수학 영역(가 )

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1

수학 영역(가 )

제 2 교시

고3 - 2020 -  ¹ 12  - 11월 - 2교시

경상북도교육청 주관 2020년 11월 고3 수능모의고사 문제지

호의 길이가 4p이고 중심각의 크기가 2

5 p인 부채꼴의 넓이는?

[2점]

① 12p ② 14p ③ 16p ④ 18p ⑤ 20p

3.

다섯 개의 문자 a, a, b, b, b를 일렬로 나열하는 경우의 수는?

[2점]

① 10 ② 15 ③ 20 ④ 25 ⑤ 30

2.

세 수 log₆ 3, a, log₆ 12가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, a의 값 은? [3점]

① 1

2 ^② 12

2 ^③ 1 ④ 12 ^⑤ 2

4.

(2¹³Ö2)¹³⁺¹의 값은? [2점]

① 1 ② 12 ^③ 2 ④ 212 ^⑤ 4

1.

5지선다형

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2 ^{수학 영역(가 )}

고3 - 2020 -  ² 12  - 11월 - 2교시 두 사건 A, B는 서로 배반사건이고

P(A)= 13^, P(B^C)= 56

일 때, P(A'B)의 값은? (단, B^C은 B의 여사건이다.) [3점]

① 1

2 ^② 7

12 ^③ 2

3 ^④ 3

4 ^⑤ 5 6

5.

{x+ ax}^{6의 전개식에서} x²의 계수가 75일 때, 양수 a의 값은?

[3점]

① 1 ② 12 ^③ 13 ^④ 2 ⑤ 15

6.

수열 {a_n}이 수렴하고 Á^¦

n=1(12-3a_n)= lim

n Ú ¦(2a_n+4) 를 만족시킬 때, Á^¦

n=1(4-a_n)의 값은? [3점]

① 4 ② 5 ③ 6 ④ 7 ⑤ 8

7.

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3

수학 영역(가 )

고3 - 2020 -  ³ 12  - 11월 - 2교시 lim

n Ú ¦

n1 Án

k=1 sin kp

n ^{의 값은? [3점]}

① 1

p ^② 1

2 ^③ 2

p ^④ 1 ⑤ 2

8.

곡선 y=3^2x을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평 행이동하였더니 곡선 y=3_9^x+1+1과 일치하였다. m+n의 값 은? (단, m, n은 상수이다.) [3점]

① -1 ② - 12 ^③ 0 ④ 1

2 ^⑤ 1

9.

어느 공장에서 생산되는 제품 1개의 무게는 평균이 m, 표준편차 가 8인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에

서 생산된 제품 중에서 임의추출한 제품 4개 의 무게의 평균이 m-2 이하일 확률을 오른 쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

(단, 무게의 단위는 kg이다.) [3점]

① 0.0228 ② 0.0668 ③ 0.1587 ④ 0.3085 ⑤ 0.4772

10.

z P(0ÉZÉz) 0.5 0.1915 1.0 0.3413 1.5 0.4332 2.0 0.4772

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4 ^{수학 영역(가 )}

고3 - 2020 -  ⁴ 12  - 11월 - 2교시

곡선 xe^y+aye^-x=bx 위의 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기가 1 일 때, ab의 값은? (단, a, b는 상수이다.) [3점]

① 2e² ② 3e² ③ 4e² ④ 2e³ ⑤ 3e³

12.

그림과 같이 함수 y=ln|x|의 그래프와 x축 및 직선 y=1로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점]

① 2e-3 ② 2(e-1) ③ 2e-1

④ 2e ⑤ 2e+1

11.

0 Y

Z

Z

ZMO]Y]

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수학 영역(가 )

고3 - 2020 -  ⁵ 12  - 11월 - 2교시 확률변수 X의 확률질량함수가

P(X=r)=₃₀C_r a^r(1-a)^30-r (r=0, 1, 2, y, 30) 이다. V(X)= 215 {E(X)}^{2일 때,} 5E(X²)의 값은?

(단, a는 0<a<1인 상수이다.) [3점]

① 188 ② 192 ③ 196 ④ 200 ⑤ 204

13.

f(x)=a sin {(a+b)px}+b

의 최댓값이 양수일 때, 함수 f(x)의 최솟값을 m, 주기를 p라 하자.

m_p의 값은? [4점]

① -216 ^② -4 ③ -2 ④ 16 ^⑤ 216

14.

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6 ^{수학 영역(가 )}

고3 - 2020 -  ⁶ 12  - 11월 - 2교시

다음은 모든 자연수 n에 대하여 Áⁿ

k=1

k(2^k+2-3k-4)

4^k+1 ={1- n+2

2ⁿ⁺¹}² yy (C) 이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

Ú n=1일 때

(좌변)=(우변)= (가) 이므로 (C)이 성립한다.

