04 실함수의 극한
5.6 볼록함수 *
5.6 볼록함수*
우리는 중학교에서 함수의 그래프의 볼록성에 따른 함수의 성질을 배웠다. 예를 들어 그래프가 아래로 볼록한 이차함수는 최솟값을 갖고 위로 볼록한 이차함수는 최댓값을 가진다.
이 절에서는 함수의 볼록성을 논리적으로 정의하고 그와 관련된 성질들을 살펴보자.
정의 5.6.1 볼록함수
가 공집합이 아닌 구간이고 가
에서 정의된 함수라고 하자.(ⅰ) 만약 ≤ ≤ 인 임의의 와
의 임의의 점 , 에 대하여 ≤
가 성립하면 ‘ 는
에서 아래로 볼록하다’ 또는 간단히 ‘ 는
에서 볼록하다(convex)’라고 말한다. 그 리고 를
위에서의 볼록함수라고 부른다.(ⅱ) 만약 가
에서 볼록하면 ‘ 는
에서 위로 볼록하다’ 또는 ‘ 는
에서 오목하다(concave)’라고 말한 다. 그리고 를
위에서의 오목함수라고 부른다.정의에 의하면 가
에서 볼록할 필요충분조건은 가
의 임의의 부분구간에서 볼록한 것이다. 또한 모든 일 차함수는
에서 볼록함수인 동시에 오목함수가 된다. [책에 따라서는 ‘오목’이라는 용어를 사용하지 않는 경우도 있다.]참고
5.6.2
가
에서 볼록할 필요충분조건은
의 임의의 부분구간 에 대하여 ℝ에서 , 를 이은 선분의 양 끝점을 제외한 모든 점이 의 그래프의 위쪽에 놓이는 것이다.
증명
가
에서 볼록하고 ∈ 라고 하자. 인 ∈ 을 택하자. 그러면 두 점 , 를 잇는 선분의 기울기는 이다. 따라서 이 선분 위의 점이면 를 만족시킨다. 가 볼록함수이므로 ≤ 이 성립한다.
역도 비슷한 방법으로 증명된다. ■
참고
5.6.3
함수 가 공집합이 아닌 열린구간 에서 볼록할 필요충분조건은 에서 의 그래프의 기울기가 증가하는 것이다. 즉 일 때마다
≤
가 성립하는 것이다.
증명
라고 하자. 그리고 두 점 , 를 잇는 선분을 그래프로 갖는 일차 함수를 라고 하자. 가 볼록하면 ≤ 이므로
≤
≤
가 성립한다. 역으로 가 볼록함수가 아니면 적당한 ∈ 에 대하여 이다. 따라서
가 성립한다. 따라서 에서 의 그래프의 기울기가 증가하지 않는 부분이 존재한다. ■
정리 5.6.4 볼록함수의 도함수 판정법
가 공집합이 아닌 열린구간
에서 미분 가능하다고 하자. 이때 가
에서 볼록함수일 필요충분조건은
에서 ′이 증가함수인 것이다.증명
가
≕ 에서 볼록하다고 가정하자. 그리고 의 두 점 , 에 대하여 라고 하자. 그 러면 충분히 작은 가 존재하여 , 를 만족시킨다. 따라서 참고 5.6.3에 의하여
≤
가 성립한다. 양변에 → 인 극한을 취하면 ′ ≤ ′를 얻는다.
역으로 ′이 에서 증가한다고 가정하자. 그리고 라고 하자. 그러면 평균값 정 리에 의하여 와 사이에 이 존재하고, 와 사이에 이 존재하여
′ 그리고
′
을 만족시킨다. 여기서 이므로 ′ ≤ ′이 성립한다. 따라서 참고 5.6.3에 의하여 는
에서 볼록하다. ■
따름정리
5.6.5 가 공집합이 아닌 열린구간
에서 두 번 미분 가능하다고 하자. 이때 가
에서 볼록함수일 필요충분조건은
에서 ″ ≥ 인 것이다. 이 명제를 볼록함수의 이계도함수 판정법이라고 부른다.증명
정리 5.3.7에 의하면 ″ ≥ 일 필요충분조건은 ′이
에서 증가하는 것이다. 따라서 정리 5.6.4에의하여 결론을 얻는다. ■
다음으로 함수의 볼록성과 연속성의 관계를 살펴보자.
