∈
∈
∅을 얻는다. □
두 집합
와
의 데카르트 곱을 다음과 같이 정의한다. [ ×는 ‘ 곱 ’라고 읽는다.]
×
≔ ∈
∧ ∈
같은 방법으로 집합
,
, ⋯,
의 데카르트 곱을
×
×⋯×
≔
⋯ ∀ ∈
로 정의한다. 이것을 간단하게
×
×⋯×
으로 나타낸다. 특히
을 다음과 같이 정의한다.
≔
times
×
×⋯×
보기
1.2.4 일 때 ℝ
ℝ는 꼴의 순서쌍의 모임이다. 즉 ℝ는 중학교에서 배운 좌표평면이다. 또한 ℝ는 좌표공간이다. □
1.3 관계와 분할
집합
가 모든 자연수의 모임이고,
가 모든 실수의 모임이라고 하자. 그리고
∈
×
이라고 하자. 그러면 가 의 제곱이 될 때에만 ∈
가 성립한다. 즉 ∈
라는 것은 두 원소 와 사이에 ‘는 의 제곱이다’라는 관계가 있다는 것을 의미한다. 이렇듯 두 원소의 관계를 순서쌍들의 집 합으로 정의할 수 있다.두 집합
,
에 대하여
×
의 부분집합
를
로부터
로의 관계(relation)라고 부른다. 보통 ∈
를
또는
로 나타내며 ‘와 는
의 관계가 있다’라고 읽는다. [간단히 ‘a R b’라고 읽기도 한다.]보기
1.3.1
∈ℕ × ℕ ≤ 라고 하자. 그러면
는 ℕ으로부터 ℕ으로의 관계이다. □
로부터
로의 관계가 항상 특정한 규칙을 가지는 것은 아니다.
×
의 임의의 부분집합은
로부터
로 의 관계가 된다. [사실 ‘규칙’의 뜻을 명확하게 정의하는 일은 쉽지 않다.]21
1.3 관계와 분할 보기
1.3.2
,
라고 하자. 그리고
라고 하자. 그러면
는
로부터
로의 관계이다. 이때
는
∈
×
와 같이 나타낼 수도 있다. □
가
로부터
로의 관계인 것을
→
로 나타내기도 한다. 이때
를
의 공역(codomain)이라고 부 른다. 또한
로부터
로의 관계
에 대하여 다음과 같이 정의한다.∙
의 정의역(domain) : dom
≔ ∈
∃∈
∈
∙
의 치역(range) : ran
≔ im
≔ ∈
∃∈
∈
가
로부터
로의 관계일 때,
의 역관계(inverse relation)를
≔ ∈
×
∈
로 정의한다. 이때
는
로부터
로의 관계가 된다. 또한
의 정의역은
의 치역이 되며,
의 치역 은
의 정의역이 된다. [ 는 ‘R inverse’라고 읽는다.]세 집합
,
,
와 두 관계
→
,
→
에 대하여
와
의 합성관계(composition)를
∘
≔ ∃∈
∈
∧ ∈
로 정의한다. 이때
∘
는
로부터
로의 관계가 된다. [ ∘는 ‘S 합성 R’라고 읽는다.]보기
1.3.3
∈ℕ × ℕ ≤ 의 역관계는
∈ℕ × ℕ ≤ 이다. □보기
1.3.4
,
라고 하자. 그리고
라고 하자. 이때
의 역관계는
이다. □
보기
1.3.5 세 집합
,
,
를 각각
ℝ,
∈ℝ ≥ ,
∈ℝ ≥ 이라고 정의하자. 그리고 두 관계
,
를 각각
∈
×
,
∈
×
이라고 정의하자. 이때 합성관계
∘
를 구해보자. 위 식에서 문자를 바꾸어 쓰면 다음과 같다.
∈
×
,
∈
×
합성관계의 정의에 의하면
∈
∘
⇔ ∃∈
∈
∧ ∈
⇔
∃∈
∧
⇔
∃∈
이다. 그런데 마지막 식은 와 관계 없으므로 존재기호를 없애도 된다. 즉
∈
∘
⇔ 이다. 따라서
∘
∈
×
이 된다. 문자를 바꾸어 쓰면
∘
∈
×
이라고 쓸 수 있다. 이를 통해 합성관계는 고등학교에서 배웠던 합성함수와 비슷한 개념임을 알 수 있다. □
가
로부터
로의 관계일 때, 이것을 간단히 ‘
는
에서의 관계이다’라고 말한다.
