수학 영역

(1)

1.계산 능력 - 지수함수와 로그함수 〔2점〕 ③ 4^;2!;_log28=(2¤ )^;2!;_log22‹ =2_3=6

2.계산 능력 - 행렬과 그래프 〔2점〕 ④

A+2B={ }+2{ }

A+2B={ }+{ }

A+2B={ }

따라서, 행렬 A+2B의 모든 성분의 합은 7+(-1)+(-1)+3=8이다.

3.계산 능력 - 함수의 극한과 연속 〔2점〕 ③

= =

4.이해력 - 다항함수의 미분법 〔3점〕 ③ f'(x)=6x¤ -3이므로

=f'(1)=6-3=3

5.이해력 - 행렬과 그래프 〔3점〕 ② 주어진 그래프의 각 꼭짓점에 대하여 그 꼭짓점에 연 결된 변의 개수는 모두 3이므로 행렬 M의 제1행의 모든 성분의 합은 3이다.

6.이해력 - 확률 〔3점〕 ⑤

P(B)=1-P(BÇ )=1-;4!;=;4#;

∴ P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)

∴ P(A'B)=;2!;+;4#;-;8#;=;8&;

7.이해력 - 확률 〔3점〕 ②

{x¤ + }ﬁ 의 전개식의 일반항은

∞C®(x¤ )ﬁ —® { }® =∞C®x⁄ ‚ —‹ ®

이므로 x의 계수는 10-3r=1, 즉 r=3일 때이다.

따라서, 구하는 x의 계수는 ∞C£=10이다.

8.계산 능력 - 수열의 극한 〔3점〕 ①

= [;3!;_{;3@;}« —⁄

]

= =1

;3!;

; ¶ n=1

3_2« —⁄

3« ±⁄

; ¶ n=1

정답 1

x 1 x

정답 정답 정답 f(1+h)-f(1)

lim h

h⁄0

정답 1

2 1 lim x+3

x⁄-1

x+1 (x+1)(x+3)

xlim⁄-1

정답 7 -1

-1 3

4 -2 -2 0 3 1

1 3

2 -1 -1 0 3 1

1 3

정답 정답

9.이해력 - 다항함수의 미분법 〔3점〕 ④ f(x)=2x‹ +3x¤ -12x+17에서

f'(x)=6x¤ +6x-12=6(x+2)(x-1) f'(x)=0에서

x=-2 또는 x=1

따라서, 함수 f(x)는 x=-2에서 극댓값을 가지므 로 함수 f(x)의 극댓값은

f(-2)=2_(-2)‹ +3_(-2)¤ -12_(-2)+17 f(-2)=-16+12+24+17=37

10.이해력 - 수열 〔3점〕 ⑤

(가)에서 b+5=2_0

∴ b=-5

(나)에서 등차수열 a, b, 5, c의 공차는 5-b=5-(-5)=10

∴ a=-5-10=-15 c=5+10=15

∴ c-a=15-(-15)=30

11.수학 외적 문제 해결 능력 - 지수함수와 로그함수

〔3점〕 ③ T=5+a log™ (2t+1)에 t=;2#;, T=3을 대입하면 3=5+a log™ 4, 2a=-2

∴ a=-1

T=5-log™ (2t+1)에 t=;2#;+p, T=1을 대입하면 1=5-log™ [2{;2#;+p}+1]

log™(2p+4)=4, 2p+4=16

∴ p=6

12.이해력 - 다항함수의 적분법 〔3점〕 ① f(x)=3x¤ +6x-:º⁄ f(t)dt에서:º⁄ f(t)dt=a (a는 상수)라 하면

f(x)=3x¤ +6x-a

:º⁄ (3t¤ +6t-a)dt=[t‹ +3t¤ -at]1)=4-a 이므로 4-a=a에서

a=2

∴:_1! f(x)dx=:_1!(3x¤ +6x-2)dx

∴:_1! f(x)dx=2:)1 (3x¤ -2)dx

∴:_1! f(x)dx=2[x‹ -2x]1)

∴:_1! f(x)dx=2_(1-2)=-2

13.이해력 - 수열 〔3점〕 ①

이차함수 f(x)의 최고차항의 계수가 1이고, 곡선 y=f(x)의 꼭짓점의 좌표가 (1, -n)이므로 f(x)=(x-1)¤ -n

f(x)=x¤ -2x+1-n

f(x)=0의 두 근이 a«, b«이므로 근과 계수의 관계에 의하여

a«+b«=2, a«b«=1-n a«¤ +b«¤ =(a«+b«)¤ -2a«b«

=2¤ -2(1-n)=2n+2

∴ (a«¤`+b«¤ )= (2n+2)

∴ (a«¤`+b«¤ )=2_10_11+20 2

; 10 n=1

정답 정답 정답 정답

정답 14.이해력 - 다항함수의 미분법 〔4점〕 ④ 이차함수 f(x)의 최고차항의 계수가 a이고, 곡선 y=f(x)의 꼭짓점의 좌표가 (1, -2)이므로 f(x)=a(x-1)¤ -2

f(x)=ax¤ -2ax+a-2

f'(x)=2ax-2a이므로 f(x)=f'(x)에서 ax¤ -2ax+a-2=2ax-2a

ax¤ -4ax+3a-2=0

위의 이차방정식의 판별식을 D라 하면 방정식 f(x)=f'(x)가 중근을 가지므로

=(-2a)¤ -a(3a-2)=0 a¤ +2a=0, a(a+2)=0

∴ a=-2 (∵ a+0)

따라서, 곡선 y=f(x) 위의 점 (0, f(0))에서의 접선의 기울기는 f'(0)=-2a=4이다.

