2018학년도 3월 고2 전국연합학력평가 정답 및 해설
• 수학 영역 •
수학 ‘가’형 정답
1 ④ 2 ② 3 ① 4 ③ 5 ③
6 ② 7 ⑤ 8 ④ 9 ⑤ 10 ④
11 ① 12 ② 13 ③ 14 ① 15 ⑤
16 ③ 17 ① 18 ② 19 ④ 20 ④
21 ⑤ 22 23 24 25
26 27 28 29 30
해 설
1. [출제의도] 다항식의 덧셈을 계산한다.
두 다항식 , 에서
2. [출제의도] 교집합의 원소의 합을 구한다.
두 집합 , 에서
∩ 이므로
∩의 모든 원소의 합은
3. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 로그를 계산한 다.
log log
log
×
log
4. [출제의도] 복소수의 곱셈을 계산한다.
5. [출제의도] 나머지정리를 이용하여 나머지를 구한다.
라 하면 나머지정리에 의하여
를 로 나눈 나머지는 이므로
6. [출제의도] 두 직선의 수직 조건을 이용하여 상수의 값을 구한다.
직선 의 기울기는 이고, 직선 의 기울기는
이다.
두 직선 , 이 서로 수직 이므로 두 직선의 기울기의 곱은 이다.
따라서 ×
이므로
7. [출제의도] 연립이차부등식의 해를 구한다.
연립부등식
≥ 을 풀면 ≥ 에서 ≥
…… ㉠
에서
…… ㉡
이므로 ㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 의 값의 범위는
≤
따라서 연립부등식을 만족시키는 정수 는 , , 이므로 모든 정수 의 값의 합은
8. [출제의도] 이차방정식의 판별식을 이용하여 자연수 의 개수를 구한다.
는 자연수이므로
이차방정식 의 판별식을 라 하면 이 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가지므로
,
따라서 보다 작은 자연수 는
, , , , , 이므로 의 개수는 이다.
[다른 풀이]
는 자연수이므로
이차방정식이 두 실근을 가지므로
이므로 따라서 보다 작은 자연수 는
, , , , , 이므로 의 개수는 이다.
9. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 식의 값을 구한다.
의 양변을 제곱하면
×
×
이므로
따라서
10. [출제의도] 충분조건과 이차부등식의 성질을 이용 하여 자연수의 개수를 구한다.
두 조건 , 의 진리집합을 각각 , 라 하자.
는 자연수이므로 이다.
≤ ≤
≤
가 이기 위한 충분조건이므로 ⊂ 이어야 한다.
따라서
≤ , ≤
자연수 는 , , , , , 이므로 의 개수는 이다.
11. [출제의도] 절댓값을 포함한 일차부등식의 해를 구 한다.
부등식 ≤ 에서 (ⅰ) ≥
일 때, ≥ 이므로
≤
≤ , ≤ 따라서
≤ ≤
(ⅱ)
일 때, 이므로
≤
≤ , ≤ 따라서 ≤
(ⅰ), (ⅱ)에서 주어진 부등식의 해는
≤ ≤ 따라서 ,
12. [출제의도] 도형의 이동과 유리함수의 그래프의 성
질을 이용하여 함숫값을 구한다.
함수 의 그래프는 곡선
를 평행이동한 것이므로 두 상수 에 대하여
이라 하자. 함수 의 그래프가 직선 에 대하 여 대칭이므로 곡선 의 두 점근선 ,
의 교점 이 직선 위에 있다.
따라서
함수 의 정의역이 ≠ 인 모든 실수이므 로 , 이다.
이므로
13. [출제의도] 등차수열의 일반항을 이해하여 수열의 항을 구한다.
등차수열 의 공차를 라 하면
,
이므로
이므로
에서
, 따라서
이므로
×
[다른 풀이]
이고 이므로
등차수열 의 공차를 라 하면
따라서 이므로
× ×
14. [출제의도] 삼차방정식의 근을 이해하여 식의 값을 구한다.
