04 실함수의 극한
4.3 연속함수
4.3 연속함수
고등학교에서는 함수 가 에서 연속인 것을 에서 의 극한이 에 수렴하는 것으로 정의한다. 그러나 이러한 정의만으로는 일반적인 함수의 연속성을 논하기 어렵다. 이 절에서는 함수의 연속성을 논리적으로 정의 하고 연속함수의 성질을 살펴본다.
정의 4.3.1 함수의 연속
함수
→ ℝ와 정의역의 점 가 주어졌다고 하자. 만약 임의의 양수 에 대하여 양수 가 존재하 여 , ∈
일 때마다 이 성립하면 ‘ 는 에서 연속이다(continuous at a)’라고 말한다.
⊆
이고 임의의 ∈
에서 가 연속이면 ‘ 는
에서 연속이다(continuous on E)’라고 말한다.가 정의역의 모든 점에서 연속이면 를 연속함수(continuous function)라고 부른다.
고등학교 과정에서처럼 극한을 이용하여 점 에서 의 연속성을 정의하면 가 의 정의역의 집적점일 때에만 정의된다. 그러나 위와 같은 정의는 가 의 정의역의 집적점이 아닐 때에도 정의된다.
정리 4.3.2 연속성과 극한의 관계
함수
→ ℝ와 정의역의 점 가 주어졌다고 하자. 이때 가 에서 연속일 필요충분조건은 가
의 집적점이 아니거나, 가
의 집적점인 경우 에서 의 극한이 에 수렴하는 것이다.증명
[⇒] 명제 → ∨ 가 참임을 증명할 때에는 ‘가 참이지만 는 거짓이라고 가정하면 결국 가 참이 된다’를 증명하면 된다. 가 에서 연속이고 가
의 집적점이라고 하자. 그리고 양수 이 임의 로 주어졌다고 하자. 연속의 정의에 의하여 양수 가 존재하여 일 때 이 성립한다. 이때 이면 이므로 당연히 이 성립한다. 따라서 는 에서 에 수렴한다.[⇐] 먼저 가
의 집적점이 아닌 경우를 증명하자.
가
의 집적점이 아니므로
′∩
∅인 양수 가 존재한다. 즉
∩
이다. 따라서 임의의 양수 과 에 대하여 ,∈
인 점은 뿐이므로 당연히 이 성립한다.이번에는 가
의 집적점이고 에서 가 에 수렴하는 경우를 증명하자. 양수 이 임의로 주어졌 다고 하자. 그러면 양수 가 존재하여 일 때마다 이 성립한다. 여기서 라고 하면 ≠ 일 때에는 이므로 이고, 일 때에는 자명하게 이 성립한다. 따라서 는 에서 연속이다. ■
참고
4.3.3
∈
이면서 ∉
′일 때 를
의 고립점(isolated point)이라고 부른다. 따라서 위 정리는 다음 과 같이 나타낼 수 있다.함수
→ ℝ와 정의역의 점 가 주어졌다고 하자. 이때 가 에서 연속일 필요충분조건은 가
의 고립점이거나, 가
의 집적점인 경우 에서 의 극한이 에 수렴하는 것이다.함수의 연속성은 열린집합을 이용하여 정의할 수도 있다.
정리 4.3.4 열린집합을 이용한 연속함수의 정의
함수
→ ℝ가 연속함수일 필요충분조건은 임의의 열린집합
에 대하여
가
에서의 열 린집합인 것이다. [위상수학에서는 이것이 연속함수의 정의이다.]증명
[⇒] 가
에서 연속이라고 하자. 그리고
가 열린집합이라고 하자.
≔
라고 하자. 만약
가 공집합이면 정리의 결론을 얻는다. 따라서
가 공집합이 아니고 점 를 원소로 가진다고 하자. 그리 고 ≔ 라고 하자. 그러면 ∈
이다.
가 열린집합이므로
⊆
인 양수 이 존재한다. 가 에서 연속이므로 양수 가 존재하여 , ∈
일 때마다 이 성립한다.이것은
∩
⊆
를 의미하므로
는 열린집합이다.[⇐] 임의의 열린집합
에 대하여
가
에서의 열린집합이라고 하자. 그리고 ∈
라고 하자.만약 가
의 고립점이면 정리 4.3.2에 의하여 는 에서 연속이다. 이제 가
의 집적점이라고 하 자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다고 하자.
