힘 4 장

(1)

4장

힘

March 11, 2013 Physics for Scientists&Engineers 1 1

(2)

4.1 힘의 종류

 힘은 물체 사이의 상호작용을 기술하는 벡터양이다 .

• 힘과 운동 : 동력학 (dynamics)

 우리가 경험하는 힘 : 접촉력

• 장력 : 줄이 당기는 힘

• 압축력 : 물체를 밀 때 물체에 가해지는 힘

• 수직력 : 바닥이 물체를 떠 받치는 힘

• 마찰력 : 맞닿은 물체 사이에 작용하는 힘

• 탄성력 : 탄성체의 형상 복원력 ex) 용수철, 고무줄 등

 근본적인 힘

• 중력 / 전자기력

• 강력 (강한 핵력) / 약력 (약한 핵력)

(3)

2013년 3월 11일 University Physics, Chapter 4 3

무게와 질량 (1)

 물체에 작용하는 중력의 크기=무게

 물체에 작용하는 중력, F _g , 는 항상 질량에 비례한다.

 지표면 근처(고도 10km 이하): 물체의 질량과 중력가속도의 곱인 물체의 무게는 일정하다.

F _g  mg

g  9.81 m/s ²

4.2 중력벡터, 무게, 질량

(4)

무게와 질량 (2)

 예:

• 물체의 질량 m = 5.00 kg

• 중력 F_g = mg = (5.00 kg)(9.81 m/s²) = 49.05 kg m/s²

 힘의 단위

• 현대 역학의 아버지이며 가장 영향력이 큰 과학자인 영국의 물리학자 아이작 뉴턴 경을 기념하여 뉴턴이라고 부른다.

 질량 m은 kg 단위로 측정하고,

무게(힘!) mg는 N의 단위로 측정한다.

N 1 kgm/s

1 ² 

(5)

힘의 크기

(6)

4.3 알짜 힘

 정의: 알짜 힘=물체에 작용하는 모든 힘벡터의 벡터합

 알짜 힘의 직각좌표 성분:

1 2

1 ...

n

net i n

i

F F F F F



     

F

_{net, x}

 F

_{i, x}

i1



n

^ ^F

^{1, x}

^ ^F

^{2, x}

^ ^... ^ ^F

^{n, x}

F

_{net, y}

 F

_{i, y}

i1



n

^ ^F

^{1, y}

^ ^F

^{2, y}

^ ^... ^ ^F

^{n, y}

F

_net,z

 F

_i,z

i1



n

^ ^F

^1,z

^ ^F

^2,z

^ ^... ^ ^F

^n,z

(7)

랩톱컴퓨터

 손이 컴퓨터에 작용하는 힘: N (수직력)

• 수직력의 방향은 무게와 반대이고, 크기는 같다.

 알짜 힘:

N   F g

1

0 n

net i

i

g

F F

F N N N



 

  





(8)

자유물체도표

 첫 번째 관찰: 도표에 손을 그릴 필요가 없다. 전체 효과는 수직력을 나타내는 화살표로 표시할 수 있다.

 두 번째 관찰: 실제 모양을 고려할 필요 없이 한 점으로 표시해도 충분하다.

 문자 그대로 물체로부터 자유로운 도표이다: 자유물체도표!

(9)

평형조건 (1)

 정적 평형조건 1:

 알짜 힘이 0인 평형조건을 이용하여 미지의 힘을 구할 수 있다.

• 예: 물체 1이 물체 2 위에 정지해 있으면 수직력 은 물체 1의 무게와 크기가 같으므로 물체 1에 작용하는 알짜 힘은 0이다. 만약에 수직력이 물체의 무게보다 크면 물체가 위로 상승하고, 작으면 물체 1이 물체 2 속으로 가라앉을 것이다.

물체에 작용하는 알짜 힘이 정확히 0이면 물체가 정지해 있다.

F _net  0

N

(10)

평형조건 (2)

 직각좌표계에서 벡터방정식은 독립된 세 방정식이다.

