6.2 리만 적분의 성질
이 절에서는 사칙계산, 부등호, 함수의 합성과 관련된 리만 적분의 성질을 살펴보자.
정리 6.2.1 적분의 선형성 1
함수 가 에서 적분 가능하고 가 실수이면 는 에서 적분 가능하고 다음이 성립한다.
증명
인 경우 는 상수함수가 되어 당연히 적분 가능하다. 인 경우를 증명하자. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 가 에서 적분 가능하므로
의 분할
≔
⋯
이 존재하여
(2)
을 만족시킨다. 이때 각 ⋯ 에 대하여
sup
≤ ≤
sup
≤ ≤
,inf
≤ ≤
inf
≤ ≤
이므로 (2)에 의하여
⋅
을 얻는다. 따라서 리만 판정법에 의하여 는 에서 적분 가능하다. 또한
inf
is a partition of inf
is a partition of inf
is a partition of
가 성립한다.
인 경우도 비슷한 방법으로 증명된다. 생략하지 않을 테니 걱정하지 말기 바란다. 양수 이 임의 로 주어졌다고 하자. 가 에서 적분 가능하므로 의 분할
≔
⋯
이 존재하여
을 만족시킨다.
이때 각 ⋯ 에 대하여
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이제 적분과 부등호의 관계를 살펴보자.
보조정리
6.2.5 함수 가 에서 적분 가능하고 임의의 ∈ 에 대하여 ≥ 이면 다음이 성립
한다.
≥
증명
구간 의 임의의 분할
≔
⋯
에 대하여
inf
≤ ≤
≥
이 성립한다. 에서 의 적분은
이상이므로 정리의 부등식을 얻는다. ■정리 6.2.6 적분과 부등호의 관계
두 함수 , 가 모두 에서 적분 가능하고 임의의 ∈ 에 대하여 ≤ 이면 다음이 성립한다.
≤
증명
함수 가 에서 적분 가능하고 임의의 ∈ 에 대하여 ≥ 이므로 보조정리 6.2.5에 의하여 다음을 얻는다.
≥ ■참고
6.2.7 집합 ℜ 의 두 원소 , 에 대하여
≤ ⇔ ∀∈ ≤
로 정의하면 ≤는 ℜ 의 순서관계가 된다. 이때
≔
로 정의된 함수
는 ℜ 로부터 ℝ로의 순서보존사상이 된다. 즉 적분은 순서를 보존하는 선형범함수이다. □
정리 6.2.8 적분 구간에 대한 가법성
이고 함수 가 와 에서 적분 가능하면 는 에서 적분 가능하고 다음이 성립 한다.
증명
양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 는 에서 적분 가능하므로 의 분할
가 존재하여
(6)
을 만족시킨다.
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적분 구간에 대한 가법성은 더욱 일반화될 수 있다.
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6.2 리만 적분의 성질
구간 에서 의 상한을
, 하한을 이라고 하자. 그리고
≔ sup ≤ ≤
이라고 하자. 만약 ∈
이면
≤
가 성립한다. 그런데 (8)에 의하여∈
≤∈
이므로 ∈
를 얻는다. 따라서
∈
∈
≤
가 성립한다. 여기서 은 임의의 양수이므로
도 얼마든지 작은 양수가 될 수 있다. 따라서 리만 판정법에 의하여 는 에서 적분 가능하다. ■
따름정리
6.2.13 함수 가 에서 적분 가능하면 도 에서 적분 가능하고 다음이 성립한다.
≤
증명
에서 의 상한을
, 하한을 이라고 하자. 라고 하면 는
에서 연속이다.따라서 정리 6.2.12에 의하여 ∘ 는 에서 적분 가능하다. 또한 임의의 ∈ 에 대하 여 ≤ ≤ 이며 이 식의 각 변을 적분하면 다음 부등식을 얻는다.
≤
≤
이 부등식은 우리가 얻고자 하는 부등식과 동치이다. ■
따름정리
6.2.14 함수 가 에서 적분 가능하고 이 자연수이면
도 에서 적분 가능하다.증명
이라고 하면 는 연속함수이고 ∘ 이다. 따라서 정리 6.2.12에 의하여 도 적분가능하다. ■
따름정리
6.2.15 두 함수 , 가 모두 에서 적분 가능하면 도 에서 적분 가능하다.
증명
와 가 각각 에서 적분 가능하므로 따름정리 6.2.14에 의하여 과 도 에서 적분 가 능하다. 또한
이고 정리 6.2.1, 정리 6.2.2, 따름정리 6.2.4, 따름정리 6.2.14에 의하여 우변이 적분 가능하므로 좌변
도 적분 가능하다. ■