∠x=44ù
∴ ∠y=∠C=∠x+24ù=44ù+24ù=68ù
07
Action 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형임을 이용한다.△
ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로∠ABC=∠C=;2!;_(180ù-36ù)=72ù
∴ ∠ABD=∠DBC=;2!;_72ù=36ù(①)
즉
△
DAB는 ∠A=∠ABD인 이등변삼각형이다.(⑤)∴ ADÓ=BDÓ yy`㉠
△
DAB에서 ∠BDC=36ù+36ù=72ù(②)이므로△
BCD 는 ∠BDC=∠C인 이등변삼각형이다.(④)∴ BDÓ=BCÓ yy`㉡
㉠, ㉡에서 ADÓ=BDÓ=BCÓ(③) 따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
삼각형의 성질
1.
I. 삼각형의 성질
01①, ④ 0224ù 03∠x=30ù, ∠y=50ù 0436ù 0520ù 06∠x=44ù, ∠y=68ù 07③ 083`cm 09⑤ 10⑴ 14 ⑵ 50 1157ù 1212 cm
최고 입문하기
수준 P 7 - P 8
01
Action 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분함을 이용한다.
①, ④ 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이 등분하므로 ADÓ⊥BCÓ, BDÓ=CDÓ
02
Action 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 서로 같음을 이용한다.△
BCD에서 BCÓ=BDÓ이므로 ∠BDC=∠C=68ù∴ ∠DBC=180ù-2_68ù=44ù
이때
△
ABC에서 ∠ABC=∠C=68ù이므로∠x+44ù=68ù ∴ ∠x=24ù
03
Action 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분함을 이용한다.
∠ADB=90ù이므로
△
ABD에서 20ù+(∠x+40ù)+90ù=180ù∠x+150ù=180ù ∴ ∠x=30ù
△
PBD와△
PCD에서BDÓ=CDÓ, ∠PDB=∠PDC=90ù, PDÓ는 공통 즉
△
PBDª△
PCD ( SAS 합동)이므로∠PCD=∠PBD=40ù
△
PCD에서 ∠y+90ù+40ù=180ù이므로∠y+130ù=180ù ∴ ∠y=50ù
04
Action 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같음을 이용한다.
∠B=∠x라 하면
△
ABC에서∠ACB=∠B=∠x
∴ ∠CAD =∠B+∠ACB
=∠x+∠x
=2∠x
△
CDA에서∠CDA=∠CAD=2∠x
x x 108∞
2x 2x A
B C
D
E
08
Action 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형임을 이용한다.ADÓ∥BCÓ이므로 ∠GFE=∠FEC ( 엇각)
∠GEF=∠FEC ( 접은 각)
∴ ∠GFE=∠GEF
따라서
△
GEF는 이등변삼각형이므로 GFÓ=GEÓ=3`cm09
Action 삼각형의 합동 조건과 직각삼각형의 합동 조건을 이용한다.① RHA 합동 ② ASA 합동
③ RHS 합동 ④ RHA 합동
따라서 두 직각삼각형 ABC와 DEF가 합동이 되는 경우가 아닌 것은 ⑤이다.
10
Action △ADBª△BEC ( RHA 합동)임을 이용한다.⑴
△
ADB와△
BEC에서 ∠D=∠E=90ù, ABÓ=BCÓ ∠BAD=90ù-∠ABD=∠CBE ∴△
ADBª△
BEC ( RHA 합동) 즉 BDÓ=CEÓ=8, BEÓ=ADÓ=6이므로 DEÓ=BDÓ+BEÓ=8+6=14⑵
△
ABC=( 사각형 ADEC의 넓이)-2△
ADB=;2!;_(6+8)_14-2_{;2!;_6_8}
=98-48=50
11
Action △MBDª△MCE ( RHS 합동)임을 이용한다.△
MBD와△
MCE에서∠BDM=∠CEM=90ù, BMÓ=CMÓ, MDÓ=MEÓ
이므로
△
MBDª△
MCE ( RHS 합동)∴ ∠B=∠C
즉
△
ABC는 이등변삼각형이므로∠B=;2!;_(180ù-66ù)=57ù
12
Action △ABDª△AED ( RHA 합동)임을 이용한다.△
ABD와△
AED에서∠ABD=∠AED=90ù, ADÓ는 공통,
∠BAD=∠EAD
이므로
△
ABDª△
AED ( RHA 합동)∴ ABÓ=AEÓ, BDÓ=EDÓ …… 40%
즉 AEÓ=ABÓ=6`cm이므로
CEÓ=ACÓ-AEÓ=10-6=4`(cm) …… 30%
따라서
△
EDC의 둘레의 길이는EDÓ+DCÓ+CEÓ =BDÓ+DCÓ+CEÓ=BCÓ+CEÓ
=8+4=12`(cm) …… 30%
0173ù 0230ù 0360ù
04∠x=58ù, ∠y=52ù 053`cm 0610 0725ù 086`cmÛ`
최고 완성하기
수준 P 9 - P 10
01
Action 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같음을 이용한다.
∠BAD=∠DAE=∠CAE=;3!;∠BAC
=;3!;_102ù=34ù
△
ABC는 이등변삼각형이므로∠B=∠C=;2!;_(180ù-102ù)=39ù 따라서
△
ABD에서∠ADE=∠BAD+∠B=34ù+39ù=73ù
02
Action ∠ABD=∠a, ∠CBE=∠b로 놓고 ∠a+∠b의 크기를구한다.
∠ABD=∠a, ∠CBE=∠b라 하면
△
ABD,△
CEB는모두 이등변삼각형이므로
∠ADB=∠ABD=∠a, ∠CEB=∠CBE=∠b
∠EBD=(∠a+∠b)-120ù yy ㉠
△
EBD에서∠EBD =180ù-(∠BDE+∠BED)
=180ù-(∠a+∠b) yy ㉡
㉠, ㉡에서
(∠a+∠b)-120ù=180ù-(∠a+∠b) 2(∠a+∠b)=300ù ∴ ∠a+∠b=150ù
∴ ∠EBD=150ù-120ù=30ù
03
Action ∠BED=∠a, ∠CEF=∠b로 놓고 ∠a+∠b의 크기를구한다.
오른쪽 그림과 같이 ∠BED=∠a,
∠CEF=∠b라 하면
△
BED에서 BDÓ=BEÓ이므로∠BDE=∠BED=∠a
∴ ∠B=180ù-2∠a …… 20%
△
CFE에서 CEÓ=CFÓ이므로∠CFE=∠CEF=∠b
∴ ∠C=180ù-2∠b …… 20%
△
ABC에서 ∠A+∠B+∠C=180ù이므로 60ù+(180ù-2∠a)+(180ù-2∠b)=180ù2∠a+2∠b=240ù ∴ ∠a+∠b=120ù …… 30%
∴ ∠DEF=180ù-(∠a+∠b)
=180ù-120ù=60ù …… 30%
60∞
a a
b b A
B C
D
E F
Ⅰ. 삼각형의 성질 | 3
04
Action △BDEª△CFD ( SAS 합동)임을 이용한다.△
BDE와△
CFD에서 BEÓ=CDÓ, ∠B=∠C, BDÓ=CFÓ 이므로△
BDEª△
CFD(SAS 합동)∴ DEÓ=FDÓ
즉
△
DFE는 이등변삼각형이므로∠x=;2!;_(180ù-64ù)=58ù
이때 ∠BDE=∠CFD=∠a, ∠BED=∠CDF=∠b 라 하면 ∠a+64ù+∠b=180ù
∴ ∠a+∠b=116ù
△
BDE와△
CFD에서∠B =∠C=180ù-(∠a+∠b)
=180ù-116ù=64ù
∴ ∠y=180ù-(64ù+64ù)=52ù
05
Action 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형임을 이용한다.△
ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C△
DEC에서∠CDE=90ù-∠C=90ù-∠B=∠BFE
이때 ∠BFE=∠DFA(맞꼭지각)이므로
△
ADF는 이등 변삼각형이다.ADÓ=x`cm라 하면 AFÓ=ADÓ=x`cm 따라서 ABÓ=ACÓ이므로 x+5=11-x 2x=6 ∴ x=3
∴ ADÓ=3`cm
06
Action AEÓ=a, BDÓ=b로 놓고 문제를 해결한다.AEÓ=a라 하면 ACÓ=ABÓ=3AEÓ=3a
ADÓ는 BCÓ의 수직이등분선이므로 BDÓ=b라 하면 BCÓ=2BDÓ=2b
AEÓ+BCÓ=17이므로 a+2b=17 yy`㉠
BDÓ+ACÓ=21이므로 b+3a=21 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, b=6
∴ BEÓ =ABÓ-AEÓ=3a-a
=2a=2_5=10
07
Action △APDª△CQD ( RHS 합동)임을 이용한다.△
APD와△
CQD에서∠DAP=∠DCQ=90ù, DPÓ=DQÓ, ADÓ=CDÓ 이므로
△
APDª△
CQD ( RHS 합동)∴ ∠CQD=∠APD=90ù-20ù=70ù 이때
∠PDQ =∠PDC+∠CDQ=∠PDC+∠ADP
=∠ADC=90ù
011 023`cm 0316 046`cmÛ`
0524 0618ù 최고 뛰어넘기
수준 P 11 - P 12
01
Action 이등변삼각형의 꼭짓점에서 밑변에 내린 수선은 밑변을 수직이등분함을 이용한다.