정리 5.6.6 볼록함수의 연속성
함수 가 공집합이 아닌 열린구간
에서 볼록하면 는
에서 연속이다.증명
∈
≕ 라고 하자. 에서 의 우극한이 에 수렴함을 보이자. 라고 하자. , 을 잇는 선분을 그래프로 갖는 일차함수를 라고 하고, , 를 잇는 선분을 그래프로 갖는 일차함수를 라고 하자. 가 볼록함수이므로 참고 5.6.2에 의 하여 ≤ 가 성립한다. 은 , 를 잇는 선분 위 또는 그 아래쪽 에 있으므로 ≤ 가 성립한다. 따라서 임의의 ∈ 에 대하여
≤ ≤
가 성립한다. 그런데 와 의 그래프가 점 을 지나므로 → 일 때
→
, →
이 성립한다. 따라서 조임 정리에 의하여 → 을 얻는다. 같 은 방법으로 에서 의 좌극한도 에 수렴함을 보일 수 있다. 따라서 는 에서 연속이다.이
의 임의의 점이므로 는
에서 연속이다. ■153
5.6 볼록함수 참고
5.6.7
가 열린구간이 아니면 정리 5.6.6은 성립하지 않을 수도 있다. 예를 들어 에서 ≔
if ≤ if
로 정의된 함수 는 에서 볼록하지만 연속이 아니다. □
함수 가 의 근방에서 정의되었다고 하자. 만약 양수 가 존재하여 ∈
′일 때마다 이 성 립하면 ‘ 는 에서 고유극댓값(proper maximum)을 가진다’라고 말한다. 만약 이 부등식이 반대로 성립하면 ‘는 에서 고유극솟값(proper minimum)을 가진다’라고 말한다.
정리 5.6.8 볼록함수의 고유극값
(ⅰ) 함수 가 공집합이 아닌 열린구간 에서 볼록하면 는 에서 고유극댓값을 갖지 않는다.
(ⅱ) 가 ∞ 에서 볼록하고 고유극솟값을 가지면 → ∞일 때 → ∞이다.
증명
(ⅰ) 결론에 반하여 가 ∈ 에서 고유극댓값을 가진다고 가정하자. 그러면 인 , 가 존재하여 일 때마다 을 만족시킨다. 특히 , 를 잇는 선 분 위의 점은 의 아래쪽에 놓이게 된다. 이것은 모순이므로 는 에서 고유극댓값을 갖지 않는다.(ⅱ) 가 ∈ 에서 고유극솟값을 가진다고 하자. 인 점 이 임의로 주어졌다고 하자.
그리고 , 을 잇는 직선의 방정식을 라고 하자. 가 에서 고유극솟 값을 가지므로 , 인 점 이 존재한다. 따라서 의 그래프의 기울기는 양수이 다. 더욱이 정리 5.6.6에 의하여 임의의 ∈ ∞ 에 대하여 ≤ 이다. 그런데 → ∞일
때 → ∞이므로 → ∞를 얻는다. ■
끝으로 함수의 볼록성과 미분가능성의 관계를 살펴보자.
정리 5.6.9 볼록함수의 한방향 미분 가능성
함수 가 공집합이 아닌 열린구간 에서 볼록하면 의 모든 점에서 의 좌미분계수와 우미분 계수가 존재하며 그들은 각각 에서 유한값을 갖고 증가하는 함수이다.
증명
이면 , 를 잇는 선분의 기울이기는 이다. 참고 5.6.3에 의하여 음수 가 에 가까워질수록 이 분수식의 값은 증가한다. 따라서 단조수렴 정리에 의하 여 → 일 때 이 분수식은 유한값에 수렴한다. 비슷한 방법으로 → 일 때에도 이 분수식은 유한값에 수렴함을 알 수 있다. 따라서
≤
를 얻는다.이제
가 에서 증가함을 보이자. 의 점 , , , 에 대하여 라고 하자. 그러면
≤
가 성립한다. → , → 인 극한을 취하면
≤
≤
를 얻는다.즉
는 에서 증가한다. 같은 방법으로
도 에서 증가함을 보일 수 있다. ■개념 이해하기
1. 미분에 관한 다음 진술의 참 ․ 거짓 여부를 판별하여라.
(1) 함수 가 에서 연속이면 는 에서 미분 가능하다.
(2) 함수 가 에서 미분 가능할 때 의 도함수는 에서 연속이다.
(3) 함수 가 에서 미분 가능할 때 의 도함수는 에서 사잇값 성질을 가진다.
(4) 닫힌구간의 끝점에서도 미분계수가 정의된다.
(5) 두 함수 와 가 에서 각각 미분 가능하면 도 에서 미분 가능하다.
