만약 대상영역
의 원소 중 가 참이 되도록 하는 가 단 하나만 존재하면, 이것을 기호로∃ ∈
로 나타내고, ‘
의 원소 중 를 만족시키는 것은 유일하다’라고 말한다. [‘유일하게 존재한다’라고 말하기도 한다.]명제 ∃ ∈
를 증명하려면 두 명제 (ⅰ) 를 만족시키는 가
에 존재한다,(ⅱ) ‘와 가
의 원소이고 와 가 모두 참’이면 이다 를 모두 증명하면 된다.보기
1.1.10 일차방정식 의 해가 실수 범위에서 유일하게 존재함을 증명해보자. 명제함수 를
≡‘ ’이라고 정의하자. 이제 ∃ ∈ℝ 를 증명해야 한다.
(ⅰ) 는 실수이며 가 참이 되도록 하는 원소이다.
(ⅱ) 와 가 실수이고 와 가 참이라고 가정하자. 즉 과 이 성립한다고 가 정하자. 그러면 이다. 양변에서 를 빼면 등식의 성질에 의하여 이고, 다시 양변 을 로 나누면 등식의 성질에 의하여 를 얻는다.
따라서 (ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 ∃ ∈ℝ 가 증명되었다. □
1.2 집합의 연산
수학에서 다루는 대상은 대부분 모임(class)의 형태이다. 실수의 모임, 함수의 모임, 정의역, 공역 등은 모두 수학 에서 다루는 모임이다. 수학적 개체 가 모임
의 원소인 것을 ∈
로 나타내고 ‘가
에 속한다’ 또는‘
가 를 원소로 가진다’라고 읽는다. 반면에 만약 개체 가
에 속하지 않으면 ∉
로 나타낸다.모임 중에서 다른 모임의 원소가 될 수 있는 것을 집합(set)이라고 부른다. 우리가 일반적으로 다루는 수의 집합 이나 벡터 공간은 모두 집합이다. 또한 유한 개의 집합을 이용하여 만든 모임도 집합이다. [집합이 아닌 모임의 예를 보고 싶은 사람은 러셀의 역리(Russell’s paradox)를 찾아보기 바란다.]
두 집합
와
에 대하여 ∈
⇒ ∈
일 때
를
의 부분집합이라고 부르고
⊆
로 나타낸다.
⊆
이면서
⊆
이면
와
를 서로 같은 집합 또는 동치인 집합이라고 부르고
로 나타낸다.
⊆
이면서
≠
이면
를
의 진부분집합이라고 부른다. 집합
의 부분집합들을 모두 모은 집합을
의 멱집합(power set)이라고 부르며 ℘
로 나타낸다.집합
의 부분집합
,
에 대하여 다음과 같이 정의한다. [이들 세 연산은 이항연산이다.]∙ 합집합 :
∪
≔ ∈
∈
∨ ∈
∙ 교집합 :
∩
≔ ∈
∈
∧ ∈
∙ 차집합 :
∖
≔ ∈
∈
∧ ∉
위와 같이 기준이 되는 대상영역
안에서 집합의 연산을 생각할 때 집합
를 전체집합이라고 부른다. 전체 집합
의 부분집합
에 대하여
의 여집합을
≔ ∈
∉
로 정의한다. [여집합은 일항연산이다.]두 집합
,
에 대하여 다음과 같은 드모르간의 법칙이 성립한다.
∪
∩
,
∩
∪
이번에는 집합을 모은 집합을 생각해보자. 세 집합
,
,
과 집합
에 대하여, 집합
은
∈
로 나타낼 수 있다. 이렇게 집합들을 원소로 갖는 집합을 집합족이라고 부른다. 특히 위 예에서처럼 첨수가 붙 은 집합들을 원소로 갖는 집합을 첨수족이라고 부른다. 이때 를 첨수,
를 첨수집합이라고 부른다.유한 개의 집합
,
,
, ⋯,
에 대하여 다음과 같이 정의한다.∙ 합집합 :
≔
∪
∪
∪ ⋯ ∪
∙ 교집합 :
≔
∩
∩
∩ ⋯ ∩
더욱 일반적으로, 집합족
∈
에 대하여 다음과 같이 정의한다. [가 무한집합일 때에도 정의된다.]∙ 합집합 : ∪
≔ ∈
≔∈
≔
∃∈
∈
∙ 교집합 : ∩
≔
∈
≔
∈
≔
∀∈
∈
보기
1.2.1 ℝ가 전체집합이라고 하자. 그리고 자연수 에 대하여
라고 하자. 그러면∈ ℕ
ℝ, ∈ ℕ
이다. 이것을 증명해보자. 먼저 ∈ℝ라고 하자. 그러면 인 자연수 가 존재한다. 따라서 ∈
이다.즉 ∃∈ℕ ∈
이므로 ∈
∈ ℕ
이다. 따라서 ℝ ⊆
∈ ℕ
이다. 한편 대상영역이 ℝ이므로∈ ℕ
⊆ ℝ 이다. 그러므로
∈ ℕ
ℝ이다.다음으로 ∈ 이라고 하자. ≤ 일 때 ∈ ⊆ 이므로 ∀∈ℕ ∈
이다. 즉 ⊆∈ ℕ
이다. 한편 ∈
∈ ℕ
이면 ∀∈ℕ ∈
이므로 ∈
이다. 즉∈ ℕ
⊆ 이다. 그러므로
∈ ℕ
이다. □19
다음으로 드모르간의 법칙에 의하여
∈
∈
∈
∅을 얻는다. □
두 집합
와
의 데카르트 곱을 다음과 같이 정의한다. [ ×는 ‘ 곱 ’라고 읽는다.]
×
≔ ∈
∧ ∈
같은 방법으로 집합
,
, ⋯,
의 데카르트 곱을
×
×⋯×
≔
⋯ ∀ ∈
로 정의한다. 이것을 간단하게
×
×⋯×
으로 나타낸다. 특히
을 다음과 같이 정의한다.
≔
times
×
×⋯×
보기
1.2.4 일 때 ℝ
ℝ는 꼴의 순서쌍의 모임이다. 즉 ℝ는 중학교에서 배운 좌표평면이다. 또한 ℝ는 좌표공간이다. □