15.이해력 - 수열의 극한 〔4점〕 ①

S«= =2n¤ +3n

이때,

=

= =q

이므로 p=2, q=3

∴ p+q=5

16.이해력 - 함수의 극한과 연속 〔4점〕 ⑤ ㄱ. (참) x → 2+0일 때, f(x) → 2이므로

f(x)=2

ㄴ. (참) { f(x)+f(x+1)}

ㄴ. (참) = f(x)+ f(t) ㄴ. (참) =2+2=4

ㄷ. (참) |f(x)-1|=|2-1|=1

| f(1)-1|=|0-1|=1

∴ | f(x)-1|=|f(1)-1|

따라서, 함수 |f(x)-1|은 x=1에서 연속이다.

17.추론 능력(증명) - 수열 〔4점〕 ② a«≠¡=S«+n_4« ±⁄ +1 (næ1) ……… ㉠ næ2일 때, ㉠에서 n 대신 n-1을 대입하면 a«=S«–¡+(n-1)_4« +1 (næ2) ……… ㉡

㉠-㉡을 하면

a«≠¡-a«=S«-S«–¡+n_4« ±⁄ -(n-1)_4«

=a«+(4n-n+1)_4«

a«≠¡=2a«+(3n+1)_4« (næ2) 위의 등식의 양변을 2« ±⁄ 으로 나누면

= +(3n+1)_2« —⁄ (næ2) 이때, b«= (næ2)이라 하면

a™=S¡+1_4⁄ ±⁄ +1=15+16+1=32이므로 b™= =;;£4™;;=

b«≠¡=b«+(3n+1)_2« —⁄ (næ2)

n-1; a™ 8 2¤

a«

2«

a«

2«

a«≠¡

2« ±⁄

정답 limx⁄1

limx⁄1

tlim⁄2+0 xlim⁄1+0

xlim⁄1+0 xlim⁄2+0

정답 (2-p)n+3

1+;n!;

nlim⁄¶

(2-p)n¤ +3n lim n+1

n⁄¶

S«-pn¤

lim n+1

n⁄¶

n{2_5+(n-1)_4}

2

정답 D

4

정답

[A형]

수학 영역

(2)

∴ b«=8+ (3k+1)(2˚ -2˚ —⁄ )

∴ b«=8+ {(3k+1)_2˚ -(3k+1)_2˚ —⁄ }

∴ b«=8+ (3k-2)_2˚ —⁄ - (3k+1)_2˚ —⁄

∴ b«=8+[ (3k-2)_2˚ —⁄ +(3n-2)_2« —⁄ ] -[14+ (3k+1)_2˚ —⁄ ]

∴ b«=8+(3n-2)_2« —⁄ -14

+ {(3k-2)-(3k+1)}_2˚ —⁄

∴ b«=(3n-2)_2« —⁄ -6+ (-3)_2˚ —⁄

∴ b«=(3n-2)_2« —⁄ -

∴ b«=(3n-2)_2« —⁄ -3_2« —⁄ +6

∴ b«=(3n-5)_2« —⁄ +6

따라서, 수열 {a«}의 일반항은 a¡=15, a«=(3n-5)_2¤ « —⁄ +6_2« (næ2)이다.

∴ p=8, f(k)=3_2˚ —⁄

∴ p+f(5)=8+3_2› =56

18.수학 외적 문제 해결 능력 - 통계 〔4점〕 ④ 양어장에서 출하되는 물고기의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(8, 2¤ )을 따르므로

P(5.4…X…10.6)

=P{ … … }

=P(-1.3…Z…1.3)

=2_P(0…Z…1.3)

=0.80

19.수학 내적 문제 해결 능력 - 수열의 극한

〔4점〕 ⑤

원 C«의 반지름의 길이를 r«이라 하면 원 C«에 내접 하는 정삼각형 A«B«C«의 한 변의 길이는 사인법칙에 의하여

Aˆ

Bˆ Dˆ Cˆ

Cˆ≠¡ Cˆ

Eˆ Fˆ

정답 10.6-8

2 X-8

2 5.4-8

2

정답 6(2« —¤ -1)

2-1 3_2˚ —⁄

n-1;

k=2 n-1; _k=3

n-1;

k=3

n-1; _k=3

n-1;

k=2

; n k=3 n-1; _k=2

n-1; _k=2 =2r«

∴ B«C«”=2r«_sin 60˘='3r«

B«D«”= r«이므로

D«E«”=B«D«”_sin 60˘= r«_ = r«

B«E«”=B«D«”_cos 60˘= r«_ = r«

∴ A«E«”=A«B«”-B«E«”='3r«- r«= r«

즉, 삼각형 A«E«F«은 한 변의 길이가 r«인 정 삼각형이고, 원 C«≠¡의 중심은 정삼각형 A«E«F«의 무게중심과 일치하므로

r«≠¡= _ r«_ = r«

두 원 C«, C«≠¡의 반지름의 길이의 비가 1 : 이므로 S«≠¡= S«

한편, D¡E¡”=D¡F¡”= 이므로 S¡= _{ }¤ _sin120˘=

따라서, 수열 {S«}은 첫째항이 이고, 공비가 인 등비수열이므로

S«= =

20.추론 능력(추측) - 행렬과 그래프 〔4점〕 ⑤ ㄱ. (참) AB-2B=E에서 (A-2E)B=E이므로

B(A-2E)=E

즉, AB-2B=BA-2B이므로 AB=BA

ㄴ. (참) (A-2E)B=E이므로

B—⁄ =A-2E ……… ㉠ A¤ +A=5E에서 A(A+E)=5E이므로 A—⁄ =;5!;(A+E)

즉, 두 행렬 A, B의 역행렬이 모두 존재하므로 행 렬 AB의 역행렬도 존재한다.