는 열린집합이므로
는
에서의 열린집합이다. 따라서
∩
⊆
인 양수 가 존재한다. 즉 , ∈
일 때마다 이 성립한다. 따라서 는 에서 연속이다. ■정리 4.3.5 합성함수의 연속성
함수
→
와
→
가 연속이면 합성함수 ∘
→
도 연속이다.증명
가 열린집합이라고 하자. 가 연속함수이므로 정리 4.3.4에 의하여
는
에서의 열린집합이 다. 가 연속함수이므로 정리 4.3.4에 의하여
는
에서의 열린집합이다. 즉 임의의 열린 집합
에 대하여 ∘
가 열린집합이므로 정리 4.3.4에 의하여 ∘ 는 연속함수이다. ■
다른 방법의 증명
의 원소 가 임의로 주어졌다고 하고 라고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌 다고 하자. 가 에서 연속이므로 양수 이 존재하여 일 때마다 이 성립 한다. 가 에서 연속이므로 양수 가 존재하여 일 때마다 이 성립한다.따라서 동일한 에 대하여 일 때마다 이 성립하
므로 ∘ 는 에서 연속이다. ■
정리 4.3.6 사칙계산으로 만들어진 함수의 연속성
두 함수
→ ℝ와
→ ℝ가 ∈
에서 연속이면 , 도 에서 연속이다. 더욱이 만 약 ≠ 이면 는 에서 연속이다.증명
만약 가
의 고립점이면 , , 는 에서 연속이다. 가
의 집적점이면 극한의 성질에 의 하여 → 일 때 → , → 이므로 와 는 에 서 연속이다. 또한 ≠ 이면 → 일 때 → 이므로 도 에서 연속이다. ■
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4.3 연속함수
극한을 좌극한과 우극한으로 구분한 것처럼 연속성도 좌연속과 우연속으로 구분할 수 있다.
정의 4.3.7 한방향 연속
함수
→ ℝ와 정의역의 점 가 주어졌다고 하자.(ⅰ) 임의의 양수 에 대하여 양수 가 존재하여 , ∈
일 때마다 이 성립하면 ‘ 는 에서 좌연속(left continuous)이다’라고 말한다.(ⅱ) 임의의 양수 에 대하여 양수 가 존재하여 , ∈
일 때마다 이 성립하면 ‘ 는 에서 우연속(right continuous)이다’라고 말한다.보기
4.3.8
열린구간
에 대하여 특성함수 ℝ → ℝ는 에서 좌연속이지만 우연속이 아니 고, 에서 좌연속이 아니지만 우연속이다. 한편 특성함수 ℚ ℝ → ℝ는 어떤 점에서도 좌연속이 아니며우연속도 아니다. □
보기
4.3.9 실수 에 대하여
최대정수함수를 ≔ max∈ℤ ≤ 로 정의한다. 가 정수일 때 최 대정수함수는 에서 불연속이지만 우연속이다. 그러나 에서 좌연속은 아니다. 한편 최대정수함수는 정수가 아닌 모든 점에서 연속이다. [최대정수함수는 ‘가우스 함수’라고도 불린다.] □
좌연속과 우연속은 연속의 정의에서 조건 를 변형하여 얻어진 것이다. 마찬가지로 연속의 정의에서
을 변형하여 다음과 같은 정의를 얻을 수 있다.
정의 4.3.10 상반 ․ 하반연속
함수
→ ℝ와 정의역의 점 가 주어졌다고 하자.(ⅰ) 임의의 양수 에 대하여 양수 가 존재하여 , ∈
일 때마다 ≤ 이 성립 하면 ‘ 는 에서 상반연속(upper semi-continuous)이다’라고 말한다.(ⅱ) 임의의 양수 에 대하여 양수 가 존재하여 , ∈
일 때마다 ≤ 가 성립 하면 ‘ 는 에서 하반연속(lower semi-continuous)이다’라고 말한다.보기
4.3.11 함수
ℝ → ℝ는 에서 하반연속이지만 상반연속은 아니다. □보기
4.3.12 최대정수함수는 정수인 점에서 상반연속이지만 하반연속은 아니다. 정수가 아닌 점에서는 상반
연속인 동시에 하반연속이다. □
다음은 한방향 연속과 상반 ․ 하반연속의 정의에 의하여 자명하게 성립한다.
정리 4.3.13 연속성 개념들의 관계
함수
→ ℝ와 정의역의 점 가 주어졌다고 하자. 이때 다음 세 명제는 동치이다.(ⅰ) 는 에서 연속이다.
(ⅱ) 는 에서 좌연속인 동시에 우연속이다.
(ⅲ) 는 에서 상반연속인 동시에 하반연속이다.