오른쪽 그림과 같이 점 C를 지나고 ABÓ에 평행한 직선이 AHÓ의 연장 선과 만나는 점을 E라 하면
∠CED=∠BAD(엇각)
즉
△
CAE는 이등변삼각형이므로 CEÓ=ACÓ=6또
△
ABD는 이등변삼각형이므로∠ADB=∠B
이때 ∠EDC=∠ADB(맞꼭지각),
∠ECD=∠ABD(엇각)이므로
∠ECD=∠EDC
즉
△
ECD는 이등변삼각형이므로 EDÓ=CEÓ=6A
H
B D C
E 6
4 4 6
즉
△
DPQ는 직각이등변삼각형이므로∠DQP=∠DPQ=45ù
∴ ∠PQB =∠CQD-∠DQP
=70ù-45ù=25ù
08
Action △ADEª△ACE ( RHA 합동)임을 이용한다.△
ADE와△
ACE에서∠ADE=∠ACE=90ù, AEÓ는 공통,
∠DAE=∠CAE
∴
△
ADEª△
ACE(RHA 합동) 즉 ADÓ=ACÓ=6`cm이므로 BDÓ=ABÓ-ADÓ=10-6=4`(cm) DEÓ=CEÓ=x`cm라 하면△
ABC=△
ABE+△
ACE이므로;2!;_8_6=;2!;_10_x+;2!;_x_6 24=5x+3x, 24=8x ∴ x=3
∴
△
BED=;2!;_BDÓ_DEÓ=;2!;_4_3=6`(cmÛ`)
㉠, ㉡에서 AHÓ=GHÓ=DBÓ
이때 HBÓ=BDÓ+HDÓ=BDÓ+BEÓ=8`cm이므로 BDÓ=AHÓ=ABÓ-HBÓ=BCÓ-HBÓ=14-8=6`(cm)
∴ BEÓ=8-BDÓ=8-6=2`(cm)
∴
△
DBE=;2!;_BDÓ_BEÓ=;2!;_6_2=6`(cmÛ`)05
Action 점 G에서 EAÓ의 연장선에 내린 수선의 발을 H라 하면△ABCª△AHG ( RHA 합동)임을 이용한다.
오른쪽 그림과 같이 점 G에서 EAÓ의 연장선에 내린 수선의 발 을 H라 하자.
△
ABC와△
AHG에서∠ABC=∠AHG=90ù, ACÓ=AGÓ,
∠BAC =90ù-∠HAC
=∠HAG
이므로
△
ABC≡△
AHG ( RHA 합동)∴ HGÓ=BCÓ=8
사각형 AEDB는 정사각형이므로 AEÓ=ABÓ=6
∴
△
AGE=;2!;_AEÓ_HGÓ=;2!;_6_8=2406
Action 점 G에서 ABÓ, BCÓ에 각각 수선을 그은 후 합동인 삼각형을 찾는다.오른쪽 그림과 같이 점 G에서 ABÓ, BCÓ 에 내린 수선의 발을 각각 I, J라 하자.
△
FIG와△
GJC에서∠FIG=∠GJC=90ù, FGÓ=GCÓ,
∠FGI=∠GCJ(동위각)
이므로
△
FIGª△
GJC ( RHA 합동)∴ FIÓ=GJÓ
△
FIG와△
BIG에서 FIÓ=GJÓ=BIÓ, IGÓ는 공통,∠FIG=∠BIG=90ù
이므로
△
FIGª△
BIG ( SAS 합동)∴ FGÓ=BGÓ
△
ABG와△
DFG에서 ABÓ=CDÓ=DFÓ, BGÓ=FGÓ,∠ABG=∠IFG=∠GCD=∠DFG 이므로
△
ABGª△
DFG ( SAS 합동)∴ ∠BAG=∠FDG 따라서
△
DFE에서∠FDG=180ù-(90ù+72ù)=18ù이므로
∠BAG=∠FDG=18ù
A
B H
D C
E F
G
6 8
B 72∞ C
A D
E FI G
J
따라서 AHÓ=;2!;AEÓ=;2!;_(4+6)=5이므로 DHÓ=AHÓ-ADÓ=5-4=1
02
Action △ABF와 △FDG가 이등변삼각형임을 이용한다.ABÓ∥DEÓ이므로 ∠BAF=∠D(엇각)
△
ADE는△
ABC를 회전시킨 것이므로∠B=∠D
∴ ∠B=∠BAF
즉
△
ABF는 AFÓ=BFÓ인 이등변삼각형이다.또 ∠B=∠DGF(엇각)이므로
∠D=∠DGF
즉
△
FDG는 FDÓ=FGÓ인 이등변삼각형이므로 BG Ó=BFÓ+FGÓ=AFÓ+FDÓ=ADÓ=ABÓ=10`cm∴ CGÓ=BCÓ-BGÓ=13-10=3`(cm)
03
Action 점 D에서 ABÓ, ACÓ에 수선의 발을 내린 후 합동인 두 삼각형 을 찾는다.오른쪽 그림과 같이 점 D에서 ABÓ, ACÓ에 내린 수선의 발을 각 각 E, F라 하자.
△
AED와△
AFD에서∠AED=∠AFD=90ù, ADÓ는 공통,
∠EAD=∠FAD
∴
△
AEDª△
AFD ( RHA 합동) 이때△
ABD의 넓이가 10이므로;2!;_ABÓ_DEÓ=;2%; DEÓ=10
∴ DEÓ=4
즉 DFÓ=DEÓ=4이므로
△
ADC=;2!;_ACÓ_DFÓ=;2!;_8_4=1604
Action 점 G에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면△GHDª△DBE ( RHA 합동)임을 이용한다.
오른쪽 그림과 같이 점 G에서 ABÓ 에 내린 수선의 발을 H라 하자.
△
GHD와△
DBE에서∠GHD=∠DBE=90ù, GDÓ=DEÓ,
∠GDH =90ù-∠EDB
=∠DEB
이므로
△
GHDª△
DBE ( RHA 합동)∴ HDÓ=BEÓ, GHÓ=DBÓ yy`㉠
△
AHG는 직각이등변삼각형이므로AHÓ=GHÓ yy`㉡
A
B D C
E
5 F8
B 45∞
A
H
C D
E F G
14 cm
Ⅰ. 삼각형의 성질 | 5
05
Action ∠BAC=;2!;∠BOC임을 이용한다.∠AOB : ∠BOC : ∠COA=3 : 4 : 5이므로
∠BOC=360ù_ 4
3+4+5 =360ù_;1¢2;=120ù
∴ ∠BAC=;2!;∠BOC=;2!;_120ù=60ù
06
Action ∠BAC=;2!;∠BOC임을 이용한다.점 O는
△
ABC의 외심이므로∠BAC=;2!;∠BOC=;2!;_110ù=55ù …… 30%
오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면
110∞ 18∞
A
B C
O
∠OAC=∠OCA=18ù이므로
∠OAB =∠BAC-∠OAC
=55ù-18ù
=37ù …… 40%
△
OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로∠OBA=∠OAB=37ù …… 30%
07
Action 점 I는 △ABC의 내심임을 이용한다.③ BEÓ=BDÓ, CEÓ=CFÓ
삼각형의 내심
오른쪽 그림에서 점 I가 △ABC의 내심 일 때,
△IADª△IAF
△IBDª△IBE
△ICEª△ICF
∴ ADÓ=AFÓ, BDÓ=BEÓ, CEÓ=CFÓ
A
B E C
D I F
Lecture
08
Action ∠IAB+∠IBA+∠ICB=90ù임을 이용한다.오른쪽 그림과 같이 IAÓ를 그으면
34∞
24∞
A
B C
I
∠IAB+24ù+34ù=90ù이므로
∠IAB+58ù=90ù
∴ ∠IAB=32ù
∴ ∠BAC =2∠IAB=2_32ù
=64ù
09
Action ∠BIC=90ù+;2!;∠A, ∠BI'C=90ù+;2!;∠BIC임을 이용 한다.점 I는
△
ABC의 내심이므로∠BIC=90ù+;2!;∠A=90ù+;2!;_56ù=118ù 점 I'은
△
IBC의 내심이므로∠BI'C=90ù+;2!;∠BIC=90ù+;2!;_118ù=149ù
∴ ∠BIC+∠BI'C=118ù+149ù=267ù
01
Action 점 O는 △ABC의 외심임을 이용한다.③ ODÓ=OFÓ인지 알 수 없다.
