057 002 하

•개념 BOOK 002

•테스트 BOOK 057

하

본문해설 5+1~15 2018.3.30 6:52 PM 페이지1

기본 도형

V

1. 기본 도형

01. 점, 선, 면

개념 CHECK

⑴ 교점, 교선 ⑵ 중점 0115

02ABÍ=BCÍ, AB≥=AC≥, BC”=CB”, CA≥=CB≥

03⑴ 12 cm ⑵ 9 cm 04⑴ 2 cm ⑵ 4 cm

01 a=6, b=9이므로 a+b=15

04 ⑴ MB”=AM”=2NM”=2 cm

⑵ AB”=2AM”=4 cm

유형 ①, ③ 1-1 ① 1-2 ⑤ 유형 18 2-1 13 2-2 14 유형 ④ 3-1 ⑤ 3-2 ③

유형 12 cm 4-1 5 cm 4-2 9 cm 4-3 4 cm

유형 EXERCISES

2 1

4 3

유형``

① 시작점과 방향이 모두 다르므로 AB≥+BA≥

③ 시작점이 다르므로 DB≥+CB≥

1-1 AB≥와 같은 반직선은 시작점과 뻗은 방향이 모두 같은

① AD≥이다.

1-2 ① BD≥와` AB≥의 공통부분은 BD≥(=BC≥)이다.

② BD≥와` BC≥의 공통부분은 BD≥(=BC≥)이다.

③ BD≥와` CD≥의 공통부분은 CD≥이다.

④ BD≥와` CA≥의 공통부분은 BC”이다.

⑤ BD≥와` DA≥의 공통부분은 BD”이다.

1 ^유형``

③ NB”=NM”+MB”=;2!;AM”+;2!;AB”

③ NB”=NM”+MB”=;4!;AB”+;2!;AB”=;4#;AB”

④ AB”=2AM”=2_2AN”=4AN”

⑤ NM”=;2!;AM”=;2!;_;2!;AB”=;4!;AB”

3-1 두 점 M, N은 AB”의 삼등분점이므로 AM”=MN”=NB”

④ 3MB”=3_2NB”=2_3NB”=2AB”

⑤ AB”=3AM”=3_;2!;AN”=;2#;AN”

3

S U M M A C U M L A U D E 정 답 및 풀 이

>

개념 BOOK

> > >

유형``

a= =6, b=4_3=12

∴ a+b=6+12=18

■ 다른 풀이 ■

직선은 ABÍ, ACÍ, ADÍ, BCÍ, BDÍ, CDÍ의 6개이므로 a=6 (반직선의 개수)=(직선의 개수)_2=6_2=12 ∴ b=12

∴ a+b=6+12=18

2-1 네 점이 한 직선 위에 있으므로 직선은 1개이다.

∴ a=1

반직선은 AD≥, BD≥, CD≥, DA≥, CA≥, BA≥로 6개이다.

∴ b=6

선분은 AB”, AC”, AD”, BC”, BD”, CD”로 6개이다.

∴ c=6

∴ a+b+c=13

2-2 세 점 A, B, C에 의하여 결정되는 직선 l과 DAÍ, DBÍ, DCÍ의 3개가 있으므로 직선은 4개이다.

∴ a=4

세 점 A, B, C에 의하여 결정되는 반직선은 AB≥, BA≥, BC≥, CA≥이고 점 D를 지나는 반직선은 DA≥, DB≥, DC≥, AD≥, BD≥, CD≥이므로 반직선은 모두 10개이다. ∴ b=10

∴ a+b=14 44444444544_32

2

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개념BOOK

Ⅴ. 기본 도형

003

④ PB”=PM”+MB”=PM”+4PM”=5PM”

유형``

AM”=MB”, BN”=NC”이고, MN”=6 cm이므로 AC”=AB”+BC”=2MB”+2BN”=2MN”=12(cm)

4-1 MN”=MP”+PN”=;2!;AP”+;2!;PB”=;2!;AB”

MN=;2!;_10=5(cm)

4-2 AM”=MN”=NB”이므로 AM”=;2!;AN”=;2!;_6=3(cm)

∴ AB”=3AM”=3_3=9(cm) 4-3 AC”=2CD”이므로

AC”=;3@;AD”=;3@;_18=12(cm) AB”=2BC”이므로

BC”=;3!;AC”=;3!;_12=4(cm)

01 ⑴ ∠a=45˘ (맞꼭지각)

30˘+∠b+45˘=180˘ ∴ ∠b=105˘

⑵ ∠a=90˘ (맞꼭지각)

25˘+∠b=90˘ ∴ ∠b=65˘

02 ㄴ. CD”는 AB”의 수직이등분선이다.

ㄹ. 점 D에서 ABÍ에 내린 수선의 발은 점 H이다.

03 ⑴ (점 A와 BC” 사이의 거리)=CD”=2 cm

⑵ (점 P와 CD” 사이의 거리)=BC”=4 cm 4

02. 각

개념 CHECK

⑴ 각 AOB ⑵ 평각, 직각, 예각, 둔각 01⑴ ∠AOB ⑵ ∠AOP, ∠POB

⑶ ∠POQ, ∠QOB ⑷ ∠AOQ

02⑴ 예각 ⑵ 직각 ⑶ 예각 ⑷ 둔각 ⑸ 평각 ⑹ 둔각 0340˘

0450˘

03 40˘+3∠x+20˘=180˘, 3∠x=120˘

∴ ∠x=40˘

04 ∠x+90˘+40˘=180˘ ∴ ∠x=50˘

03. 맞꼭지각

개념 CHECK

⑴ 맞꼭지각 ⑵ 직교 ⑶ 수선

01⑴ ∠a=45˘, ∠b=105˘ ⑵ ∠a=90˘, ∠b=65˘

02ㄱ, ㄷ

03⑴ 2 cm ⑵ 4 cm

유형 35˘ 1-1 54˘ 1-2 10˘ 1-3 120˘

유형 100˘ 2-1 45˘ 2-2 90˘ 2-3 60˘

유형 40˘ 3-1 30˘ 3-2 25˘ 3-3 6쌍 유형 ⑤ 4-1 ⑤ 4-2 ;;¡5™;; cm

유형 EXERCISES

2 3 1

4

유형``

2∠x-7˘+∠x+3∠x-23˘=180˘이므로 6∠x-30˘=180˘, 6∠x=210˘ ∴ ∠x=35˘

1-1 90˘+6∠x+9∠x=180˘이므로 90˘+15∠x=180˘

15∠x=90˘ ∴ ∠x=6˘

∴ ∠COD=9∠x=54˘

1-2 ∠y+40˘=90˘ ∴ ∠y=50˘

∠x+∠y=∠x+50˘=90˘ ∴ ∠x=40˘

∴ ∠y-∠x=50˘-40˘=10˘

1-3 ∠BOC+30˘=90˘ ∴ ∠BOC=60˘

∠AOB+∠BOC=∠AOB+60˘=180˘

∴ ∠AOB=120˘

1

유형``

∠z=180˘_ =100˘

2-1 ∠AOB=∠x라고 하면 ∠BOC=3∠x

∠x+3∠x=180˘이므로 ∠x=45˘

∴ ∠AOB=45˘

1112441+3+55 2

본문해설 5+1~15 2018.3.30 6:52 PM 페이지003

2-2 OB”와 OD”가 각각 ∠AOC와 ∠COE의 이등분선이므로

∠AOB=∠BOC, ∠COD=∠DOE

∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOE=180˘에서 2∠BOC+2∠COD=180˘

∠BOC+∠COD=90˘

∴ ∠BOD=90˘

2-3 ∠BOC=∠x, ∠COD=∠y라고 하면

∠AOB=2∠x, ∠DOE=2∠y이므로

∠x+2∠x+∠y+2∠y=180˘

3∠x+3∠y=180˘ ∴ ∠x+∠y=60˘

∴ ∠BOD=60˘

유형``

⑤ 점 D와 직선 AB 사이의 거리는 OD”의 길이이다.

4-1 ① 점 A와 BCÍ 사이의 거리는 5 cm이다.

② ADÍ와 수직으로 만나는 선분은 AB”이다.

③ 점 B와 CDÍ 사이의 거리는 알 수 없다.

④ ADÍ와 한 점에서 만나는 직선은 ABÍ, CDÍ이다.

4-2 점 A에서 BC” 사이의 거리는 AD”의 길이이다.

