04 실함수의 극한
5.1 미분계수와 도함수
함수
→ ℝ의 그래프 위의 점 에서 의 그래프에 접하는 직선의 기울기를 구해보 자. 정의역의 원소 에 대하여 ≠ 일 때 ≔
는 두 점 , 를 잇는 선분의 기울기가 된다. 이때 를 의 값이 에서 까지 변할 때의
의 평균변화율이라고 부른다. ≔ , ≔ 라고 하면 위 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
05 실함수의 미분
133
5.1 미분계수와 도함수
여기서 를 에 접근시키면 의 값은 에 가까워지고, 의 값은 점 에서 함수의 그래프에 접하 는 직선의 기울기에 가까워진다. 따라서 극한 개념을 이용하면 접선의 기울기는
≔lim
→
lim
→
가 된다. 이 값을 에서 의 순간변화율이라고 부른다.
보기
5.1.1 ≔
, ≔ 일 때 의 그래프 위의 점 에서 접선의 기울기는
lim
→
lim
→
lim
→
이다. 실제로 그래프 소프트웨어를 이용하여 함수 의 그래프를 그려보면 점 에서 의 그래 와 직선 이 접하는 것을 볼 수 있다.
□
이러한 개념을 바탕으로 미분을 정의한다.
정의 5.1.2 미분
실함수
→ ℝ가 점 ∈
에서 미분 가능하다(differentiable)는 것은 극한lim
→
(1) 가 수렴하는 것을 의미한다. 이 극한을 에서 의 미분계수(derivative)라고 부르며 ′ 또는
로 나타낸다. [‘계수’라는 이름이 붙은 이유를 생각해보자.]함수 가
의 각 점에서 미분 가능하면 ′은
에서의 함수가 된다. 이때 ′을 의 도함수(derivative func-tion)라고 부른다. 의 도함수 ′을
, 또는
로 나타내기도 한다. 또한 일 때에는 ′을
′ 또는
로 나타내기도 한다.
함수 의 도함수 ′을 미분한 함수 ″을 이계도함수라고 부른다. 즉 ″은 를 두 번 미분한 것이다. 마찬가 지로 를 번 미분한 함수를 계도함수라고 부르며
,
또는
으로 나타낸다. 일 때에는 의 계도함수를
또는
로 나타내기도 한다. 사실 계도함수는 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.
≔ , ≔
′극한에서 좌극한과 우극한을 생각한 것처럼 미분계수도 좌미분계수와 우미분계수를 생각할 수 있다.
정의 5.1.3 한방향 미분계수
함수
→ ℝ와 점 ∈
에 대하여 다음과 같이 정의한다.(ⅰ) 에서 의 좌미분계수 :
≔ ′ ≔lim
→
(ⅱ) 에서 의 우미분계수 :
≔ ′ ≔lim
→
극한의 정의에 의하면 일 때 함수 → ℝ에 대하여
′ ≔ ′ , ′ ≔ ′
이다. 즉 구간의 왼쪽 끝점에서의 미분계수는 우미분계수로 정의되며, 구간의 오른쪽 끝점에서의 미분계수는 좌 미분계수로 정의된다.
한방향 극한의 성질(정리 4.1.14)에 의하여 다음을 얻는다.
함수
→ ℝ와 점 ∈
, 실수
가 주어졌다고 하자. 그리고 가
의 좌집적점이면서 우집적점 이라고 하자. 이때 ′
일 필요충분조건은 ′ ′
인 것이다.135
5.1 미분계수와 도함수
미분 가능성을 정의하는 방법을 두 가지 더 살펴보자. 먼저
, ≠ (2)
로 정의된 평균변화율함수를 이용하는 방법이다.
정리 5.1.4 평균변화율함수를 이용한 미분계수의 정의
함수
→ ℝ가 ∈
에서 미분 가능할 필요충분조건은 함수
→ ℝ가 존재하여
는 에서 연속이고 임의의 ∈
에 대하여
(3) 를 만족시키는 것이다. 이때
′가 된다.증명
함수 가 에서 미분 가능하다고 하자. 그러면 극한 (1)이 ′로서 존재한다. ≠ 일 때에는
를 (2) 로 정의하고, 일 때에는
≔ ′라고 하자. 그러면 임의의 ∈
에 대하여 (3)이 성립하고
는 에서 연속이다.역으로 (3)이 성립한다고 하자. 그러면 ∈
∖에 대하여 (2)가 성립한다.