ㄷ. (참) A¤ +A=5E에서 (A-2E)(A+3E)=-E (A-2E)(-A-3E)=E

∴ (A-2E)—⁄ =-A-3E

㉠에서 (A-2E)—⁄ =B 즉, -A-3E=B이므로 A+B=-3E

∴ (A+B)—⁄ =(-3E)—⁄ =-;3!;E

정답 9'3

55

; ¶ n=1

9 64 9'3

64 9'3

64 3

4 1 2

3 4 9

64

3 8 3

8 1 3 3'3

4 '3

2

3'3 4

3'3 4 '3

4 '3

4 1 2 '3

2

3 4 '3

2 '3

2 B«C«”

sin 60˘

21.수학 내적 문제 해결 능력 - 다항함수의 적분법

〔4점〕 ② f(x)=;3$;:º≈ {3t¤ -2(n+9)t+9n}dt

f(x)=;3$;[t‹ -(n+9)t¤ +9nt]/) f(x)=;3$;{x‹ -(n+9)x¤ +9nx}

f(x)=;3$;x(x-9)(x-n)

자연수 n의 값에 따른 함수 y=|f(x)|의 그래프의 개 형과 방정식| f(x)|=| f(k)|가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 0이 아닌 실수 k의 개수는 다음과 같다.

⁄ 1…n…8일 때, 0이 아닌 실수 k는 a, b, c, n, 9 로 5개이다.

[1…n…4일 때]

[5…n…8일 때]

¤n=9일 때, 0이 아닌 실수 k는 a, b, c로 3개이다.

‹næ10 (n+18)일 때, 0이 아닌 실수 k는 a, b, c, 9, n으로 5개이다.

[10…n…17일 때]

O ∫ nç

å 9 x

y

y=|`f{x}|

O ∫ 9 ç

å x

y

y=|`f{x}|

O ∫ n ç

å 9 x

y

y=|`f{x}|

O n ∫ ç

å 9 x

y

y=|`f{x}|

정답

1- 9 64 9'3

64

(3)

[næ19일 때]

›n=18일 때, 0이 아닌 실수 k는 9, 18로 2개이다.

⁄, ¤, ‹, ›에 의하여 주어진 조건을 만족시키는 자연수 n의 값은 9이므로

f(x)=;3$;x‹ -24x¤ +108x

따라서, 곡선 y=f(x)와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓 이를 S라 하면

S=:º· f(x)dx S=:º·

{;3$;x‹ -24x¤ +108x} dx S=[;3!;x› -8x‹ +54x¤ ]9) S=(3-8+6)_9‹ =729

22.계산 능력 - 다항함수의 적분법 〔3점〕 30 :º¤ (4x‹ +3x¤ +x+2)dx=[x› +x‹ +;2!;x¤+2x]2) :º¤ (4x‹ +3x¤ +x+2)dx=2› +2‹ +;2!;_2¤ +2_2 :º¤ (4x‹ +3x¤ +x+2)dx=16+8+2+4=30

23.계산 능력 - 수열의 극한 〔3점〕 5 ("çn¤ +10n-"çn¤ +10)

=

= = =5

24.이해력 - 함수의 극한과 연속 〔3점〕 4 (x+1) f(x)=x‹ +ax+2에 x=-1을 대입하면 0=-1-a+2

∴ a=1

한편, 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=-1에서도 연속이다.

즉, f(x)=f(-1)이 성립한다.

x+-1일 때, f(x)=x‹ +x+2이므로

xlim⁄-1

정답 10

2 10-0

"ç1+0+"ç1+0

nlim⁄¶

10n-10

"çn¤ +10n+"çn¤ +10

nlim⁄¶

(n¤ +10n)-(n¤ +10)

"çn¤ +10n+"çn¤ +10

nlim⁄¶

("çn¤ +10n-"çn¤ +10)("çn¤ +10n+"çn¤ +10)

"√n¤ +10n+"√n¤ +10

nlim⁄¶

정답 정답

O 9 18 x

y

y=|`f{x}|

O ∫ nç

å 9 x

y

y=|`f{x}| f(-1)=

f(-1)=

f(-1)= (x¤ -x+2)=4

25.이해력 - 통계 〔3점〕 15

두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 두 개의 주사위 모 두 홀수의 눈이 나올 확률은

;2!;_;2!;=;4!;

두 주사위를 동시에 던지는 각각의 시행은 서로 독립 이므로 확률변수 X는 이항분포 B{80, ;4!;}을 따른다.

∴ V(X)=80_;4!;_;4#;=15

26.이해력 - 통계 〔4점〕 11

:º⁄ f(x)dx=1이므로 :º

⁄{;5^;x¤ +a} dx=[;5@;x‹ +ax]1)=;5@;+a=1

∴ a=;5#;

∴ E(X)=:º⁄ xf(x)dx

∴ E(X)=:º

⁄{;5^;x‹ +;5#;x} dx

∴ E(X)=[;1£0;x› +;1£0;x¤ ]1)

∴ E(X)=;1£0;+;1£0;=;5#;

∴ E(10X+5)=10E(X)+5=10_;5#;+5=11

27.이해력 - 행렬과 그래프 〔4점〕 288 A=› '3 { }

A¤ =(› '3)¤ { }{ }='3 { } A‹ =(› '3)‹ { }{ }=› "ç3‹ { } A› =(› '3)› { }{ }=3{ }

=-12E

따라서, 행렬 A« 의 모든 성분의 합이 자연수가 되도 록 하는 자연수 n의 최솟값은 8이고,

A° =(-12E)¤ =144E

이므로 f(m)=f(8)=2_144=288이다.

28.이해력 - 확률 〔4점〕 60

첫 번째 시행에서 흰 공과 검은 공이 각각 1개씩 나 오는 사건을 A라 하고, 두 번째 시행에서 흰 공과 검 은 공이 각각 1개씩 나오는 사건을 B라 하면 구하는 확률은 P(A|B)이다.