지금부터는 닫힌집합 위에서의 연속함수의 성질을 살펴보자.
정리 4.3.14 콤팩트집합 위에서 연속함수의 성질
함수
→ ℝ가 연속이고
가 콤팩트집합이면
도 콤팩트집합이다.증명
∈
가
의 열린덮개라고 하자. 그러면
∈
는
의 덮개가 된다. 또한 각 에 대하여
∩
인 열린집합
가 존재한다. 이때
∈
는
의 열린덮개 가 된다.
가 콤팩트집합이므로 유한 개의 열린집합
,
, ⋯,
이 존재하여
⊆
를 만족시킨다. 이때
∩
⊆
이므로
⋯
은
를 덮는
∈
의 유한부분덮개이다. 따라서
는 콤팩트집합이다. ■
정리 4.3.15 연속함수의 최대 ․ 최소
함수
→ ℝ가 연속이고
가 콤팩트집합이며 공집합이 아니면 는
에서 유계이다. 더욱이 는
에서 최댓값과 최솟값을 가진다.증명
는 콤팩트집합이므로 유계이다. 따라서 상한과 하한을 가진다.
의 상한을
, 하한을
라고 하자.
는 닫힌집합이므로
의 상한과 하한은
에 속한다. 즉
max
∈
,
min
∈
가 성립한다. 따라서 적당한 두 점 , 가 존재하여
max
,
min
를 만족시킨다. ■
참고
4.3.16 일반적으로 정리 4.3.15의 역은 성립하지 않는다. 즉 콤팩트가 아닌 집합 위에서도 연속함수가
최댓값이나 최솟값을 가질 수 있다. 예컨대 두 함수 ∞ → ℝ, ℝ → ℝ를 ≔
, ≔
으로 정의하면 와 는 모두 연속함수이다.
(ⅰ) 는 에서 유계가 아니지만 콤팩트집합 에서는 유계이고 최댓값 , 최솟값
을 가진다.
는 콤팩트집합이 아니지만 는 에서 유계이다. 그러나 에서 최댓값이나 최솟값을 갖 지는 않는다.
(ⅱ) 는 ℝ에서 유계가 아니고 최댓값을 갖지 않는다. 그러나 는 ℝ에서 최솟값을 가진다. 는 콤팩트집합
에서 유계이고 최댓값 , 최솟값 을 가진다. □
117
4.3 연속함수
정리 4.3.17 연속함수의 사잇값 성질 (사잇값 정리)
함수 → ℝ가 연속이고 ≠ 라고 하자. 그러면 와 사이에 있는 임의의
에 대하여
를 만족시키는 점 가 에 존재한다.증명
인 경우를 증명하자.
라고 하자. 그리고
≔ ∈
라고 하자. 먼저 ∈
이므로
≠ ∅이다. 또한
⊆ 이므로
는 유계이다. 따라서 ≔ sup
가 존재한다.
임을 보이자.는
의 상한이므로 임의의 자연수 에 대하여 ≤ 인 ∈
가 존재한다. 이때
의 정의에 의하여
이다.다음으로 는 에서 연속이고
이므로 양수 가 존재하여 일 때마다
를 만족시킨다. 따라서 이다. ≔ 이라고 하면 ≤ 이므로 ∉
이다. 이때
≤
이다.두 수열
과
은 모두 에 수렴하고 는 에서 연속이므로
≤lim
→ ∞
lim
→ ∞
≤
이다. 따라서
이다. ■정리 4.3.18 역함수의 연속성
함수
→
가 일대일대응이고 연속이며
가 콤팩트집합이면
→
도 연속함수이다.증명
→
가 연속함수임을 증명하려면 임의의 열린집합
에 대하여
가 열린집합이 된다는 것을 증명해야 한다. 그런데
가 콤팩트집합이고
이므로
도 콤팩트집합이다. 따라서 임의의 열린집합
에 대하여
가 열린집합이 된다는 것을 증명하는 대신 다음 명제를 증명 하면 된다.“임의의 닫힌집합
에 대하여
가 닫힌집합이 된다.”이제 위 명제를 증명하자.
가 ℝ에서의 닫힌집합이라고 하자. 의 정의역이
이므로
∩
이다. 그런데
∩
는 콤팩트집합이므로
∩
도 콤팩트집합이다. 즉
는 닫힌집합이다. 그러므로 는 연속함수이다. ■
참고
4.3.19 함수
→
가 일대일대응이고 연속일지라도
가 콤팩트집합이 아니면 는 연속이 아닐 수도 있다. 예를 들어참고