좌변을 전개하면
이므로
또는
따라서 주어진 방정식의 세 근은 , , 이므로
[다른 풀이]
우변을 인수분해하면
또는
따라서 주어진 방정식의 세 근은 , , 이므로
15. [출제의도] 거듭제곱근을 이해하여 자연수의 개수 를 구한다.
이 자연수 의 제곱근이므로 거듭제곱근의 정 의에 의하여 이다. 따라서
은 자연수이므로 의 값은 의 배수이다.
따라서 이 어떤 자연수 의 제곱근이 되도록 하는 두 자리 자연수 은 , , , ⋯, 이므로
의 개수는 이다.
16. [출제의도] 부등식의 영역의 최대 · 최소를 이용하여 실생활 문제를 해결한다.
두 메뉴 A, B를 각각 인분, 인분 만든다고 하면
≥ , ≥ …… ㉠
하루에 최대 인분을 만들 수 있으므로
≤ …… ㉡
재료 S의 가격은 g당 원이므로 두 메뉴 A, B
인분을 만들기 위한 재료 S의 구입 비용은 각각
원, 원이다. 따라서 하루 동안 사용할 재료 S의 구입 비용은 (원)이다.
재료 T의 가격은 g당 원이므로 두 메뉴 A, B
인분을 만들기 위한 재료 T의 구입 비용은 각각
원, 원이다. 따라서 하루 동안 사용할 재료 T의 구입 비용은 (원)이다.
하루에 사용할 수 있는 두 재료 S, T의 구입 비용은 최대 만 원이므로
≤
≤
≤ …… ㉢
좌표평면 위에 세 부등식 ㉠, ㉡, ㉢을 모두 만족시키 는 영역을 나타내면 그림과 같이 두 직선
,
과 축, 축으로 둘러싸인 부분이다.
한편, 하루 동안 두 메뉴 A, B를 각각 인분, 인 분 판매하여 얻을 수 있는 판매 금액은
(원)이므로
(는 양의 실수)라 하면
…… ㉣
이때 두 직선 , 과 직선 ㉣ 의 기울기의 관계가
이므로 직선 ㉣이 두 직선
,
이 만나는 점을 지날 때 의 값은 최대이다.
두 직선 , 의 교점은 이 고 따라서 식당에서 두 메뉴 A, B를 판매하여 얻을 수 있는 하루 최대 판매 금액은
× × (원)이다.
17. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 주어진 명제 를 증명한다.
(ⅰ) 일 때, (좌변) ×
(우변)
× ××
(좌변)(우변) 이므로 (*)이 성립한다.
(ⅱ) 일 때, (*)이 성립한다고 가정하면
⋯
이다. 일 때, (*)이 성립함을 보이자.
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
따라서 일 때도 성립한다.
(ⅰ), (ⅱ)에서 모든 자연수 에 대하여 (*)이 성립 한다. 따라서
이므로
×
18. [출제의도] 이차방정식과 집합의 연산을 이용하여 교집합의 원소의 개수를 구한다.
집합 의 원소는 이하의 자연수 에 대하여
이고 집합 의 원소가 이하의 소수이므로 집합
∩의 원소는 중에 서 이하의 소수이다.
집합 ∩의 원소는 두 수
,
의 곱으로 나타낼 수 있고, 이 보다 큰 자 연수이므로
, (는 소수) 가 되어야 한다.
또는 (ⅰ) 일 때,
× ×
(ⅱ) 일 때,
× ×
(ⅰ), (ⅱ)에서 과 이 모두 이하의 소수이므 로 ∩
따라서 ∩
19. [출제의도] 선분의 내분점과 직선의 방정식을 활용 하여 점의 좌표를 구한다.
직선 AD의 기울기는
직선 BC의 기울기는
에서 두 직선 AD, BC는 평행이므로 사각형 ABCD 는 사다리꼴이다.