그런데 삼각형의 넓이에서

;2!;_AB”_AC”=;2!;_AD”_BC”이므로 4_3=AD”_5

∴ AD”=;;¡5™;;(cm)

4

04. 위치 관계

개념 CHECK

⑴ 평행, ∥ ⑵ 꼬인 위치 01⑴ 점 A, 점 B ⑵ 점 B, 점 C

02⑴ 직선 DE ⑵ 직선 AB, 직선 CD, 직선 DE, 직선 FA 03⑴ 평행하다. ⑵ 수직이다. ⑶ 꼬인 위치에 있다.

04⑴ CF” ⑵ 면 ABC, 면 DEF 0510

05 면 ABCD에 수직인 면은 면 ABFE, 면 BFGC, 면 CGHD, 면 AEHD로 4개이므로 x=4 BD”와 꼬인 위치에 있는 모서리는 AE”, CG”, EF”

FG”, GH”, EH”로 6개이므로 y=6

∴ x+y=10

유형 6 1-1 ③ 1-2 ④

유형 7 2-1 ㄱ, ㄷ 2-2 AD”, DH”, EH”, AE”, EF”

유형 6 3-1 6 3-2 ①

유형 4 4-1 면 BFGC, 면 AEHD, 면 ABCD, 면 EFGH

4-2 ⑴ 4

⑵ 면 ABEN, 면 BCDE, 면 MFGL, 면 KLIJ

유형 EXERCISES

2 3 1

4

유형``

DEÍ와 한 점에서 만나는 직선은 평행한 직선을 제외한 ABÍ, BCÍ, CDÍ, EFÍ, FGÍ, GHÍ로 모두 6개이다.

1-1 ③ ADÍ∥BCÍ

1-2 ④ 점 B와 ADÍ 사이의 거리는 CD”의 길이와 같다.

1

유형``

BI”와 꼬인 위치에 있는 모서리는 AE”, DH”, CG”, EF”, FG”, GH”, HE”로 모두 7개이다.

2

유형``

맞꼭지각의 크기는 같으므로

3∠x-10˘+∠x+2∠x+10˘=180˘

6∠x=180˘ ∴ ∠x=30˘

∠y=2∠x+10˘=70˘이므로

∠y-∠x=70˘-30˘=40˘

3-1 맞꼭지각의 크기는 같으므로 90˘+∠x+60˘=180˘

∴ ∠x=30˘

3-2 맞꼭지각의 크기는 같으므로 3∠x-5˘+2∠x+3∠x-15˘

=180˘

8∠x-20˘=180˘, 8∠x=200˘

∴ ∠x=25˘

3-3 직선 l과 m, m과 n, n과 l로 만들어지는 맞꼭지각이 각 각 2쌍이므로 2_3=6(쌍)

3x-5æ 3x-15æ 2x

2x

3

본문해설 5+1~15 2018.3.30 6:52 PM 페이지004

개념BOOK

Ⅴ. 기본 도형

005

ㄹ. 모서리 CD와 꼬인 위치에 있는 모서리는 AE”, BF”, FG”, EH”로 4개이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

2-2 모서리 BG와 만나지도 않고, 평행하지도 않은 모서리는 AD”, DH”, EH”, AE”, EF”이다.

유형``

면 ABCDE와 평행한 모서리는 GH”, HI”, IJ”, JF”, FG”로 5개이므로 a=5

모서리 AE와 평행한 면은 면 FGHIJ로 1개이므로 b=1

∴ a+b=5+1=6

3-1 모서리 CG와 수직인 면은 면 ABCD, 면 EFGH로 2개이므로 a=2

면 ABCD와 평행한 모서리는 EF”, FG”, GH”, HE”로 4개이므로 b=4

∴ a+b=2+4=6

3-2 주어진 전개도로 만든 삼각기둥은 오른쪽 그림과 같다.

① 모서리 IJ와 수직인 모서리는

①JC”, AB”, HI”로 3개이다.

② 면 HEFG와 평행한 모서리는

①JC”로 1개이다.

③ 모서리 IJ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 CE”, DE”, HE”로 3개이다.

④ 면 IJH와 수직인 모서리는 JC”, ID”, HE”로 3개이다.

⑤ 면 CDE와 평행한 모서리는 JI”, IH”, HJ”로 3개이다.

I{A,`G}

D{B,`F}

H J

C E

3

유형``

면 BEFC와 수직인 면은 면 ABC, 면 DEF, 면 ADEB로 3개이므로 a=3

면 ABC와 평행한 면은 면 DEF로 1개이므로 b=1

∴ a+b=4

4-1 면 CGHD와 수직인 면은 옆면인 면 BFGC, 면 AEHD 와 밑면인 면 ABCD, 면 EFGH이다.

4-2 주어진 전개도로 정육면체를 만들면 오른쪽 그림과 같다.

⑴ 면 NEFM과 평행한 모서리는 HG”(=BC”), GL”, IL”, HI”(=AB”)로 4개이다.

⑵ 면 NEFM과 수직인 면은 평행한 면인 면 LGHI를 제외한 면으로 면 ABEN, 면 BCDE, 면 MFGL, 면 KLIJ이다.

I{A}

H{B}

M{K}

F{D}

G{C}

N{J}

E

L

4

05. 평행선의 성질

개념 CHECK

⑴ 동위각, 엇각 ⑵ 평행, 평행 01⑴ ∠d ⑵ ∠h, ∠k ⑶ ∠a, ∠h 02∠x=140˘, ∠y=65˘

03⑴, ⑵ 04⑴ 50˘ ⑵ 80˘

02 ∠y=65˘ (엇각)

∠x=180˘-40˘=140˘ (동위각)

03 ⑴ 엇각의 크기가 같으므로 l∥m

⑵ 동위각의 크기가 같으므로 l∥m

⑶ 동측내각의 크기의 합이 180˘가 아니므로 l, `m은 서로 평행하지 않다.

04 ⑴ 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m 에 평행한 직선을 그으면

⑴20˘+∠x=70˘

⑴∴ ∠x=50˘

⑵ 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m 에 평행한 직선을 그으면

∠x=60˘+20˘=80˘ 70æ

l

m 60æ60æ

20æ 20æ 70æ 20æ

x x

l

m 20æ

유형 ⑤ 1-1 ⑴ 60˘ ⑵ 65˘ 1-2 ④ 유형 ⑤ 2-1 ∠x=20˘,∠y=80˘2-2 ④ 유형 70˘ 3-1 80˘ 3-2 43˘ 3-3 140˘

3-4 40˘ 3-5 50˘ 3-6 60˘

유형 EXERCISES

2 1

3 본문해설 5+1~15 2018.3.30 6:52 PM 페이지005

유형``

① ∠a=45˘ (동위각)

② ∠b는 ∠a의 맞꼭지각이므로 ∠b=45˘

③ ∠c=75˘ (동위각)

④ ∠d는 ∠b의 동위각이므로 ∠d=45˘

⑤ ∠c+∠d+∠e=180˘이므로 75˘+45˘+∠e=180˘

∴ ∠e=60˘

2-1 l∥m이므로 ∠y=4∠x (동위각) 2∠x+60˘+4∠x=180˘

6∠x=120˘ ∴ ∠x=20˘

∴ ∠y=4∠x=80˘

2-2 ④ 엇각의 크기가 같지 않으므로 두 직선 l, m은 평행하 지 않다.

2

유형``

오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m에 평행한 직선을 그으면

∠x=30˘+40˘=70˘

3-1 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m에 평행한 직선을 그으면

∠x+20˘=100˘

∴ ∠x=80˘

20æ

x n

x

20æ m l 40æ 40æ30æ 30æ

m l n

3-2 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m에 평행한 직선을 그으면

75˘=32˘+∠x

∴ ∠x=43˘

■ 다른 풀이 ■

삼각형의 세 각의 크기의 합은 180˘

이므로

105˘+32˘+∠x=180˘

∴ ∠x=43˘

3-3 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m에 평행한 직선을 2개 그으면

∠x-25˘+65˘=180˘

∴ ∠x=140˘

3-4 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m 에 평행한 직선을 2개 그으면

∠x-60˘=∠y-20˘

∴ ∠x-∠y=40˘

⑤

3-5 오른쪽 그림에서 평각은 180˘

이므로

2∠x+80˘=180˘

∴ ∠x=50˘

■ 다른 풀이 ■

삼각형의 세 각의 크기의 합은 180˘

이므로

2∠x+80˘=180˘

∴ ∠x=50˘

3-6 삼각형의 세 각의 크기의 합은 180˘이므로

∠x+60˘+60˘=180˘

∴ ∠x=60˘

x 120æ 60æ 60æ

60æ x 80æ 80æ xx x 80æ

80æx x60æ

60æ

20æ m

l

20æ x-60æ y-20æ

25æ 25æ 65æ 55æ55æ m

l x-25æ 75æ

32æ x m 105æ l

105æ

x n

75æ

32æ x m

l

3

유형``

③ ∠c의 동위각은 ∠f이므로 ∠f=180˘-85˘=95˘

④ ∠d의 동위각은 ∠a이므로 ∠a=180˘-110˘=70˘

⑤ ∠f의 엇각의 크기는 110˘이다.

