11장. 각운동량

(1)

11장. 각운동량

(Angular Momentum)

11.1 벡터곱과 토크

11.2 분석 모형: 비고립계(각운동량) 11.3 회전하는 강체의 각운동량

11.4 분석 모형: 고립계(각운동량) 11.5 자이로스코프와 팽이의 운동

1

(2)

11.1 벡터곱과 토크

(The Vector Product and Torque)

11.1 벡터곱과 토크

(The Vector Product and Torque)

앞에서 배운 토크를 다시 생각해보자. 토크의 크기는

토크의 방향은 오른나사 법칙을 따르므로, 토크를 벡 터 연산으로 표현하면

이런 연산 규칙을 벡터곱 또는 크로스곱이라고 한다.

Fd

rF 

 

 sin

F r

τ  

B A

C  

C

의 크기는 C  AB sin 

두 벡터가 만드는 평행사변형의 면적

에 해당한다.

(3)

A B

B

A   

C A

B A

C) B

A  (     

dt d dt

d dt

d B

A A B

B

A  )     (

C B

A C

B

A  (  )  (  ) 

A B

B

A    

C

의 방향은 두 벡터가 만드는 평면 에 수직이며, 오른손 법칙에 의해 결 정된다.

- 분배 법칙 성립

- 교환법칙, 결합법칙 성립하지 않는다 - if Θ =0° or 180° ⇒ A B

//

0 ) 180 or ( 0

sin   



 B AB A 

- if Θ =90° ⇒ A B

 AB AB

B

A   sin90

(AB평면에 수직방향)

(4)

(x,y,z)

k

j

z

x

y

 0









 i j j k k i

k i

j j

i      j k

i i

k      i j

k k

j     

k j

i

i j

i k

j k

k j

i k

j i

B A

) (

x y y

x z

x x

z y

z z

y

y z x

z z

y x

y z

x y

x

z y

x z

y x

B A B

A B

A

B A B

A B

A

B B

B A

A A































k j

i k

j i

B A

y x

z x

z y

x

z y

x

B B

A A

B B

A A

B B

A A

B B

B

A A

A   





또는

k j

i B

A   ( A

_y

B

_z

 A

_z

B

_y

)  ( A

_x

B

_z

 A

_z

B

_x

)  ( A

_x

B

_y

 A

_y

B

_x

)

cf) 단위 vector : iˆ, ˆj, kˆ

o Vector Production의 성분 분해

(5)

토크 벡터 예제 11.2

F=(2.00ti＋3.00tj)N의 힘이 z축과 나란한 고정축 주위로 회전하는 물체에 작용한다. 이 힘이 r=(4.00ti＋5.00tj)m에 위치한 점에 작용할 때, 토크 벡터 τ를 구하라.

풀이 토크의 정의에 대입하면

 ⁽ ⁴ ^. ⁰⁰ ⁱ ⁵ ^. ⁰⁰ ^j ⁾ ^m   ⁽ ² ^. ⁰⁰ ⁱ ³ ^. ⁰⁰ ^j ⁾ ^N 

F r

τ      

m N 

















] )

00 . 3 )(

00 . 5 (

) 00 . 2 )(

00 . 5 (

) 00 . 3 )(

00 . 4 ( )

00 . 2 )(

00 . 4 [(

j j

i j

j i i

i τ

m N

m

N   







 [ 0 12 . 0 k 10 . 0 k 0 ] 2 . 0 k



☆

(6)

- 힘과 운동량 사이의 관계 :

dt p d dt

v m d a

m F



 

   

선운동량과 유사하게, 회전 운동에 관한 운동량을 생각하자.



^F ^ ^dp_dt ^r ^

 

^F ^ ^τ ^ ^r^ ^dp_dt

- Consider

dt p r d

dt p r p d

dt r

d 

 



 



 )       (

∵ v

dt r d

 



_⇒ v

 

p

 

v

 

mv

 

mv

 

v

  0 (

p=mv

이므로

v

와 같은 방향이고

p

x

v

=0이다)

dt d

dt d dt

d ( r p )

r p r p

τ      



0 이므로

 r  p

dt d

p r

L  

dt , τ dL

 ^



₍



^F ^ ^dp_dt ₎

^{각 운동량}

11.2 분석 모형: 비고립계(각운동량)

(Analysis Model: Nonisolated System(Angular Momentum))

11.2 분석 모형: 비고립계(각운동량)

(Analysis Model: Nonisolated System(Angular Momentum))

(7)

- Define) 각운동량 (Angular Momentum) :

원점

O

에 대한 입자의 순간 각운동량(angular momentum) L은 입자 의 순간 위치벡터

r

과 순간 선운동량

p

의 벡터곱으로 정의된다.

p r

L  

◈입자계의 각운동량 (Angular Momentum of a System of Particles)















i n

tot

L L L L i

L

₁ ₂



 ^



i i i

i tot

dt d dt

dL L τ

 

 



  ^F

^ext

 ^d _dt ^p

^tot

- Torque는 각운동량의 시간 변화율과 같다 - 각운동량의 방향은 Torque의 방향과 같다

각 운동량

 ^

 dt

d

_tot

ext

τ L

(8)

Ex) 질량 m 이 속도 v 로 직선 운동시 원점 O 축에 대한 각운동량은?

