제8장 연속확률 분포
제8장 연속확률 분포 ¾ 동전 던지기를 반복할 때 앞면이 나오는 비율은 점차 50%에 ¾ 동전 던지기를 반복할 때 앞면이 나오는 비율은 점차 50%에 가까워진다.
Ex) 동전을 다섯 번 던진 경우
앞면이 나오는 회수 경우의 수 동전을 백 번 던지면?
0 1
1 5
2 10
3 10
4 5
4 5
5 1
동전을 백 번 던지면...
1.경우의 수
30 100 1 . 27 10
2 ≈ ×
2.앞면이 정확히 50번 나오는 경우의 수
3.정확히 앞면이 50번 나올 확률
10 29
01 . 1 1 49 50
51 99 100
! 50
! 50
!
100 ≈ ×
×
⋅⋅
⋅
×
×
×
⋅⋅
⋅
×
= ×
×
4.
앞면이 50회 나오는 경우의 수총 경우의 수
0 . 08 8 %
10 27 . 1
10 01 . 1
30
29
≈ =
×
≈ ×
경험적 히스토그램과 확률히스토그램 경험적 히스토그램과 확률히스토그램 경험적 히스토그램과 확률히스토그램 경험적 히스토그램과 확률히스토그램
¾확률히스토그램
상자의 내용물 및 추출횟수로부터 합이 각각의 값으로 실현될 확률을 계산하여 이를 그래프로 나타 낸 것.
¾경험적 히스토그램
관찰한 자료를 구간별로 분류하고 도수를 계산한 뒤 도수를 밀도단위로 바꾸어 그래프로 표현한 것
¾둘 간의 관계:
모집단과 표본의 관계와 같다.
¾ 동전을 실제로 던진 (경험적) 자료를 가지고 히스토그램을 그리면 던진 횟수가 증가함에 따라 상대 도수를 나타내는 이 경험적 히스토그램은 확률을 나타내는 확률히스토그램으로 수렴하게 된다.
경험적 히스토그램 평균의 법칙 확률히스토그램
n → ∞
경험적 히스토그램: 두 개의 주사위를 던져 그 합을 기록하는 시행 경험적 히스토그램: 두 개의 주사위를 던져 그 합을 기록하는 시행
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
(a) 시행을 100 번 반복한 경우
0.20 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
(b) 시행을 1000 번 반복한 경우
0.00 0.05 0.10 0.15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
(c) 시행을 10000 번 반복한 경우
확률 히스토그램 확률 히스토그램
¾ 합의 확률히스토그램
두 주사위를 무한히 많이 던져 그 합에 대한 경험적 히스토그램의 극한으로 얻어낼 수 있다.
두 주사위를 던졌을 때 나타나는 모든 경우의 수를 고려하여 머리를 써서 계산해 낼 수 있다.
0.05 0.10 0.15 0.20
확률히스토그램
0.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
중심극한정리
표준단위중심극한정리
10
율(%)
50
-3 -2 -1 0 1 2 3
준단위
비율(%) 100회 던질 때
0 5
횟수별 비율0 25
표준단위별 비 9앞면이 나올 횟수의 기대값 : 50 9앞면의 나올 횟수의 표준오차 : 5
동전을 백 번 던질 때 앞면이 나올 횟수의 확률히스토그램과 정규분포곡선
35 40 45 50 55 60 65
앞면의 수
9정규분포곡선과 매우 비슷하다.
중심극한정리 중심극한정리
2 3 4 5 6 7 8 9
10 15 20 25 30 35 40 100회 던질 때 45
0 1 2
35 40 45 50 55 60 65 0 5 10
3 3.5 4 4.5
30 35 40 400회 던질 때 45
확률히스토그램은 시행횟수가 증가함에 따라 그 모습이 점점 더 정규분포곡선과
0 0.5 1 1.5 2 2.5
170 180 190 200 210 220 230 0 5 10 15 20 25 닮아간다.
중심극한정리 중심극한정리
900회 던질 때
1 5 2 2.5 3
25 30 35 40 45
무한히 많이 던지면?
0 0.5 1 1.5
405 420 435 450 465 480 495 0 5 10 15 20
25
무한히 많이 던지면?관측치 수가 증가함에 따라 합이나 평균은 그 확률히스토그램이 정규분포곡선으로 수렴해 간다. 이를중심극한정리라고 한다.
¾ 동전을 100번 던진다. 다음을 계산하라.
보기 1 보기 1
a) 앞면이 정확히 50번 나올 확률 b) 앞면이 45이상 55이하로 나올 확률 c) 앞면이 45초과 55미만으로 나올 확률
(a) 앞면이 정확히 50번 나올 확률
기대값은 50이고 표준오차는 5이다 49 5 50 50 5
☞ 기대값은 50이고, 표준오차는 5이다
.