1-1 ⑵ ∠b의 엇각은 ∠x이므로 ∠x=180˘-115˘=65˘

⑵⑵⑵⑵

1-2 ∠x의 동위각은 ∠a, ∠b이므로

∠a=180˘-70˘=110˘

∠b=180˘-60˘=120˘

∴ ∠a+∠b=110˘+120˘=230˘

x 60æ 70æ

a b 60æ

115æ a b

x

1

본문해설 5+1~15 2018.3.30 6:52 PM 페이지006

개념BOOK

Ⅴ. 기본 도형

007

교선이 18개이므로 b=18

∴ b-a=18-12=6

02 ② BD≥=BC≥

03 ⑤ BN”=;2!;AM”

04 AC”=AB”+BC”, BD”=BC”+CD”이고 AC”=BD”이므로 AB”=CD”

∴ CD”=3 cm

05 ∠x+90˘=150˘ (맞꼭지각)

∴ ∠x=150˘-90˘=60˘

06 ∠a=180˘_ =80˘

∠c=180˘_ =40˘

∴ ∠a+∠c=80˘+40˘=120˘

07 맞꼭지각의 크기는 같으므로

∠x+30˘+4∠x-20˘+20˘=180˘

5∠x=150˘ ∴ ∠x=30˘

08 ④ ∠EOG는 직선 EF와 직선 GH에 의해 만들어진 각이 므로 크기가 같은 각은 맞꼭지각인 ∠FOH이다.

09 l∥m∥n이고 l⊥p, m⊥q인 직선을 그리면 오른쪽 그림과 같다.

③` p⊥n

⑴⑴⑴

l m n q p 42522222444+3+22

42522222444+3+24

10 모서리 AB와 수직인 모서리는 AG”, BH”로 2개이고, 모서리 AB와 평행한 모서리는 ED”, GH”, KJ”로 3개이다.

따라서 합은 2+3=5이다.

11 ① 모서리 AB와 모서리 BF는 점 B에서 만난다.

② 모서리 AB와 모서리 CG는 꼬인 위치에 있다.

③ 면 ABCD와 면 EFGH는 평행하다.

④ 모서리 AB와 모서리 GH는 평행하다.

12 ① 면 DGH에 수직인 면은 면 ABD, 면 AEHD, 면 EFGH, 면 BFG로 4개이다.

② 면 AEHD와 평행한 모서리는 BF”, FG”, BG”로 3개이다.

④ BD”와 평행한 모서리는 없다.

⑤ EF”와 평행한 면은 면 ABD, 면 DGH로 2개이다.

13 면 ABGH에 수직인 면은 BG”를 포함하는 면 BFGC, AH”

를 포함하는 면 AEHD이다.

14 면 JEHI와 마주 보는 면 NCDK 에 포함된 모서리가 면 JEHI와 평행하다.

① 수직이다. ② 수직이다.

③ 평행하다. ④ 수직이다.

⑤ 수직이다.

15 ① l∥P이고 m∥P이면 l과 m은 평행하거나 만나거나 꼬인 위치에 있다.

② l∥P이고 m⊥P이면 l과 m은 수직이거나 꼬인 위치 에 있다.

③ l⊥P이고 l⊥Q이면 두 평면 P, Q는 평행하다.

⑤ l⊥P이고 l⊥m이면 m과 P는 평행하거나 m이 P에 포함된다.

16 l∥m이므로 ∠x=80˘ (엇각) 30˘+80˘+∠y=180˘에서

∠y=70˘

∠z=180˘-∠y=110˘

∴ ∠x+∠y-∠z=80˘+70˘-110˘

=40˘

z y x

l m

y 80æ 30æ80æ

150æ A{M,I}

B{H}

C{G} D{F}

L{J}

K N E

① ⑤

② ③

④

01⑤ 02② 03⑤ 043 cm

0560˘ 06120˘ 0730˘ 08④

09③ 10④ 11⑤ 12③

13면 BFGC, 면 AEHD 14③ 15④ 16① 17∠x=70˘, ∠y=70˘ 18③ 19④ 2015˘ 217개 2218 cm 2336˘ 24①, ② 25④ 2630˘

중단원 EXERCISES

본문해설 5+1~15 2018.3.30 6:52 PM 페이지007

∴ ∠BOC=18˘

∠DOE+∠COD=90˘-∠BOC이므로 4∠COD=72˘ ∴ ∠COD=18˘

∴ ∠BOD=∠BOC+∠COD

=18˘+18˘=36˘

24 ① 공간에서 l∥m, m⊥n이면 l과 n은 수직이거나 꼬인 위치에 있다.

② 공간에서 만나지 않는 두 직선은 평행하거나 꼬인 위치 에 있다.

25 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m 에 평행한 두 직선 n, p를 그으면 동위각의 크기가 같으므로

∠a+∠b+∠c=90˘

또, ∠d+∠e=90˘이므로

∠a+∠b+∠c+∠d+∠e=180˘

26 오른쪽 그림과 같이 두 직선 l, m에 평행한 두 직선 n, p를 그으면

∠x+50˘=80˘ (엇각)

∴ ∠x=30˘

l n

p 70æ m 110æ

50æ 70æ60æ50æ

80æ x

n p

l

m a b

a

a+b c d

e

17 두 직선 k, m이 한 직선과 만날 때 동위각의 크기가 60˘로 같으므 로 k∥m이다.

110˘+∠x=180˘

∴ ∠x=70˘

또, 두 직선 l, n이 한 직선과 만날 때 동위각의 크기가 60˘로 같으므로 l∥n이다.

110˘+∠y=180˘

∴ ∠y=70˘

18 ① 엇각의 크기가 같으므로 l∥m

② 동측내각의 크기의 합이 180˘이므로 l∥m

④ l∥m이면 동위각의 크기가 같다.

⑤ l∥m이면 엇각의 크기가 같다.

19 ∠AQB=∠BQP이고 삼각형 BPQ에서

∠BPQ=90˘이므로

∠BQP=180˘-(35˘+90˘)=55˘

∴ ∠x=180˘-(55˘+55˘)=70˘

20 점 B를 지나고 두 직선 l, m에 평행한 직선을 그으면 평행선에 서의 엇각의 성질에 의해

∠ABD=∠x

∠DBC=45˘

그런데 정삼각형의 한 각의 크기는 60˘이므로

∠x+45˘=60˘ ∴ x=15˘

21 점 E 또는 점 D를 지나는 직선은` EDÍ, ECÍ, EBÍ, EAÍ, DCÍ, DBÍ, DAÍ로 7개

따라서 E나 D 도시를 지나는 고속도로는 7개 건설해야 한 다.

22 AB”=3BC”이므로 AM”=MB”=3BN”

MB”=;4#; MN”=;4#;_12=9(cm)

∴ AB”=2MB”=2_9=18(cm)

23 ∠AOC-∠BOC=90˘이므로

6∠BOC-∠BOC=90˘, 5∠BOC=90˘

45æ

l

m A B

C x x

45æ D

x

35æ

A Q

B

D

C P

l

n y 60æ 110æ

120æ 110æ

k

x m 60æ 110æ

110æ 120æ 본문해설 5+1~15 2018.3.30 6:52 PM 페이지008

개념BOOK

Ⅴ. 기본 도형

009

다.

ㄷ. QA”=QB”=PC”=PD”이고, AB”=CD”이다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.

01. 삼각형의 작도

개념 CHECK

⑴ 작도 ⑵ 작다 ⑶ 끼인각, 양 끝 각 01⑴ ㉡－㉠－㉢

027 03㉡ 04①, ③

02 ⁄ 가장 긴 변의 길이가 x일 때 x<4+6 ∴ x<10

¤ 가장 긴 변의 길이가 6일 때 x+4>6 ∴ x>2

⁄, ¤에서 2<x<10

따라서 자연수 x의 값은 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9의 7개이다.