두 밑변의 길이가 각각 , 이고 높이가 인 사다리 꼴의 넓이를 라 하면
× ×
이다. 직선 이 사다리꼴 ABCD의 넓이를 이등분하 려면 나누어진 두 개의 사다리꼴의 두 밑변의 길이의 합이 서로 같아야 한다.
선분 AD를 으로 내분하는 점을 E라 하고 점 E 를 지나는 직선 이 사다리꼴 ABCD의 넓이를 이등 분할 때, 선분 BC와 만나는 점 F에 대하여 점 F가 선분 BC를 으로 내분한다고 하자.
AD , BC 이고
AE BF DE CF이므로
×
×
×
×
에서
,
따라서 이므로 점 F의 좌표는
F
× ×
× ×
에서 F 이다.
따라서 , 이므로
20. [출제의도] 무리함수의 그래프의 성질을 이용하여 주어진 명제의 참, 거짓을 판단한다.
두 함수 , 를
, 라 하자.
ㄱ.
이므로
따라서 두 곡선
, 는 원점에 대하여 대칭이다. (참) ㄴ. 이면 두 곡선은 다음과 같다.
따라서 두 곡선은 만나지 않는다. (거짓) ㄷ. (ⅰ) 일 때
ㄴ에 의하여 두 곡선은 만나지 않는다.
(ⅱ) 일 때
ㄱ에서 두 곡선은 원점에 대하여 대칭이고
의 값이 커질수록 곡선 는 직선
와 멀어지고 곡선 는 직선
와 멀어진다.
따라서 두 곡선이 서로 다른 두 점에서 만 나도록 하는 의 최댓값은 그림과 같이 곡 선 가 곡선 위의 점
를 지날 때이다.
,
따라서 (참)
21. [출제의도] 이차부등식과 이차함수의 성질을 이용 하여 최댓값과 최솟값의 차를 구한다.
조건 (가)에서
라 하면 이고,
부등식
≤ 의 해가 ≤ ≤ 이므로 ≤ ≤ , ≤ ≤ 따라서 ( )에서
…… ㉠ 라 할 수 있다.
조건 (나)에서 부등식
≥
이 항상 성립하므로 이차부등식
≥
의 해는 모든 실수이다. 따라서 방정식
의 판별식을 라 놓으면
≤
≤
≤
≤ ≤
㉠에서 이므로
≤ ≤
따라서
,
에서
[다른 풀이]
이 아닌 실수 와 두 상수 , 에 대하여
라 하자.
조건 (가)에서
≤
≤
≤ 부등식 ≤ 의 해가
≤ ≤ 이므로
, 라 하면
,
따라서 …… ㉠ 조건 (나)에서 부등식
≥
이 항상 성립하므로 이차부등식
≥
의 해는 모든 실수이다. 따라서 방정식
의 판별식을 라 놓으면
≤
≤ , ≤
≤ ≤
㉠에서 이므로
≤ ≤
따라서
,
에서
22. [출제의도] 등비수열의 성질을 이용하여 주어진 항 을 구한다.
첫째항이
이고 공비가 인 등비수열 의 일반 항은
×
따라서
[다른 풀이]
첫째항이
이고 공비가 인 등비수열을 순서
대로 나열하면
, , , , , … 따라서
23. [출제의도] 이차방정식의 두 근의 합과 곱을 알고 식의 값을 구한다.
이차방정식 의 두 근을 , 라 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
, 따라서
[다른 풀이]
이차방정식 의 근을 구하면
±이므로
따라서
24. [출제의도] 역함수를 이해하여 함숫값을 구한다.
∘
라 하면
,
따라서
[다른 풀이]
이므로 함수 는
에서
즉, 이므로
∘
따라서
∘ ×
25. [출제의도] 원의 접선의 방정식을 이해하여 점의 좌표를 구한다.