Û n=m일 때, (C)이 성립한다고 가정하면 Á^m

k=1

k(2^k+2-3k-4)

4^k+1 ={1- m+2 2^m+1 }² 이다.

n=m+1일 때 ^m+1Á

k=1

k(2^k+2-3k-4) 4^k+1

={1-m+22^m+1}²+(m+1)_

(

)

4^m+2 =1- m+2

2^m + (m+2)²

4^m+1 + m+1

(다) - (m+1)(3m+7) 4^m+2 =1- m+3

2^m+1+ (m+3)² 4^m+2 ={1-m+32^m+2}²

이다.

따라서 n=m+1일 때도 (C)이 성립한다.

Ú, Û에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 Án

k=1

k(2^k+2-3k-4)

4^k+1 ={1-n+22ⁿ⁺¹}² 이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 p, (나)에 알맞은 식에 m=3을 대입한 값 을 q, (다)에 알맞은 식에 m=4를 대입한 값을 r라 하면 p_q_r 의 값은? [4점]

① 64 ② 96 ③ 128 ④ 160 ⑤ 192

16.

정규분포를 따르는 두 연속확률변수 X, Y의 확률밀도함수 f(x), g(x)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 x에 대하여 f(x+5)=g(x)^이다.

(나) f(10)=g(20)

P(XÉ10)=0.0668일 때, P(15ÉYÉ20) 의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4점]

① 0.0919 ② 0.1359

③ 0.1498 ④ 0.2417

⑤ 0.2857

15.

z P(0ÉZÉz) 0.5 0.1915 1.0 0.3413 1.5 0.4332 2.0 0.4772

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수학 영역(가 )

고3 - 2020 -  ⁷ 12  - 11월 - 2교시 x>0에서 정의된 함수

f(x)= 12x² ln{1+ 3x}+3 2 x-9

2  ln (x+3) 에 대하여 lim

n Ú ¦{ f(n+2)-f(n)}의 값은? [4점]

① 9 ② 8 ③ 7 ④ 6 ⑤ 5

17.

다. 그림과 같이 점 O를 중심으로 하는 원이 정삼각형 A₁B₁C₁의 세 변과 만나는 점을 각각 A₂, D₁, B₂, E₁, C₂, F₁이라 할 때,

∠A₂OF₁=30ù가 되는 원을 O₁이라 하고, 정삼각형 A₁B₁C₁의 내 부와 원 O₁의 외부의 공통부분, 정삼각형 A₁B₁C₁의 외부와 원 O₁의 내부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 R₁이라 하자.

그림 R₁에서 점 O를 중심으로 하는 원이 정삼각형 A₂B₂C₂의 세 변 과 만나는 점을 각각 A₃, D₂, B₃, E₂, C₃, F₂라 할 때, ∠A₃OF₂=30ù 가 되는 원을 O₂라 하고, 정삼각형 A₂B₂C₂의 내부와 원 O₂의 외부 의 공통부분, 정삼각형 A₂B₂C₂의 외부와 원 O₂의 내부의 공통부분 에 색칠하여 얻은 그림을 R₂라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 n번째 얻은 그림 R_n에 색칠되어 있는 부 분의 넓이를 S_n이라 할 때, lim

n Ú ¦S_n의 값은? [4점]

① 6(p+313-3) ^② 6(p+313-4) ^③ 6(p+313-5)

④ 6(p+313-6) ^⑤ 6(p+313-7)

18.

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8 ^{수학 영역(가 )}

고3 - 2020 -  ⁸ 12  - 11월 - 2교시

그림과 같이 한 변의 길이가 1인 마름모 ABCD가 있다.

∠ABD의 이등분선이 두 선분 AC, AD와 만나는 점을 각각 E, F 라 하자. ∠ABC=h라 하고 삼각형 AEF의 넓이를 S(h)라 할 때, lim

h Ú 0+

S(h)h ^{의 값은?} {^단, 0<h< p2 } ^[4점]

① 1

24 ^② 1

20 ^③ 1

16 ^④ 1

12 ^⑤ 1 8

20.

# D

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각 면에 1, 2, 3, 4, 5, 6이 하나씩 적힌 정육면체 A와 각 면에 2, 3, 3, 4, 4, 4가 하나씩 적힌 정육면체 B가 있다. 갑, 을 두 사람에 게 두 정육면체 A, B를 임의로 한 개씩 나누어 주고 두 사람이 정육 면체를 동시에 던져 다음 규칙에 따라 승부를 정한다.