삼각형의 외심
오른쪽 그림에서 점 O가 △ABC의 외심
일 때,
△OADª△OBD
△OBEª△OCE
△OCFª△OAF
A
B E C
D F
O Lecture
02
Action 점 O는 △ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ임을 이용한다.
점 O는
△
ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ△
OAC에서 ∠OAC=∠C=38ù이므로∠AOH =∠OAC+∠C
=38ù+38ù=76ù 따라서
△
OAH에서∠OAH=180ù-(90ù+76ù)=14ù
03
Action ∠OAB+∠OBC+∠OCA=90ù임을 이용한다.점 O는
△
ABC의 외심이므로 34ù+28ù+∠OCA=90ù∠OCA+62ù=90ù
∴ ∠OCA=28ù
△
OAC에서 ∠OAC=∠OCA=28ù이므로∠AOC=180ù-(28ù+28ù)=124ù
04
Action 점 O는 △ABC의 외심이고, 점 O'은 △OBC의 외심이므로 ∠BOC=2∠A, ∠BO'C=2∠BOC임을 이용한다.
점 O는
△
ABC의 외심이므로∠BOC=2∠A=2_36ù=72ù 점 O'은
△
OBC의 외심이므로∠BO'C=2∠BOC=2_72ù=144ù
△
O'BC에서 O'BÓ=O'CÓ이므로∠O'BC=;2!;_(180ù-144ù)=18ù
삼각형의 외심과 내심
2.
01③ 0214ù 03124ù 0418ù
0560ù 0637ù 07③ 0864ù 09267ù 1028`cm 1124`cm
12⑴ 5`cm ⑵ 2`cm ⑶ 21p`cmÛ`
최고 입문하기
수준 P 14 - P 15
⑶ (색칠한 부분의 넓이) =p_5Û`-p_2Û`
=25p-4p
=21p`(cmÛ`) …… 20%
삼각형의 내심과 삼각형의 넓이
오른쪽 그림에서 점 I가 △ABC의 내심
일 때,
△ABC=△IBC+△ICA+△IAB
=;2!;ar+;2!;br+;2!;cr
=;2!;r(a+b+c)
A
B C
I
a c b
r Lecture
10
Action 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC,∠ECI=∠ICB임을 이용한다.
점 I가
△
ABC의 내심이므로∠DBI=∠IBC, ∠ECI=∠ICB DEÓ∥BCÓ이므로
∠DIB=∠IBC( 엇각), ∠EIC=∠ICB( 엇각)
∴ ∠DBI=∠DIB, ∠ECI=∠EIC 즉
△
DBI와△
ECI는 이등변삼각형이므로 DIÓ=DBÓ, EIÓ=ECÓ이때
△
ADE의 둘레의 길이가 17`cm이므로 ADÓ+DEÓ+AEÓ =ADÓ+DIÓ+EIÓ+AEÓ=ADÓ+DBÓ+ECÓ+AEÓ
=ABÓ+ACÓ
=17`cm
∴ (
△
ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+ACÓ+BCÓ=17+11
=28`(cm)
11
Action △IADª△IAF, △IBEª△IBD이므로 ADÓ=AFÓ, BEÓ=BDÓ임을 이용한다.오른쪽 그림과 같이 IFÓ, IDÓ, A
B C
D
E I F10 cm 4 cm
26 cm
IAÓ, IBÓ를 그으면 사각형 IECF는 정사각형이므로 ECÓ=CFÓ=IEÓ=4`cm
△
IAD와△
IAF에서∠IDA=∠IFA=90ù, IAÓ는 공통, IDÓ=IFÓ
이므로
△
IADª△
IAF ( RHS 합동)∴ ADÓ=AFÓ=ACÓ-CFÓ=10-4=6`(cm) 같은 방법으로
△
IBEª△
IBD ( RHS 합동)이므로 BEÓ=BDÓ=ABÓ-ADÓ=26-6=20`(cm)∴ BCÓ=BEÓ+ECÓ=20+4=24`(cm)
12
Action 점 O는 △ABC의 외심이고 점 I는 △ABC의 내심임을 이 용한다.⑴ 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 OBÓ=;2!; BCÓ=;2!;_10=5`(cm)
따라서
△
ABC의 외접원의 반지름의 길이는 5`cm이다.…… 30%
⑵
△
ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면△
ABC=;2!;r_(6+10+8)=;2!;_6_8 12r=24 ∴ r=2따라서
△
ABC의 내접원의 반지름의 길이는 2`cm이다.…… 50%
0131ù 0252`cmÛ` 0360ù 0424`cm 053p`cm 06165ù 0714`cm 0871ù 091`cm 104p`cmÛ` 1112ù 12147ù 최고 완성하기
수준 P 16- P 18
01
Action ∠ACB=∠x로 놓고 점 O는 △ABC의 외심임을 이용한다.△
OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로∠OAB=∠OBA=24ù+35ù=59ù
△
OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로∠OCB=∠OBC=24ù
∠ACB=∠x라 하면
△
OAC에서 OAÓ=OCÓ이므로∠OAC=∠OCA=24ù+∠x
△
ABC에서 (59ù+24ù+∠x)+35ù+∠x=180ù 2∠x+118ù=180ù, 2∠x=62ù ∴ ∠x=31ù∴ ∠ACB=∠x=31ù
02
Action 점 O는 △ABC의 외심이므로 △OADª△OBD,△OBEª△OCE, △OAFª△OCF임을 이용한다.
오른쪽 그림과 같이 OAÓ, OBÓ, A
B C
D
E O F
5 cm
4 cm
OCÓ를 그으면 점 O는
△
ABC의외심이므로
△
OADª△
OBD△
OBEª△
OCE△
OAFª△
OCF∴
△
OAB+△
OBC=
△
OAD+△
OBD+△
OBE+△
OCE =2(△
OBD+△
OBE)=2_( 사각형 DBEO의 넓이) =2_16
=32`(cmÛ`)
Ⅰ. 삼각형의 성질 | 7
이때
△
OAC=△
OAF+△
OCF=2△
OAF=2_{;2!;_5_4}=20`(cmÛ`) 이므로
△
ABC=△
OAB+△
OBC+△
OAC=32+20
=52`(cmÛ`)
03
Action 점 O는 △ABC의 외심이므로 ∠OBC=∠OCB,∠OAC=∠OCA임을 이용한다.
오른쪽 그림과 같이 OCÓ를 긋고
85∞
95∞
x xy
y A
B D C
O E
∠OCB=∠x, ∠OCA=∠y라 하자.