F

_{net, x}

 F

_{i, x}

i1



n

^ ^F

^{1, x}

^ ^F

^{2, x}

^ ^... ^ ^F

^{n, x}

^ ⁰

F

_{net, y}

 F

_{i, y}

i1



n

^ ^F

^{1, y}

^ ^F

^{2, y}

^ ^... ^ ^F

^{n, y}

^ ⁰

F

_net,z

 F

_i,z

i1



n

^ ^F

^1,z

^ ^F

^2,z

^ ^... ^ ^F

^n,z

^ ⁰

(11)

두 물체의 서로 작용력

 고립되어 정지한 두 물체에 알짜 힘이 작용하지 않으면 이다.

 외력에 내력 (물체 1이 물체 2에 작용)와 (물체 2가 물체 1에 작용)을 더하면 알짜 힘은 다음과 같다.

 알짜 힘도 외력도 0이므로 결국 다음을 얻는다.

 두 물체는 크기가 같고 방향이 반대인 힘을 서로 작용한다.

F _ext  0

F _1,2 F _2,1

1,2 2,1

net ext

F  F  F  F

1,2 2,1 0 1,2 2,1

F  F   F   F

뉴턴의 제3법칙

(12)

보기문제 4.3: 책상 위의 두 책

문제: 책상이 아래의 책에 작용하는 힘의 크기는 무엇인가?

답:

• 먼저 위쪽 책의 자유물체도표를 그린다.

• 뉴턴의 제3법칙:

• 아래쪽 책의 자유물체도표를 그린다.

• 수직력 = 두 무게의 합

F _2,1  N ₁  F ₁  m ₁ g

F _1,2  F _2,1

   

 

1,2 2 2

2 1,2 2 1 2

2 1 2

0 F N F

N F F F F

N g m m

   

     

 

(13)

연습문제 4.29: 빙산과 해양



얼음의 밀도는

0.917 g/cm ³ ,이고, 바닷물의 밀도는 1.024 g/cm ³ .이기 때문에 빙산 부피의 10.4% 만 해수면 위로 올라오고, 89.6%는 아래에 있다.

문제: 해수면 위 빙산의 부피가 4164.5 m ³ ,이면,

바닷물이 빙산에 작용하는 힘의 크기는 얼마인가?

답:

g V

g m

W

_빙산



_빙산

 

_얼음 _빙산

104 . 0

m 5 . m 4164

5 . 4164 104

. 0

3

 



_{빙 산}

빙 산

V

N 10 3.60 )

(9.8m/s 0.104

4164.5m )

kg/m 917

(

² ⁸

3

  



 



 

 V g

W

_{빙 산}



_{얼 음} _{빙 산}

3 3

917kg/m g/cm

917 .

0 

얼 음



 알짜힘=빙산의 무게:

빙산의 전체 부피:

얼음의 밀도의 SI단위:

빙산에 작용하는 힘의 크기는 다음과 같다.

(14)

아이작 뉴턴



1643년 1월 4일 영국 잉글랜드 링커셔의 울즈소프 출생



1661년 6월 5일: 캠브리지대학교 트리니티 대학에 입학



1665년 4월: 학사학위 취득



1665년 여름~1667년:흑사병으로 대학교 폐쇄;

뉴턴의 전공=수학, 물리, 천문학



1666년:만유인력법칙



1669년:케임브리지대학교의 루카스 교수직 부임



1670년:빛의 입자이론



1671년:미적분학 출판

(후에 독일의 라이프니츠도 독립적으로 출판)



1687년:프린키피아 출판(뉴턴의 제3법칙)



1689년:하원의원으로 선출



1696년:왕립조폐국의 감사



1699년:왕립조폐국의 장관(부유해지다)



1703년:왕립협회 회장으로 선출



1705년:기사칭호 수여



1727년 3월 31일: 런던 교외의 켄징턴에서 사망

4.4 뉴턴의 법칙의 응용

(15)

2013년 3월 11일 Physics for Scientists&Engineers 1 15

웨스트민스터 사원에 있는 뉴턴의 묘

(16)

뉴턴의 세 법칙

 뉴턴의 제1법칙:

• 물체에 작용하는 알짜힘이 0이면 정지한 물체는 정지상태로 남고, 움직이는 물체는 등속도로 직선을 따라 운동한다.

