04 실함수의 극한
5.3 평균값 정리
미분계수는 기하학적으로는 그래프에 접하는 직선의 기울기이다. 따라서 미분을 이용하면 함수의 그래프와 관 련된 여러 가지 성질을 알아낼 수 있다.
정의 5.3.1 함수의 극값
함수 의 정의역이
이고 ∈
라고 하자.(ⅰ) 만약 의 열린근방
가 존재하여 ∈
∩
일 때마다 ≤ 가 성립하면 ‘ 는 에서 극댓 값 를 가진다’라고 말한다.(ⅱ) 만약 의 열린근방
가 존재하여 ∈
∩
일 때마다 ≥ 가 성립하면 ‘ 는 에서 극솟 값 를 가진다’라고 말한다.(ⅲ) 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라고 부른다.
정의에 의하면 최댓값은 극댓값이고 최솟값은 극솟값이다.
보기
5.3.2 ≔
로 정의된 함수 ℝ → ℝ의 그래프는 다음과 같다.이때 는 ℝ에서 최댓값이나 최솟값을 갖지 않는다. 그러나 열린구간 에서는 최댓값 을 가진다. 즉
는 에서 극댓값 을 가진다. 또한 는 에서 최솟값 을 가진다. 즉 는 에서 극솟
값 을 가진다. □
보조정리
5.3.3 함수 → ℝ가 ∈ 에서 극값을 가지며 미분 가능하면 ′ 이다.
증명
일반성을 잃지 않고 가 에서 극댓값을 가진다고 하자. 그러면 양수 가 존재하여 ∈
일 때마다 ≤ 가 성립한다. 즉 이고 ∈ 일 때마다 ≤ 이 성립한다.
따라서
일 때
≤ 이고, 일 때
≥ 이므로
′
lim
→
≤ 그리고 ′
lim
→
≥
이다. 그런데 는 에서 미분 가능하므로 ′ ′ ′이다. 따라서 ′ 이다. ■
141
5.3 평균값 정리 참고
5.3.4 정리 5.3.3의 역은 성립하지 않는다. 즉 ′ 일지라도 는 에서 극값을 갖지 않을 수도
있다. 예를 들어 ≔ 으로 정의된 함수 ℝ → ℝ에 대하여 ′ 이지만 는 에서 극값을 갖 지 않는다. 또한 로 정의된 함수 는 에서 미분 가능하지 않지만 극솟값을 가진다. □함수 가 에서 미분 가능하고 에서 연속이라고 하자. 그리고 두 점 와 를 잇 는 선분을 생각하자. 이 선분을 위쪽과 아래쪽으로 움직이다 보면 의 그래프와 접할 때가 생긴다.
그때 접하는 점 중 하나를 라고 하면
′
가 된다. 특히 는 에 존재하게 된다. 이 사실을 증명해보자.
보조정리
5.3.5
함수 가 에서 미분 가능하고 에서 연속이며 이면 ′ 을 만 족시키는 점 ∈ 가 존재한다. 이 명제를 롤(Rolle)의 정리라고 부른다.증명
가 에서 상수함수인 경우는 자명하다. 이제 가 상수함수가 아니라고 하자. 그리고 에서의 최댓값을
, 최솟값을 이라고 하자. 그러면
이거나 중 하나 이상이 성립 한다.
인 경우
인 ∈ 가 존재하는데 이때 는 에서 극댓값을 가지므로 보 조정리 5.3.3에 의하여 ′ 이 된다. 인 경우 인 ∈ 가 존재하는데 이때 는 에서 극솟값을 가지므로 ′ 이 된다. ■
정리 5.3.6 평균값 정리
함수 가 에서 미분 가능하고 에서 연속이며 라고 하자.
(ⅰ) ′ 인 점 ∈ 가 존재한다.
(ⅱ) 만약 함수 가 에서 미분 가능하고 에서 연속이면
′ ′
인 점 ∈ 가 존재한다.
증명
(ⅱ) ≔ 라고 하자. 그러면′ ′ ′
이므로 는 에서 연속이고 에서 미분 가능하며 이다. 따라서 롤의 정리에 의 하여 ′ 인 점 ∈ 가 존재한다.
(ⅰ) ≔ 라고 하고 (ⅱ)를 이용하면 된다. ■
정리 5.3.6의 (ⅱ)를 일반화된 평균값 정리 또는 코시(Cauchy)의 평균값 정리라고 부르기도 한다. 코시의 평균값 정리는 주로 도함수를 이용하여 두 함수의 차를 비교할 때 사용된다.
정리 5.3.7 도함수와 그래프의 기울기
함수 가 에서 연속이고 에서 미분 가능하다고 하자.
(ⅰ) 임의의 ∈ 에 대하여 ′ ≥ 이면 는 에서 증가한다.
(ⅱ) 임의의 ∈ 에 대하여 ′ ≤ 이면 는 에서 감소한다.