△
OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로∠OBC=∠OCB=∠x
△
OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로∠OAC=∠OCA=∠y
△
ADC에서 85ù=∠y+(∠x+∠y)이므로∠x+2∠y=85ù ……`㉠
△
BCE에서 95ù=∠x+(∠x+∠y)이므로2∠x+∠y=95ù ……`㉡
㉠, ㉡을 변끼리 더하면 3∠x+3∠y=180ù 3(∠x+∠y)=180ù ∴ ∠x+∠y=60ù
∴ ∠C=∠x+∠y=60ù
04
Action 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점임을 이용한다.△
ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로 BDÓ=CDÓ점 D는 직각삼각형 EBC의 빗변의 중점이므로
△
EBC의 외심이다.즉 BDÓ=CDÓ=DEÓ=3`cm이므로 BCÓ=2BDÓ=2_3=6`(cm)
이때 ABÓ : BDÓ=3 : 1이므로 ABÓ : 3=3 : 1
∴ ABÓ=9`(cm) ACÓ=ABÓ=9`cm이므로
(
△
ABC의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+ACÓ=9+6+9
=24`(cm)
05
Action ∠BOC=2∠BAC임을 이용한다.오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면
△
OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로∠OAB=∠OBA=20ù
△
OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로∠OAC=∠OCA=25ù
20∞
20∞
25∞
25∞
A
B C
O 6 cm
즉 ∠BAC=20ù+25ù=45ù이므로 …… 40%
∠BOC=2∠BAC=2_45ù=90ù …… 30%
∴ µBC=2p_6_;3»6¼0;=3p`(cm) …… 30%
06
Action ∠CAD=∠a, ∠CBE=∠b로 놓고 삼각형의 세 내각의크기의 합은 180ù임을 이용한다.
오른쪽 그림과 같이
50∞
x a a
bb y A
B D C
E I
∠CAD=∠a, ∠CBE=∠b라 하면
∠CAB=2∠CAD=2∠a,
∠ABC=2∠CBE=2∠b
△
ABC에서2∠a+2∠b+50ù=180ù 2∠a+2∠b=130ù
∴ ∠a+∠b=65ù
△
BCE에서 ∠x=∠b+50ù△
ADC에서 ∠y=∠a+50ù∴ ∠x+∠y =(∠b+50ù)+(∠a+50ù)
=∠a+∠b+100ù
=65ù+100ù=165ù
07
Action BDÓ=BEÓ=x`cm로 놓고 문제를 해결한다.점 I는
△
ABC의 내심이므로 BDÓ=BEÓ=x`cm라 하면 AFÓ=ADÓ=10-x`(cm), CFÓ=CEÓ=13-x`(cm)∴ ACÓ =AFÓ+CFÓ
=(10-x)+(13-x)
=23-2x`(cm)
이때 ACÓ=9`cm이므로 23-2x=9 2x=14 ∴ x=7
∴ BDÓ=BEÓ=7`cm
또 GPÓ=GDÓ, HPÓ=HEÓ이므로
△
GBH의 둘레의 길이는 BGÓ+BHÓ+GHÓ =BGÓ+BHÓ+GPÓ+HPÓ=BGÓ+BHÓ+GDÓ+HEÓ
=BGÓ+GDÓ+BHÓ+HEÓ
=BDÓ+BEÓ
=7+7=14`(cm)
접선의 길이
오른쪽 그림에서 두 점 B, C는 점 A에서 원 O에 그은 두 접선의 접점이라 하자.
△OAB와 △OAC에서
∠OBA=∠OCA=90ù OAÓ는 공통
OBÓ=OCÓ (반지름의 길이)
이므로 △OABª△OAC ( RHS 합동)
∴ ABÓ=ACÓ
A B
C O Lecture
08
Action 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠IAB=∠IAC,∠ICA=∠ICB임을 이용한다.
△
ABC에서∠BAC=180ù-(66ù+38ù)=76ù
∠IAB=∠IAC=;2!;∠BAC=;2!;_76ù=38ù
△
ABH에서 ∠BAH=180ù-(66ù+90ù)=24ù∴ ∠x=∠IAB-∠BAH=38ù-24ù=14ù
한편 ∠ICA=∠ICB=;2!;∠ACB=;2!;_38ù=19ù이므로
△
AIC에서 ∠y=38ù+19ù=57ù∴ ∠x+∠y=14ù+57ù=71ù
09
Action △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면△ABC=;2!;r(ABÓ+BCÓ+CAÓ)임을 이용한다.
점 I는
△
ABC의 내심이므로 ∠IAB=∠IAC즉 ADÓ는 이등변삼각형 ABC의 꼭지각의 이등분선이므로 ADÓ⊥BCÓ
∴
△
ABC=;2!;_BCÓ_ADÓ=;2!;_6_4=12`(cmÛ`) 이때△
ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면△
ABC=;2!;r(ABÓ+BCÓ+CAÓ)=;2!;r_(5+6+5)
=8r`(cmÛ`) 즉 8r=12이므로 r=;2#;
∴ AEÓ=ADÓ-DEÓ=ADÓ-2r
=4-2_;2#;=1`(cm)
10
Action 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠DBI=∠IBC,∠ECI=∠ICB임을 이용한다.
점 I가
△
ABC의 내심이므로∠DBI=∠IBC, ∠ECI=∠ICB DEÓ∥BCÓ이므로
∠DIB=∠IBC(엇각), ∠EIC=∠ICB(엇각)
∴ ∠DBI=∠DIB, ∠ECI=∠EIC 즉
△
DBI와△
ECI는 이등변삼각형이므로 DIÓ=DBÓ, EIÓ=ECÓ∴ (
△
ADE의 둘레의 길이) =ADÓ+DEÓ+AEÓ=ADÓ+DIÓ+EIÓ+AEÓ
=ADÓ+DBÓ+ECÓ+AEÓ
=ABÓ+ACÓ
=12+10
=22`(cm)
01120ù 02140ù 03;4(;p`cmÛ` 046`cm 0550ù 0625p-24
최고 뛰어넘기
수준 P 19 - P 20
이때
△
ADE의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면△
ADE=;2!;r_(△
ADE의 둘레의 길이)이므로22=;2!;r_22 ∴ r=2
따라서
△
ADE의 내접원의 넓이는 p_2Û`=4p`(cmÛ`)11
Action 점 O는 △ABC의 외심이고 점 I는 △ABC의 내심임을 이 용한다.∠BAC=180ù-(38ù+62ù)=80ù 점 I는
△
ABC의 내심이므로∠IAB=∠IAC=;2!;∠BAC=;2!;_80ù=40ù 오른쪽 그림과 같이 OBÓ를 그
으면 점 O는
△
ABC의 외심 이므로∠AOB =2∠C=2_62ù
=124ù
△
OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로∠OAB=∠OBA=;2!;_(180ù-124ù)=28ù
∴ ∠IAO=∠IAB-∠OAB=40ù-28ù=12ù
12
Action 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점임을 이용한다.△
ABC의 외심이 ACÓ 위에 있으므로△
ABC는∠ABC=90ù인 직각삼각형이다.
∴ ∠ACB=180ù-(90ù+68ù)=22ù 점 I는
△
ABC의 내심이므로∠ICB=;2!;∠ACB=;2!;_22ù=11ù 점 O는
△
ABC의 외심이므로∠OBC=∠ACB=22ù 따라서
△
PBC에서∠BPC =180ù-(∠ICB+∠OBC)
=180ù-(11ù+22ù)
=147ù
124∞ 62∞
A
B O C
I
Ⅰ. 삼각형의 성질 | 9
△
ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면△
ABC=;2!;r_(12+9+15)=;2!;_12_9 18r=54 ∴ r=3따라서 색칠한 부분의 넓이는 p_3Û`_;3»6¼0;=;4(;p`(cmÛ`)
04
Action 점 I는 △ABC의 내심이고 △ABIª△AEI임을 이용한다.오른쪽 그림과 같이 IAÓ, IBÓ, IEÓ를 그으면 점 I가
△
ABC의 내심이므로∠IAB=∠IAC,
∠IBA=∠IBC yy`㉠
IAÓ=IBÓ이므로 ∠IAB=∠IBA yy`㉡
㉠, ㉡에서 ∠IAB=∠IAC=∠IBA=∠IBC이므로
∠CAB=∠CBA
즉
△
ABC는 이등변삼각형이므로 ACÓ=BCÓ=18`cm 이때△
ABI와△
AEI에서IBÓ=IEÓ, ∠AIB=∠AIE, IAÓ는 공통 이므로
△
ABIª△
AEI ( SAS 합동) 따라서 AEÓ=ABÓ=12`cm이므로 ECÓ=ACÓ-AEÓ=18-12=6`(cm)05
Action 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점임을 이용한다.ADÓ∥BCÓ이므로 ∠ADB=∠DBC=20ù( 엇각)
△
ABD에서 ABÓ=ADÓ이므로∠ABD=∠ADB=20ù
∴ ∠BAD=180ù-(20ù+20ù)=140ù 점 I가
△
ABD의 내심이므로∠DAO=;2!;∠BAD=;2!;_140ù=70ù 또
△
BCD에서 BDÓ=BCÓ이므로∠BDC=∠C=;2!;_(180ù-20ù)=80ù 점 I'은
△
BCD의 내심이므로∠BDO=;2!;∠BDC=;2!;_80ù=40ù 따라서
△
AOD에서∠IOI' =180ù-(∠DAO+∠ADB+∠BDO)
=180ù-(70ù+20ù+40ù)=50ù
06
Action 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이고, △ABC의 내접원의반지름의 길이를 r라 하면 △ABC=;2!;r(ABÓ+BCÓ+CAÓ)임을 이용한다.