는 에서 연속이므로(2)에 → 인 극한을 취하면
′를 얻는다. ■따름정리
5.1.5
함수
→ ℝ가 ∈
에서 미분 가능하면 는 에서 연속이다.증명
가 에서 미분 가능하면 정리 5.1.4를 만족시키는 함수
가 존재한다. 이때lim
→
lim
→
′⋅ 이므로 는 에서 연속이다. ■
다음으로는 일차근사식을 이용하는 방법이다. 즉 미분 가능한 함수는 미분 가능한 점 주변에서 일차함수와 비 슷하다는 것이다.
정리 5.1.6 일차근사식을 이용한 미분계수의 정의
함수
→ ℝ가 ∈
에서 미분 가능할 필요충분조건은
꼴의 선형함수
가 존재하여lim
→
(4)
을 만족시키는 것이다.
증명
가 에서 미분 가능하다고 하자. ≔ ′,
≔ 라고 하면 (1)에 의하여 → 일 때
′ →
을 얻는다. 역으로
≔ 로 정의된 함수
에 대하여 (4)가 성립한다고 하자. 그러면 ≠ 일 때
가 성립한다. 여기에 → 인 극한을 취하면 ′ 을 얻는다. ■
참고
5.1.7 일반적으로 따름정리 5.1.5의 역은 성립하지 않는다. 즉 함수 가 미분 가능한 점에서 연속이지
만 연속인 점에서 항상 미분 가능한 것은 아니다. 예컨대 ≔ 라고 하면 는 에서 연속이지만 미분 불 가능하다.한편 는
≔ ∞ 에서 미분 가능하고
≔ ∞ 에서 미분 가능하지만
∪
에서는 미분 가능하지 않다. 즉 함수가 두 집합 위에서 각각 미분 가능하더라도 그들의 합집합 위에서는 미분 가능하지 않을 수 있다.□
참고
5.1.8 함수 가 미분 가능하다고 해서 그 점에서 ′이 연속이 되는 것은 아니다. 예를 들어
≔
sin if ≠
if
으로 정의된 함수 ℝ → ℝ가 주어졌다고 하자. 그러면 ≠ 일 때
′ sin
cos
그리고 ′
lim
→ sin
이다. 즉 는 ℝ에서 미분 가능하다. 그러나
lim
→
′ ,
lim
→
′
이므로 ′은 에서 연속이 아니다. □
가 길이가 양수인 구간이고 이 자연수라고 하자. 이때
에서 연속인 함수들의 모임을
또는
로 나타낸다. 그리고
의 모든 점에서 번 미분 가능한 실함수들의 모임을
로 나타내며,
에 속하는 함수 중에서 계도함수가
에서 연속인 함수들을
로 나타낸다. 즉∙
≔
∈ℝ exists on
∙
≔
∈ℝ exists and is continuous on
로 정의한다. 또한 임의의 에 대하여
에 속하는 함수들의 모임을
∞
로 나타낸다. 즉
∞
≔
∈ℝ ∈
for all ∈ℕ으로 정의한다. ∈
일 때 ‘ 는
에서 연속적으로 번 미분 가능하다’ 또는 ‘ 는
에서
급이다’라고 말하며, 특히 ∈
일 때 ‘ 는
에서 연속적으로 미분 가능하다(continuously differentiable)’라고 말한다.
를 구간으로 나타낼 때에는 괄호를 생략하여 나타낸다. 예를 들어
는 간단히
로 나타낸다.참고
5.1.9 참고 5.1.8에 의하여
⊊
임을 알 수 있다. 또한 따름정리 5.1.5에 의하여 일 때
∞
⊊
⊊
임을 알 수 있다. (‘임의의 횟수로 미분 가능하다’보다 더 강한 조건으로 ‘해석적’이라는 조건을 생각할 수 있다. 이와 관련하여 참고
8.5.4를 보기 바란다.) □