P(A;B)= _ =

P(AÇ ;B)= _ + _

P(AÇ ;B)= 8 35

¢C¡_¡C¡

∞C™

£C™

¶C™

™C¡_£C¡

∞C™

¢C™

¶C™

12 35

£C¡_™C¡

∞C™

¢C¡_£C¡

¶C™

정답 -4 0

0 -4 1 -1

1 1 -2 -2

2 -2

-2 -2 2 -2 1 -1

1 1 0 -2 2 0

0 -2 2 0 1 -1

1 1 1 -1 1 1 1 -1 1 1

정답 정답 정답

xlim⁄-1

(x+1)(x¤ -x+2) lim x+1

x⁄-1

x‹ +x+2 lim x+1

x⁄-1

P(B)=P(A;B)+P(AÇ ;B)

P(B)= + = =

∴ p=P(A|B)= =

∴ 100p=60

29.추론 능력(추측) - 수열 〔4점〕 211 주어진 조건을 만족시키는 집합 A«은

A¡={1, 2}

A™={1, 2, 3, 4}

A£={2, 3, 4, 5, 6, 7}

A¢={4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

A∞={7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}

⋯

각 집합의 원소의 최댓값으로 이루어진 수열을 {a«}

이라 하면

{a«} : 2, 4, 7, 11, 16, …

수열 {a«}의 계차수열을 {b«}이라 하면 {b«} : 2, 3, 4, 5, …

이므로 b«=n+1

∴ a«=a¡+ (k+1)

∴ a«=2+ +n-1

∴ a«= +1

따라서, 집합 A™º의 원소의 최댓값은 a™º= +1=211이다.

30.추론 능력(추측) - 지수함수와 로그함수

〔4점〕 131 두 곡선 y=a≈ ±⁄ , y=b≈ —⁄ 은 두 곡선 y=a≈ , y=b≈ 을 x축의 방향으로 각각 -1, 1만큼 평행이동시킨 것이 다.

⁄aæb일 때,

모든 양수 t에 대하여 a† ±⁄ >b† —⁄ 이 성립하므로 (나) 를 만족시키려면 t=2일 때 a‹ -b<30이 성립하여 야 한다.

이때, 두 부등식 aæb, a‹`-b<30을 모두 만족시 키는 a, b는 a‹ -30<b…a에서

a=2일 때, b=2 a=3일 때, b=2, 3

a=4일 때, b는 존재하지 않는다.

따라서, 순서쌍 (a, b)의 개수는 1+2=3이다.

¤a<b일 때,

O x

y

y=a^x+1 y=b^x-1

O x 2

y

y=a^x+1 y=b^x-1

2

O x

y

y=a^x+1

y=b^x-1

2

정답 20¤ +20

2 n¤ +n

2 (n-1)n

2

n-1;

k=1

정답 3

5 P(A;B)

P(B) 4 7 20 35 8 35 12 35

10- æ≠1+ +æ≠1+10

n¤

10 n

신유형

(4)

[그림 1]과 같이 t=2일 때 a‹ æb이면 두 곡선 y=a≈ ±⁄ , y=b≈ —⁄ 이 xæ2인 범위에서 항상 만나므 로 (나)를 만족시킨다.

이때, 두 부등식 a<b, a‹ æb를 모두 만족시키는 a, b는 a<b…a‹ 에서

a=2일 때, b=3, 4, …, 8 a=3일 때, b=4, 5, …, 27 a=4일 때, b=5, 6, …, 50

따라서, 순서쌍 (a, b)의 개수는 6+24+46=76 이다.

[그림 2]와 같이 t=2일 때 a‹ <b이면 2 이상의 모 든 실수 t에 대하여 a† ±⁄ <b† —⁄ 이 성립하므로 (나)를 만족시키려면 b-a‹ <30이 성립하여야 한다.

이때, 두 부등식 a<b, 0<b-a‹ <30을 모두 만족 시키는 a, b는 a‹ <b<a‹ +30에서

a=2일 때, b=9, 10, …, 37 a=3일 때, b=28, 29, …, 50 a=4일 때, b는 존재하지 않는다.

따라서, 순서쌍 (a, b)의 개수는 29+23=52이다.

⁄, ¤에서 구하는 순서쌍 (a, b)의 개수는 3+76+52=131이다.

1.A형 2번과 동일 〔2점〕 ④

2.계산 능력 - 삼각함수 〔2점〕 ④ tan h= = 이므로

cos h=—

∴ cos 2h=2 cos¤ h-1=2_;5$;-1=;5#;

3.계산 능력 - 미분법 〔2점〕 ① f(x)="çln x=(ln x)^;2!;이므로

f'(x)=;2!;(ln x)—^;2!;_(ln x)'= _

∴ f'(e)= 1 _1= 1

1 x 1 2"çln x

정답 2

'5 1 2 1 cot h

정답 정답

4.계산 능력 - 방정식과 부등식 〔3점〕 ②

"ç4x¤ +1=x¤ -5의 양변을 제곱하면 4x¤ +1=x› -10x¤ +25

x› -14x¤ +24=0 (x¤ -2)(x¤ -12)=0

∴ x¤ =2 또는 x¤ =12

x¤ =2를 주어진 방정식에 대입하면 등식이 성립하지 않고, x¤ =12를 주어진 방정식에 대입하면 등식이 성립한다.

따라서, 주어진 방정식의 실근은 x=—'∂12=—2'3

이므로 구하는 모든 실근의 곱은 2'3_(-2'3)=-12이다.