04 ① 세 변의 길이가 주어진 경우

③ 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어진 경우

2. 작도와 합동

유형 ⑴ ㉡-㉤-㉠-㉣-㉢ ⑵ OD”, PR”, PS” ⑶ RS”

1-1 ㄴ, ㄹ 유형 ① 2-1 ⑤ 2-2 ① 유형 ⑤ 3-1 ②

유형 ①, ④ 4-1 ㄹ 4-2 ①

유형 EXERCISES

2 3 1

4

유형``

① 3+7<11 ② 4+5>6 ③ 5+12>13

④ 8+2>8 ⑤ 10+15>20

2-1 ⁄ 가장 긴 변의 길이가 a cm일 때 a<5+9 ∴ a<14

¤ 가장 긴 변의 길이가 9일 때 9<a+5 ∴ 4<a

⁄, ¤에서 4<a<14

2-2 a>0이어야 하므로 가장 긴 변의 길이는 (a+5) cm이다.

a+(a+3)>a+5 ∴ a>2

2

유형``

⑤ ∠A를 작도한 후 AB”를 작도하고 ∠B를 작도해야 한다.

3

유형``

① 3+4=7이므로 삼각형이 만들어지지 않는다.

④ 주어진 세 각의 크기를 만족하는 삼각형은 무수히 많이 그릴 수 있다.

4-1 ㄱ. 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어진 경우이 므로 삼각형이 하나로 정해진다.

ㄴ. 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어진 경우와 같으므로 삼각형이 하나로 정해진다.

ㄷ. 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어진 경우이므 로 삼각형이 하나로 정해진다.

ㄹ. ∠A가 끼인각이 되지 않으므로 △ABC가 하나로 정 해지지 않는다.

4-2 ① AB”=6 cm, AC”=8 cm,

①∠C=40˘이면 오른쪽 그림과 같이 △ABC가 2개 그려진다.

⑤ ∠B=50˘, ∠C=80˘이므로

∠A=180˘-(50˘+80˘)=50˘

즉, 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 주어졌으므 로 △ABC가 하나로 정해진다.

40æ 6`cm 8`cm

A

B B C

4

02. 삼각형의 합동

개념 CHECK

⑴ 합동 ⑵ 변, 각 ⑶ SSS, SAS, ASA 01⑴ 6 cm ⑵ 7 cm ⑶ ∠P

02ㄱ과 ㅁ, ㄴ과 ㅂ, ㄷ과 ㄹ 03⑴ △ABD≡△CDB, SSS 합동 01⑵ △ABD≡△ACD, ASA 합동

01 ⑴ AB”=PQ”=6 cm

⑵ QR”=BC”=7 cm

02 ㄱ과 ㅁ (SSS 합동), ㄴ과 ㅂ (SAS 합동), ㄷ과 ㄹ (ASA 합동)

본문해설 5+1~15 2018.4.3 2:56 PM 페이지009

03 ⑴ AB”=CD”, AD”=CB”, BD”는 공통

∴ △ABD≡△CDB (SSS 합동)

⑵ AD”는 공통,

∠BAD=∠CAD, ∠ABD=∠ACD이므로

∠ADB=∠ADC

∴ △ABD≡△ACD (ASA 합동)

유형 2 cm, 70˘1-1 ②, ④ 1-2 ⑤ 유형 ③ 2-1 ① 2-2 ①, ③

2-3 ㄱ. SSS 합동 ㄴ. SAS 합동 ㄹ. ASA 합동

2-4 SAS 합동 2-5 ASA 합동 유형 △EDC, SAS 합동

3-1 △BED, △CFE, SAS 합동 3-2 90˘ 3-3 120˘

유형 EXERCISES

2

3 1

유형``

EF”=BC”=2 cm

∠B=∠F=50˘, ∠C=∠E=60˘이므로

∠D=180˘-(50˘+60˘)=70˘

1-1 ② 둘레의 길이가 15일 때, 세 변의 길이가 5, 5, 5인 삼 각형과 6, 6, 3인 삼각형은 합동이 아니다.

⑤ 넓이가 12일 때,

⁄ 가로의 길이 : 3, 세로의 길이 : 4

¤ 가로의 길이 : 6, 세로의 길이 : 2 즉, 넓이가 같아도 합동은 아니다.

1-2 (사각형 ABCD)≡(사각형 EFGH)이므로

① ∠B=∠F+30˘ ② ∠H=∠D+100˘

③ AB”=EF” ④ AD”=EH”

⑤ CD”=GH”=3 cm 1

유형``

∠C=180˘-(80˘+55˘)=45˘이므로 한 변의 길이가 8 cm이 고 양 끝 각의 크기가 55˘, 45˘인 삼각형을 찾으면 된다.

따라서 조건에 맞는 삼각형은 ③이다.

2

2-1 ②와 ④는 대응하는 한 변의 길이가 8 cm이고 양 끝 각 의 크기가 45˘, 70˘로 같으므로 합동이다.

③과 ④는 대응하는 한 변의 길이가 6 cm이고 양 끝 각 의 크기가 65˘, 70˘로 같으므로 합동이다.

⑤와 ④는 대응하는 두 변의 길이가 6 cm, 8 cm이고 그 끼인각의 크기가 70˘로 같으므로 합동이다.

따라서 ②, ③, ④, ⑤는 서로 합동인 삼각형이다.

2-2 ① ∠A=∠D이면 SAS 합동

③ BE”=FE”이면 SSS 합동

2-3 ㄱ. 대응하는 세 변의 길이가 각각 같으므로 합동이다.

(SSS 합동)

ㄴ. 대응하는 두 변의 길이가 각각 같고 그 끼인각의 크기 가 같으므로 합동이다. (SAS 합동)

ㄹ. 대응하는 한 변의 길이가 같고 그 양 끝 각의 크기가 각각 같으므로 합동이다. (ASA 합동)

2-4 AO”=CO”, BO”=DO”, ∠AOB=∠COD (맞꼭지각)

∴ △ABO≡△CDO (SAS 합동)

2-5 AC”=EC”, ∠ACB=∠ECD (맞꼭지각) AB”∥DE”이므로 ∠BAC=∠DEC (엇각)

∴ △ABC≡△EDC (ASA 합동)

유형``

△EAB와 △EDC에서

AB”=DC”, EB”=EC”, ∠ABE=∠DCE

∴ △EAB≡△EDC (SAS 합동)

3-1 △ADF와 △BED와 △CFE에서 AD”=BE”=CF”, AF”=BD”=CE”,

∠A=∠B=∠C=60˘

∴ △ADF≡△BED≡△CFE (SAS 합동)

3-2 △ABE와 △BCF에서

AB”=BC”, BE”=CF”, ∠B=∠C=90˘

∴ △ABE≡△BCF (SAS 합동)

∠BAE=∠CBF=∠a, ∠AEB=∠BFC=∠b라고하면

∠a+∠b=90˘

△BEP에서 ∠PBE+∠PEB=∠a+∠b=90˘

∴ ∠APF=∠BPE=90˘

3

본문해설 5+1~15 2018.3.30 6:52 PM 페이지010

개념BOOK

Ⅴ. 기본 도형

011

AC”=BC” (△ABC가 정삼각형) CD”=CE” (△ECD가 정삼각형)

∠ACD=∠BCE=120˘

∴ △ACD≡△BCE (`SAS 합동)

∠CAD=∠CBE=∠a

∠CDA=∠CEB=∠b라고 하면

△ACD에서 ∠a+∠b+120˘=180˘

∴ ∠a+∠b=60˘

따라서 △PBD에서

∠BPD=180˘-(∠DBP+∠BDP)

=180˘-(∠a+∠b)

=180˘-60˘=120˘

01④ 02④

03눈금 없는 자 : 2번, 컴퍼스 : 2번 04④

05②, ③ 06③ 07③ 08②

09② 10②, ④ 11⑤ 12①

13④ 14①, ⑤ 15△PAB≡△PDC, SAS 합동 16⑴ △EBC≡△DAC, SAS 합동 ⑵ 4 cm

17④ 1810 m 19② 20④

2110 cm 22② 2362˘

중단원 EXERCISES

01 컴퍼스는 원을 그리거나 선분의 길이를 옮길 때 사용한다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㅁ이다.

02 ④ 두 선분의 길이를 비교할 때 컴퍼스를 사용한다.

03 정삼각형의 작도는 오른쪽 그림과 같다.