정규분포 이 용
01
. 50 0
50 5 . , 50 01 . 50 0
50 5 .
49 − = − − =
정확히 50번 나오는 경우는 밑변이 49.5에서 50.5인 직사각형의 면적을
49.5 50 50.5
구하면 된다. 이 용
정규분포 곡선을 이용하여 구한 근사값인 7.96%는 앞 절에서 구한 8%와 별 차이가
없다.
≈7.96%
보기 1 보기 1
(b) 앞면이 45이상 55이하로 나올 확률 (c) 앞면이 45초과 55미만으로 나올 확률
-1.1 0 1.1
44.5 50 55.5 45.5 50 54.5
-0.9 0 0.9
% 87 .
≈ 72 ≈ 63 . 18 %
정규분포곡선의 사용범위 정규분포곡선의 사용범위
¾ 동전던지기와는 달리 내용물의 분포가 대칭이 아닌 일반적인 상자로부터 숫자를 추출하더라도, 추 출횟수만 충분히 크면 추출된 숫자의 합은 상자의 내용물에 관계없이 정규분포곡선으로 잘 근사 된 다.
¾ 다만, 상자의 내용물에 따라 합의 확률히스토그램이 정규분포곡선으로 닮아가는 속도는 다르다. 상 자의 내용물을 히스토그램으로 나타냈을 때 그 모양이 정규분포곡선과 비슷할수록 합의 확률히스토 그램이 정규분포곡선으로 닮아가는 속도는 빨라진다
그램이 정규분포곡선으로 닮아가는 속도는 빨라진다.
0 이 9장, 1 이 1장 들어 있는 상자의 확률히스토그램 0 이 9장, 1 이 1장 들어 있는 상자의 확률히스토그램
100
50
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 25회 추출
0 1 0
상자의 분포
1 4 7 10 13 16 19 22 28 34 40 46 52 58
100회 추출 400회 추출
상자의 내용물이 대칭인 경우 상자의 내용물이 대칭인 경우
1 2 3 50 %
0
상자의 분포
25회 추출
35 40 45 50 55 60 65
상자의 분포
50회 추출
80 85 90 95 100 105 110 115 120
상자의 내용물이 비대칭인 경우 상자의 내용물이 비대칭인 경우
50 %
1 2 3 4 5 6 7 8 9
50 %
0
상자의 분포
25 50
-3.37 -2.25 -1.12 0.00 1.12 2.25 3.37 표준단위
위별 비율(%) 25회 추출
25회 추출
40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 합
0
표준단위
25 50
-3.51 -2.11 -0.70 0.70 2.11 3.51
표준단위
위별 비율(%)
100회 추출
100회 추출
275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 525 합
0
표준단위
곱의 확률히스토그램은 표본크기가 커져도 정규분포로 수렴하지 않는다!
곱의 확률히스토그램은 표본크기가 커져도 정규분포로 수렴하지 않는다!
1. 연속확률변수 x의 평균이 25이고, 표준편차가 4일때, 다음 x값 또는 범위를 z로 바꾸고 그 면적을 계 산하여라.
(1) x=32 (2) 18<x<34
2. 휴대폰의 1회 충전 후 수명은 평균시간이 10시간이고, 표준편차는 1.5시간으로 정규분포를 이룬다고 하 자. 배터리 1회 충전 후 휴대폰이 8시간에서 12시간까지 계속될 확률을 구하여라.
3. 연료절약형 economy car를 개발한 덕성 자동차는 이 차의 갤런당 마일 평균 27마일이고, 표준편차가 3 마일이라고 광고하고 있다. 또 이 연비는 공인기관에 의해 인증되었다. 이 광고를 믿고 당신은 이 차 를 구입하기로 결정하였다. 편의상 이 자동차 연비의 자료는 정규분포를 따른다고 가정하자.
(1) 운 나쁘게도 당신이 연비가 갤런당 20마일도 채 못 되는 차를 살 가능성이 있는가?
(2) 막상 차를 사고보니 놀랍게도 그 차의 연비가 갤런당 20마일이라고 하면 당신은 재수가 없다고 할 것 인가? 아니면 회사의 광고가 거짓이라고 할 것인가?
4. 100명이 수강하는 통계학 과목의 중간고사 점수는 평균이 60점이고, 표준편차가 12점인 정규분포를 이 룬다.
(1) 점수가 70점 이상인 학생은 몇 명인가?
(2) 40%의 학생이 적어도 B+ 이상을 받는다면 최소한 몇 점 이상을 받아야 하는가?