풀이 L  r p  rpsin  mvd

방향 : -z 축 방향

k mvd L   ˆ

∴

cf) O' 축에 대한 각운동량은?

- 이 경우 r // p ^→ L  r p  rpsin0 0

- 원운동시 :

풀이 r  p

k mvr rp

p r

L     sin90 ˆ

- 방향 : 반시계 방향 : "+" sign, +z축 방향 cf) v =rω →

^L  ^mr

²

  ^I 

원운동을 하는 입자의 각운동량 예제 11.3

(9)

끈으로 연결된 두 물체 예제 11.4

질량이 m₁인 구와 질량이 m₂인 상자가 도르래를 통해 가벼운 끈으로 연결되어 있다. 도 르래의 반지름은 R 이고 테의 질량은 M 이며, 도르래 살의 무게는 무시할 수 있다. 상자 가 마찰이 없는 수평면에서 미끄러진다고 할 때, 각운동량과 토크의 개념을 이용하여 두 물체의 선가속도를 구하라.

풀이 도르래 회전축에 대한 각운동량을 살펴보면

☆

3 2

1 L L

L

L   





ˆ) ( ˆ)

( ˆ) (

2 2 2

2

1 1

1

z MRv MR

I L

z v Rm p

r L

z v Rm p

r L

R   













^ ^



 



 

Rv M

m m

RMv v

Rm v

Rm L

) (

) 1 (

2 1









 

dt R dv M m

m

Rv M m

dt m d dt

dL

gR m g

Rm F

r

) (

) 2 (

2 1

1 1











  



∵ v₁=v₂=v=Rω I_R=MR²,

M m

m

g m dt

a_t dv



 





2 1

1

(10)

11.3 회전하는 강체의 각운동량

(Angular Momentum of a Rotating Rigid Object)

11.3 회전하는 강체의 각운동량

(Angular Momentum of a Rotating Rigid Object)

z

축과 일치하는 고정축 주위로 회전하는 강체의 각운동량을 결정하자.

강체의 각 입자들은

xy

평면 내에서

z

축 주위를 각속력

ω

로 회전한다.

질량이

m_i

인 입자의

z-

축에 대한 각운동량의 크기는

m_iv_ir_i

이다

강체 전체의 각운동량은



2 i i

i

m r

L 

 ⁽ _ ^v ^ ^r ^ ⁾



 



 



 



   

i

i i i

i

z L m r m r

L ² ²



I L

_z





 ,

 I dt

I d dt

dL

_z



 ^  ^

^ext

^ ^I ^

) ( p  mv

)

( F  ma

(11)

(12)

시소 예제 11.6

질량 m_f 인 아버지와 질량 m_d인 딸이 중심에서 같은 거리만큼 떨어져 시소의 양끝에 앉 아 있다. 시소를 길이 ℓ 이고 질량 M인 마찰이 없이 회전하는 강체로 생각한다. 시소, 아 버지, 딸로 구성된 계가 어느 순간 각속력 ω로 회전한다.

(A) 계의 각운동량 크기를 구하라.

풀이 점 O를 지나는 회전축에 대한 계의 관성모멘트는



 



  

 



 



 



 



 

 _f _d M m_f m_d

m m

M

I 12 2 2 4 3

1 ₂  ²  ² ²





 _



 



  



 M m

_f

m

_d

I

L 4 3



2

(B) 시소가 수평면과 각 θ를 이룰 때 계의 각가속도의 크기를 구하라.



 cos

2 g  m

_f

f



(그림의 면에서 나오는 방향)

(13)





 ⁽ ⁾ ^cos

2 1 m

_f

m

_d

g 

d f

ext

   





 cos

2 g  m

_d

d

 

(그림의 면으로 들어가는 방향) 계에 작용하는 알짜 토크는

] )

3 / [(

cos )

( 2

d f

ext

m m

M l

g m

m

I  

 

  ^ ^



(C) 아버지가 안쪽으로 이동하여 회전축에서 d 만큼 떨어진 곳에 위치한다. 임의의 각도 θ에서 시소가 움직일 때 계의 각가속도는 얼마인가?

