예습 확인 퀴즈

제 4 장 힘계의 합력, 4.1절 모멘트(moment)

학습목표 :

a) 모멘트의 개념을 정의하고 이해한다.

b) 2-D와 3-D에서, 힘에 의한 모멘트를 구한다.

강의 내용 :

• 예습확인퀴즈

• 응용 예

• 2-D에서 모멘트

• 3-D에서 모멘트

• 개념 정립 퀴즈

• 집단문제해결

• 주의환기 퀴즈

힘에 의한 모멘트

예습 확인 퀴즈

1. 크기가 10N인 힘의 점A에 관한 모멘트 (M_A)는 얼마인가?

A) 10 N·m B) 30 N·m C) 13 N·m D) (10/3) N·m E) 7 N·m

2. 원점 O에 관해 작용하는 힘 F 에 의한 모멘트 M_O = ___________ 로 정의 된다.

A) r x F B) F x r

C) r • F

• A d = 3 m F = 10 N

응용 예(I)

핸들에 작용하는 두 힘에 의한 순수한 효과는

무엇일까?

렌치에 작용하는 30N 힘에 의한 효과는 ?

응용 예 (II)

2차원(2-D)에서 모멘트-스칼라 공식

한 점에 관한 힘에 의한 모멘트는 돌리려는 힘(회전력)의 정도를 나타낸다. (가끔 토-크(torque), 우력(Couple)으로 불린다).

모멘트(Mo)도 힘(F)과 마찬가지로 크기와 방향을 갖는 벡터이다.

2-D에서, 모멘트의 크기는 M_o = F d

여기서, d는 O점으로부터 힘의 작용선까지의 수직거리이다.

2-D에서, 모멘트 M_O의 작용방향은 회전하려는 경향에 따라서 시계방향(clockwise:CW) 또는 반시계 방향(counter- clockwise: CCW) 을 갖는다.

2차원(2-D)에서 모멘트(계속)

예를 들면,

모멘트의 크기: M_O = F d, 방향은 CCW.

대개 F 의 직각성분을 사용하여 M_O을 구하는 것이 보다 쉽다.

따라서, M_O = (F_Y a) – (F_X b)가 된다. 여기서 항의 부호가 다르다는 점(회전방향에 따름)에 유의할 것.

2-D에서 모멘트의 부호 약속은 반시계 방향(CCW)을 +로 정한다. 이때 점 O에 핀을 꼽은 물체를 가정하고 작용하는 힘에 의해서 물체가 어느 방향으로 회전하는지를 구하여, 모멘트의 방향으로 한다.

a F b

d O

b a

O

F F _x F _y

2차원(2-D)에서 모멘트(계속)

각 힘에 의해 발생하는 점 O에 대한 모멘트의 방향은 z-축을 향한다.

모멘트의 합 M_RO는 모멘트의 대수적 합이 된다.

+ M_RO =ΣFd (4-2)

동일 평면력계의 모멘트 합

예제 4-1

(a) - M_O = (100N)(2m)= 200 N·m (b) + M_O = (50N)(0.75m)= 37.5N·m (e) + M_O = (7kN)(4m-1m)= 21

kN·m

문제 : 각 경우에 대하여 점 O에 대한 모멘트를 구하라.

예제 4-2

(a) M_A = 800N(2.5m)= 2000 N·m (-) (b) M_B = 800N(1.5m)= 1200N·m (-)

(c) M_C = 800N(0m)= 0 (힘의 작용선이 C점을 지난다.)

(d) M_D = 800N(0.5m)= 400N·m (+)

문제: 프레임에 작용하는 800N의 힘에 의한

모멘트를 점 A, B, C, D에 대하여 구하라.

3-D에서 힘의 모멘트 (벡터 공식, 4.3절)

3-D상에서 모멘트도 2-D 처럼 스칼라 계산으로 구할 수 있지만, 계산이 쉽지 않고 시간을 요한다. 따라서, 벡터 외적 (vector cross product)이라 불리는 수학적 접근법을 사용하는 것이 때로는 용이하다.

벡터곱을 사용하면, M_O

= r  F .

여기서 r 은 원점 O로부터 힘 F의 작용선상 임의의 점까지의 위치벡터.

벡터 외적 (Cross Product)

일반적으로, 두 벡터 A와 B 의 벡터 곱은 또 다른 벡터 C 를 낳는다. 즉,

C = A  B

C = A  B = A B sin  u_C

여기서,u_C 는 두 벡터 A와 B (벡터 A와 B를 포함하는 평면)에 수직인 단위벡터.

벡터 외적(계속)

오른손 법칙이 벡터 곱의 결과 생기는 벡터의 방향을 구하는데 유용한 도구이다.

예를 들면: i  j = k

단위벡터 끼리 벡터 외적은 0이 된다. 즉, i  i = 0

벡터 외적 (벡터 곱)

보다 편리하게, 벡터 곱은 아래와 같이 행렬식으로 표시할 수 있다.