직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 외접원의 반지름의 길이는 ;2!;ABÓ=;2!;_10=5
A
B D C
I E 12 cm
18 cm
01
Action ∠DBE=∠a, ∠ECD=∠b로 놓고 ∠BOC=2∠A임을이용한다.
오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 긋고
∠DBE=∠a, ∠ECD=∠b라 하자.
△
DBE에서 BDÓ=DEÓ이므로∠DEB=∠DBE=∠a
△
EDC에서 DEÓ=CEÓ이므로∠EDC=∠ECD=∠b
△
OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로∠OAB=∠OBA=∠a
△
OCA에서 OAÓ=OCÓ이므로∠OAC=∠OCA=∠b
△
DBE에서∠ADE=∠DBE+∠DEB=∠a+∠a=2∠a
△
EDC에서∠AED=∠EDC+∠ECD=∠b+∠b=2∠b
△
ADE에서 (∠a+∠b)+2∠a+2∠b=180ù이므로 3∠a+3∠b=180ù ∴ ∠a+∠b=60ù∴ ∠BOC=2∠A=2(∠a+∠b)=2_60ù=120ù
02
Action ∠OMN=∠x로 놓고 ∠BOC=2∠BAC,∠AOC=2∠ABC임을 이용한다.
∠OMN=∠x라 하면
∠ABC=4∠OMN=4∠x, ∠ACB=6∠OMN=6∠x
∴ ∠BAC=180ù-(4∠x+6∠x)=180ù-10∠x 점 O는
△
ABC의 외심이므로 ∠BOC=2∠BAC 이때△
OBNª△
OCN이므로∠NOC=;2!;∠BOC=;2!;_2∠BAC
=∠BAC=180ù-10∠x 또 ∠AOC=2∠ABC=8∠x이므로
∠MON= ∠AOC+∠NOC
=8∠x+(180ù-10∠x)
=180ù-2∠x
△
ONM에서 (180ù-2∠x)+20ù+∠x=180ù이므로 200ù-∠x=180ù ∴ ∠x=20ù∴ ∠MON=180ù-2∠x=180ù-2_20ù=140ù
03
Action ∠AIC=90ù+;2!;∠ABC임을 이용한다.점 I가
△
ABC의 내심이므로∠AIC=90ù+;2!;∠ABC=90ù+;2!;_90ù=135ù 이때 ∠DIF=∠AIC=135ù(맞꼭지각)이므로 색칠한 부채 꼴의 중심각의 크기의 합은
360ù-2_135ù=90ù
a a
a
b b b 2a 2b
A
B C
D E
O
만들어지는 정다각형을 정n각형이라 하면 이어 붙인 꼭지각 의 크기의 합이 360ù이어야 하므로
n_20ù=360ù ∴ n=18
따라서 만들어지는 정다각형은 정십팔각형이므로 대각선의 총 개수는
18_(18-3)
2 =135(개)
다각형의 대각선의 총 개수
( n각형의 대각선의 총 개수)=n(n-3)
2 (개) (단, n¾4 ) Lecture
02
Action 직각삼각형의 합동 조건을 이용한다.㉠ 옳다.
㉡ 옳지 않다.
그 이유는 직각삼각형에서 한 예각의 크기가 정해지면 다 른 예각의 크기도 정해진다. 이때 빗변의 길이가 같을 때 에는 항상 그 양 끝 각의 크기가 각각 같아지지만 빗변이 아닌 다른 한 변의 길이가 같을 때에는 다음 그림과 같이 양 끝 각의 크기가 다른 경우가 있을 수 있으므로 서로 합 동이라 말할 수 없다.
50∞
40∞
3 cm
3 cm 50∞
40∞
03
Action AHÓ=BHÓ=CHÓ이므로 점 H는 △ABC의 외심임을 이용한다.
∠B=180ù-(82ù+44ù)=54ù 물결이 퍼지는 속력이 모두 같으므로 AHÓ=BHÓ=CHÓ
즉 점 H는
△
ABC의 외심이므로∠AHC=2∠B=2_54ù=108ù
04
Action 삼각형의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 삼각형의넓이는 ;2!;r_(삼각형의 둘레의 길이)임을 이용한다.
(직각삼각형의 넓이)=;2!;_70_24=840`(cmÛ`) 직각삼각형의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 (직각삼각형의 넓이)=;2!;r_(직각삼각형의 둘레의 길이)
=;2!;r_(24+70+74)
=84r`(cmÛ`) 즉 84r=840이므로 r=10
따라서 내접원의 지름의 길이가 2_10=20`(cm)이므로 지름의 길이가 20`cm 이하인 ㉠, ㉡, ㉢을 걸 수 있다.
01135개 02풀이 참조
03108ù 04㉠, ㉡, ㉢
창의 사고력
교과서 속 P 21 - P 22
01
Action 이등변삼각형의 두 밑각의 크기가 같음을 이용한다.ADÓ=DEÓ=EFÓ=FCÓ=CBÓ이므로
△
ADE,△
DFE,△
EFC,△
FBC는모두 이등변삼각형이다.
∠A=∠a라 하면
△
ADE에서∠DEA=∠A=∠a
∠EDF=∠A+∠DEA=2∠a
△
DFE에서 ∠EFD=∠EDF=2∠a△
AFE에서∠FEC=∠A+∠EFA=3∠a
△
EFC에서 ∠FCE=∠FEC=3∠a△
AFC에서∠CFB=∠A+∠FCA=4∠a
△
FBC에서 ∠B=∠CFB=4∠a 이때△
ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로∠ACB=∠B=4∠a
△
ABC의 세 내각의 크기의 합이 180ù이므로∠a+4∠a+4∠a=180ù 9∠a=180ù ∴ ∠a=20ù
A
D a
2a a
2a 3a 4a 3a 4a F
B C
E
오른쪽 그림과 같이
△
ABC의 내심 을 I라 하면 내심에서 ABÓ에 이르는 거리는 IFÓ이므로 IFÓ=2즉 IDÓ=IEÓ=IFÓ=2이고 사각형 IDCE는 정사각형이므로 CDÓ=CEÓ=2
이때 BFÓ=x, AFÓ=y라 하면
x+y=10, BDÓ=BFÓ=x, AEÓ=AFÓ=y 즉 BCÓ=x+2, ACÓ=y+2이므로
△
ABC=;2!;_2_{10+(x+2)+(y+2)}=14+x+y
=14+10=24 따라서 색칠한 부분의 넓이는 p_5Û`-24=25p-24
A
B C
D F E 10 2 I
2 x 2 x
y y
Ⅰ. 삼각형의 성질 | 11
평행사변형
1.
II . 사각형의 성질
01∠x=26ù, ∠y=44ù 0268ù 0314 044`cm 053`cm 064`cm 0774ù
0844ù 0918`cm 10③ 11③
12120ù 1340ù 1410`cm 156`cmÛ`
1660`cmÛ` 1728`cmÛ` 1825 최고 입문하기
수준 P 25 - P 27
02
Action 평행사변형의 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같음을 이용한다.AEÓ∥DCÓ이므로 ∠CDE=∠AED=34ù(엇각) 즉 ∠ADC=2∠CDE=2_34ù=68ù이므로 ∠x=∠ADC=68ù
03
Action 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분함을 이용한다.