5.이해력 - 확률 〔3점〕 ②

P(B)=1-P(BÇ )=1-;4!;=;4#;

∴ P(A|B)= = =

6.이해력 - 벡터 〔3점〕 ③

두 벡터 AD≥, BC≥는 방향과 크기가 모두 같으므로 AD≥=BC≥

∴ AB≥+AD≥=AB≥+BC≥=AC≥

한편, 그림과 같이 정육면체 ABCD-EFGH와 같 은 크기의 정육면체 BIJC-FKLG를 이어 붙여서 만든 직육면체에서 두 벡터 AF≥, CL≥은 방향과 크기 가 모두 같으므로

AF≥=CL≥

∴ AB≥+AD≥+AF≥=AC≥+AF≥

=AC≥+CL≥

=AL≥

이때, 삼각형 ALJ는 ∠AJL=90˘인 직각삼각형이 므로 선분 AL의 길이는

AL”="√1¤ +2¤ +1¤ ='6

∴ »AB≥+AD≥+AF≥»=»AL≥»='6

【다른 풀이】

그림과 같이 점 H를 원점으로 하고, 세 직선 HE, HG, HD를 각각 x축, y축, z축으로 하여 정육면체 ABCD-EFGH를 좌표공간 위에 나타내면 A(1, 0, 1), B(1, 1, 1), D(0, 0, 1), F(1, 1, 0) AB≥=(0, 1, 0), AD≥=(-1, 0, 0), AF≥=(0, 1, -1)

∴ »AB≥+AD≥+AF≥»=|(-1, 2, -1)|

∴ |AB≥+AD≥+AF≥|=øπ(-1)¤ +2¤ +(-1)¤

E H A

D

F G B

C

x

y z

H

E F

G B D

A

C

K L I

J 정답 1

2

;8#;

;4#;

P(A;B) P(B)

정답

정답 7.이해력 - 함수의 극한과 연속 〔3점〕 ② (x-1) f(x)=ln(x¤ +a)에 x=1을 대입하면 0=ln(1+a)

∴ a=0

함수 f(x)가 x=1에서 연속이므로 f(x)=f(1) 이 성립한다.

x+1일 때, f(x)= = 이므로

f(1)=

f(1)=2 (단, t=x-1)

f(1)=2_1=2

8.이해력 - 적분법 〔3점〕 ③

:º≈ f(t)dt= -a ……… ㉠

㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=(e—≈ -a)'=-e—≈

㉠에 x=0을 대입하면 0= -a, 0=1-a

∴ a=1

∴:–

å

å{ f(x)}¤ dx=:–

⁄

¡(-e—≈ )¤ dx=:–

⁄

¡e—¤ ≈ `dx

∴:–

å

å{ f(x)}¤ dx=[-;2!; e—¤ ≈]1_!=-;2!; e—¤ +;2!; e¤

∴:–

å

å{ f(x)}¤ dx=;2!; {e¤ - }

9.A형 11번과 동일 〔3점〕 ③

10.이해력 - 벡터 〔3점〕 ①

두 평면 x=2, y=3의 교선을 l¡이라 하면 직선 l¡은 z축에 평행한 직선이다.

두 평면 y=3, z=1의 교선을 l™라 하면 직선 l™는 x 축에 평행한 직선이다.

두 평면 x=2, z=1의 교선을 l£이라 하면 직선 l£은 y축에 평행한 직선이다.

이때, 세 직선 l¡, l™, l£은 한 점 (2, 3, 1)에서 만난 다.

평면 x+y+z=9를 a라 하면 세 직선 l¡, l™, l£과 평 면 a의 교점은 각각

(2, 3, 4), (5, 3, 1), (2, 6, 1)

따라서, 네 평면으로 둘러싸인 사면체는 네 점 A(2, 3, 1), B(2, 3, 4), C(5, 3, 1), D(2, 6, 1)을 꼭 짓점으로 하는 사면체이고, AB”⊥AC”, AC”⊥AD”, AD”⊥AB”이므로 구하는 사면체의 부피는

;3!;_{;2!;_AB”_AC”}_AD”

=;3!;_;2!;_3_3_3

l£

l¡

l™

B{2,`3,`4}

D{2,`6,`1}

C{5,`3,`1}

A{2,`3,`1} å

정답 정답 1

e¤

1 e‚

1 e≈

정답 ln(1+t)

lim t

t⁄0

2 ln x lim x-1

x⁄1

2 ln x x-1 ln x¤

x-1

limx⁄1

정답

[B형]

(5)

【다른 풀이】

x=2, y=3, z=1, x+y+z=9에서 x=x'+2, y=y'+3, z=z'+1이라 하면

x'=0, y'=0, z'=0, x'+y'+z'=3

네 평면 x'=0, y'=0, z'=0, x'+y'+z'=3을 좌표 공간 위에 나타내면 그림과 같으므로 구하는 사면체의 부피는 ;3!;_;2!;_3_3_3=;2(;이다.

11.이해력 - 이차곡선 〔3점〕 ④

사각형 APBQ의 넓이는 두 삼각형 ABP, ABQ의 넓이의 합과 같다.

선분 AB를 밑변으로 하는 두 삼각형 ABP, ABQ의 넓이가 최대이려면 높이가 최대이어야 하므로 두 점 P, Q는 기울기가 1인 직선이 타원과 접할 때의 서로 다른 접점이다.