 뉴턴의 제2법칙:

• 질량 m의 물체에 작용하는 알짜 외력 는 힘과 같은 방향의 가속도 를 다음과 같이 만든다.

 뉴턴의 제3칙:

• 서로 작용하는 두 물체 사이에는 크기가 같고 방향이 반대인 다음의 두 힘이 서로 작용한다.

F _net

F net  ma a

1,2 2,1

F   F

(17)

질량

 중력질량

•

^F

_g

^{= mg} = 무게 = 중력

• 위 식의 질량 m 은 상호작용의 원천이다.

 관성질량

• =운동의 변화, 즉 가속도에 대한 저항

 뉴턴의 통찰력:

중력질량=관성질량

 질량의 원천은 무엇인가?

• 최신 견해: 힉스 입자와의 상호작용에 따라 기본입자의 질량이 결정

• -아직도 모른다.

• 힉스입자를 찾기 위해서 LHC(Large Hadron Collider, 강입자충돌기)가 가동 중이다.

(18)

제 1 법칙

 물체에 작용하는 알짜힘이 0이면 정지한 물체는 정지상태로 남고, 움직이는 물체는 등속도로 직선을 따라 운동한다.

• 첫 번째 부분은 자명하다. 정적평형의 근거이다.

• 두 번째 부분은 자명하지 않다:

뉴턴 시대에 걸쳐서 이성의 도약이 일어났다.

• 아리스토텔레스 생각:

일정한 속력으로 움직이려면 일정한 힘이 필요하다.

• 예:

부엌에서 냉장고를 밀다가 멈추면 냉장고도 멈춘다.

(19)

가속도

 익숙한 예: 중력가속도

• 절벽에서 뛰어내리면 쉽게 알 수 있다(추천 안함)=>점점 더 빨리 떨어진다.

 자동차에서 경험하는 가속도

• 가속페달을 밟으면 자동차가 앞으로 가속된다.

• 브레이크를 밟으면 자동차가 정지한다(음의 가속도).

• 커브길을 달리면 옆으로 당기는 힘을 느낀다(다른 형태의 가속도로 원운동에서 설명하겠다).

 가속도는 벡터이다.

• 크기와 방향이 있다.

 가속도의 단위: m/s ²

• 때로는 g의 배수로 표기한다(예: 3g로 당긴다).

(20)

 질량 의 물체에 작용하는 알짜외력 는 힘과 같은 방향의 가속도 를 만든다.

• 과학에서 매우 유명한 공식이다.

• 가속도의 크기와 방향은 일짜 힘에 비례한다.

• 힘이 커지면 가속도도 커진다.

• 주어진 외력에서 가속도의 크기는 질량에 역비례한다.

• 무거울수록 가속시키기 힘들다

가속도와 뉴턴의 제2법칙

F _net

F net  ma

a

m

(21)

제2법칙의 성분방정식

 는 벡터방정식이다.

 직각좌표계의 성분방정식:

 제2법칙은 각 성분별로 독립적으로 성립한다.

F _x  ma _x F _y  ma _y F _z  ma _z

F net  ma

(22)

풀이문제 4.1: 경사면 운동 (1)

 일정한 각도의 경사면 아래로 미끄러지는 운동

 예: 스노보드 타기

(23)

풀이문제 4.1: 경사면 운동 (2)

• 단계 1: 경사면과 경사각을 그린다.

• 운동하는 물체에 작용하는 모든 힘을 그린다.

• 그림: 중력, 수직력

• 일반적으로 마찰력이 있다(여기서는 무시한다)

• 요점: 힘 벡터의 합은 0이 아니다!



