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6.3 리만 합 예제
6.3.4 ≔
일 때 에서 의 리만 합이 수렴함을 증명하여라.풀이
양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 는 에서 리만 적분 가능하고, 적분값이 이므로 의 분할
이 존재하여
그리고
을 만족시킨다. 이때
가
의 세련분할이고 가
의 표집수열이면
≤
≤
≤
≤
이 성립한다. 즉
이므로 에서 의 리만 합은 에 수렴한다. □
위 예제의 내용을 일반화하면 다음을 얻는다.
정리 6.3.5 리만 합을 이용한 리만 적분의 정의
함수 가 에서 유계이고 라고 하자. 이때 가 에서 리만 적분 가능할 필요충분조건은
에서 의 리만 합이 수렴하는 것이다. 가 에서 적분 가능할 때 에서 의 리만 합의 극한은 에서 의 적분값과 동일하다.
증명
[⇒] 가 에서 적분 가능하다고 하자. 에서 의 적분값을
라고 하자. 그리고 양수 이 임 의로 주어졌다고 하자. 그러면 리만 판정법에 의하여 의 분할
이 존재하여
그리고
을 만족시킨다.
가
의 세련분할이고 가
의 표집수열이면
≤
≤
≤
≤
이므로
이다. 따라서 에서 의 리만 합은
에 수렴한다.[⇐] 에서 의 리만 합이
에 수렴한다고 하자. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 리만 합의 극한의 정의에 의하여 의 분할
가 존재하여
의 임의의 표집수열 에 대하여
(9)
이 성립한다.
≔
⋯
이라고 하자. 는 에서 유계이므로 성분구간 에 점 , 가 존재하여
을 만족시킨다.
따라서 (9)에 의하여
≤
이므로 리만 판정법에 의하여 는 에서 적분 가능하다. ■
정의 6.3.3을 수정하여 다음과 같은 동치 조건을 얻을 수 있다.
정리 6.3.6 리만 적분의 고전적 정의
함수 가 에서 유계이고 라고 하자. 이때 가 에서 리만 적분 가능할 필요충분조건은 실수
가 존재하여 임의의 양수 에 대하여 양수 가 존재하여 의 분할
가
를 만족시킬 때마다
의 표집수열 에 대하여
이 성립하는 것이다. 이 경우 에서 의 리 만 적분값은
가 된다.증명*
[⇒] 가 에서 적분 가능하다고 하고 적분값을
라고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 리만 판정법에 의하여 의 분할
≔
⋯
이 존재하여
≤
≤
을 만족시킨다. 에서 의 상한을
이라고 하자. 일반성을 잃지 않고
이고 ≥ 라고 하자. 그리고 min
⋯
을 만족시키는 양수 를 택하자.
이제
≔
⋯
이 의 분할이고
를 만족시킨다고 하자. 그리고 가
의 표 집수열이라고 하자.
의 성분구간 가 임의로 주어졌다고 하자.만약 ⊆ 라면, 즉 가
의 한 성분구간에 포함된다면 inf ,
sup , ∈ , ∈ 에 대하여 ≤ ≤
가 성립한다.그렇지 않고 가
의 한 성분구간에 포함되지 않는다면 는
의 두 개의 성분구 간에 포함된다. 가 충분히 작으므로 는
의 세 개의 성분구간에 걸쳐있지는 않는다. 즉 이다. 이러한 상황은 많아야 번 발생한다. 한편