[규칙 1] 정육면체 A에서 나온 눈의 수가 정육면체 B에서 나온 눈의 수보다 크면 정육면체 A를 가진 사람이 이긴다.

[규칙 2] 정육면체 A에서 나온 눈의 수가 정육면체 B에서 나온 눈의 수보다 크지 않으면 정육면체 B를 가진 사람이 이 긴다.

이 게임을 한 번하여 갑이 이겼을 때, 갑이 정육면체 A를 던졌을 확 률은? [4점]

① 7

18 ^② 4

9 ^③ 1

2 ^④ 5

9 ^⑤ 11 18

19.

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수학 영역(가 )

고3 - 2020 -  ⁹ 12  - 11월 - 2교시 부등식

log₃ (2x-4)<3

을 만족시키는 모든 자연수 x의 개수를 구하시오. [3점]

23.

단답형(22~30)

lim

n Ú ¦

Á°2ⁿ⁺¹+4

Á°2^n-1+1의 값을 구하시오. [3점]

22.

x¾-3에서 정의된 함수 f(x)가 f(x)=[2x (-3Éx<0)

xe^x (x¾0)

이다. -3<t<0인 실수 t에 대하여 :_#t``f(x)dx+:Ts``| f(x)|dx=0

을 만족시키는 실수 s (s¾t)의 값을 g(t)라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. g{- 3122 }=0

ㄴ. 방정식 g(t)=1의 실근은 유리수이다.

ㄷ. g '(-2)= 4e

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21.

<보 기>

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10 ^{수학 영역(가 )}

고3 - 2020 - ¹⁰ 12  - 11월 - 2교시 첫째항이 1

2^{이고 공비가} -2인 등비수열 {a_n}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 S_n이라 하자. S_n<-80을 만족시키는 자연수 n

의 최솟값을 구하시오. [3점]

24.

x>-Ü12^{인 모든 실수} x에 대하여 함수 f(x)=ln(2+x³)의 역 함수를 g(x)^{라 할 때,} g '(0)=q

p^이다. p+q의 값을 구하시오.

(단, p와 q는 서로소인 자연수이다.) [3점]

25.

A를 포함한 3명의 남학생과 B, C를 포함한 6명의 여학생이 있 다. 이 9명의 학생을 임의로 남학생 1명과 여학생 2명으로 구성된 3 명씩의 세 팀으로 나눌 때, A와 B는 서로 다른 팀에 속하고 B와 C 는 서로 같은 팀에 속할 확률은 q

p^이다. p+q의 값을 구하시오. (단, p와 q는 서로소인 자연수이다.) [4점]

26.

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수학 영역(가 )

고3 - 2020 -  ¹¹ 12  - 11월 - 2교시

그림과 같이 한 변의 길이가 13^{인 정사각형} ABCD가 있다. 선 분 AD 위의 점 E와 반직선 BC 위의 점 F를 꼭짓점으로 하는 정삼 각형 BFE를 그리고, 선분 EF가 두 선분 BD, CD와 만나는 점을 각각 G, H라 하자. 삼각형 EBG의 외접원의 넓이가 (p+q13)p^일 때, p²+q²의 값을 구하시오. (단, p, q는 정수이다.) [4점]

28.

수열 {a_n}이 모든 자연수 n에 대하여 a_n+1=

[

1 (a_n<0)

을 만족시킨다. a₁=9일 때, a_n=0을 만족시키는 자연수 n의 최솟값 을 m이라 하자. a_m+2의 값을 구하시오. [4점]

27.

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12 ^{수학 영역(가 )}

고3 - 2020 - ¹² 12  - 11월 - 2교시

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표시)했는지 확인 하시오.

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)에 대하여 함수 f(x)의 역함수가 존재하고 함수 f(x)는 구간 (0, ¦)에서 미분가능 하며 다음 조건을 만족시킨다.

(가) f(ln 2)=0, f(ln (e+1))=1

(나) 모든 양의 실수 x에 대하여 f(x)=-ln ( f '(x)-1)이다.

:)1`f '( f ^-1(1x))dx=p-q

e^{일 때,} p+q의 값을 구하시오. (단, p, q 는 자연수이다.) [4점]

30.

집합 X={x|x는 7 이하의 자연수}에서 집합 Y={y|y는 40 이하의 자연수}로의 함수 중에서 다음 조건을 만족 시키는 함수 f의 개수를 N이라 하자. N

10의 값을 구하시오. [4점]

(가) f(1)=1, f(5)=25

(나) x가 5 이하의 홀수이면 f(x+1)-f(x)는 3 이상의 홀수 이고, x가 6 이하의 짝수이면 f(x+1)-f(x)는 2 이상의 짝수이다.

29.