04 실함수의 극한
4.4 무한대 극한
수열의 극한과 마찬가지로 함수의 극한에서도 가 무한히 커질 때 가
에 가까워지는 극한을 정의할 수 있다. 또한 한 점에서의 극한이나 무한대에서의 극한이 발산하는 경우도 정의할 수 있다. 뿐만 아니라 좌극한과 우극한이 무한대로 발산하는 경우도 정의할 수 있다.이 절에서는 무한대가 포함된 여러 가지 극한을 살펴보자.
정의 4.4.1 양의 무한대에서의 극한
함수
→ ℝ의 정의역
가 위로 유계가 아닐 때 다음과 같이 정의한다.(ⅰ)
이 실수라고 하자. 만약 임의의 양수 에 대하여 실수
가 존재하여
인 임의의 ∈
에 대하여
이 성립하면 ‘ 는 양의 무한대에서
에 수렴한다’라고 말한다.(ⅱ) 임의의 실수
에 대하여 실수
가 존재하여
, ∈
일 때마다
가 성립하면‘ 는 양의 무한대에서 양의 무한대로 발산한다’라고 말한다.
(ⅲ) 임의의 실수
에 대하여 실수
가 존재하여
, ∈
일 때마다
가 성립하면‘ 는 양의 무한대에서 음의 무한대로 발산한다’라고 말한다.
위 정의의 극한을 기호로 나타내면 다음과 같다.
(ⅰ)
lim
→ ∞
(ⅱ)lim
→ ∞
∞ (ⅲ)
lim
→ ∞
∞
또한 위 극한을 다음과 같이 표현할 수도 있다.
(ⅰ) → ∞일 때 →
이다.(ⅱ) → ∞일 때 → ∞이다.
(ⅲ) → ∞일 때 → ∞이다.
음의 무한대에서 수렴하거나 발산하는 경우도 비슷하게 정의한다.
정의 4.4.2 음의 무한대에서의 극한
함수
→ ℝ의 정의역
가 아래로 유계가 아닐 때 다음과 같이 정의한다.(ⅰ)
이 실수라고 하자. 만약 임의의 양수 에 대하여 실수
가 존재하여
인 임의의 ∈
에 대하여
이 성립하면 ‘ 는 음의 무한대에서
에 수렴한다’라고 말한다.(ⅱ) 임의의 실수
에 대하여 실수
가 존재하여
, ∈
일 때마다
가 성립하면‘ 는 음의 무한대에서 양의 무한대로 발산한다’라고 말한다.
(ⅲ) 임의의 실수
에 대하여 실수
가 존재하여
, ∈
일 때마다
가 성립하면‘ 는 음의 무한대에서 음의 무한대로 발산한다’라고 말한다.
음의 무한대에서 수렴하거나 발산하는 극한을 기호로 나타낼 때에는 양의 무한대에서 수렴하거나 발산하는 극 한의 표기에서 → ∞를 → ∞로 바꾸면 된다.
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무한대 극한은 점에서 실수에 수렴하는 극한과 비슷한 성질을 가지고 있다.
정리 4.4.6 함수의 극한의 수열 판정법
함수 의 정의역이
라고 하자. → 일 때 →
일 필요충분조건은 → , ≠ 이면서 모든 항이
에 속하는 임의의 수열
에 대하여
→
이 성립하는 것이다. 여기서 ,
은 각 각 실수이거나 양의 무한대이거나 음의 무한대이다. 좌극한과 우극한에 대해서도 마찬가지로 성립한다.확장실수계 ℝ ≔ ℝ∪ ∞ ∞에서의 사칙계산을 다음과 같이 정의한다.
(ⅰ) ∈ℝ일 때 ∞ ∞ ∞ ∞ ≔ ∞, ∞ ∞ ∞ ∞ ≔ ∞.
(ⅱ) 일 때 ⋅∞ ∞⋅ ∞⋅∞ ∞ ⋅ ∞ ≔ ∞,
⋅ ∞ ∞ ⋅ ∞ ⋅∞ ∞⋅ ∞ ≔ ∞.
(ⅲ) 일 때 ⋅∞ ∞⋅ ≔ ∞, ⋅ ∞ ∞ ⋅ ≔ ∞.
(ⅳ) ⋅∞ ∞⋅ ⋅ ∞ ∞ ⋅ ≔ .
단, ∞ ∞는 정의되지 않는다. 이 내용을 바탕으로 다음 정리를 얻는다.
정리 4.4.7 함수의 극한과 사칙계산의 관계
→ 일 때 →
, →
이면 다음이 성립한다.(ⅰ) → 일 때 →
(단,
이 정의될 때)(ⅱ) → 일 때 →
(단,
이 ± ∞⋅ 꼴이 아닐 때)여기서 ,
,
은 각각 실수이거나 양의 무한대이거나 음의 무한대이다. 좌극한과 우극한에 대해서도 마 찬가지로 성립한다.점에서의 극한과 마찬가지로 무한대 극한도 부등호와 관련된 성질들을 가지고 있다.
정리 4.4.8 함수의 극한과 부등호의 관게
→ 일 때 →
, →
이고 임의의 에 대하여 ≤ 이면
≤
이다. 여기 서 ,
,
은 각각 실수이거나 양의 무한대이거나 음의 무한대이다. 좌극한과 우극한에 대해서도 마찬가 지로 성립한다.정리 4.4.9 조임 정리
함수 , , 의 정의역이
이고 임의의 ∈
에 대하여 ≤ ≤ 가 성립한다고 하자. 만 약 → 일 때 →
, →
이면 →
이다. 여기서
은 실수이고 는 실수이거나 양의 무한대이거나 음의 무한대이다. 좌극한과 우극한에 대해서도 마찬가지로 성립한다.정리 4.4.10 단조수렴
함수 가 단조이고 유계이면 → ∞ 또는 → ∞일 때 는 실수에 수렴한다.