타원 + =1의 기울기가 1인 접선의 방정식은 y=1_x—'ƒ4_1+16

∴ y=x+2'5 또는 y=x-2'5

y=x+2'5를 + =1에 대입하여 정리하면 5x¤ +4'5x+4=0

('5x+2)¤ =0

∴ x=-

y=x+2'5에 x=- 를 대입하면 y=

∴ P{- , 8'5} 5 2'5

5 8'5

5

2'5 5 2'5

5

y¤

16 x¤

4 y¤

16 x¤

4

x y

P y=x

Q A

B x@ `y@

-+-=1 `4 `16 O

정답 z'

y'

x' 3

3

3 O

x`'+y`'+z`'=3

∴ OP”= _"√(-1)¤ +4¤ =

∴ PQ”=2_OP”=

12.이해력 - 삼각함수 〔3점〕 ⑤ 삼각형 ABC의 넓이는

;2!;_1_1_sin h=;2!; sin h

삼각형 ABC에서 코사인법칙에 의하여 BC”¤ =1¤ +1¤ -2_1_1_cos h

=2(1-cos h)

∴ BC”="√2(1-cos h) 직각삼각형 BCD에서

BD”=CD”= _BC”="√1-cos h 삼각형 BCD의 넓이는

;2!;_BD”_CD”=;2!;(1-cos h) 도형 ABDC의 넓이는

sin h- (1-cos h)= sin h+ cos h-

= sin {h+ }- 따라서, 도형 ABDC의 넓이의 최댓값은 h= 일

때 이다.

13.이해력 - 지수함수와 로그함수 〔3점〕 ⑤ 곡선 y=logå (x+b)+c의 점근선의 방정식은 x+b=0, 즉 x=-b이고, 직선 BC의 방정식은 x=-2이므로

b=2

곡선 y=logå (x+2)+c가 점 O(0, 0)을 지나므로 0=logå (0+2)+c

∴ logå 2=-c ……… ㉠ 또, 곡선 y=logå (x+2)+c가 점 D(2, -1)을 지나 므로

-1=logå (2+2)+c logå 4+c=-1

∴ 2logå 2=-c-1 ……… ㉡

㉠, ㉡에서 -2c=-c-1

∴ c=1

이때, ㉠에서 logå 2=-1이므로 a=;2!;

∴ a+b+c=;2&;

정답 '2-1

2

p 4 1 2 p 4 '2

2

1 2 1

2 1

2

1 '2

정답 4'8å5

5

2'8å5 5 2'5

5 14.이해력 - 일차변환과 행렬 〔4점〕 ④

일차변환 f를 나타내는 행렬을 M이라 하자.

일차변환 f에 의하여 점 (2, 1)이 점 (-2, -1)로 옮겨지므로

M{ }={ } ……… ㉠ 일차변환 f에 의하여 점 (2, -1)이 점 (2, 1)로 옮겨 지므로

M{ }={ } ……… ㉡

㉠, ㉡에서

M{ }={ }

∴ M={ }{ }—⁄

∴ M= { }{ }

∴ M= { }={ }

이때, 합성변환 fΩf를 나타내는 행렬은

M¤ ={ }{ }={ }

이므로 선분 BC 위의 점 P의 좌표를 (-2, a) (-1…a…1)라 하면

M¤ { }={ }{ }={ }=

{ }

따라서, 점 P의 y좌표는 ;2!;이다.

15.A형 17번과 동일 〔4점〕 ②

16.A형 19번과 동일 〔4점〕 ⑤

17.이해력 - 미분법 〔4점〕 ⑤

y=e^-x¤에서 y'=-2xe^-x¤

점 P의 좌표를 (t, e^-t¤)이라 놓으면 점 P에서 곡선 y=e^-x¤에 그은 접선의 방정식은

y=-2te^-t¤(x-t)+e^-t¤

이므로 점 Q의 좌표는 {t+ , 0}이다.

t>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 OQ”=t+ æ2æ≠t_ ='2

{단, 등호는 t= , 즉 t= 일 때 성립한다.}

따라서, 선분 OQ의 길이의 최솟값은 '2이다.

'2 2 1

2t 1 2t 1

2t

1 2t

정답 정답 정답 1

;2!;

2a a -2

a 0 2 0 1 -2

a

0 2 0 1 0 -2

0 -1 0 -2

0 -1

0 -2 0 -1 0 8

0 4 1 -4

-1 -2 -1 2 -2 2

-1 1 1

-4

2 2 1 -1 -2 2

-1 1 -2 2 -1 1 2 2

1 -1 2 1 2 -1

-2 -1 2 1

정답

(6)

18.수학 외적 문제 해결 능력 - 통계 〔4점〕 ③ 양어장에서 출하되는 물고기의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(8, 2¤ )을 따르므로

P(5.4…X…10.6)=P{ … … } P(5.4…X…10.6)=P(-1.3…Z…1.3)

P(5.4…X…10.6)=2_P(0…Z…1.3)=0.80 이때, 용경이와 진완이가 선택한 물고기의 무게가 5.4 kg이상이고 10.6 kg 이하인 사건은 서로 독립이 고, 그 확률은 0.80으로 서로 같다.

따라서, 두 사람이 선택한 물고기 중에서 오직 한 마 리만 무게가 5.4 kg 이상이고 10.6 kg 이하일 확률은 2_0.80_(1-0.80)=0.32이다.

19.이해력 - 이차곡선 〔4점〕 ①

그림과 같이 점 A를 지나고 x축에 수직인 직선과 직 선 DB가 만나는 점을 H라 하고, CD”=a, FB”=b라 하면 포물선의 정의에 의하여 BD”=b이다.

AC”=2CD”이므로 AF”=AC”=2a 삼각형 ABH에서 AB”=AF”+FB”=2a+b

BH”=DH”-DB”=AC”-FB”=2a-b AH”=CD”=a

이므로

(2a+b)¤ =(2a-b)¤ +a¤

a¤ =8ab

∴ a=8b (∵ a+0)

따라서, 직선 AB의 기울기는

= = =;1•5;이다.

