03 실수열의 극한
3.7 상극한과 하극한
수열
이 ≔ 으로 주어졌다고 하자.
의 항은 과 이 교대로 반복되어 나타나므로 수렴 하지 않는다. 그러나 부분수열
은 에 수렴하고
은 에 수렴한다. 또한
의 부분수열은보다 더 큰 값에 수렴할 수 없으며 보다 더 작은 값에 수렴할 수 없다. 즉 은
의 집적점 중에서 가장 큰 값이며 은
의 집적점 중에서 가장 작은 값이다. 이렇게 수열의 집적점 중에서 가장 큰 값을 상극한이라고 부르며, 가장 작은 값을 하극한이라고 부른다.정의 3.7.1 수열의 상극한과 하극한
실수열
의 집적점들의 모임을
라고 하자.(ⅰ)
이 위로 유계이고
가 공집합이 아닐 때 sup
를
의 상극한(limit superior)이라고 부른다.(ⅱ)
이 아래로 유계이고
가 공집합이 아닐 때 inf
를
의 하극한(limit inferior)이라고 부른다.실수 가 수열
의 상극한인 것을
lim
→ ∞
또는 limsup
→ ∞
로 나타낸다. 또한 실수 가 수열
의 하극한인 것을
lim
→ ∞
또는 liminf
→ ∞
로 나타낸다.
참고
3.7.2
이 유계가 아니거나
가 공집합인 경우의 상극한과 하극한은 다음과 같이 정의한다.(ⅰ)
이 위로 유계가 아니면
의 상극한을 ∞로 정의한다.(ⅱ)
이 아래로 유계가 아니면
의 하극한을 ∞로 정의한다.(ⅲ)
이 위로 유계이고
가 공집합이면
의 상극한을 ∞로 정의한다.(ⅳ)
이 아래로 유계이고
가 공집합이면
의 하극한을 ∞로 정의한다. □보기
3.7.3 다음은 상극한과 하극한의 예이다.
(ⅰ)
의 상극한은 이고 하극한은 이다.(ⅱ)
의 상극한은 ∞이고 하극한은 이다.(ⅲ)
의 상극한과 하극한은 모두 ∞이다.(ⅳ)
의 상극한과 하극한은 모두 ∞이다.(ⅴ) 일 때
의 상극한과 하극한은 모두 이다.(ⅵ)
의 상극한은 ∞이고 하극한은 ∞이다. □참고
3.7.4 수렴하는 수열은 상극한과 하극한이 동일하다. 왜냐하면 수렴하는 수열은 유계이고, 집적점을 하
나만 갖기 때문이다. □
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3.7 상극한과 하극한
수열의 극한을
명제로 정의한 것처럼 상극한도
명제로 정의할 수 있다.정리 3.7.5
을 이용한 상극한의 정의수열
이 유계이고 가 실수라고 하자. 이때 가
의 상극한일 필요충분조건은 두 조건 (ⅰ) ∀ ∃
∈ℕ ∀
→
(ⅱ) ∀ ∀
∈ℕ ∃
∧
을 모두 만족시키는 것이다.
증명*
위 정리에서 (ⅰ)은
의 부분수열이 보다 큰 값에 수렴할 수 없다는 뜻이며 (ⅱ)는 이상의 값에 수렴하는 부분수열이 존재한다는 뜻이다. 이 사실을 염두에 두고 증명을 하자.[⇒] 가
의 상극한이라고 하자. 만약 (ⅰ)을 부정하면 적당한 양수 이 존재하여 아무리 큰 자연 수
이 주어지더라도
이면서 ≥ 인 이 존재한다. 즉 ≥ 인 의 개수가 무한 이므로
의 부분수열 중에서 이상의 값에 수렴하는 것이 존재하게 된다. 이것은 가 상극한 이라는 데에 모순이다.만약 (ⅱ)를 부정하면 양수 과 자연수
이 존재하여
일 때마다 ≤ 이 성립한다. 유한 개의 을 제외하고 모두 ≤ 을 만족시키므로
의 부분수열 중 수렴하는 것은 이하 의 값에 수렴하게 된다. 이것은 가 상극한이라는 데에 모순이다.[⇐] 와
이 (ⅰ), (ⅱ)를 모두 만족시킨다고 하자. 그리고
의 상극한을 ′이라고 하자. 그러 면 ′에 수렴하는 부분수열
가 존재한다(문제 27 참조).만약 ′이라면 ≔ ′ 는 양수이므로 (ⅰ)에 의하여 자연수
이 존재하여
일 때마 다 ′ 이 성립한다. 즉 유한 개의 항을 제외하면 ′ 이므로
는 ′ 이하 의 값에 수렴한다. 이것은 모순이므로 ′ ≤ 이다.다음으로 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여
인 이 존재한다. 또한 임의의 자연수 에 대하 여 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 이 존재하여 이면서
을 만족시킨다. 이때 조임 정리에 의하여
는 에 수렴한다. 그런데 ′는
의 상극한이므로 ≤ ′이다. 따라서 ′이므로 는
의 상극한이다. ■하극한도 상극한과 마찬가지로
명제로 정의할 수 있다.따름정리
3.7.6
수열
이 유계이고 가 실수라고 하자. 이때 가
의 하극한일 필요충분조건은 (ⅰ) ∀ ∃
∈ℕ ∀
→
(ⅱ) ∀ ∀
∈ℕ ∃
∧
을 모두 만족시키는 것이다.
증명
정리 3.7.5의 증명에서 부등호의 방향과 의 부호만 바꾸면 된다. ■따름정리