작도 과정 중 ①, ②`는 컴퍼스를 사용하고

③, ④`는 눈금 없는 자를 사용한다.

따라서 눈금 없는 자는 2번, 컴퍼스는 2번 사용한다.

04 ④ AC”+BC”

05 ② 1+6=7 ③ 10>5+3이므로 삼각형이 만들어지지 않 는다.

A B

①

②

④

③

06 세 변의 길이는 양수이므로 a>1이고 a+2가 가장 긴 변의 길이이므로 a+2<a-1+a ∴ a>3

07 ⁄ 가장 긴 변의 길이가 8 cm일 때

(8 cm, 6 cm, 4 cm), (8 cm, 6 cm, 3 cm)

¤ 가장 긴 변의 길이가 6 cm일 때 (6 cm, 4 cm, 3 cm)

따라서 서로 다른 삼각형을 3개 만들 수 있다.

09 ② ∠C가 AB”와 BC”의 끼인각이 아니므로 삼각형이 하나 로 정해지지 않는다.

10 ① ∠A가 끼인각이 아니므로 △ABC는 하나로 정해지지 않는다.

② 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어졌으므로

△ABC는 하나로 정해진다.

③ ∠C가 끼인각이 아니므로 △ABC는 하나로 정해지지 않는다.

④ 세 변의 길이가 주어지고 8<7+6, 즉 가장 긴 변의 길 이가 나머지 두 변의 길이의 합보다 작으므로 △ABC는 하나로 정해진다.

⑤ 13=7+6이므로 삼각형이 만들어지지 않는다.

11 ⑤ ⁄ 윗변의 길이 : 1, 아랫변의 길이 : 2, 높이 : 10

⑤ ⁄Δ(사다리꼴의 넓이)=;2!;_(1+2)_10=15

⑤¤ 윗변의 길이 : 20, 아랫변의 길이 : 10, 높이 : 1

⑤ ⁄Δ(사다리꼴의 넓이)=;2!;_(20+10)_1=15

⑤따라서 사다리꼴의 넓이가 같아도 합동은 아니다.

12 사각형 EFGH에서 AD”의 대응변은 EH”이므로 AD”=EH”=6 cm

또한, ∠B의 대응각은 ∠F이므로

∠B=∠F=120˘

∴ ∠D=360˘-(∠A+∠B+∠C)

=360˘-(70˘+120˘+90˘)

=80˘

13 ㄷ. ㅁ.

6`cm 50æ

70æ 6`cm

50æ 60æ 70æ

ASA 합동

본문해설 5+1~15 2018.3.30 6:52 PM 페이지011

14 ⁄`∠B, ∠E를 끼인각으로 하는 나머지 한 변의 길이가 같 아야 하므로 필요한 조건은 BC”=EF”이다.

¤`AB”, DE”의 양 끝 각 중 다른 한 각의 크기가 같아야 하 므로 필요한 조건은 ∠A=∠D이다.

따라서 필요한 나머지 한 조건이 될 수 있는 것은 ①, ⑤ 이다.

15 △PAB와 △PDC에서 PA”=PD”, AB”=DC”

△PDA는 이등변삼각형이므로

∠PAD=∠PDA이고

∠PAB=90˘-∠PAD=90˘-∠PDA=∠PDC

∴ △PAB≡△PDC (SAS 합동)

16 ⑴ △EBC와 △DAC에서

⑴BC”=AC” (△ABC가 정삼각형)

⑴EC”=DC” (△CDE가 정삼각형)

⑴∠ECB=60˘-∠ACE=∠DCA

∴ △EBC≡△DAC (SAS 합동)

⑵ AD”=BE”=7-3=4(cm)

17 △PAM과 △PBM에서 PM”은 공통인 변이다.

점 M은 AB”의 중점이므로 AM”=

AB”⊥l이므로 ∠PMA= =90˘

∴ △PAM™△PBM ( 합동) 이때 PA”에 대응하는 변은 이므로

PA”= 이다.

18 △APB와 △DPC에서 ∠ABP=∠DCP, BP”=CP”,

∠APB=∠DPC`(맞꼭지각)이므로

△APB™△DPC`(`ASA 합동)

∴ AB”=DC”=10 m

19 오른쪽 그림과 같이 AB”=4 cm, AC”=3 cm,

∠B=40˘를 만족하는 삼각형은 점 C가 C'의 위치에 있을 때도 가 능하므로 2가지의 삼각형을 작도할 수 있다.

20 AB”=DC”, DB”=AC”, AD”는 공통

∴ △ABD≡△DCA (SSS 합동) 또, AB”=DC”, AC”=DB”, BC”는 공통

B C' C

A

40æ

4`cm 3`cm

PB”

PB”

SAS

∠PMB BM”

∴ △ABC≡△DCB (SSS 합동) 또, AB”=DC”, ∠ABP=∠DCP,

∠BAP=∠CDP

∴ △ABP≡△DCP (ASA 합동) 따라서 합동인 삼각형은 모두 3쌍이다.

21 △BCG와 △DCE에서

BC”=DC”=8 cm, CG”=CE”=6 cm

∠BCG=∠DCE=90˘

∴ △BCG≡△DCE (SAS 합동) 따라서 BG”=DE”이므로 DE”=10 cm

22 △ACE와 △BCD에서 CE”=CD” (△CED가 정삼각형) AC”=BC” (△ABC가 정삼각형)

∠ACE=∠BCD=60˘

∴ △ACE≡△BCD (SAS 합동)

② AD”=DC”인지는 알 수 없다.

23 △BCE와 △DCE에서

CE”는 공통, BC”=DC”, ∠BCE=∠DCE

∴ △BCE≡△DCE (SAS 합동)

∴ ∠CBE=∠CDE

△DFC에서 ∠CDF=180˘-(28˘+90˘)=62˘

∴ ∠CBE=62˘

본문해설 5+1~15 2018.3.30 6:52 PM 페이지012

개념BOOK

Ⅴ. 기본 도형

013

01① 0230 036 cm 04④

05① 06④ 07⑤ 0845˘

09130˘ 108 11JH”, CE” 12④

13④ 14⑤ 15② 16①, ④

17② 18⑤ 19⑤ 20④

21① 22④ 2315 cm 2412 cm 255˘ 2616 cm¤

대단원 EXERCISES

01 ① 두 반직선의 출발점과 방향이 모두 다르므로 AB≥+BA≥

02 ^a= =10, b=5_4=20

∴ a+b=30

03 AB”=16-4=12(cm)이므로

AM”=MB”=;2!; AB”=;2!;_12=6(cm)

04 ∠AOC=∠COD=∠a, ∠DOE=∠b라고 하면

∠a+∠a=90˘, ∠b+2∠b=90˘이므로

∠a=45˘, ∠b=30˘

∴ ∠COE=∠a+∠b=45˘+30˘=75˘

05 ∠x+20˘+∠x+30˘=90˘ (∵ 맞꼭지각) 2∠x=40˘ ∴ ∠x=20˘

06 ① ∠c=∠a=60˘이므로 동위각의 크기가 같다.

∴ l∥m

② 2∠a=∠d이고 ∠c=∠a이므로

∠d+∠c=180˘, 2∠c+∠c=180˘에서

∠c=60˘이다. ∴ l∥m

③ ∠c=180˘-∠b=60˘이므로 동위각의 크기가 같다.

∴ l∥m

④ ∠c=∠a=60˘, ∠d=120˘이어야 l∥m 즉 ∠d-∠a=60˘이어야 l∥m이다.

⑤ ∠a+∠c=120˘이고 ∠c=∠a이므로 ∠c=60˘이다.

⑤∴ l∥m 44444444545_42

07 오른쪽 그림과 같이 점 O를 지 나고 두 직선 l, m에 평행한 직 선을 그으면

∠x+40˘+2∠x-20˘=110˘

3∠x=90˘ ∴ ∠x=30˘

08 오른쪽 그림과 같이 XX'”, YY'”에 평행한 직선 n을 그어 보자.