20.수학 내적 문제 해결 능력 - 함수의 극한과 연속

〔4점〕 ⑤

그림에서 ∠AOC= 이므로 OC”=

호 AB와 두 직선 AC, BC에 동시에 접하는 원의 중 심을 O¡이라 하고, 점 O¡에서 선분 AC에 내린 수선 의 발을 D라 하면 직각삼각형 O¡DC에서

∠CO¡D= 이고, O¡D”=r이므로 O¡C”=

이때, 원 O¡과 호 AB의 접점을 E라 하면 r

cos ;2Ω;

h 2 1 cos ;2Ω;

h 2 -Ω

2

-Ω2

O

B

C O¡ D

A E C

E

정답 a

2a-;8A;

a 2a-b AH”

BH”

H x y

y@=4px

O

x=-p

A

B F C

D

정답 10.6-8

2 X-8

2 5.4-8

2

정답 =1+r+

r

{

¹⁺

}

⁼ ^-1

∴ r= =

∴ r=

∴

∴=

∴= ª º

¤

_

∴= _1¤ _ =

21.이해력 - 지수함수와 로그함수 〔4점〕 ① log « 'ßx=log x^;n!;= log x

⁄ 10…x<100일 때, 1…log x<2이므로 g(x)=log x-1

… log x< 이므로 g(« 'ßx)=;n!;log x (∵ næ2) g(x)+g(« 'ßx)=1에서 log x-1+ log x=1

∴ log x= =1+

∴ g(x)= ……… ㉠

¤ 100…x<1000일 때, 2…log x<3이므로 g(x)=log x-2

… log x< 이므로 n=2일 때,

g(« 'ßx)=;n!;log x-1 g(x)+g(« 'ßx)=1에서 log x-2+ log x-1=1

∴ log x= = =2+

∴g(x)=;3@; ……… ㉡ næ3일 때,

g(« 'ßx)= log x g(x)+g(« 'ßx)=1에서 log x-2+ log x=1

∴ log x= =2+

∴ g(x)= ……… ㉢

⁄, ¤에서 a«(næ2)은 다음과 같다.

n=2일 때,

㉠에서g(x)=;3!;, ㉡에서 g(x)=;3@;이고, ;3!;<;3@;

n-2 n+1

n-2 n+1 3n

n+1 1 n 1 n

2 3 8 3 4n n+1

1 n

3 n 1

n 2 n

n-1 n+1

n-1 n+1 2n

n+1 1 n

2 n 1

n 1 n

1 n

정답 1

16 1

(1+1)¤

1 4

1 {1+cos ;2Ω;}¤

hlim⁄+0

sin ;2Ω;

;2Ω;

hlim⁄+0

1 4

sin¤ ;2Ω;

h¤ {1+cos ;2Ω;}¤

hlim⁄+0

r lim h¤

h⁄+0

sin¤ ;2Ω;

{1+cos ;2Ω;}¤

1-cos¤ ;2Ω;

{1+cos ;2Ω;}¤ 1-cos ;2Ω;

1+cos ;2Ω;

1 cos ;2Ω;

r cos ;2Ω;

1

cos ;2Ω; a™=;3!;

næ3일 때,

㉠에서g(x)= , ㉢에서g(x)= 이고, 0< < <1이므로

a«=

∴ a™_a£_a¢_y_a¡º

∴=;3!;_;4!;_;5@;_;6#;_;7$;_;8%;_;9^;_;1¶0;_;1•1;

∴= =

22.계산 능력 - 수열 〔3점〕 70 등차수열 {a«}의 공차를 d라 하면

a∞-a£=30-50=-20=2d

∴ d=-10 a£=a¡+2d이므로 50=a¡+2_(-10)

∴ a¡=50+20=70

23.이해력 - 공간도형과 공간좌표 〔3점〕 8 두 점 A(a, 4, 0), B(2, b, 3)에 대하여 선분 AB를 2 : 1로 내분하는 점을 C라 하면 점 C의 좌표는

{ , , }, 즉

{ , , 2}

이때, 점 C는 z축 위의 점이므로

=0, =0

∴ a=-4, b=-2

∴ ab=8

24.이해력 - 통계 〔3점〕 20

확률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면

2k+k+2k=1이므로 k=;5!;

E(X)=(-1)_;5@;+0_;5!;+1_;5@;=0 V(X)=(-1)¤ _;5@;+0¤ _;5!;+1¤ _;5@;-0¤ =;5$;

∴ V{ }=V(5X)=25V(X)=25_;5$;=20

25.이해력 - 방정식과 부등식 〔3점〕 9 f(x)=k(x-1)(x-4) (k>0)라 하자.

…0에서

…0

…0, x+3 x(x-3)<0, x=6

∴ 0<x<3, x=6

따라서, 구하는 모든 정수 x의 값의 합은 k(x-3)(x-6)¤

x {k(x-3)(x-6)}¤

kx(x-3) { f(x-2)}¤

f(x+1)

정답 X

k

정답 2b+4

3 a+4

3

2b+4 3 a+4

3

2_3+1_0 2+1 2_b+1_4

2+1 2_2+1_a

2+1

정답 정답 1

495 2

9_10_11 n-2 n+1

n-1 n+1 n-2

n+1

n-2 n+1 n-1

n+1

X -1 0 1 합계

P(X=x) 2k k 2k 1

신유형

(7)

26.수학 외적 문제 해결 능력 - 순열과 조합

〔4점〕 210 5명 중 아이스크림을 한 개만 받는 2명을 택하여 아 이스크림을 한 개씩 나누어 주는 경우의 수는

∞C™=10

나머지 11개의 아이스크림을 나머지 3명에게 두 개 이상씩 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 중복을 허락하여 11-6=5(개)를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

£H∞=£≠∞–¡C∞=¶C™=21

따라서, 구하는 경우의 수는 10_21=210이다.