점 을 지나고 원 에 접하는 직선의 기울기를 이라 하면 접선의 방정식은
즉,
원의 중심 에서 직선 까지의 거리 는 원의 반지름의 길이와 같으므로
×
,
, (ⅰ) 일 때
접선의 방정식이 이므로
축과 만나는 점의 좌표 는
에서
(ⅱ) 일 때
접선의 방정식이 이므로
축과 만나는 점의 좌표 는
에서
(ⅰ), (ⅱ)에서 ×
26. [출제의도] 연립방정식을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.
조건 (가)에서 R석의 티켓의 수를 , S석의 티켓의 수를 , A석의 티켓의 수를 라 놓으면
…… ㉠
조건 (나)에서 R석, S석, A석 티켓의 가격은 각각
만 원, 만 원, 만 원이므로
…… ㉡
A석의 티켓의 수는 R석과 S석 티켓의 수의 합과 같 으므로
…… ㉢
세 방정식 ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면
㉠, ㉢에서 이므로
㉠, ㉡에서 연립방정식
을 풀면 , 이다.
따라서 구하는 S석의 티켓의 수는
27. [출제의도] 일대일 대응의 뜻을 이용하여 함수의 최댓값을 구한다.
이상 이하의 자연수 에 대하여 의 값 이 짝수이므로
×, ×, ×은 모두 짝수이다.
또는 은 적어도 하나가 짝수이고, 집합 의 원소 중 짝수인 것은 , 뿐이므로 ×와
×이 모두 짝수이려면 는 짝수가 되어야 한다.
따라서 , 은 모두 홀수이므로 의 최 댓값은 , 또는 , 일 때 이다.
28. [출제의도] 도형의 이동과 직선의 수직 조건을 이 용하여 원의 둘레의 길이를 구한다.
두 상수 , 에 대하여 점 A의 좌표를 라 하면 점 C는 점 A를 직선 에 대하여 대칭이동한 점 이므로 점 C의 좌표는 이다.
점 C는 직선 위의 점이므로 이다.
따라서 점 A의 좌표는 A 이다.
OA 이므로
OA
,
에서
따라서 두 점 A, C의 좌표는 A , C
축 위의 점 B의 좌표를 라 하면
AB OA , AB
,
이므로
따라서 점 B의 좌표는 이다.
점 D는 직선 AB와 직선 의 교점이므로
,
,
따라서 D
한편, 직선 AB의 기울기는
이고 직선 의
기울기는 이므로 두 직선은 서로 수직이다.
따라서 삼각형 ODE는 ∠OED 인 직각삼각형이 고, 삼각형 ODE의 외접원의 지름의 길이는 선분 OD의 길이와 같다.
OD
삼각형 ODE의 외접원의 둘레의 길이는
,
따라서
×
×
29. [출제의도] 절댓값과 이차함수의 성질을 이용하여 상수의 최솟값을 구한다.
또는
따라서 함수 의 그래프가 축과 만나는 점의
좌표는 와 이다.
부등식
≥ 에서 (ⅰ) ≥ , 즉 ≤ 또는 ≥ 일 때
≥ 이므로
≥
(ⅱ) , 즉 일 때
≥ 이므로
≥
여기서
,
라 하면
≤ ≥
한편, 직선 는 점 을 지나고 기울기
이 양수이므로 함수
의 그래프와 직선 를 좌표평면에 나타내면 그림과 같 다.
직선 와 함수
의 그래프 의 교점의 좌표를 ( )라 하면 부등식
≥
의 해는 ≤ ≤
≤ ≤ 인 정수 의 개수가 이 되기 위한 실수
의 범위는 ≤ 이고, 의 값의 범위는 직선
가 점 을 지날 때보다 크거 나 같고, 점 을 지날 때보다 작다.
일 때
×
×
이므로 …… ㉠
일 때
×
×
이므로
…… ㉡
㉠, ㉡에서 의 범위는 ≤ 따라서 의 최솟값은 이다.