N

F _g

(24)

풀이문제 4.1: 경사면 운동 (3)



N

F _g mgcos  

mgsin 

x y

• 단계 2: 편리한 좌표계를 선택한다

• 경사면 운동에서는 경사면을 따라 x축을 택한다. (물론 y축은 경사면에 수직이다.)

• 요점: 수직력은 y 성분만 있다.

• 물체의 무게를 성분으로 분해한다.

(25)

풀이문제 4.1: 경사면 운동 (4)

• 단계 3: 닮은꼴 삼각형을 찾는다. 각도 가 어디에 있는가?

• 삼각형

abc

(중력성분)은 삼각형

ABC

(경사면)과 닮은꼴이다.

•

a

가

C

에 수직이므로

c

는

A

에 수직이다.

a 와 c

사이의 각도가

A

와

C

사이의 각도와 같다.

• 결과: 두 삼각형에 각도 가 있다

• 무게 벡터의 성분



F

_{g, x}

 mgsin  F

_{g, y}

  mg cos 



 A

B C a

b

c

(26)

풀이문제 4.1: 경사면 운동 (5)

• y방향 운동이 없다.=> y성분 알짜 힘이 없다.

• y방향 힘들의 합은 0이다.

(잘 알려진 수식)

• 위 식에서 수직력을 구한다.

• 수직력은 몸무게의 y 성분과 같다.

, ,

0 cos 0 cos

net y g y

F F N

mg N

N mg



  

   

 

 N

F _g mgcos  

mgsin 

x

y

(27)

풀이문제 4.1: 경사면 운동 (6)

 예: 스노보드 타기 -> x 방향 운동

• x 방향 힘을 알고 있다.

• 뉴턴의 제2법칙을 적용하여 가속도를 구한다.

• 위 식에서 질량이 상쇄된다. =>

모든 물체가 질량과 무관하게 같은 비율로 가속된다.

• 가속도 벡터방정식은 다음과 같다.

• 주의: 경사각이 0으로 감소하면 가속도도 0으로 감소한다.

, , sin

sin

net x x g x

x

F F mg ma

a g



  

 

a  (gsin  ) ˆx 

N

F _g mgcos  

mgsin 

x

y

(28)

줄로 연결핚 두 토막 (1)

 상황:

• 한 토막은 수평면 위에 놓여 있고,

• 줄로 연결된 다음 토막은 도르래를 지나 아래로 걸려 있다.

문제:

토막의 가속도는 무엇인가?

답:

 첫 번째 관찰:

• 팽팽한 줄로 연결된

두 토막의 가속도는 같다

(29)

 토막 1의 자유물체도표:

• F₁ = m₁g =중력

• 중력<=>수직력 N

• 남은 힘=>줄의 장력 T

뉴턴의 제2법칙 F _net =ma 에서 x성분은 다음과 같다.

a 는 구하는 가속도이지만 T 는 무엇일까?

답을 구하려면 두 번째 토막을 고려해야 한다…

줄로 연결핚 두 토막 (2)

m ₁ a  T

(30)

 토막 2의 자유물체도표

• 수직운동뿐이다.

• F₂ = m₂g = 중력

• 뉴턴의 제2법칙, F

_net

=ma에서 y 성분은 다음과 같다:

• 앞에서 구한 식과 결합하여 장력을 없애면 다음을 얻는다.

• 이것이 구하는 가속도이다.

• 두 식 중 하나에 가속도를 대입하면 장력 T를 구할 수 있다.

줄로 연결핚 두 토막 (3)

T  m ₂ g   m ₂ a

m ₁ a  T  m ₂ g  m ₂ a  a  g m ₂

m ₁  m ₂

(31)

4.7 마찰력

 흔한 힘: 마찰력

 실제 운동을 기술하려면 마찰을 고려해야 한다.

 마찰의 기본 특성

• 물체가 정지해 있으면, 물체를 움직일 수 있는 특정 크기의 문턱마찰력이 있다.

• 정지한 물체를 움직이기 위한 힘은 문턱마찰력보다 크다.

• 마찰력의 크기는 수직력의 크기에 정비례한다.