ADÓ=BCÓ이므로 5x-3=2x+6 3x=9 ∴ x=3
∴ OAÓ=3_3-2=7 이때 OAÓ=OCÓ이므로 ACÓ=2 OAÓ=2_7=14
05
Action 평행한 두 직선이 다른 한 직선과 만날 때 생기는 엇각의 크기가 같음을 이용한다.
ADÓ∥BCÓ이므로 ∠BEA=∠DAE (엇각) 이때 ∠DAE=∠BAE이므로 ∠BEA=∠BAE 즉
△
BEA는 이등변삼각형이므로BEÓ=BAÓ=6`cm
또 ADÓ∥BCÓ이므로 ∠CFD=∠ADF (엇각) 이때 ∠ADF=∠CDF이므로
∠CFD=∠CDF
즉
△
CDF는 이등변삼각형이므로 CFÓ=CDÓ=ABÓ=6`cm이때 BCÓ=ADÓ=9`cm이므로 BFÓ=BCÓ-CFÓ=9-6=3`(cm) ∴ EFÓ=BEÓ-BFÓ=6-3=3`(cm)
08
Action 평행사변형의 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같음을 이용한다.ADÓ∥BEÓ이므로 ∠DAE=∠AEB=32ù(엇각) ∴ ∠DAC=2∠DAE=2_32ù=64ù
ABCD는 평행사변형이므로 ∠D=∠B=72ù
△
ACD에서∠DAC+∠ACD+∠D=180ù이므로 64ù+∠x+72ù=180ù ∴ ∠x=44ù
04
Action 평행한 두 직선이 다른 한 직선과 만날 때 생기는 엇각의 크기가 같음을 이용한다.
ABCD는 평행사변형이므로 CDÓ=ABÓ=8`cm
ADÓ∥BCÓ이므로 ∠CED=∠ADE (엇각) ∠ADE=∠CDE이므로 ∠CED=∠CDE 즉
△
CDE는 이등변삼각형이므로CEÓ=CDÓ=8`cm
06
Action 평행한 두 직선이 다른 한 직선과 만날 때 생기는 동위각, 엇각의 크기가 각각 같음을 이용한다.
ABÓ∥FCÓ이므로 ∠DFE=∠ABF (엇각) ADÓ∥BCÓ이므로 ∠DEF=∠CBF (동위각) 이때 ∠ABF=∠CBF이므로
∠DFE=∠DEF
즉
△
DFE는 DEÓ=DFÓ인 이등변삼각형이다. …… 30%또 ∠CBF=∠CFB이므로
△
CFB는 CFÓ=CBÓ인 이등변삼각형이다. …… 30%
즉 CFÓ=CBÓ=8`cm이고 CDÓ=ABÓ=6`cm이므로 DEÓ=DFÓ=CFÓ-CDÓ=8-6=2`(cm) …… 30%
∴ DEÓ+DFÓ=2+2=4`(cm) …… 10%
07
Action 접은 각의 크기가 같고, 평행한 두 직선이 다른 한 직선과 만날 때 생기는 엇각의 크기가 같음을 이용한다.
∠EDB=∠BDC=53ù(접은 각)
ABÓ∥ DCÓ이므로 ∠EBD=∠BDC=53ù(엇각) 즉
△
EBD는 이등변삼각형이므로∠x=180ù-2_53ù=74ù
01
Action 평행사변형의 두 쌍의 대변은 각각 평행함을 이용한다.ABÓ∥DCÓ이므로 ∠x=∠ODA=26ù(엇각)
△
OBC에서 외각의 성질에 의하여 ∠x+∠y=70ù, 26ù+∠y=70ù ∴ ∠y=44ù삼각형의 외각의 성질
삼각형에서 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기 의 합과 같다.
Lecture
이때 BCÓ=ADÓ=12`cm이므로 BEÓ=BCÓ-CEÓ=12-8=4`(cm)
Ⅱ. 사각형의 성질 | 13
09
Action 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분함을 이용한다.
ABCD는 평행사변형이므로 OAÓ=OCÓ=;2!; ACÓ
OBÓ=ODÓ=;2!;`BDÓ
이때 ACÓ+BDÓ=22`cm이므로
OAÓ+OBÓ=;2!;`ACÓ+;2!;`BDÓ=;2!;(ACÓ+BDÓ) =;2!;_22=11`(cm)
∴ (
△
OAB의 둘레의 길이)=ABÓ+OAÓ+OBÓ=7+11
=18`(cm)
10
Action 평행사변형이 되는 다섯 가지 조건 중 어느 하나를 만족하는지 확인한다.
③ ∠CDA=360ù-(110ù+70ù+110ù)=70ù
즉 ABCD는 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평 행사변형이다.
11
Action AECF는 평행사변형임을 이용한다.ABCD는 평행사변형이므로
OAÓ=OCÓ yy ㉠
또 OBÓ=ODÓ이므로
OEÓ=;2!;`OBÓ=;2!;`ODÓ=OFÓ yy ㉡ ㉠, ㉡에서 AECF는 평행사변형이므로
AFÓ=CEÓ (①), AEÓ=CFÓ (②), AEÓ∥CFÓ (④) ∠OEC=∠OFA (엇각) (⑤)
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
12
Action ANCM과 MBND는 평행사변형임을 이용한다.ABCD가 평행사변형이므로 ADÓ=BCÓ ∴ AMÓ=MDÓ=BNÓ=NCÓ
AMÓ∥NCÓ이고 AMÓ=NCÓ이므로 ANCM은 평행사변 형이다.
∴ ∠MCN=∠MAN=65ù
MDÓ∥BNÓ이고 MDÓ=BNÓ이므로 MBND는 평행사변 형이다.
즉 MBÓ∥DNÓ이므로
∠DNC=∠MBN=55ù (동위각)
△
FNC에서 외각의 성질에 의하여∠MFN=∠FCN+∠FNC=65ù+55ù=120ù
13
Action EBFD는 평행사변형임을 이용한다.∠BEF=∠DFE=90ù이므로 BEÓ∥DFÓ yy ㉠
14
Action AODE는 평행사변형임을 이용한다.AODE에서 AOÓ∥EDÓ이고 OAÓ=OCÓ=EDÓ이므로
AODE는 평행사변형이다. …… 30%
즉 AFÓ=FDÓ, OFÓ=FEÓ이므로
AFÓ=;2!; ADÓ=;2!; BCÓ=;2!;_12=6`(cm) …… 30%
OFÓ=;2!; OEÓ=;2!; CDÓ=;2!; ABÓ
=;2!;_8=4`(cm) …… 30%
∴ AFÓ+OFÓ=6+4=10`(cm) …… 10%
15
Action △OAEª△OCF(ASA 합동)임을 이용한다.
△
OAE와△
OCF에서OAÓ=OCÓ,
∠AOE=∠COF(맞꼭지각), ∠OAE=∠OCF(엇각)
이므로
△
OAEª△
OCF(ASA 합동)∴
△
OAE+△
ODF=△
OCF+△
ODF=△
OCD=;4!; ABCD=;4!;_24
=6`(cmÛ`)
△
ABE와△
CDF에서∠AEB=∠CFD=90ù, ABÓ=CDÓ,
∠BAE=∠DCF(엇각)
이므로
△
ABEª△
CDF(RHA 합동)∴ BEÓ=DFÓ yy ㉡
㉠, ㉡에서 EBFD는 평행사변형이다.
△
DEF에서∠EDF=180ù-(90ù+50ù)=40ù이므로 ∠x=∠EDF=40ù
16
Action 평행사변형의 넓이는 두 대각선에 의해 사등분됨을 이용한다.ABFE는 평행사변형이므로
△
BFE=△
ABF=15`cmÛ`이때 BCDE는 평행사변형이므로 BCDE=4
△
BFE=4_15=60`(cmÛ`)17
Action △PAD+△PBC=;2!; ABCD임을 이용한다.
△
PAD+△
PBC=;2!; ABCD이므로 22+△
PBC=;2!;_10022+
△
PBC=50∴
△
PBC=28`(cmÛ`)02
Action AFED는 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이 다.AFED에서 AFÓ∥DEÓ, ADÓ∥FEÓ이므로 AFED는 평행사변형이다.