30. [출제의도] 등차수열과 등비수열의 성질을 활용하 여 수열의 항을 구한다.
, , 가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 이 수열의 공비를 라 하면
, …… ㉠ 등차수열 의 공차를 라 하면 조건 (가)에서
(은 정수, 는 자연수) 이므로
,
이 식에 ㉠을 대입하면
,
위 식으로부터
≠이므로 …… ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
, 위 식으로부터
조건 (가)에서 과 이 정수이므로 은 완전제 곱수이다. 따라서 은 의 약수의 제곱수인
, , , , , 중 하나이다.
(ⅰ) 일 때
이므로
( ) (ⅱ) 일 때
이므로
( ) (ⅲ) 일 때
이므로
( ) (ⅳ) 일 때
이므로
( ) (ⅴ) 일 때
이므로
( ) (ⅵ) 일 때
이므로
( )
그런데 이면 ㉡에서 이므로 수열 의 공차가 이다. 따라서 ≠이다.
(ⅰ)~(ⅵ)에서 구하는 모든 의 값의 합은
수학 ‘나’형 정답
1 ⑤ 2 ⑤ 3 ④ 4 ④ 5 ②
6 ① 7 ② 8 ③ 9 ⑤ 10 ②
11 ③ 12 ① 13 ③ 14 ② 15 ④
16 ⑤ 17 ① 18 ① 19 ③ 20 ④
21 ② 22 23 24 25
26 27 28 29 30
해 설
1. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 지수를 계산한다.
×
2. [출제의도] 다항식의 뺄셈을 계산한다.
두 다항식 , 에서
3. [출제의도] 복소수의 덧셈과 곱셈을 계산한다.
4. [출제의도] 선분의 내분점을 계산한다.
두 점 O , A 을
로 내분하는 점의 좌표는
× ×
5. [출제의도] 합성함수의 함숫값을 구한다.
두 함수 , 에서
∘
6. [출제의도] 항등식을 이용하여 상수의 값을 구한다.
이므로
, 따라서 [다른 풀이]
이므로 이차항의 계수를 비교하면
7. [출제의도] 나머지정리를 이용하여 나머지를 구한다.
다항식 를 로 나눈 몫이 이고 나머지는 이므로
를 로 나눈 나머지는 이므로
×
×
8. [출제의도] 무리함수의 그래프의 평행이동을 이해하 여 상수의 값을 구한다.
함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼,
축의 방향으로 만큼 평행이동하면
함수 의 그래프가 점 를 지나므로
9. [출제의도] 이차함수의 그래프의 대칭성을 이용하여 이차함수의 최솟값을 구한다.
이므로
≤ ≤ 에서 이차함수 의 그래프는 그림과 같다.
따라서 함수 는
에서 최솟값 를 갖고,
에서 최댓값 를 갖는다.
이차함수 의 최댓값이 이므로
따라서 이차함수 의 최솟값은
10. [출제의도] 연립방정식의 해를 구한다.
연립방정식
⋯⋯ ㉡⋯⋯ ㉠㉠에서 이므로
⋯⋯ ㉢
㉢을 ㉡에 대입하면
±
따라서 연립방정식의 해는
, 또는
, 이므로
, 일 때
×
, 일 때
×
두 경우 모두
11. [출제의도] 조건의 진리집합 사이의 관계를 이해하 여 미지수의 최댓값을 구한다.
조건 ≤ 의 진리집합은
≤ ≤
조건 에 대하여 조건 ∼ ≤ 이므로 조건 ∼의 진리집합은
≤
≤ ≤
따라서 →～가 참이 되려면
이어야 하므로
≤ , ≤
≤ , ≤
≤ ≤
따라서 실수 의 최댓값은
12. [출제의도] 피타고라스정리와 원과 직선 사이의 관계를 이용하여 문제를 해결한다.
원 의 방정식을 변형하면
원의 중심을 C 반지름을 라 하면 C 이고, 이다.