• 마찰력은 물체와 표면 사이의 접촉면적과 무관하다.

• 마찰력은 표면의 거친 정도에 따라 다르다. 즉 일반적으로 거친 경계면보다 매끄러운 경계면에서 마찰력이 작다.

(32)

두 종류의 마찰력

 두 종류의 마찰력이 있다.

• 운동마찰

• 움직이는 물체에 작용한다.

• 정지마찰

• 정지한 물체에 작용하며, 정지마찰력이 최대이다.

 둘 다 수직력에 정비례한다.

 마찰계수는 1보다 크거나 같다.

 운동마찰과 정지마찰의 마찰계수가 다르다 .

f   N

(33)

운동마찰

 운동마찰은 움직이는 물체에 작용한다.

 운동마찰력의 크기는 다음과 같다.

N =수직력의 크기

 _k

^{=운동마찰계수}

 운동마찰력의 방향은 항상 물체의 운동과 반대 방향이다.

 등속력으로 물체를 밀면 마찰력의 크기는 미는 힘의 크기와 같다. 왜 그럴까?

• 두 힘만 작용한다.

• 뉴턴의 제1법칙: 등속도로 움직이므로 알짜 힘이 없다.

=> 마찰력은 미는 힘과 정확히 반대이다.

f

_k

 

_k

N

(34)

정지마찰

 정지한 물체를 움직이려면 특정한 크기의 힘이 필요하다.

 문턱마찰력보다 작은 힘으로 밀면 물체는 움직이지 않는다.

 충분히 큰 힘으로 밀면 물체가 움직이기 시작한다.

 정지마찰력은 물체에 작용하는 힘과 크기가 같고 방향이 반대이다.

 정지마찰력은 다음과 같다.

f _s   _s N  f _s,max

(35)

운동마찰계수 구하기

 물체를 수평면에서 등속력으로 밀면서 힘을 측정한다.

 이때 물체의 무게=수직력도 함께 측정한다.

(N=mg)

 운동마찰계수:  _k  F mg F

Top view

(36)

정지마찰계수 구하기

 경사면의 경사각을 변화시키면서 정지마찰계수를 구한다.

• 물체를 경사면 위에 올려 놓고 정지 시킨 후, 천천히 경사각을 증가시킨다.

• 물체가 미끄러지기 시작하는 각도를 기록한다.

• 미끄러지기 직전에 가속도는 0이고, 정지마찰력은 최대로서 물체의 경사면 성분과 균형을 이룬다.

• 정지마찰계수

mgsin   

_s

mg cos   sin   

_s

cos  



_s

 tan 

,

sin cos 0

x i s

i

F  mg    mg  



(37)

보기문제 4.7: 스노보드 타기 + 마찰

 마찰력을 포함한다 ( 푸른색 화살표)

• 방향: 운동과 정반대인

경사면 위 방향

• 크기: 스노보더가 움직이므로 운동마찰이다.

• 뉴턴의 제2법칙:x-성분:

• 가속도:

f

_k

 

_k

N  

_k

mgcos 

F

_x,i



i

^ ^mgsin ^ ^ ^

^k

^{mg cos} ^ ^ ^ma

^x

a

_x

 g(sin   

_k

cos  )

(38)

마찰공학: 마찰을 연구하는 분야

 무엇이 마찰을 일으킬까?

 마찰에 대한 자세한 미시적 연구가 진행 중이다.

• AFM은 시료표면의 개별 원자 사이의 힘을 측정한다.

• 매 우 뾰 족 한 탐 침 이 표 면 을 긁 으 면 서 역 학 적 저 항 을 측정한다.

• 측정하는 힘의 크기 10^-11 N = 10 pN

(39)

2013년 3월 11일 Physics for Scientists&Engineers 1 39

알루미나 세포막

AFM 영상

사파이어 표면의 단일전자 계단

나노 선

컴퓨터 하드디스크

(40)

자유낙하 + 공기저항

 빨리 낙하할 때는 공기저항을 무시할 수 없다.