가 집합이고
가
에서의 관계일 때, 다음과 같이 정의한다.∙
가 반사적(reflexive)이라는 것은 ∀∈
를 만족시키는 것이다.∙
가 대칭적(symmetric)이라는 것은
⇔
를 만족시키는 것이다.∙
가 추이적(transitive)이라는 것은
∧
⇒
를 만족시키는 것이다.∙ 반사적이고 대칭적이며 추이적인 관계를 동치관계(equivalent relation)라고 부른다.
보기
1.3.6 ℝ에서의 관계
∈ℝ × ℝ 는 동치관계이다. 왜냐하면∙ 임의의 실수 에 대하여 이다,
∙ 일 필요충분조건은 인 것이다,
∙ 이고 이면 이다
가 모두 성립하기 때문이다. 즉 ‘두 원소가 서로 같다’라는 관계는 동치관계이다. □
보기
1.3.7
공집합이 아닌 집합
에 대하여 ∈
×
는
에서의 가장 작은 동치 관계이다. 이 관계를
에서의 대각관계(diagonal relation)라고 부른다. 한편
×
는 그 자체로
에서의 동치관계이며,
에서 가장 큰 동치관계이다. □보기
1.3.8 복소수 집합 ℂ에서의 관계
∈ℂ × ℂ 는 동치관계이다. □보기
1.3.9 정수 집합 ℤ에서의 관계
를 ∈
⇔ (를 으로 나누었을 때의 나머지)(를 으로 나누었을 때의 나머지)로 정의하자. 이때
는 ℤ에서의 동치관계가 된다. 여기서 을 이 아닌 다른 정수로 바꾸어도
는 동치관계가 된다. □
23
1.3 관계와 분할
집합
에서의 관계
에 대하여 다음과 같이 정의한다.∙
가 반대칭적(antisymmetric)이라는 것은
∧
⇒ 를 만족시키는 것이다.∙ 반사적이고 추이적이며 반대칭적인 관계를 순서관계(order relation)라고 부른다.
보기
1.3.10 우리가 부등호로 나타내는 대소 관계 ≤는 ℝ에서의 순서관계이다. 왜냐하면
∙ 임의의 실수 에 대하여 ≤ 이다,
∙ ≤ 이고 ≤ 이면 ≤ 이다,
∙ ≤ 이고 ≤ 이면 이다
가 모두 성립하기 때문이다. □
가
에서의 동치관계일 때 ∈
의 동치류(equivalence class)를≔ ∈
∈
로 정의한다. 즉 의 동치류란
에 의해 와 관계가 있는 원소들을 모두 모은 것이다. 경우에 따라서는 의 동치류를 또는
로 나타내기도 한다.
에서의 동치관계
에 의한 동치류들을 모두 모은 집합을
에 의 한
의 상집합(quotient set)이라고 부르며
로 나타낸다.보기
1.3.11 정수 집합 ℤ에서의 관계
를 ∈
⇔ (를 으로 나누었을 때의 나머지)(를 으로 나누었을 때의 나머지) 로 정의하자. 이때 의 동치류는 으로 나누었을 때 나머지가 인 정수들의 모임이므로 ⋯ ⋯
이다. 마찬가지로
⋯ ⋯ ⋯,
⋯ ⋯ ⋯, 이다. 이때
에 의한 ℤ의 상집합은ℤ
이다. □
위 보기에서 ℤ
의 세 원소 , , 는 모두 공집합이 아니고 서로소이다. 또한 이 세 집합을 합집 합하면 ℤ가 된다. 이러한 집합을 분할이라고 부른다.즉 집합
의 부분집합들의 모임
가 두 조건∙
의 원소들은 공집합이 아니고 쌍마다 서로소이다,∙
의 모든 원소의 합집합은
가 된다를 모두 만족시키면
를
의 분할(partition)이라고 부른다.정의에 의하면
에서의 동치관계
에 대하여 상집합
는
의 분할이 된다. 즉 집합
에 하나의 동치관 계가 주어질 때마다 그에 따른 분할이 존재한다.역으로 집합
의 분할
가 주어질 때마다 그에 따른 동치관계를 생각할 수 있다. 즉
에서의 관계
를
⇔ ∃∈
∈ ∧ ∈로 정의하면