27.수학 외적 문제 해결 능력 - 확률 〔4점〕 6 6명이 6개의 의자에 앉는 경우의 수는 6!

A, B가 두 번째 줄에 이웃하여 앉는 경우의 수는 4!_2!

A, B가 세 번째 줄에 이웃하여 앉는 경우의 수는 4!_2!_2

따라서, 구하는 확률은

= =

∴ p=5, q=1

∴ p+q=6

28.이해력 - 행렬과 그래프 〔4점〕 14 등식 { }{ }={ }을 만족시키는 두 실 수 x, y의 순서쌍 (x, y)가 무수히 많으려면 행렬

{ }의 역행렬이 존재하지 않아야 하므로

3_(-2a)-(a+4)(a-4)=0 a¤ +6a-16=0, (a+8)(a-2)=0

∴ a=2 (∵ a는 자연수)

{ }{ }={ }에 a=2를 대입하면 { }{ }={ }

∴ x+2y=0 ……… ㉠ { }{ }={ }에 a=2를 대입하면

{ }{ }={ }

{ }{ }={ } (∵ ㉠)

{ }={ }

{ }={0} ……… ㉡ 0

(b-4)y (c-8)y

0 0 -4y+by -8y+cy

0 0 -2y

y 2 b 4 c

0 0 x y 2 b 4 c

0 0 x y b c a a+2

0 0 x y 3 6 -2 -4

0 0 x y a+4 -2a 3

a-4 a+4 -2a 3

a-4

0 0 x y a+4 -2a 3

a-4

정답 1

5 1+2 3_5 4!_2!+4!_2!_2

6!

정답 정답

㉡을 만족시키는 실수 y가 무수히 많아야 하므로 b=4, c=8

∴ a+b+c=14

29.수학 내적 문제 해결 능력 - 공간도형과 공간좌표

〔4점〕 701

구 T의 중심을 A라 하고, 평면 b가 원 C와 만나는 점을 P, 구 T와 만나는 점을 Q라 하자.

OA”=1, OP”=3이므로 직각삼각형 AOP에서 AP”='∂10

çOPA=h라 하면 cos h=

두 평면 a, b가 이루는 각의 크기는çOPQ=2h이 므로

cos 2h=2 cos¤ h-1=2_;1ª0;-1=;5$;

직선 PQ가 반구 S와 만나는 점 중에서 점 P가 아닌 점을 R라 하면 선분 PR는 평면 b에 의하여 반구 S 가 잘려서 생기는 원의 지름이다.

이때, 삼각형 OPR는 이등변삼각형이므로 선분 PR 의 중점을 M이라 하면 점 M은 단면인 원의 중심이 고,

PM”=OP”_cos 2h=3_;5$;=;;¡5™;;

이므로 단면인 원의 넓이는 {;;¡5™;;}¤

p=;;¡2¢5¢;;p이다.

따라서, 구하는 정사영의 넓이는

;;¡2¢5¢;;p_cos 2h=;;¡2¢5¢;;p_;5$;=;1%2&5^;p

∴ p=125, q=576

∴ p+q=701

30.수학 내적 문제 해결 능력 - 적분법〔4점〕 43 (나)에서 모든 실수 x에 대하여

f'(x)=3x¤ +6x+aæ0

이어야 하므로 3x¤ +6x+a=0의 판별식을 D라 하면

=3¤ -3a…0

∴ aæ3 ……… ㉠ 한편, y=g(t)=e—† (t¤ +at+b)이므로

D 4

정답 3

'∂10 R

A Q M

Ω

Ω P

O

정답

=g'(t)=-e—† (t¤ +at+b)+e—† (2t+a)

=-e—† {t¤ +(a-2)t+b-a}

또, x=f —⁄ (t)에서 t=f(x)=x‹ +3x¤ +ax이므로

=3x¤ +6x+a

∴ =

∴ = =

∴ =-

(다)에서 모든 실수 t와 x에 대하여 +0이어야 하므로

t¤ +(a-2)t+b-a+0이고 3x¤ +6x+a+0 이어야 한다.

⁄t¤ +(a-2)t+b-a=0의 판별식을 D¡이라 하면 D¡=(a-2)¤ -4(b-a)<0

a¤ -4a+4-4b+4a<0, a¤ -4b+4<0

∴ b>;4!;a¤ +1 ……… ㉡

¤3x¤ +6x+a=0의 판별식을 D™라 하면

=3¤ -3a<0

∴ a>3 ……… ㉢ 한편, (가)에서

b…4 ……… ㉣

b=;4!;a¤ +1에서 b=4일 때 a=2'3 (∵ a>3)이므로

㉠, ㉡, ㉢, ㉣에 의하여 점 (a, b)가 존재하는 영역은 그림의 어두운 부분과 같다. (단, 점선인 경계는 제외 한다.)

이때, 점선인 경계의 포함 여부는 영역의 넓이에 영 향을 주지 않으므로 구하는 넓이는

:£

2'3

[4-{;4!;a¤ +1}] da=[3a-;1¡2;a‹ ] £

2'3

:£

2'3[4-{;4!;a¤ +1}] da=(6'3-2'3)-{9-;4(;}

:£

2'3[4-{;4!;a¤ +1}] da=-;;™4¶;;+4'3

∴ p=-;;™4¶;;, q=4

∴ 4(q-p)=4_{4+;;™4¶;;}=43 `1 b=- `4 a@+1

a b

b=4

O 3

2´3 1

4 D™

4

dy dx {t¤ +(a-2)t+b-a}(3x¤ +6x+a)

e†

-e—† {t¤ +(a-2)t+b-a}

1 3x¤ +6x+a dy

dt dx dt dy dx

1 3x¤ +6x+a dx

dt dt dx dy dt