∠CAX'=∠a, ∠CBY'=∠b라 고 하면 평행선에서 동측내각의 크 기의 합은 180˘이므로

∠BAX'+∠ABY'=180˘

4∠a+4∠b=180˘ ∴ ∠a+∠b=45˘

∴ ∠x=∠a+∠b=45˘

09 ∠DGE=∠DCE=90˘ (접은 각)

△DGE에서 ∠GED=180˘-(90˘+25˘)=65˘

그런데 ∠GED=∠CED (접은 각)이므로

∠GEC=2∠GED=130˘

이때 FG”∥BC”이므로

∠x=∠GEC=130˘

10 모서리 AB와 수직인 모서리는 AE”, BF”이므로 x=2 모서리 AB와 평행한 모서리는 EF”이므로 y=1 모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리는 EH”, FG”, GH”, CG”, DH”이므로 z=5

∴ 2x-y+z=2_2-1+5=8 11 주어진 전개도로 입체도형을 만들면 오른

쪽 그림과 같다.

따라서 모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리는 JH”, CE”이다.

⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤

12 ① l∥m, m⊥n이면 l과 n은 수직이거나 꼬 인 위치에 있다.

⑤⑤⑤⑤

② l⊥m, m⊥n이면 l과 n은 평행하거나 수직이거나 꼬인 위치에 있다.

⑤⑤⑤⑤

③ l∥m, m∥n이면 l과 n은 항상 평행하 다.

⑤⑤⑤⑤

m l

n l n¡m

n£

n™

n™

m n¡

l D{B,`F}

J H

C E

I{A,`G}

n

A a

a b b 3a

3b

Y B

C Y' X

X' O

x+40æ l

m x+40æ

2x-20æ 2x-20æ 본문해설 5+1~15 2018.4.3 2:57 PM 페이지013

⑤ l과 m이 꼬인 위치에 있고 m∥n이면

⑤l과 n은 한 점에서 만나거나 꼬인 위치 에 있다.

13 ㄱ. 면 ABCD와 평행한 면은 면 EFGH로 1개이다.

14 면 BCHG와 평행한 모서리는 AF”, EJ”, DI”, ED”, JI”로 5개이다.

15 ㄴ. 한 평면에 수직인 서로 다른 두 평면 은 서로 만날 수도 있다.

⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤ ㄷ. AB”와 평면 CGHD,

ㄷ.평면 EFGH는 각각 평행하지 만 두 평면은 서로 만난다.

⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤

16 ② 작도할 때, 눈금 없는 자는 두 점을 연결하는 선분을 긋 거나 주어진 선분을 연장하는 데 사용한다.

③ 작도할 때, 컴퍼스는 원을 그리거나 주어진 선분의 길이 를 옮기는 데 사용한다.

⑤ 넓이가 같다고 해서 두 삼각형이 서로 합동인 것은 아니 다.

17 작도 순서는 ㉥－㉠－㉢－㉡－㉣－㉤이다.

18 ① 5+6>9 ② 6+7>9 ③ 6+9>10 ④ 6+9>13

⑤ 6+9=15가 되어 삼각형이 만들어지지 않는다.

19 ① 85˘+95˘=180˘로 두 각의 크기의 합이 180˘이므로 삼 각형이 그려지지 않는다.

② AC”의 길이 대신 ∠A 또는 ∠C의 크기가 주어지거나,

∠B의 크기 대신 BC”의 길이 또는 ∠A의 크기가 주어 져야 △ABC가 하나로 정해진다.

③ 세 각으로는 무수히 많은 삼각형을 만들 수 있다.

④ 40˘, 60˘, 80˘라는 각의 크기가 각각 ∠A, ∠B, ∠C에 어떻게 대응되느냐에 따라 삼각형이 달라진다.

20 BC”의 길이와 ∠B의 크기가 주어졌으므로 AB”의 길이 또 는 ∠A 또는 ∠C의 크기가 주어지면 △ABC가 하나로 정해지게 된다.

B

F

D

H G C E

A m

l

n™

n¡

21 ① 두 각의 크기가 40˘와 80˘이므로 나머지 한 각의 크기는 60˘이다. 따라서 한 변의 길이가 10이고 양 끝 각의 크 기가 40˘, 60˘인 주어진 삼각형과 ASA 합동이 된다.

22 △ACD와 △AEB에서

는 공통, AC”= , AD”=

∴ △ACD △AEB ( 합동)

23 △ABD와 △CAE에서 AB”=CA”

∠ADB=∠CEA=90˘이므로

∠DAB+∠DBA=90˘,

∠DAB+∠EAC=90˘

∴ ∠DBA=∠EAC, ∠DAB=∠ECA

∴ △ABD™△CAE (ASA 합동) 따라서 BD”=AE”, AD”=CE”이므로

BD”=DE”-AD””=DE”-CE”=20-5=15(cm)

24 AB”=24 cm이고 AC” : CB”=3 : 1이므로 AC”=;4#;AB”=;4#;_24=18(cm)

CB”=;4!;AB”=;4!;_24=6(cm) ……^❶ MC”=AM”=;2!;AC”=;2!;_18=9(cm)

CN”=NB””=;2!; CB”=;2!;_6=3(cm) ……❷

∴ MN”=MC”+CN”=9+3=12(cm) ……❸

■ 다른 풀이 ■

MN”=MC”+CN”=;2!;AC”+;2!; CB” ……❶ MN=;2!;(AC”+CB”)=;2!;AB” ……❷

MN=12(cm) ……❸

≡ SAS

AB”

AE”

∠A

❶AC”, CB”의 길이 구하기

❷MC”, CN”의 길이 구하기

❸MN”의 길이 구하기

40 % 40 % 20 %

채점 기준 배점

❶MN”을 AC”와 CB”로 나타내기

❷MN”을 AB”로 나타내기

❸MN”의 길이 구하기

40 % 30 % 30 %

채점 기준 배점

본문해설 5+1~15 2018.3.30 6:52 PM 페이지014

개념BOOK

Ⅴ. 기본 도형

015

면

……❶

∠x+5˘=2∠x (엇각) ……^❷

∴ ∠x=5˘ ……❸

26 △OBH와 △OCI에서 OB”=OC”, ∠OBH=∠OCI

∠BOH=90˘-∠HOC=∠COI

∴ △OBH≡△OCI (ASA 합동) ……^❶

△OBH≡△OCI이므로 겹쳐진 부분의 넓이는

△OBC의 넓이와 같다. ……^❷

∴ (겹쳐진 부분의 넓이)

=(△OBC의 넓이)=;2!;_8_4=16(cm¤ ) ……❸ l

m 30æ

30æ 2x x+5æ x+10æ

x+10æ

❶l, m에 평행한 두 직선 긋기

❷식 세우기

❸∠x의 크기 구하기

40 % 30 % 30 %

채점 기준 배점

❶△OBH≡△OCI임을 설명하기

❸겹쳐진 부분의 넓이 구하기

❷겹쳐진 부분의 넓이가 △OBC의 넓이와 같음을 알기

40 %

30 % 30 %

채점 기준 배점

[유제] 01^{풀이 참조}

Advanced Lecture

01

⁄다음 그림과 같이 두 점을 지나는 직선을 그으면 한 점 A에서 만난다. 이때 생긴 사다리꼴에서 대각선을 그으 면 교점 B가 생긴다. 두 점 A, B를 지나는 직선이 바로 원의 중심을 지나는 직선이 된다.

⁄

01

⁄주어진 한 직선과 원이 만나는 점을 각각 원의 중심으로 하고, 반지름의 길이를 적당한 길이로 같게 하여 그리면 다음 그림과 같이 교점이 2개 생긴다.

⁄이때 두 교점을 지나는 직선이 바로 원의 중심을 지나는 직선이 된다.

⁄

A

B 본문해설 5+1~15 2018.3.30 6:52 PM 페이지015

VI 평면도형

1. 다각형의 성질

01. 다각형의 내각, 외각과 대각선

개념 CHECK

⑴ 내각, 외각 ⑵ (n-3), 01ㄱ, ㄹ

02⑴ 60˘ ⑵ 85˘

03⑴ 십삼각형 ⑵ 11 ⑶ 65 04⑴ 35 ⑵ 90

05구각형

n(n-3) 2

02 ⑴ 180˘-120˘=60˘ ⑵ 180˘-95˘=85˘

03 ⑴ 구하는 다각형을 n각형이라고 하면 n각형의 한 꼭짓점 에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 (n-3)이므로 n-3=10 ∴ n=13

따라서 구하는 다각형은 십삼각형이다.