각 성분들은 2  2 행렬식으로 구할 수 있다.

3차원상 모멘트 계산식 (계속)

따라서, 벡터 곱을 사용하면, 모멘트벡터는 다음과 같이 표시된다.

이 방정식을 2  2행렬식으로 전개하면 (4.2절 참조), (단위는 N-m)

M_O = (r _y F_Z - r_Z F_y)

i

j

k = M

i + M

j + M

k

이 방정식의 물리적 의미는 힘의 성분 별로 생각하고 2-D 형식을 사용함으로써 명확하게 된다.

3차원상 모멘트 계산식 (계속)

힘의 모멘트 M_O

= r  F .

크기: M_O = r F sin  = F (r sin ) = Fd (d: 모멘트 팔) 방향: 오른손 법칙으로 결정

전달성의 원리: 위치벡터 r은 O로부터 힘 F의 작용선상의 어느 점으로도 연결할 수

있으므로, F는 점 A, B또는 C에 작용할 수 있다. 따라서 모든 경우에 같은 모멘트는

M

= r

 F = r

 F = r

 F.

3차원상 모멘트 계산식 (계속)

따라서, 벡터 곱을 사용하면, 모멘트벡터는 다음과 같이 표시된다.

이 방정식을 2  2행렬식으로 전개하면 (4.2절 참조), (단위는 N-m)

M_O = (r _y F_Z - r_Z F_y)

i

j

k = M

i + M

j + M

k

3차원문제에서 외적을 사용하는 것이 스칼라 공식을 사용하는 것보다 훨씬 편리함을 알게 된다. 왜냐하면, 힘의 작용선까지의 수직거리인 모멘트팔의 거리 d를 계산하는 것보다 힘까지의 위치벡터 r을 구하기가 더 쉽기 때문이다.

(4-7)

예제 4-4

r_B = i + 3 j + 2 k r_C = 3 i + 4 j

M

= (r

M

= (r

u_F= -2/3i –1/3j +2/3k

F = (60)

u

=

크기: M_A = 224 Nm 방향: 칠한 면에 수직

예제 4-5

점 O의 플랜지에 대한 이 힘들의 합 모멘트를 계산하고 모멘트 축의

좌표 방향각을 구하여라.

r_A = 5 j

r_B = 4 i + 5 j – 2k

M_Ro = Σ(r  F) = r_A  F₁+ r_A  F₂+ r_B  F₃ = 30i – 40j +60k M_Ro=78.10 Nm

u = M

= cosα i + cosβ j + cosγ k

4.4 모멘트 원리

Varignon의 정리: 한 점에 대한 힘 모멘트는 그 점에 대한 힘 성분들의 모멘트 합과 같다. 벡터외적의 배분법칙으로 증명 .

F = F₁ + F₂ 인 성분이라면,

M

= r  F

+ r  F

= r  (F

+ F

) = r  F

M_A= Fd = F_x h = F_y b

이 정리는 힘의 모멘트를 직접구하는 것 보다

그 힘 성분의 모멘트를 구하는 것이 더 쉬운 경우가 많다.

예제 4-6

풀이 I

CB = d = 100cos 45 =0.070 m M_A = Fd = 200 (0.070)=14.1 Nm 풀이 II

200N의 힘을 x와 y성분으로 분해

M_A = ΣFd = (200sin45)(0.2) –

(200cos45)(0.10)=14.1 Nm 따라서 M_A= {14.1 k} Nm

두 해를 비교하면 풀이 II가 각 힘 성분의 모멘트 팔을 구하기가 더쉽다.

예제 4-7

점 O에 대한 힘의 모멘트를 구하여라.

풀이 I(스칼라 해석)

힘을 x와 y성분으로 분해하고 점 O에 대한 성분의 모멘트를 구한다.

M_O = 400sin30 (0.2) – 400cos30(0.4) = -98.6 Nm

풀이 II (벡터 해석) 직교벡터법을 사용

r ={0.4 i –0.2j }

F ={400sin30 i – 400cos30 j } M

= r  F

두 해를 비교하면 풀이 I이 더 편리한 해법임을 알 수 있다. 즉 스칼라해석은 2차원 문제를 푸는데,

직교벡터해석은 모멘트 팔이나 힘 성분을 구하기 어려운 3차원 문제에 적합하다.

1) 먼저 힘 F를 x 와 y축 방향 분력으로 나누어라.

2) 스칼라 해석을 사용하여 모멘트 M_A를 구하라.

예제 1

주어진 값: 주머니 A는 400N의 힘이  =

20°의 각도를 가지고 프레임에 작용한다.

목표: A점에 관한 힘의 모멘트를 구하라.

계획 (풀이):

예 제 1 (계속)

해 +  F_y = -400 cos 20° N

+  F_x = -400 sin 20° N

+ M_A = {(400 cos 20°)(2) + (400 sin 20°)(3)} N·m = 1160 N·m

개념 퀴즈

1. 만약 크기 F의 힘이 평면상에서 네 가지 다른 양상 (P,Q,R,

& S)으로 작용할 경우, 너트에 최대 및 최소 토-크를 걸리게 하는 힘의 조합 (Max, Min)을 구하라.