 항력은 공기에 대한 상대속도에 의존한다.

 상수는 정해야 한다.

 고속으로 움직이는 물체에서는 속도의 선형 항을 무시할 수 있다.

 항력의 크기 (고속 물체)

 항력의 방향: 운동과 반대방향

(41)

종단속력 (1)

 자유낙하하는 물체는 중력의 영향으로 점점 빨리 낙하한다.

 속도가 증가하면 항력도 증가한다.

 항력이 중력과 같아지면 더 이상 가속되지 않고, 종단속도에 도달한다.

 속도(사실은 속력)을 구하면 다음과 같다.

(42)

종단속력 (2)

 상수 K 의 값을 알아야 한다.

 경험적으로 다음과 같다.

• A = 공기흐름에 노출된 단면적( m ² )

• ρ = 공기밀도 (대략 1 kg/m ³ )

• c _d = 항력계수, 0과 1 사이의 값 (표 4.1 참조)

 결국 종단속력은 다음과 같다.

(43)

힘 4 장

4장

힘

4.1 힘의 종류

 힘은 물체 사이의 상호작용을 기술하는 벡터양이다 .

 우리가 경험하는 힘 : 접촉력

 근본적인 힘

무게와 질량 (1)

 물체에 작용하는 중력의 크기=무게

 물체에 작용하는 중력, F g , 는 항상 질량에 비례한다.

 지표면 근처(고도 10km 이하): 물체의 질량과 중력가속도의 곱인 물체의 무게는 일정하다.

F g  mg

g  9.81 m/s 2

4.2 중력벡터, 무게, 질량

무게와 질량 (2)

 예:

 힘의 단위

 질량 m은 kg 단위로 측정하고,

무게(힘!) mg는 N의 단위로 측정한다.

N 1 kgm/s

1 2 

힘의 크기

4.3 알짜 힘

 정의: 알짜 힘=물체에 작용하는 모든 힘벡터의 벡터합

 알짜 힘의 직각좌표 성분:

1 2

1

...

n

net i n

i

F F F F F



     

F

 F



 F

 F

 ...  F

F

 F



 F

 F

 ...  F

F

 F



 F

 F

 ...  F

랩톱컴퓨터

 손이 컴퓨터에 작용하는 힘: N (수직력)

 알짜 힘:

N   F g

1

0

n

net i

i

g

F F

F N N N





 

  





자유물체도표

 첫 번째 관찰: 도표에 손을 그릴 필요가 없다. 전체 효과는 수직력을 나타내는 화살표로 표시할 수 있다.

 두 번째 관찰: 실제 모양을 고려할 필요 없이 한 점으로 표시해도 충분하다.

 문자 그대로 물체로부터 자유로운 도표이다: 자유물체도표!

평형조건 (1)

 정적 평형조건 1:

 알짜 힘이 0인 평형조건을 이용하여 미지의 힘을 구할 수 있다.

물체에 작용하는 알짜 힘이 정확히 0이면 물체가 정지해 있다.

F net  0

N

 물체에 작용하는 중력, F _g , 는 항상 질량에 비례한다.

F _g  mg

g  9.81 m/s ²

1 ² 

^ ^F

^ ^F

^ ^... ^ ^F

^ ^F

^ ^F

^ ^... ^ ^F

^ ^F

^ ^F

^ ^... ^ ^F

F _net  0

^ ^F

^ ^F

^ ^... ^ ^F

^ ⁰

^ ^F

^ ^F

^ ^... ^ ^F

^ ⁰

^ ^F

^ ^F

^ ^... ^ ^F

^ ⁰

F _ext  0

F _1,2 F _2,1

F _2,1  N ₁  F ₁  m ₁ g

F _1,2  F _2,1

0.917 g/cm ³ ,이고, 바닷물의 밀도는 1.024 g/cm ³ .이기 때문에 빙산 부피의 10.4% 만 해수면 위로 올라오고, 89.6%는 아래에 있다.

문제: 해수면 위 빙산의 부피가 4164.5 m ³ ,이면,