∴ AFÓ=DEÓ, ADÓ=FEÓ
△
ABC에서 ABÓ=ACÓ이므로 ∠B=∠C yy ㉠ 이때 ACÓ∥FEÓ이므로 ∠FEB=∠C (동위각) yy ㉡ ㉠, ㉡에서 ∠B=∠FEB0175ù 0218`cm` 0325 044`cm 056`cm 0612`cm 075초 08180ù 09192`cmÛ` 1020`cmÛ` 1190`cmÛ` 1215`cmÛ`
최고 완성하기
수준 P 28- P 30
01
Action 평행사변형의 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같음을 이용한다.ABCD는 평행사변형이므로 ∠ADC=∠B=45ù ∠EDC=;2!;∠ADE이므로
∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ADE+;2!;∠ADE =;2#;∠ADE
∴ ∠ADE=;3@;∠ADC=;3@;_45ù=30ù
△
AED에서∠DAE =180ù-(∠AED+∠ADE)
=180ù-(75ù+30ù)=75ù 이때 ADÓ∥BCÓ이므로
∠AEB=∠DAE=75ù(엇각)
04
Action 평행한 두 직선이 다른 한 직선과 만날 때 생기는 엇각의 크기가 같음을 이용한다.
ADÓ∥BCÓ이므로 ∠CED=∠ADE(엇각) 이때 ∠CDE=∠ADE이므로 ∠CED=∠CDE 즉
△
CDE는 이등변삼각형이므로CEÓ=CDÓ=ABÓ=6`cm 오른쪽 그림과 같이 AFÓ와
DEÓ가 만나는 점을 H라 하 고, AFÓ의 연장선이 DCÓ의 연장선과 만나는 점을 G라 하면
∠DGH =90ù-∠GDH
=90ù-∠ADH
=∠DAH
즉
△
DAG는 이등변삼각형이므로 DGÓ=DAÓ=8`cm∴ CGÓ=DGÓ-DCÓ=8-6=2`(cm)
8 cm 6 cm
A
B
G C
D
F H E 일차함수의 식
서로 다른 두 점 (xÁ, yÁ), (xª, yª)를 지나는 직선을 그래프로 하 는 일차함수의 식은 다음과 같은 순서로 구한다.
① 기울기 a=yª-yÁ
xª-xÁ 을 구한다.
② y=ax+b에 x=xÁ, y=yÁ 또는 x=xª, y=yª를 대입하여 b 의 값을 구한다.
Lecture
03
Action ABCD가 평행사변형임을 이용하여 점 D의 좌표를 구한다.ABCD는 평행사변형이므로 ADÓ=BCÓ=5-(-3)=8 즉 점 D의 좌표는 (8, 6)이다.
이때 두 점 C(5, 0), D(8, 6)을 지나는 직선의 방정식을 구 하면 y=2x-10
직선 y=2x-10의 x절편은 5, y절편은 -10이므로 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 구하는 도형의 넓이는 오른쪽 그림에서 색칠한 부분의 넓이와 같으므로
;2!;_5_10=25
x y
O A
B C
6 D
-3
-10
5 8
y=2x-10
18
Action △PDA=2k, △PCD=3k, △PAB=4k로 놓고 문제를 해결한다.
△
PDA:△
PCD:△
PAB=2:3:4이므로△
PDA=2k,△
PCD=3k,△
PAB=4k라 하자.
△
PAB+△
PCD=;2!; ABCD이므로 4k+3k=;2!;_70, 7k=35∴ k=5
이때
△
PBC+△
PDA=;2!; ABCD이므로△
PBC+2k=35,△
PBC+2_5=35∴
△
PBC=25즉
△
FBE는 이등변삼각형이므로 FEÓ=FBÓ∴ (AFED의 둘레의 길이) =AFÓ+FEÓ+DEÓ+ADÓ
=2(AFÓ+FEÓ)
=2(AFÓ+FBÓ)=2ABÓ
=2_9=18`(cm)
Ⅱ. 사각형의 성질 | 15
05
Action 평행한 두 직선이 다른 한 직선과 만날 때 생기는 엇각의 크기가 같음을 이용한다.
ADÓ∥ BCÓ이므로 ∠BEA=∠DAE(엇각) 이때 ∠BAE=∠DAE이므로 ∠BAE=∠BEA 즉
△
ABE는 이등변삼각형이므로BEÓ=ABÓ=9`cm
이때 BEÓ:ECÓ=3:2이므로 9:ECÓ=3:2 3 ECÓ=18 ∴ ECÓ=6`(cm)
∠CEF=∠BEA(맞꼭지각), ∠CFE=∠BAE(엇각)이 므로 ∠CEF=∠CFE
따라서
△
CEF는 이등변삼각형이므로 CFÓ=CEÓ=6`cm06
Action EDCF는 평행사변형임을 이용한다.EDCF에서 EFÓ∥DCÓ, DEÓ∥CFÓ이므로 EDCF는 평 행사변형이다.
∴ DEÓ=CFÓ=6`cm
EDÓ∥ACÓ이므로 ∠EDA=∠CAD(엇각) 이때 ∠EAD=∠CAD이므로 ∠EAD=∠EDA 즉
△
EDA는 이등변삼각형이므로AEÓ=DEÓ=6`cm
∴ AEÓ+DEÓ=6+6=12`(cm)
07
Action AQÓ∥PCÓ가 되려면 AQCP는 평행사변형이 되어야 한다.AQÓ∥ PCÓ가 되려면 AQCP는 평행사변형이 되어야 한 다.
이때 AQCP에서 APÓ∥QCÓ이므로 AQCP가 평행사변 형이 되려면 APÓ=CQÓ이어야 한다.
AQÓ∥PCÓ가 되는 것이 점 Q가 출발한 지 x초 후라 하면 APÓ=2(5+x)=10+2x`(m), CQÓ=4x`(m)이므로 10+2x=4x ∴ x=5
따라서 점 Q가 출발한 지 5초 후에 AQÓ∥PCÓ가 된다.
08
Action △ABC와 합동인 삼각형을 찾는다.
△
FEC와△
ABC에서FCÓ=ACÓ, ECÓ=BCÓ,
∠FCE=60ù-∠ACE=∠ACB 이므로
△
FECª△
ABC(SAS 합동) ∴ FEÓ=ABÓ09
Action △OBQª△ODP(ASA 합동)임을 이용한다.
△
OBQ와△
ODP에서OBÓ=ODÓ,
∠BOQ=∠DOP(맞꼭지각), ∠OBQ=∠ODP(엇각)
이므로
△
OBQª△
ODP(ASA 합동) ∴△
OBQ=△
ODP=28 cmÛ`이때
△
OBQ:△
OCQ=7:5이므로28:
△
OCQ=7:5, 7△
OCQ=140∴
△
OCQ=20`(cmÛ`)즉
△
OBC=△
OBQ+△
OCQ=28+20=48 (cmÛ`) 이므로ABCD=4
△
OBC=4_48=192`(cmÛ`) 이때 ADÓ=ABÓ이므로ADÓ=FEÓ yy ㉠ …… 30%
△
DBE와△
ABC에서DBÓ=ABÓ, BEÓ=BCÓ,
∠DBE=60ù-∠ABE=∠ABC 이므로
△
DBEª△
ABC(SAS 합동) ∴ DEÓ=ACÓ이때 AFÓ=ACÓ이므로
AFÓ=DEÓ yy ㉡ …… 30%
㉠, ㉡에서 AFED는 평행사변형이므로 …… 20%
∠DAF+∠AFE=180ù …… 20%
∠AFB=∠DAF (엇각), ∠CFG=∠AFB (맞꼭지각)이 므로 ∠CFG=∠DAF=∠CGF
즉
△
CFG는 이등변삼각형이므로 CFÓ=CGÓ=2`cm∴ EFÓ=CEÓ-CFÓ=6-2=4`(cm)
10
Action △PAB+△PCD=;2!;ABCD임을 이용한다.
△
PAB+△
PCD=;2!;ABCD이므로 40+△
PCD=;2!;_12040+
△
PCD=60∴
△
PCD=20`(cmÛ`)EFÓ∥ DCÓ, EDÓ∥PGÓ∥FCÓ이므로 EPGD, PFCG는 모두 평행사변형이다.
