로 정의하면
는
에서의 동치관계가 된다.1.4 함수
집합
의 각 원소를
에 하나씩 대응시키는 관계를
로부터
로의 함수라고 부른다. 즉
로부터
로의 관계 가 두 조건∙ ∀∈
∃∈
∈,∙ ∈ ∧ ∈ ⇒
를 모두 만족시키면 를
로부터
로의 함수(function)라고 부른다. 그리고 ∈ 인 것을 로 나타낸다. 함수 에 의해 가 에 대응되는 것을 ↦ 로 나타낸다.즉 가
로부터
로의 함수라는 것은 에 의하여
의 모든 원소가 각각
의 원소에 하나씩 대응되는 것 을 의미한다.보기
1.4.1 두 집합
,
에 대하여
⊆
라고 하자. 이때 ∈
×
로 정의된 관계 는
로부터
로의 함수가 된다. 이처럼 ∀∈
를 만족시키는 함수 를
에서의 항등함수(identity function)라고 부르며 보통
로 나타낸다. □보기
1.4.2
,
가 집합이고 ∈
라고 하자. 이때
× ∈
×
로 정의된 관계 는
로부터
로의 함수가 된다. 이처럼 ∃∈
∀∈
를 만족시키는 함수를 상수함수(constant function)라고 부르며 보통
로 나타낸다. (상수는 독일어로 ‘Konstante’이다.) □보기
1.4.3 가
로부터
로의 함수라고 하자.
⊆
일 때 ∈
∧ 로 정의된 는
로부터
로의 함수가 된다. 이러한 함수를 의 정의역을
로 제한한 함수라고 부른다. 이 것을 줄여서 간단히 제한함수(restricted function)라고 부른다. 반대로 를 의 확장함수(extended function)라고부른다. □
25
1.4 함수
두 함수
→
,
→
에 대하여∀∈
∩
가 성립할 때, ∪는
∪
로부터
∪
로의 함수가 된다. 이때 함수
∪
→
∪
를
if ∈if ∈
의 형태로 나타낼 수 있다. 만약
,
이면 위 식은
if if 로 나타낼 수도 있다.
보기
1.4.4 ≥ 일 때 이고, ≤ 일 때 이므로 절댓값은
if ≥ if ≤ 로 나타낼 수 있다. □
함수
→
에 대하여∀∈
∀∈
→
이면 를 일대일함수(one to one function) 또는 단사함수(injective function)라고 부른다. 한편 공역과 치역이 같은 함수를 위로의 함수(onto) 또는 전사함수(surjective function)라고 부른다. 그리고 일대일이면서 위로인 함수를 일대 일대응(one to one correspondence) 또는 전단사함수(bijective function)라고 부른다.
관계의 역관계와 합성관계를 정의한 것처럼 역함수와 합성함수를 생각할 수 있다.
함수
→
가 일대일대응이면 역관계 는
로부터
로의 함수가 된다. 이 함수
를 의 역함수 (inverse function)라고 부른다. 즉 ⇔
이다. 참고로 의 역함수의 역함수는 자신이 된다.
두 함수
→
와
→
에 대하여 ∘ ≔ ∃∈
∧ 를 와 의 합성함수(compositive function)라고 부른다.
보기
1.4.5 고등학교에서 배운 함수의 성질을 다시 생각해보자.
,
,
,
가 공집합이 아닌 집합이라고 하자. 그리고 세 함수
→
,
→
,
→
가 주어졌다고 하자.(1) 함수의 합성은 다음과 같은 성질을 가진다.
∘ ∘ ∘ ∘ (합성함수의 결합법칙)
∘ ∘ (합성함수의 역함수법칙) 여기서 물론 두 번째 등식은 와 의 역함수가 존재할 때에만 의미를 가진다.
(2) 일대일함수, 위로의 함수와 관련하여 다음이 성립한다.
∙ 와 가 일대일함수이면 ∘ 도 일대일함수이다.
∙ 와 가 위로의 함수이면 ∘ 도 위로의 함수이다.
∙ ∘ 가 일대일함수이면 도 일대일함수이다.
∙ ∘ 가 위로의 함수이면 도 위로의 함수이다.
(3) 항등함수와 관련하여 다음이 성립한다.
∙
이고 가 일대일대응일 때, ∘ 는 항등함수이다.∙
와
가 항등함수일 때 ∘
,
∘ 이다.∙
이고 ∘
, ∘
이면 와 는 일대일대응이고 이다.그러나 일반적으로 ∘ ≠ ∘ 이다. 즉 함수 합성의 교환법칙은 성립하지 않는다. □
함수
→
가 주어져 있고,
⊆
,
⊆
라고 하자. 이때
≔ ∈
∃∈
,
≔ ∈
∃∈
로 정의한다.
를 에 의한
의 상(image),
를 에 의한
의 역상(inverse image)이라고 부른다.보기
1.4.6
,
⋯ 이고 함수
→
가 으로 정의되었 다고 하자.(1) 의 치역은
이다.(2)
이면
이다.(3)
이면
이다. □함수
→
와 네 집합
,
,
,
가 주어졌다고 하자. 그리고
,
는
의 부분집합이며
,
는
의 부분집합이라고 하자. 이때 다음이 성립한다.∙
⊆
이면
⊆
이다.∙
⊆
이면
⊆
이다.∙
∪
∪
,
∩
⊆
∩
.∙
∪
∪
,
∩
∩
.보기
1.4.7
,
⋯ 이고 함수
→
가 으로 주어졌다고 하자. 그리고
,
,
,
라고 하자.
(1)
∪
∪
이다.(2)
∩
∅이지만
∩
∩ 이다.(3)
∪
∪
∪
이다.(4)