(6) 모든 다항함수는 ℝ에서 미분 가능하다.
(7) 도함수가 인 함수는 상수함수이다.
2. 함수 의 계도함수를
로 나타내지 않고
로 나타내는 이유가 무엇인지 설명하여라.
3. 함수의 정의역과 그 도함수의 정의역은 어떠한 관계가 있는지 설명하여라.
4. 최대정수함수는 다른 함수의 도함수가 될 수 있는지 자신의 의견을 서술하여라.
5. 두 함수 , 를
,
이라고 정의하면 ≠ 이지만 ′ ′이다. 이러한 일
이 발생한 이유를 설명하여라.
6. 다음과 같이 정의된 함수 의 도함수와 이계도함수를 구하여라.
(1) (2) (3)
(4)
7. 함수 의 그래프 위의 점 에서의 접선의 방정식과 법선의 방정식을 각각 구 하여라.
8. 함수 가 에서 미분 가능하고 , 가 이 아닌 실수일 때 다음을 계산하여라.
lim
→
9. 다음과 같이 정의된 함수 의 도함수가 ℝ에서 연속인지 판별하여라.
if ≤ if 10. 다음과 같이 정의된 함수 가 연속인 도함수를 갖도록 , 의 값을 정하여라.
if ≤ if 11. 함수 → ℝ가 다음과 같이 정의되었다.
if
if
if ≤ ≤
이때 구간 에서 가 평균값 정리의 가정을 만족시키도록 , , 의 값을 정하여라.
단원 마무리 문제
155
24. 함수 가 다음과 같이 주어졌을 때 는 오직 한 점에서만 미분 가능함을 증명하여라.
if ∈ ℚ
if ∉ ℚ
25. 함수 ℝ → ∞ 가 모든 점에서 미분 가능하고 ′ 를 만족시킨다고 하자.
(1) 가 ℝ에서 증가함수임을 증명하여라.
(2) 의 역함수의 도함수를 구하여라.
26. 함수 가 양의 길이를 갖는 닫힌구간 에서 연속이고 에서 미분 가능하며 을 만족시키고 임의의 에 대하여 ′ ≠ 이라고 하자. 이때 방정식 의 해가 에 유일하 게 존재함을 증명하여라.
27. 두 함수 와 가 ℝ에서 미분 가능하고 임의의 실수 에 대하여 ′ ′ ≠ 을 만 족시킨다고 하자. 또한 방정식 이 서로 다른 두 개의 근 , 만을 가진다고 하자. 이때 방정 식 의 근이 와 사이에 유일하게 존재함을 증명하여라.
28. 함수 가 열린구간 에서 음이 아니고 의 삼계 도함수가 존재하며 의 서로 다른 두 점 ,
가 존재하여 을 만족시킨다고 하자. 이때 인 점 가 에 존재함을 증명하여라.
29. 함수 가 에서 두 번 이상 미분 가능하다고 하자. 만약 가 의 점 에서 극솟값을 가지면
″ ≥ 임을 증명하여라. 만약 가 의 점 에서 극댓값을 가지면 ″ ≤ 임을 증명하여 라.
30. ℝ → ℝ가 우함수이고 미분 가능할 때 ′은 기함수임을 증명하여라. 또한 ℝ → ℝ가 기함 수이고 미분 가능할 때 ′은 우함수임을 증명하여라.
31. 다음 조건을 모두 만족시키는 함수 의 예를 들어라.
(1) 는 열린구간 에서 정의되었다.
(2) 는 에서 미분 가능하고 ′ 이다.
(3) 는 을 원소로 갖는 어떠한 구간에서도 증가함수가 되지 못한다.
실력 다지기
32. 이 이상인 자연수이고 함수 → ℝ가 으로 정의되었다고 하자. 이때 방정식 은 과 사이에 개의 서로 다른 실근을 가짐을 보여라.
33. 다음 조건을 모두 만족시키는 함수 의 예를 들어라.
(1) 는 열린구간 에서 정의되었고 이 구간에서 연속이다.
(2) 는 에서 미분 가능하고 ′ 이다.
(3) 는 을 원소로 갖는 어떠한 구간에서도 증가함수가 되지 못한다.
34. 함수 가 구간
에서 미분 가능하고 가
의 내점이라고 하자. 이때 모든 항이
에 속하고 에 수렴하 는 단조수열
이 존재하여 ′ → ′를 만족시킴을 증명하여라. 또한 이때 에서 ′의 극34. 함수 가 구간