따라서
△
EPD=△
DPG,△
PFC=△
PCG이므로
△
EPD+△
PFC =△
DPG+△
PCG=
△
PCD=20`(cmÛ`)
평행사변형과 넓이
평행사변형 ABCD의 한 변 위의 점 P 에 대하여
△PAB+△PCD=△APD
=;2!;ABCD Lecture
B P C
A D
0140ù 0230초 0310`cm 0414`cmÛ`
05120`cmÛ` 0625 최고 뛰어넘기
수준 P 31 - P 32
02
Action △ABP와 △CDQ가 삼각형이 되려면 점 P는 BCÓ 위에, 점 Q는 ADÓ 위에 있어야 한다.다음 그림과 같이
△
ABP와△
CDQ가 삼각형이 되려면 점 P는 BCÓ 위에, 점 Q는 ADÓ 위에 있어야 한다.또
△
ABP와△
CDQ가 합동이 되려면 BPÓ=DQÓ이어야 한다.A
P
Q
C B
D 17 cm
10 cm
12
Action 평행사변형의 넓이는 한 대각선에 의해 이등분됨을 이용한다.오른쪽 그림과 같이 EFÓ를 긋 A
H
B C
E D
F Q
P G
고, 두 점 G, H를 각각 지나고 ADÓ에 평행한 두 직선이 EFÓ 와 만나는 점을 각각 P, Q라 하면 ABÓ∥EFÓ∥DCÓ이므로
AGPE, GBFP, QFCH, EQHD는 모두 평행사 변형이다.
∴ EGFH=
△
PEG+△
PGF+△
QFH+△
QHE=;2!; AGPE+;2!; GBFP+;2!; QFCH
+;2!; EQHD
=;2!; ABCD=;2!;_30=15`(cmÛ`)
01
Action ADÓ의 연장선과 BEÓ의 연장선의 교점을 F라 하고△EBCª△EFD(ASA 합동)임을 이용한다.
다음 그림과 같이 ADÓ의 연장선이 BEÓ의 연장선과 만나는 점을 F라 하자.
F
20∞
20∞
B H C
A D
E
AFÓ∥BCÓ이므로 ∠F=∠EBC=20ù(엇각)
△
EBC와△
EFD에서ECÓ=EDÓ,
∠BEC=∠FED(맞꼭지각), ∠ECB=∠EDF(엇각)
이므로
△
EBCª△
EFD(ASA 합동) ∴ FDÓ=BCÓABCD는 평행사변형이므로 BCÓ=ADÓ ∴ FDÓ=ADÓ
이때 점 D는 직각삼각형 AHF의 빗변인 AFÓ의 중점이므로 점 D는 직각삼각형 AHF의 외심이다.
∴ DHÓ=FDÓ
즉
△
DHF는 이등변삼각형이므로 ∠DHF=∠F=20ù따라서
△
DHF에서∠ADH =∠DHF+∠F
=20ù+20ù=40ù
삼각형의 외심의 성질과 위치
⑴ 삼각형의 외심의 성질
① 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점이다.
② 삼각형의 세 꼭짓점에 이르는 거리가 같은 점이다.
⑵ 삼각형의 외심의 위치 ① 예각삼각형 : 삼각형의 내부 ② 직각삼각형 : 빗변의 중점 ③ 둔각삼각형 : 삼각형의 외부
Lecture
11
Action ABNM, MNCD는 평행사변형임을 이용한다.ABNM=MNCD=;2!; ABCD =;2!;_72=36`(cmÛ`) 이때 ABNM은 평행사변형이므로
△
OAB=△
ONM=;4!; ABNM=;4!;_36=9`(cmÛ`)△
ABN과△
QCN에서BNÓ=CNÓ, ∠ANB=∠QNC(맞꼭지각), ∠ABN=∠QCN(엇각)
이므로
△
ABNª△
QCN(ASA 합동) ∴△
QCN=△
ABN=;2!; ABNM =;2!;_36=18`(cmÛ`)같은 방법으로
△
ABMª△
DPM(ASA 합동) ∴△
DPM=△
ABM=;2!; ABNM =;2!;_36=18`(cmÛ`) 따라서 색칠한 부분의 넓이는
△
OAB+△
ONM+MNCD+△
QCN+△
DPM=9+9+36+18+18=90`(cmÛ`)
Ⅱ. 사각형의 성질 | 17
03
Action 점 P가 BCÓ 위를 움직이므로 점 P가 점 B에 위치하는 경우 와 점 C에 위치하는 경우로 나누어 생각한다.Ú 점 P가 점 B에 위치하는 경우 오른쪽 그림에서
Q A
B(P) C
6 cm D
6 cm 3 cm 9 cm
∠PAQ=∠DAQ ADÓ∥BCÓ이므로
∠PQA=∠DAQ (엇각) ∴ ∠PAQ=∠PQA
즉
△
PQA는 이등변삼각형이므로 PQÓ=PAÓ=6`cm∴ QCÓ=PCÓ-PQÓ=9-6=3`(cm) Û 점 P가 점 C에 위치하는 경우
오른쪽 그림에서 A
B C(P) Q
D 7 cm
7 cm
∠PAQ=∠DAQ ADÓ∥BQÓ이므로
∠PQA=∠DAQ (엇각) ∴ ∠PAQ=∠PQA
즉
△
PQA는 이등변삼각형이므로 PQÓ=PAÓ=7`cm∴ QCÓ=PQÓ=7`cm
Ú, Û에서 점 Q가 움직인 거리는 3+7=10`(cm)
04
Action △ABD=△APD+△PBC=;2!; ABCD임을 이용한다.오른쪽 그림과 같이 대각선 BD와
P Q
B C
A D
APÓ의 교점을 Q라 하면
△
ABD=;2!;ABCD,△
APD+△
PBC=;2!;ABCD 이므로
△
ABD=△
APD+△
PBC즉
△
ABQ+△
AQD=(△
AQD+△
QPD)+△
PBC이므로
△
ABQ=△
QPD+△
PBC05
Action 두 평행사변형의 높이가 같으면 넓이의 비는 밑변의 길이의비와 같다.
ADÓ∥EFÓ, AEÓ∥HPÓ∥DFÓ이므로 AEPH:HPFD=AHÓ:HDÓ=7:3
이때 HPFD=2
△
HPD=2_6=12`(cmÛ`)이므로 AEPH:12=7:33AEPH=84 ∴ AEPH=28`(cmÛ`)
∴ AEFD =AEPH+HPFD
=28+12
=40`(cmÛ`)
또 ABÓ∥DCÓ, ADÓ∥EFÓ∥BCÓ이므로 AEFD:EBCF=AEÓ:EBÓ=1:2 40:EBCF=1:2
∴ EBCF=80`(cmÛ`)
∴ ABCD =AEFD+EBCF
=40+80
=120`(cmÛ`)
06
Action △BCE=△DFC=;2!; ABCD이므로△BCE+△DFC=ABCD임을 이용한다.
오른쪽 그림과 같이 평행사변형
B
A E
F
G H I J
K D
C a
16 bc
d e 45 f
50 14
x
ABCD에서 나누어진 부분의
넓이를 각각 a, b, c, d, e, f 라 하고, 색칠한 부분의 넓이를 x라 하면
△
EBC=a+x+c+d+50=;2!; ABCD△
DFC=b+x+50+e+f=;2!; ABCD ∴△
EBC+△
DFC=a+b+c+d+e+f+2x+100 =ABCD
x+100 =ABCD-(a+b+c+d+e+f+x)
=AFHE+
△
FBI+△
JCK+△
DEG=45+16+50+14
=125 ∴ x=25
따라서 색칠한 부분의 넓이는 25이다.
두 점 P, Q가 점 A에서 출발한 지 x초 후에
△
ABP와
△
CDQ가 합동이 된다고 하면 BPÓ=0.4x-10`(cm) (25<xÉ67.5) DQÓ=17-0.5x`(cm) (0Éx<34) 이때 BPÓ=DQÓ이어야 하므로 0.4x-10=17-0.5x 0.9x=27 ∴ x=30따라서
△
ABP와△
CDQ가 합동이 되는 것은 30초 후이 다.또
△
ABQ=△
ABP-△
QBP이므로
△
ABP-△
QBP=△
QPD+△
PBC∴
△
BPD =△
QBP+△
QPD=
△
ABP-△
PBC=26-12
=14`(cmÛ`)