그림과 같이 점 C에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 H라 하면
AB 이므로
AH BH
점 C 와 직선 사이의 거리는
CH
×
직각삼각형 CAH에서
이므로
13. [출제의도] 함수의 뜻을 이해하여 상수의 최댓값을 구한다.
집합 에서 집합 로의 함수 가
(의 일의 자리의 숫자)이므로
, , , , 이며, 함수의 대응을 그림으로 나타내면 다음과 같다.
함숫값이 인 정의역 의 원소는 과 4이므로
인 의 원소 는
또는
함숫값이 인 정의역 의 원소는 와 이므로
인 의 원소 는
또는
, 의 순서쌍 로 가능한 것은
, , , 이므로
의 값은 , , , 따라서 의 최댓값은
14. [출제의도] 실생활의 소재를 활용하여 집합의 원소 의 개수를 구한다.
자원봉사 활동 신청 여부를 조사한 명의 사람의 집합을 전체집합 , 동계 올림픽 대회의 자원봉사 활동을 신청한 사람의 집합을 , 동계 패럴림픽 대 회의 자원봉사 활동을 신청한 사람의 집합을 라 하 면 , , , ∩
∩∪이므로
∪ ∩
∪ ∩에서
∩
집합 또는 집합 에만 포함된 사람의 수는
∪ ∩
따라서 두 대회의 자원봉사 활동 중에서 하나만 신청 한 사람의 수는
[다른 풀이]
두 대회의 자원봉사 활동 중에서 하나만 신청한 사람 의 집합은 ∪
∪
∪
두 집합 , 는 서로소이므로
∪
15. [출제의도]
의 뜻을 이용하여 수열의 항의 값을 구한다.
⋯
이므로
( ≥ )에서
이므로
( ≥ )
( ≥ )
이므로 ( ≥ ) 따라서
16. [출제의도] 유리함수의 그래프와 로그의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.
함수
의 그래프가 점 를 지나므로
log log
log log
이므로
log log
17. [출제의도] 무리함수의 그래프와 도형의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.
점 A의 좌표를 ( )라 하면 B , C 가 된다.
직각이등변삼각형 ACB에서 빗변이 아닌 두 변 AB와 AC의 길이가 각각 , 이고
AB AC이므로
≠이므로
따라서 삼각형 ACB의 넓이는
×
×
18. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 명제를 증명 한다.
(ⅰ) 일 때,
좌변 , 우변 이므로 (*)이 성립한다.
(ⅱ) 일 때, (*)이 성립한다고 가정하면
⋯
이므로
⋯
⋯
⋯
⋯
따라서 일 때도 (*)이 성립한다.
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 에 대하여 (*)이 성립한다.
,
이므로
,
따라서
19. [출제의도] 부등식의 영역을 구하여 필요조건 문제 를 해결한다.
진리집합 ≤ ≤ 에서
≤ 는 함수 의 그래프와 그 윗부분 이므로 진리집합 는 함수 의 그래프와 직선 로 둘러싸인 영역이다.
진리집합 를 좌표평면에 나타내면 다음 그림의 색칠된 삼각형과 그 내부가 된다.
진리집합 ≤ 에서
은 중심이 이고 반지름의 길이 가 인 원이므로 진리집합 는 중심이 이고 반지름의 길이가 인 원과 그 내부이다.
가 이기 위한 필요조건이므로 ⊂ 이다.
즉, 원 이 함수 의 그래프 와 직선 로 둘러싸인 영역에 포함되어야 한다.
따라서
반지름의 길이 가 최대가 될 때는 원 이 그림과 같이 세 직선
, , 에 동시에 접할 때이다.
원의 중심 와 직선 사이의 거리는
원의 중심 와 직선 사이의 거리는
과 는 둘 다 원의 반지름의 길이이므로
따라서
[다른 풀이]
진리집합 가 나타내는 영역은
세 점 , , 을 꼭짓점으로 하는 삼각형과 그 내부이다.
