03 실수열의 극한
3.5 집합의 집적점과 수열의 집적점
3.5 집합의 집적점과 수열의 집적점
집합
∈ℕ의 원소를 수직선에 나타내면 점들이 원점 근처에 가까이 몰려 있는 것을 볼 수 있다.이때
의 원소 중 일부는 빠진 열린구
′에 속한다. 즉 양수 이 아무리 작아도
의 원소 중 하나 이상 은
′에 속한다. 이렇게 집합
의 원소가 의 주변에 몰려있을 때 를
의 집적점이라고 부른다.정의 3.5.1 집합의 집적점
가 실수 집합의 부분집합이고 가 실수라고 하자. 만약 임의의 양수 에 대하여
′∩
≠ ∅이면를
의 집적점(cluster point)이라고 부른다.
의 집적점들의 모임을
의 도집합(derived set)이라고 부르며
′으로 나타낸다.참고
3.5.2 정의 3.5.1에서 조건 ‘임의의 양수 에 대하여
′∩
≠ ∅이면’을 ‘임의의 양수 에 대하여
′∩
가 무한집합이면’으로 바꾸어도 동치인 정의가 된다. □보기
3.5.3 다음은 집적점과 도집합의 예이다.
(ⅰ) 열린구간 의 도집합은 이다.
(ⅱ) 유리수의 조밀성에 의하여 ℚ의 도집합은 ℝ이다.
(ⅲ) 집합 ∩ℚ의 도집합은 이다.
(ⅳ) 유한집합은 집적점을 갖지 않는다. 즉 유한집합의 도집합은 공집합이다.
(ⅴ) ℤ는 집적점을 갖지 않는다. 즉 ℤ는 어느 곳에서도 조밀하지 않다.
이 예를 통해 가
의 집적점인 것과 가
의 원소인 것은 관계가 없음을 알 수 있다. 즉
의 원소가 아닌 것도
의 집적점이 될 수 있으며,
의 원소인 점이
의 집적점이 아닌 경우도 있다. □실수 집합의 부분집합
가 무한집합이라고 하자. 만약
가 유계라면
의 원소들이 몰려 있는 점이 적어도 하나 이상 존재할 것이다. 원소들이 몰려 있는 점이 없고 유계인 집합은 유한집합이 될 것이기 때문이다. 다음 정리는 이와 같은 내용을 논리적으로 설명한다.정리 3.5.4 볼차노-바이어슈트라스(Bolzano-Weierstrass) 유계인 무한집합은 집적점을 가진다.
증명
집합
가 유계이고 무한집합이라고 하자.
가 유계이므로 양수
이 존재하여
⊆
을 만 족시킨다. 그러면 두 집합
과
중 적어도 하나는
의 원소를 무한히 많이 가진다. 그 러한 것을 택하여
이라고 하자. 다시
을 두 개의 구간으로 등분한 , 중 적어도 하나는
의 원소를 무한히 많이 가진다. 그러한 것을 택하여
라고 하자.이제 닫힌구간
이
의 원소를 무한히 많이 가진다고 가정하자. 그러면
을 두 개의 닫힌구간으 로 등분한
,
중 적어도 하나는
의 원소를 무한히 많이 가진다. 그러한 것을 택하여
이라고 하자. 이 제 집합족
∈ℕ
과 두 수열
,
이 귀납적으로 정의되었다.정의에 의하여
⊆
이고 inf
, sup
이므로
은 단조증가수열이고
은 단조감소수열이다. 또한 ≤ 이므로
과
은 단조수렴 정리에 의하여 수렴한다.
,
의 극한을 각각 , 라고 하자. 그러면 ≤ 이다. 정의에 의하여
의 길이는
이므로
lim
→ ∞
lim
→ ∞
이다. 따라서 이다.이제 ≔ 라고 하자. 그리고 가
의 집적점임을 보이자. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면
인 자연수
이 존재한다. 이것은
⊆
인 것을 의미한다. 그런데
에 속하는
의 원소의 개수가 무한이므로
에 속하는
의 원소의 개수도 무한이다. 따라서
의 무한히 많은 원소가
′ 에도 속한다. 즉 는
의 집적점이다. ■참고
3.5.5
위 정리에서 사용된
을 축소구간(nested interval)이라고 부른다. 정리의 증명 과정을 통해, 집합
∈ℕ
의 모든 원소가 닫힌구간이고
⊆
을 만족시키면
∈ ℕ
은 공집합이 아님을 알 수 있다.특히 → ∞일 때
의 길이가 에 수렴하면
는 한점집합이 된다. 이러한 명제를 축소구간 정리라고 부른다.집합의 집적점과 비슷하게 수열의 집적점을 정의할 수 있다. ≔ 로 정의된 수열
의 항은 주변에 몰려 있다. 이때 을 이 수열의 집적점이라고 부른다. 이번에는 ≔ 으로 정의된 수열
을 생각하자. 이 수열의 치역은 로서 유한집합이지만 무한히 많은 항이 과 에 몰려 있다고 말할 수 있다.
