6.6 연속이 아닌 함수의 적분
앞서 예제 6.1.14에서 연속인 함수가 적분 가능함을 보였다. 그러나 수학의 다양한 응용 분야에서 마주치는 함 수는 연속인 것보다 불연속인 것이 더 많다. 따라서 불연속 함수의 적분 가능성에 대하여 논의하는 것은 의미 가 있다.
함수 가 에서 유계이고 ∈ 에서만 불연속이라고 하자. 이제 가 에서 적분 가능함을 보 일 것이다.
양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그리고 에서 의 상한을
이라고 하자. 그러면 충분히 작은 양수에 대하여
이 성립한다. 더욱이 는 ⊆ 가 성립할 정도로 작은 것이라고 할 수 있다.함수 는 에서 연속이므로 의 분할
≔
⋯
가 존재하여
을 만족시킨다. 또한 는 에서 연속이므로 의 분할
≔
⋯
이 존재하여
을 만족시킨다.
≔
∪
⋯ ⋯
이라고 하면
는 의 분할이고 , 이므로
⋅
이 성립한다. 따라서 리만 판정법에 의하여 는 에서 적분 가능하다.
수학적 귀납법을 이용하면 위와 같은 논법으로 에서 의 불연속점의 개수가 유한인 경우 가 에 서 적분 가능함이 증명된다.
구간 에서 의 불연속점의 개수가 유한이면 는 에서 적분 가능하다.
이것을 더욱 일반화할 수 있다. 먼저 측도가 인 집합의 개념을 도입한다.
정의 6.6.1 측도 0(masure zero)
집합
의 측도가 이라는 것이라는 것은 임의의 양수 에 대하여 열린구간들의 가산집합
가 존재하여 구간
들의 길이의 합이 보다 작으면서
가
의 덮개가 되는 것이다.직관적으로 측도가 이라는 것은 무시할 수 있을 정도로 작은 크기라는 것을 의미한다.
참고
6.6.2 측도가 인 집합의 부분집합의 측도는 이다.
증명
가 측도 인 집합이고
⊆
라고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다고 하자.
가 측도 인 집 합이므로
를 덮으면서 길이의 합이 미만인 구간들의 가산집합
가 존재한다. 이때
는
도덮으므로
는 측도가 인 집합이다. ■참고
6.6.3 가산집합은 측도가 인 집합이다.
증명
가 가부번집합이라고 하자. 즉
∈ℕ
이라고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다고 하 자.
≔
이라고 하면
의 길이는 이므로
들의 길이의 합은 이다. 또한 ∈
이다. 따라서
는
를 덮으면서 길이의 합이 미만인 구간들의 가산집합이다. 즉
의 측도는 이다. 한편 유한집합은 가부번집합의 부분집합이므로 측도가 인 집합이다. ■참고
6.6.4
∈ℕ
가 측도가 인 집합의 모임이면
∞
의 측도도 이다.증명
양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 각 에 대하여 길이의 합이 미만이면서
를 덮는 구간들 의 모임
가 존재한다. 이때
∈ℕ ∈ℕ
은 길이의 합이 이하이고
를 덮는 구간들의 모임이므로
는 측도가 인 집합이다. ■이제 불연속점의 개수와 리만 적분 가능성의 관계를 설명하는 다음 정리를 살펴보자.
정리 6.6.5 리만 적분 가능성에 대한 르베그의 정리
함수 가 에서 유계라고 하자. 이때 가 에서 리만 적분 가능할 필요충분조건은 에서
가 불연속점인 점들의 집합의 측도가 인 것이다.
르베그의 정리를 이용하면 함수의 적분 가능성을 매우 쉽게 판별할 수 있다.
보기
6.6.6
ℚ는 에서 적분 불가능하다. 왜냐하면 ℚ는 의 모든 점에서 불연속인데, 은 측도가 인 집합이 아니기 때문이다. □
보기
6.6.7
∈ℕ
,
이라고 하자. 그리고 함수
→ ℝ를
if ∈if ∉
로 정의하자. 그러면 는
∪의 점에서만 불연속이다. 그런데
∪은 가산집합으로서 측도가 인집합이므로 는
에서 적분 가능하다. □이제 르베그의 정리를 증명하자. 먼저 진동의 개념을 도입하고 보조정리 세 개를 증명한 뒤 르베그의 정리를 증명하겠다.
187
6.6 연속이 아닌 함수의 적분
정의 6.6.8 진동
함수 가 에서 유계라고 하자.
(ⅰ) 구간
와 가 서로소가 아닐 때,
에서 의 진동(oscillation)을 다음과 같이 정의한다.
≔ sup ∈
∩ ∈
∩ (ⅱ) 점 ∈ 에서 의 진동을 다음과 같이 정의한다.
≔
lim
→
직관적으로 구간에서 함수의 진동이란 구간에서 함숫값의 최대 변화량이며, 점에서 함수의 진동이란 가 주어 진 점을 지나는 순간 의 변화량이다. [즉 에서 의 진동이란 에서 의 상극한과 하극한의 차이다.]
참고
6.6.9 함수 가 에서 유계이면 의 임의의 점 에서 의 진동
가 음이 아닌 유한값 으로서 존재한다.증명
∈ 라고 하자. 그리고 구간
에 대하여
≔sup ∈
∩ , ≔ inf ∈
∩ 라고 하자. sup inf 이므로 다음을 얻는다.
≥ (18) 일반성을 잃지 않고 ∈ 라고 하고, ⊆ 인 양수 을 택하자. 인 양수 에 대하여 ≔ 라고 하자. 그러면 는 에서 증가하므로 에 서 우극한을 가진다. 그런데 (18)에 의하여 ≥ 이다. 따라서 는 음이 아닌 유한값으로 존재한다. ■
보조정리
6.6.10* 함수 가 에서 유계라고 하자. 이때 임의의 양수 에 대하여
∈ ≥
은 콤팩트집합이다.
증명
정의에 의하여
는 유계이다. 이제 결론에 반하여
가 콤팩트집합이 아니라고 가정하자. 그러면 하이네 -보렐 정리에 의하여
는 닫힌집합이 아니다. 즉 모든 항이
에 속하지만
밖의 점 에 수렴하는 수 열
이 존재한다. 이므로 양수 이 존재하여 다음 부등식을 만족시킨다. (19)
→ 이므로 자연수
이 존재하여
⊆ 을 만족시킨다. 그러면 (19)에 의하여 이 성립한다. 즉 인
데 이것은 ∈
라는 사실에 모순이다. ■보조정리