⑵ 13-2=11 ⑶ =65

04 ⑴ =35

⑵ =90

05 구하는 다각형을 n각형이라고 하면

=27, n(n-3)=54 n(n-3)=9_6 ∴ n=9 따라서 구하는 다각형은 구각형이다.

n(n-3) 11112

15_(15-3) 11111242 10_(10-3) 11111242

13_(13-3) 11111242

02. 다각형의 내각과 외각의 크기

개념 CHECK

⑴ 180˘_(n-2), 360˘

⑵ ,

01⑴ 50˘ ⑵ 100˘

02⑴ 1080˘, 360˘ ⑵ 1440˘, 360˘

03⑴ 60˘ ⑵ 90˘

04⑴ 140˘, 40˘ ⑵ 150˘, 30˘

05⑴ 정십팔각형 ⑵ 정이십각형 360˘

n 180˘_(n-2)

n

01 ⑴ (∠x+10˘)+(2∠x-30˘)+50˘=180˘

3∠x+30˘=180˘, 3∠x=150˘

∴ ∠x=50˘

⑵ 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같으므로 70˘+30˘=∠x

∴ ∠x=100˘

■ 다른 풀이 ■

⑵ 외각의 크기의 합은 360˘이므로 110˘+150˘+∠x=360˘

260˘+∠x=360˘

∴ ∠x=100˘

02 ⑴ (내각의 크기의 합)=180˘_(8-2)

=180˘_6=1080˘

⑵ (내각의 크기의 합)=180˘_(10-2)

=180˘_8=1440˘

03 ⑴ 사각형의 내각의 크기의 합은 360˘이므로 95˘+130˘+75˘+∠x=360˘

300˘+∠x=360˘ ∴ ∠x=60˘

⑵ 오각형의 내각의 크기의 합은 540˘이므로 120˘+90˘+130˘+∠x+110˘=540˘

450˘+∠x=540˘ ∴ ∠x=90˘

04 ⑴ (한 내각의 크기)= =

⑴ (한 내각의 크기)=20˘_7=140˘

(한 외각의 크기)= =40˘

⑵ (한 내각의 크기)= =

⑴ (한 내각의 크기)=15˘_10=150˘

(한 외각의 크기)= =30˘

05 ⑴ 한 내각의 크기가 160˘이므로 한 외각의 크기는 180˘-160˘=20˘

구하는 정다각형을 정n각형이라고 하면

=20˘, 360˘=20˘_n ∴ n=18 따라서 구하는 정다각형은 정십팔각형이다.

⑵ 구하는 정다각형을 정n각형이라고 하면 한 외각의 크기가 18˘이므로

131360˘n

131360˘12

180˘_10 1113112 180˘_(12-2)

121111112 131360˘9

180˘_7 11119 180˘_(9-2)

1111119

A

B C

x 150æ

70æ 110æ A

C B

150æ 30æ 70æ x 본문해설 6+16~31 2018.3.30 6:54 PM 페이지016

개념BOOK

Ⅵ. 평면도형

017

=18˘, 360˘=18˘_n ∴ n=20 따라서 구하는 정다각형은 정이십각형이다.

131360˘n

유형 ∠x=110˘, ∠y=65˘

1-1 ③, ⑤ 1-2 120˘ 1-3 점 A 유형 44 2-1 15 2-2 팔각형 2-3 3 유형 60˘ 3-1 80˘ 3-2 ⑤ 3-3 120˘

유형 30˘ 4-1 ⑤ 4-2 80˘ 4-3 75˘

유형 40˘ 5-1 ③ 5-2 ④

유형 1440˘, 360˘ 6-1 9 6-2 ④ 6-3 60˘

유형 정십이각형 7-1 1080˘ 7-2 156˘, 24˘

7-3 54

유형 ⑤ 8-1 135˘ 8-2 120˘

유형 EXERCISES

4 5 3

7

8 6

유형``

(∠x+25˘)+35˘+∠x=180˘

2∠x=120˘ ∴ ∠x=60˘

3-1 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180˘이므로 가장 큰 내각의 크기는

180˘_ =180˘_;9$;=80˘

3-2 3∠B=2∠C에서 ∠C=;2#;∠B

∠A+∠B+∠C=180˘이므로

50˘+∠B+;2#;∠B=180˘, ;2%;∠B=130˘

∴ ∠B=52˘

3-3 △ABD에서

∠CBD+∠CDB=180˘-(85˘+15˘+20˘)=60˘

△CBD에서 ∠x=180˘-60˘=120˘

1455155222+3+44 3

유형``

(2∠x+15˘)+(2∠x-10˘)=125˘

4∠x+5˘=125˘ ∴ ∠x=30˘

4

2 1

유형``

∠x=180˘-70˘=110˘

∠y=180˘-115˘=65˘

1-1 ③ 정육면체는 입체도형이므로 다각형이 아니다.

⑤ 원은 곡선으로 둘러싸여 있으므로 다각형이 아니다.

1-2 정삼각형의 내각의 크기는 모두 같으므로

∠A=∠B=∠C=60˘

따라서 ∠A의 외각의 크기는 180˘-60˘=120˘

1-3 다각형의 한 꼭짓점에서 (내각의 크기)+(외각의 크기)

=180˘이므로 사각형 ABCD의 외각의 크기는 오른쪽 그림과 같다.

따라서 외각의 크기가 가장 작은 꼭짓점은 점 A이다.

75æ 105æ 95æ

85æ 75æ 105æ 95æ

A 85æ D

B C

1

유형``

구하는 다각형을 n각형이라고 하면 한 꼭짓점에서 그을 수 있 는 대각선의 개수는 (n-3)이므로

n-3=8 ∴ n=11

따라서 십일각형의 대각선의 개수는

=44

2-1 십각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 a=10-3=7

이때 생기는 삼각형의 개수는 b=10-2=8

∴ a+b=7+8=15

2-2 구하는 다각형을 n각형이라고 하면

=20, n(n-3)=40 n(n-3)=8_5 ∴ n=8 따라서 구하는 다각형은 팔각형이다.

2-3 어떤 다각형을 n각형이라고 하면 n각형의 한 꼭짓점에 서 그을 수 있는 대각선의 개수는 a=n-3

n각형의 내부의 한 점에서 각 꼭짓점에 선분을 그었을 때 생기는 삼각형의 개수는 b=n

∴ b-a=n-(n-3)=n-n+3=3 n(n-3)

1111232 11_(11-3) 13111112

2

본문해설 6+16~31 2018.3.30 6:54 PM 페이지017

4-1 △ABC에서 ∠ACD=30˘+55˘=85˘

△CDF에서 3∠x-15˘=85˘+∠x 2∠x=100˘ ∴ ∠x=50˘

4-2 ∠x+30˘=40˘+70˘ ∴ ∠x=80˘

4-3 △ABC에서 ∠BAC=140˘-70˘=70˘

∴ ∠BAD=∠DAC=;2!;_70˘=35˘

△ADC에서 ∠x+35˘+70˘=180˘ ∴ ∠x=75˘

6-2 다각형의 외각의 크기의 합은 360˘이므로

∠x+50˘+55˘+(180˘-2∠x)+60˘+80˘=360˘

425˘-∠x=360˘ ∴ ∠x=65˘

6-3 오른쪽 그림과 같이 CE”를 그으면 오각형의 내각의 크기의 합은 180˘_(5-2)=540˘이므로

∠DCE+∠DEC

=540˘-(110˘+95˘+65˘+

50˘+100˘)

=540˘-420˘=120˘

따라서 △DCE에서 ∠x=180˘-120˘=60˘

95æ A

B

C D

F

E 110æ

100æ

65æ x 50æ

유형``

△ABC에서 ∠ACE=80˘+∠ABC이므로

∠DCE=;2!;∠ACE=;2!;(80˘+∠ABC)

∠DCE=40˘+;2!;∠ABC=40˘+∠DBC yy ㉠

△DBC에서 ∠DCE=∠x+∠DBC yy ㉡

㉠, ㉡에서 40˘+∠DBC=∠x+∠DBC ∴ ∠x=40˘

5-1 △BCD는 이등변삼각형이므로

∠BDC=∠BCD=80˘

이때 △ABD도 이등변삼각형이므로 ∠DBA=∠x이 고, △ABD에서 ∠BDC=∠x+∠x=80˘

∴ ∠x=40˘

5-2 ∠x=180˘-(40˘+30˘)=110˘,

∠y=40˘+35˘=75˘

∴ ∠x+∠y=110˘+75˘=185˘

5

유형``

한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수가 7인 다각형은 십 각형이다. 십각형의 내각의 크기의 합은 180˘_8=1440˘이고, 다각형의 외각의 크기의 합은 항상 360˘이다.