(ⅲ) 임의의 ∈ 에 대하여 ′ 이면 는 에서 순증가한다.
(ⅳ) 임의의 ∈ 에 대하여 ′ 이면 는 에서 순감소한다.
증명
≤ ≤ 라고 하자. 가 미분 가능하므로 평균값 정리에 의하여
′를 만족시키는 점 ∈ 가 존재한다.
(ⅰ) ′ ≥ 이면 ≥ 이므로 는 증가한다.
(ⅱ) ′ ≤ 이면 ≤ 이므로 는 감소한다.
(ⅲ) ′ 이면 이므로 는 순증가한다.
(ⅳ) ′ 이면 이므로 는 순감소한다. ■
따름정리
5.3.8 함수 가 에서 연속이고 에서 미분 가능하며 ′ 이면 는 에서 상수
함수이다.증명
∈ 라고 하자. ′ ≥ 이므로 정리 5.3.7에 의하여 ≥ 이다. 또한 ′ ≤ 이므로 정리 5.3.7에 의하여 ≤ 이다. 따라서 이다. 는 의 임의의 점이므로 는 에서 상수이다. ■
따름정리
5.3.9 두 함수 , 가 에서 연속이고 에서 미분 가능하며 ′ ′이면 상수 가 존재
하여 임의의 ∈ 에 대하여 를 만족시킨다.증명
≔ 라고 하면 는 에서 연속이고 에서 미분 가능하며 ′ 이다. 따라서 따름정리 5.3.8에 의하여 는 에서 상수함수이다. ≕ 라고 하면 를 얻는다. ■따름정리
5.3.10 함수 가 에서
급이고 ∈ 이며 ′ ≠ 이라고 하자. 그러면 의 열린근 방
가 존재하여 는
에서 일대일대응이 되고 역함수 를 가지며 는
에서
급이고′ ′
이 성립한다. 이 정리를 역함수 정리(inverse function theorem)라고 부른다.
증명
′ 인 경우를 증명하자. ≔ ′라고 하면 이므로 양수 가 존재하여 일 때마다 ′ ′ 이 성립한다. 이 식에 ′를 대입하여 변형하면 ′ 을 얻는 다. 즉 는
≔
에서 순증가하므로 일대일대응이다. 따라서 는
에서 역함수 를 가지며, 정 리 5.2.7에 의하여 는 에서 미분 가능하고 정리의 등식이 성립한다. 특히 ′과 이 연속함수 이고 ′ ′ 이므로 ′도 연속이다. ■143
5.3 평균값 정리 예제
5.3.11 임의의 양수 에 대하여
임을 보여라.풀이
≔ 라고 하면 ′ 이다. 일 때 ′ 이므로 정리 5.3.7에 의하여 는 ∞ 에서 순증가한다. 따라서 일 때 이 성립한다. □예제 2.3.5에서 살펴보았던 베르누이 부등식을 지수가 실수인 경우로 확장할 수 있다.
정리 5.3.12 베르누이 부등식
, ≥ 이라고 하자.
(ⅰ) ≤ 이면 ≤ 가 성립한다.
(ⅱ) ≥ 이면 ≥ 가 성립한다.
풀이
(ⅰ) ≔ , ∈ ∞ 라고 하자. 그러면 ′ 이므로 , 이라고 두고 평균값 정리를 이용하면 과 사이에 가 존재하여 (5) 을 만족시킴을 알 수 있다.
만약 이면 이다. 그런데 ≤ 이므로 ≤ 이고 ≤ 이다. 따라서 (5)에 의하여
≤ (6) 를 얻는다.
만약 ≤ ≤ 이면 ≤ 이므로 ≥ 이다. 그런데 ≤ 이므로 ≤ 이다. 따라서 같은 방법으로 (6)을 얻는다.
(ⅱ)는 (ⅰ)과 같은 방법으로 증명된다. 꼭 직접 증명해보기 바란다. ■
참고
5.3.13 함수 가 미분 가능한 경우 ′은 항상
사잇값 성질을 가진다. 즉 가 에서 미분 가능하 고 ′ ≠ ′이며 이 ′와 ′ 사이의 실수이면 ′ 을 만족시키는 ∈ 가 존 재한다. 이 명제를 다르부(Darboux)의 정리라고 부른다.증명
일반성을 잃지 않고 ′ ′라고 하자. 그리고 ∈ 에 대하여
≔ 라고 하자. 그러면
는 에서 미분 가능하다.
′ ′ 이므로
는 의 근방에서 감소한다. 즉 충분히 작은 양수 에 대하여
이 성립한다. 따라서
는 에서 극솟 값을 갖지 않는다. 같은 방법으로
가 에서도 극솟값을 갖지 않음을 알 수 있다.
는 에서 연속이므로 극솟값을 가진다.
가 에서 극솟값을 가진다고 하자. 그러면 ≠ ,≠ 이므로 ∈ 이다. 이때 롤의 정리에 의하여