반지름의 길이 가 최대가 될 때는
원 이 삼각형에 내접할 때이므로
삼각형의 넓이는
×+ ×
× ×
20. [출제의도] 이차부등식과 이차함수의 그래프의 관 계를 이용하여 명제의 참, 거짓을 판별한다.
≤
≤
ㄱ. 일 때,
≤
이면 ≤ , ≤
은 의 값에 관계없이 해가 된다.
이면 ≥ , ≥ 따라서 ≤ 이면 부등식의 해가
≤ 이 아니다. (거짓) ㄴ. 일 때,
≤
≤ 이므로
부등식 ≤ 의 해가 존재하지 않으려면 이차방정식 이 서로 다른 두 허근을 가져야 한다. 따라서 이차방 정식 의 판별식을 라 하면
를 만족시키는 정수 는
, , , , , , 이므로 정수 의 개수는 (참)
ㄷ. 부등식 ≤ ⋯⋯ ＊의 해는 함수 의 그래프가
직선 보다 아래쪽에 있는 부분의
의 값의 범위이다.
함수 의 그래프는 두 점
과 을 지나는 곡선이고,
함수 의 그래프는 점 을 지나고 기울기가 인 직선이다.
≤ ≤ 일 때,
≥ 이면 이 부등식 ＊을 만족시키고
이면 이 부등식 ＊을 만족시키므로
의 값에 관계없이 부등식 ＊을 만족시키는 정수 의 값은 항상 존재한다. (참)
따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
21. [출제의도] 조건을 만족시키는 집합에 속하는 원소 의 합의 최댓값과 최솟값을 추론한다.
전체집합 의 원소 중에서 조건 (다)를 만족시키는 ∈, ∈를 순서쌍
로 나타내면 다음과 같다.
, , , ,
, , ,
따라서 과 은 집합 의 원소가 아니다.
∈ (≠, ≠)이면
∈ 인
가 집합 에 존재한다.
∈ 또는 ∈∩
그런데 ∈∩인 경우에는
∈ 인
가 집합 에 존재하게 된다.
그러므로 ≠, ≠
한편 ≠, ≠이므로
과 은 집합 의 원소가 될 수 있다.
따라서 ≤
, ∪ 이므로
또는
(ⅰ) 집합 에 속하는 모든 원소의 합의 최댓값 을 구하기 위해 인 경우를 생각하자.
은 집합 의 원소가 될 수 있으므로
∈
, 이고 ∈ 이므로
이 집합 의 원소가 되려면 ∈ 이다.
그러므로 ∈ 이면 ∉
가 집합 의 원소가 되려면 ∈ 이다.
, 일 때, 집합 에 속하는 모든 원소의 합이 최대가 된다.
그러므로 최댓값은
(ⅱ) 집합 에 속하는 모든 원소의 합의 최솟값 을 구하기 위해 인 경우를 생각하자.
, 이므로
∉
가 집합 의 원소가 되려면 ∈
그러므로 ∈ 이면 ∉
가 집합 의 원소가 되려면 ∈이다.
일 때, 집합 에 속하는 모든 원소의 합이 최소이다.
그러므로 최솟값은
실제로 집합 에 속하는 모든 원소의 합의 최솟값이 인 경우는 다음 그림의 가지이다.
따라서 , 이므로
22. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 로그를 계산한 다.
log log log
23. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이해 하여 식의 값을 구한다.
이차방정식 의 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합은
[다른 풀이]
이므로 이차방정식 의 두 근은
또는 따라서 두 근의 합은
24. [출제의도] 도형의 대칭이동을 이해하여 원의 중심 의 좌표를 구한다.
원 은
이므로 중심의 좌표는 이다.
원 의 중심의 좌표는 점 을 원점에 대하여 대칭이동한 점이므로 이다.
원 의 중심의 좌표는 점 을 축에 대하여 대칭이동한 점이므로 이다.
, 이므로