2 2

2

3 4

2 12

1

d m M m

m d

m M

I

f d

d f

 



 



 



 

 



 







 

(14)





 cos

2 cos 1 m g  gd

m

_f _d

d f



ext

^ ^ ^ ^

] 0 )

3 / )[

4 / (

2 cos cos 1

2





 

d m m

M

g m gd

m

f d

d f



 

 

2

2 / 4)[ / 3) ]

(

2 cos cos 1

d m m

M

g m gd

m

I _d _f

d ext f



 







 

 



0 2 cos

cos   1 m g _   gd

m

_f _d

α =0으로 놓고 아버지의 위치를 구하면

2 

 1







 



 

f d

m

d m

(15)

11.4 분석 모형: 고립계(각운동량)

(Analysis Model: Isolated System(Angular Momentum))

11.4 분석 모형: 고립계(각운동량)

(Analysis Model: Isolated System(Angular Momentum))

계에 작용하는 알짜 외부 토크가 영(0)일 때, 즉 계가 고립되어 있으면 계의 전체 각운동량은 크기와 방향 모두 일정하다.

각운동량 보존(conservation of angular momentum)

f i

f

i

E

L L

P P



고립계에서

(에너지 전달이 없는 경우) (알짜 외력이 0인 경우)

(알짜 외부 토크가 0인 경우)

f

i

L

L 

 0

 ^

^ext

 ^d ^L _dt

^tot

^L

_tot

^ ^일정,

dt , τ dL

 ^

) 0

(  ^F  ^dp _dt 

^{선운동량 보존}

15

(16)

질량 m, 속도 v₀인 탄환이 질량 M, 반경 R 인 속이 찬 원통에 발사되었다.

수직거리 d < R 이라면, 탄환이 원통에 박힌 후 원통의 회전 각속도 ω ? 풀이 - 각운동량 보존 :

- 충돌전 : 탄환의 각운동량만 고려

- 충돌후

- 강체에서 각속도 ω 는 모두 같다

p r L  





mvd d

mv v

m d

L   ₀  ₀ sin90 



 _



 



 









 ² ²

2

1 MR md

I I

L L

L _B _Cyl _B _Cyl

2

1 MR I_Cyl 

md2

I_B 

2 2

0

2

1 MR md d mv



 

∴

- 충돌에의한 Energy 손실 : ² ₀²

2 1 2

1 I mv

KE KE

KE  _f  _i  _Cyl _B 

 _ 

Angular Momentum Conservation 예제

(17)

회전 목마 예제 11.7

원반 모양의 수평판이 마찰이 없는 수직축을 중심으로 자유롭게 회전하고 있다. 수평판 의 질량은 M=100kg 이고 반지름은 R=2.0m 이다. 질량이 m=60kg 인 학생이 원반의 가 장 자리로부터 중심을 향하여 천천히 걸어가고 있다. 만약 학생이 원반의 가장자리에 있 을 때 계의 각속력이 2.0rad/s이었다면, 학생이 중심으로부터 r =0.50m 떨어진 지점에 도달했을 때 계의 각속력을 구하라.

풀이 점 O를 지나는 회전축에 대한 계의 관성모멘트는

이므로

2 2

2 1 MR mR I

I

_i



_pi



_si

 

2 2

2 1 MR mr I

I

_f



_pf



_sf

 

f f i

i

I

I   

f

i

MR mr

mR

MR )  ( ) 

(

₂¹ ²



²



₂¹ ²



²

i

f

MR mr

mR

MR 

 _



 







 



₂ ₂

2 1

2 2

2 1

- 각운동량 보존 : - 가장자리 : r =R

- r = 0.5m :

☆

(18)

sec / 1 . 4 215 2

2 440 15

200

240 200

sec / 2 ) 5 . 0 ( 60

) 2 ( 2 100

1

) 2 ( 60

) 2 ( 2 100

1

2 1 2 1

2 2

rad

rad m

Kg m

Kg

m Kg

mr MR

mR MR

i f







 

 











 



















 

 

cf) 계의 에너지 KE_i I_i _i 440 2 880J 2

1 2

1 ₂   ₂ 

 

J I

KE_f _f _f 215 4.1 1800 2

1 2

1 ₂   ₂ 

 

o 계의 (회전)운동에너지가 증가된다

→ 원판의 회전에 의한 구심력 발생으로 생각

학생이 회전의 중심방향(구심력방향)으로 걸어감

→ 구심력증가 → 에너지 증가로 생각!!

(19)

11.5 자이로스코프와 팽이의 운동

(The Motion of Gyroscopes and Tops)

11.5 자이로스코프와 팽이의 운동

(The Motion of Gyroscopes and Tops)

팽이에 작용하는 중력이 O점에 대해 작용하는 토크 때문에 회전축의 방향이 바뀌게 된다.

따라서 팽이의 중심축이 z-축을 회전축으로 회전하게 된다.

dt m d L

g r

τ   

그림에서

r

의 방향과 L의 방향과 일치하므로 토크 의 방향은 각운동량과 수직한 방향이 된다. 따라서 각운동량의 크기는 변하지 않고 방향만 바뀐다.