의 항이 에 무수히 많이 몰려 있으므로 에 수렴하는
의 부분수열이 존재한다. 실제로 부분수열
는 에 수렴하는 수열이다. 따라서 수열의 집적점을 다음과 같이 정의한다.정의 3.5.6 수열의 집적점
이 실수열이고 가 실수라고 하자. 만약
의 부분수열 중에서 에 수렴하는 것이 존재하면 를
의 집적점이라고 부른다.참고
3.5.7 다음은 수열의 집적점의 예이다.
(ⅰ) 수렴하는 수열은 단 하나의 집적점을 가진다.
(ⅱ) 일 때
은 과 을 집적점으로 가진다.(ⅲ) 일 때
은 집적점을 갖지 않는다.(ⅳ) 일 때
은 수렴하지 않지만 한 점 을 집적점으로 가진다.(ⅴ)
이 ℕ으로부터 ℚ로의 일대일대응일 때
은 모든 실수를 집적점으로 가진다. □87
3.5 집합의 집적점과 수열의 집적점
수열의 집적점은 집합의 집적점과 밀접한 관련을 가지고 있다.
참고
3.5.8 가 집합
의 집적점이면
의 점을 이용하여 에 수렴하는 수열을 만들 수 있다.증명
자연수 에 대하여 ∈
∩
인 점 을 택하면
은 에 수렴하고
의 점들로 이루어진수열이 된다. ■
참고
3.5.9 수열
의 치역
∈ℕ
이 집적점 를 가지면 는
의 집적점이다.증명
먼저 ∈
∩
인 항 이 존재한다. 이제 자연수 에 대하여
∈
∩
라고 가정하자.
∩
는 무한집합이므로 이면서 ∈
∩
인 항 이 존재한
다. 이로써 임의의 자연수 에 대하여
가 귀납적으로 정의되었다. 이때
는
의 부분수열이고 에 수렴한다. ■
수렴하는 수열의 극한을 위상적으로 정의한 것처럼 수열의 집적점도 위상적으로 정의할 수 있다.
참고
3.5.10 가 수열
의 집적점일 필요충분조건은 임의의 양수 에 대하여 ∈
인 항 의 개 수가 무한인 것이다.증명
[⇒] 가 수열
의 집적점이라고 하자. 그러면 에 수렴하는 부분수열
가 존재한다. 수렴하는 수열의 극한의 성질에 의하여 임의의 양수 에 대하여 ∉
인 의 개수는 유한이다.
[⇐] 임의의 양수 에 대하여 ∈
인 항 의 개수가 무한이라고 하자. 먼저 ∈
인 첨 수 이 존재한다. 또한 자연수 에 대하여 이면서 ∈
인 첨수 이존재한다. 이로써 수열
가 귀납적으로 정의되었다. 이때
는 에 수렴한다. ■유계인 무한집합이 집적점을 갖는 것처럼 유계인 수열은 집적점을 가진다.
정리 3.5.11 볼차노-바이어슈트라스 유계인 수열은 집적점을 가진다.
증명
수열
이 유계라고 하자. 그리고
의 치역을
∈ℕ
이라고 하자. 그러면
는 유한 집합이거나 무한집합이다.만약
가 유한집합이면 무한히 많은 에 대하여 가 되는 점 ∈
가 존재한다. 그러한 항 을 모 아서 구성한 부분수열은 에 수렴하므로 는
의 집적점이다.만약
가 무한집합이면
는 유계이므로 집적점 를 가진다. 그러면 참고 3.5.9에 의하여 는
의집적점이다. ■
참고
3.5.12 위 정리의 역은 참이 아니다. 즉 집적점을 갖더라도 유계가 아닐 수 있다.
≔ 으로정의된 수열