6-1 구하는 다각형을 n각형이라고 하면 n각형의 내각의 크 기의 합은 180˘_(n-2)이므로

180˘_(n-2)=1260˘

n-2=7 ∴ n=9

따라서 구하는 다각형은 구각형이므로 꼭짓점의 개수는 9이다.

6

유형``

조건 ㈎에서 구하는 다각형은 정다각형임을 알 수 있다.

이를 정n각형이라고 하면 조건 ㈏에서 (한 외각의 크기)=180˘-150˘=30˘

그런데 외각의 크기의 합은 항상 360˘이므로 (한 외각의 크기)= =30˘ ∴ n=12 따라서 구하는 다각형은 정십이각형이다.

■ 다른 풀이 ■

정n각형의 한 내각의 크기는 이므로

조건 ㈏에서

=150˘, 6(n-2)=5n 6n-12=5n ∴ n=12

7-1 한 외각의 크기가 45˘인 정다각형을 정n각형이라고 하면

=45˘ ∴ n=8

따라서 정팔각형의 내각의 크기의 합은 180˘_(8-2)=180˘_6=1080˘

■ 다른 풀이 ■

한 외각의 크기가 45˘인 정다각형은 정팔각형이다.

그런데 정팔각형의 한 내각의 크기는 180˘-45˘=135˘

이므로 내각의 크기의 합은 135˘_8=1080˘

7-2 내각의 크기의 합이 2340˘인 정다각형을 정n각형이라고 하면 180˘_(n-2)=2340˘

131360˘n 180˘_(n-2) 1311111n

180˘_(n-2) 1311111n 131360˘n

7

본문해설 6+16~31 2018.3.30 6:54 PM 페이지018

개념BOOK

Ⅵ. 평면도형

019

n-2=13 ∴ n=15

따라서 정십오각형의 한 내각의 크기는

=156˘

이고, 한 외각의 크기는

=24˘

7-3 한 꼭짓점에서의 한 내각의 크기와 한 외각의 크기의 합 은 180˘이므로

(한 ``외각의 ``크기)=180˘_ =30˘

이 정다각형을 정n각형이라고 하면

=30˘ ∴ n=12

따라서 정십이각형의 대각선의 개수는

= 12_9 =54 13112 12_(12-3)

13111112 131360˘n

1315+11 113360˘15

2340˘

131315

유형``

정오각형의 한 내각의 크기는

=108˘

∠BCA=;2!;_(180˘-108˘)=36˘

∴ ∠x=108˘-36˘=72˘

8-1 ∠x의 크기는 정사각형의 한 외각의 크기와 정팔각형의 한 외각의 크기의 합이므로

∠x= + =90˘+45˘=135˘

8-2 정육각형의 한 내각의 크기는

=120˘이고

△ABF는 이등변삼각형이므로

∠ABF=30˘

마찬가지로 △BAC에서 ∠BAC=30˘

따라서 △ABG에서

∠x=∠AGB=180˘-(30˘+30˘)=120˘

180˘_(6-2)

13111116 ^x _E

D C B

A F

G 30æ

120æ 112360˘8

112360˘4 180˘_(5-2) 1111115

x A

B E

C D

108æ

8

01⑤ 02ㄴ, ㄷ 0354 0414 05십일각형 0615˘ 0735˘ 0840˘

09105˘ 10 900˘ 11 십일각형 12105˘

13 100˘ 14 정십각형 15 ③, ④ 1636˘

17정십각형 1865 19 9번 20130˘

21 105˘ 2260˘ 2370˘ 2490˘

중단원 EXERCISES

01 ⑤ 모든 내각의 크기와 모든 변의 길이가 같은 다각형을 정 다각형이라고 한다.

02 ㄴ. 직육면체는 입체도형이므로 다각형이 될 수 없다.

ㄷ. 반원은 일부분이 곡선으로 이루어져 있으므로 다각형 이 될 수 없다.

따라서 다각형이 아닌 것은 ㄴ, ㄷ이다.

03 어떤 다각형을 n각형이라고 하면 n-3=9 ∴ n=12

따라서 십이각형의 대각선의 개수는

=54

04 어떤 다각형은 칠각형이므로 대각선의 개수는

=14

05 구하는 다각형을 n각형이라고 하면

=44, n(n-3)=88 n(n-3)=11_8 ∴ n=11 따라서 구하는 다각형은 십일각형이다.

06 (4∠x+30˘)+(3∠x+15˘)+2∠x=180˘

9∠x+45˘=180˘, 9∠x=135˘

∴ ∠x=15˘

07 ∠ACD는 △ABC의 한 외각이므로 45˘+(2∠x-10˘)=4∠x-35˘

2∠x+35˘=4∠x-35˘, 2∠x=70˘

∴ ∠x=35˘

08 50˘+30˘=∠x+40˘

n(n-3) 11112 7_(7-3) 111112 12_(12-3) 1111112

본문해설 6+16~31 2018.3.30 6:54 PM 페이지019

∴ ∠x=40˘

■ 다른 풀이 ■

△ABO에서 ∠AOB=180˘-(50˘+30˘)=100˘

∴ ∠COD=100˘(맞꼭지각)

즉, △OCD에서 ∠x=180˘-(100˘+40˘)=40˘

09 △ABC에서 70˘+40˘+∠ACB=180˘이므로

∠ACB=70˘

∠DCB=;2!;∠ACB=;2!;_70˘=35˘

따라서 △DBC에서 ∠x+40˘+35˘=180˘

∴ ∠x=105˘

10 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수가 4인 다각형은 칠각형이다. 칠각형의 내각의 크기의 합은

180˘_(7-2)=180˘_5=900˘

11 외각의 크기의 합은 항상 360˘이므로 구하는 다각형의 내 각의 크기의 합은 1980˘-360˘=1620˘

구하는 다각형을 n각형이라고 하면 n각형의 내각의 크기 의 합이 1620˘이므로

180˘_(n-2)=1620˘, n-2=9 ∴ n=11 따라서 구하는 다각형은 십일각형이다.

12 사각형 ABCD에서

∠ABC+∠DCB=360˘-(80˘+130˘)=150˘

∴ ∠EBC+∠ECB=;2!;_(∠ABC+∠DCB)

∴ ∠EBC+∠ECB=;2!;_150˘=75˘

따라서 삼각형 EBC에서

∠x=180˘-(∠EBC+∠ECB)

∠x=180˘-75˘=105˘

13 ∠x의 외각의 크기는 180˘-∠x이고 외각의 크기의 합은 항상 360˘이므로

(180˘-∠x)+60˘+65˘+75˘+80˘=360˘

460˘-∠x=360˘ ∴ ∠x=100˘

14 한 내각의 크기가 144˘이므로 한 외각의 크기는 180˘-144˘=36˘

구하는 정다각형을 정`n각형이라고 하면

=36˘, 360˘=36˘_n ∴ n=10 따라서 구하는 정다각형은 정십각형이다.

■ 다른 풀이 ■

구하는 정다각형을 정n각형이라고 하면 한 내각의 크기는

=144˘, 180˘_(n-2)=144˘_n 5_(n-2)=4n, 5n-10=4n ∴ n=10 따라서 구하는 정다각형은 정십각형이다.

15 ① 정십이각형의 대각선의 개수는

=54

② 정십이각형의 내각의 크기의 합은 180˘_(12-2)=1800˘

③ 정십이각형의 한 내각의 크기는 =150˘

④ 정십이각형의 한 외각의 크기는 =30˘

⑤ 정십이각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개 수는 12-3=9

16 정오각형의 한 외각의 크기는 =72˘

△OBC에서 ∠OBC=∠OCB=72˘

∴ ∠x=180˘-(72˘+72˘)=36˘

17 구하는 정다각형의 한 외각의 크기는 180˘_ =36˘

구하는 정다각형을 정n각형이라고 하면

=36˘, 360˘=36˘_n ∴ n=10 따라서 구하는 정다각형은 정십각형이다.

18 구하는 다각형을 n각형이라고 하면 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 a=n-3

이때 생기는 삼각형의 개수는 b=n-2 그런데 a+b=21이므로

a+b=(n-3)+(n-2)=21 2n-5=21, 2n=26 ∴ n=13 따라서 십삼각형의 대각선의 개수는

=13_10=65 11312 13_(13-3)

1111112 11360˘n

1214+11

11360˘5 11360˘12

1800˘

11112 12_(12-3)

1111112 180˘_(n-2) 1111111n 11360˘n

본문해설 6+16~31 2018.3.30 6:54 PM 페이지020