03 실수열의 극한
3.2 극한의 계산
극한의 정의는 수열의 극한이 수렴하거나 발산함을 증명하는 데에 사용되지만 극한의 정의가 수열의 극한을 구 하는 구체적인 방법을 제공하지는 않는다. 그러나 극한의 정의를 이용하여 유리식으로 정의된 수열의 극한을 구하는 공식을 만들 수 있다.
두 수열
,
의 각 항을 사칙계산으로 결합하여 새로운 수열을 만들 수 있다. 이를테면 수열
은 두수열의 각 항을 더하여 얻은 수열이며
은 두 수열의 각 항을 곱하여 얻은 수열이다. 이렇게 얻어진 수 열의 극한이 본래의 수열의 극한과 어떠한 관계가 있는지 살펴보자.정리 3.2.1 수열의 합과 극한
두 수열
,
이 각각 수렴하면
도 수렴하고 다음이 성립한다.lim
→ ∞
lim
→ ∞
lim
→ ∞
(1)
증명
(1)의 양변 모두 극한이다. 그러나 우변은 이미 정해진 값이므로 상수로 생각하고 좌변의 극한이 우변에 수렴함을 증명하면 된다.
에
에 수렴하고
이
에 수렴한다고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면도 양수이므로 극한의 정의에 의하여 자연수
이 존재하여
일 때마다
이 성립한다. 마찬가지로 극한의 정의에 의하여 자연수
가 존재하여
일 때마다
이 성립한다.
≔ max
라고 하자. 그러면
일 때마다
≤
이 성립한다. 따라서
은
에 수렴한다. ■두 수열을 곱하여 얻은 수열의 극한의 성질도 이와 비슷하다.
정리 3.2.2 수열의 곱과 극한
두 수열
,
이 각각 수렴하면
도 수렴하고 다음이 성립한다. → ∞
lim
→ ∞lim
→ ∞lim
증명
에
에 수렴하고
이
에 수렴한다고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 수렴하 는 수열은 유계이므로 양수
이 존재하여 임의의 에 대하여
을 만족시킨다.75
정리 3.2.6 수열의 몫의 극한
77
따름정리
3.2.12 수열
이 수렴하고 인 항 의 개수가 유한이면lim
→ ∞
≥ 이다.
증명
따름정리 3.2.11에 의하여lim
→ ∞
≥
lim
→ ∞
이다. ■
참고
3.2.13
수렴하는 수열들의 집합을
라고 하자.
의 두 원소
,
에 대하여 ≤ ⇔
인 의 개수가 유한이다라고 정의하고 극한이 같은 두 수열을 서로 동치인 것으로 간주하면 〈
≤〉는 전순서집합이 된다. 따름정 리 3.2.11에 의하면 ≤ 일 때lim
≤lim
이 성립한다. 따라서 수열의 극한은
로부터 ℝ로의 순서보존사상이다. □
참고
3.2.14
두 수열
,
이 각각
,
에 수렴하고 임의의 에 대하여 일지라도
일 수도 있다. 예를 들어 ≔ , ≔ 이라고 하면 임의의 에 대하여 이지만 두 수열 모두에 수렴한다. □
정리 3.2.15 조임 정리
세 수열
,
,
이 주어졌다고 하자. 만약 유한 개를 제외한 에 대하여 ≤ ≤ 이 성 립하고
과
이 동일한 값
에 수렴하면
도
에 수렴한다.증명
정리의 조건에 의하여 자연수
가 존재하여 ≥
일 때마다 ≤ ≤ 이 성립한다.[‘유한 개를 제외한’이 무슨 뜻인지 깊게 생각해보자.]
이제 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 자연수
이 존재하여
일 때마다
이 성립한다. 마찬가지로 자연수
가 존재하여
일 때마다
이 성립한다.
≔ max
라고 하자. 그러면
일 때마다
≤
≤
이므로
이 성립한다. 따라서
은
에 수렴한다. ■예제
3.2.16
일 때lim
→ ∞
임을 보여라.
풀이
≔ 이라고 하면 이고
이다. 베르누이 부등식에 의하여 자연수 에 대하여
≤
이 성립한다. 여기서
lim
→ ∞
,
lim
→ ∞
이므로 조임 정리에 의하여