A) (Q, P) B) (R, S) C) (P, R) D) (Q, S)

2. 만약 M = r

 F, 이라면, M • r 의 값은 어떻게 될

A) 0 B) 1

C) r ² F D) None of the above.

R P Q

S

집단 문제 해결

해 법: +  F_y = - 40 cos 20° N +  F_x = - 40 sin 20° N

+ M_O = {-(40 cos 20°)(200) + (40 sin 20°)(30)}N·mm = -7107 N·mm = - 7.11 N·m

주어진 값: 40 N의 힘이 렌치에 작용한다.

목표: O점에 관한 힘의 모멘트를 구하라.

계획 (1): x와 y방향을 따라 힘을 분해하라.

(2) 스칼라 해석으로

M

주의 환기 퀴즈

10 N

3 m P 2 m 5 N

1. CCW방향을 양으로 하였을 때, P점에 관한 두 힘의 순 모멘트는?

A) 10 N ·m B) 20 N ·m C) - 20 N ·m D) 40 N ·m E) - 40 N ·m

2. 만약에

r

F = { _______ } N·m.

A) 50 i B) 50 j C) –50 i D) – 50 j E) 0

특정 축에 대한 힘의 모멘트

학습 목표:

a) 스칼라 해석과 b) 벡터 해석

을 통해 특정 축에 대한 힘의 모멘트를 구한다.

강의 내용:

• 예습 점검 퀴즈

• 응용 예

• 스칼라 해석

• 벡터 해석

• 개념 정립 퀴즈

• 집단 문제 해결 능력

• 주의 환기 퀴즈

예습 점검 퀴즈

1. 특정 축에 대한 힘의 모멘트를 구할 때, 그 축은 다음 중 무엇을 따라야 한다.

A) x 축 B) y 축 C) z 축

D) 3-D 공간내의 어떤 선 E) 면상의 어떤 선

2. 삼중 스칼라 곱 u • ( r  F ) 결과는 다음 중 어떤 값으로 나타나는가?

A) 스칼라 량( + 혹은 - ). B) 벡터 량.

C) 0. D) 단위 벡터.

E) 허수.

응용 예

힘 F로 어떤 사람이 모멘트

M

모멘트 M_A 중 얼마 만큼이 소켓을 돌리는데 사용될까?

힘 F가 모멘트 M_O를

만들고 있다. M_O 의 얼마나 많은 부분이 파이프를

푸는데 작용할까?

스칼라 해석

임의의 점 A에 관한 힘 F의 모멘트는 M_A= F d_A로 주어지는 것을 기억하고 있다. 여기서 d_A 는 점 A에서 힘의 작용선 까지의 수직거리(또는 최단거리)이다.

따라서 이 개념은 임의의 축에 관한 힘의 모멘트를 구하는데도 사용 가능.

그러나 이러한 스칼라 계산은 언제나 간단하지는 않고,

대부분의 경우 벡터해석을 사용해 구하는 것이 바람직하다.

(왜냐하면, 일반적으로 3차원에서 수직거리를 구하는 것이 쉽지 않기 때문에)

위 그림에서, y-축에 관한 모멘트는 M_y= 20 (0.3) = 6 N·m이 된다. (왜냐하면 y-축에서 힘의 작용선까지의 수직 거리가 0.3m임.)

벡터해석 (Vector Analysis)

목표는 축 a’-a축에 관한 힘 F의 모멘트(물체를 회전시키려는 경향)를 구하는 것이다.

1) 우선 벡터 외적(cross product) 을 사용하여, a’-a 축 상에 놓여 있는 임의 점 O에 관한 힘 F 의 모멘트 M_O 를

계산한다.

M_O = r  F

2) 그리고 나서, 모멘트 M_O 의 a’-a축을 따르는 성분, M_a 를 벡터내적(dot product)을 사용하여 구한다.

M_a = u_a • M_O

= u

•(r  F)

u

M

이 방정식을 삼중스칼라 곱(triple scalar product) 이라고 부른다.

이 방정식에서,

u

, u

, u

r

F : 힘 벡터, 를 각각 나타낸다.

벡터 해석 (계속)

여기서 삼중스칼라 곱 M_a는 크기를 나타내며, 양 또는 음의 스칼라 량이 된다.

부호는 a-a’축을 따라서 작용하는

M

-양수이면 M_a는 u_a와 같은 방향을, -음수이면 M_a는 u_a와 반대방향으로 작용한다.

벡터 해석 (계속)

따라서 모멘트를 벡터로 표시하면, M_a= M_a

u

일련의 힘의 합 모멘트에 대하여는,

M_a=Σ [u_a•(r x F)] = u_a

• Σ(r x F) 로

- 특정 축에 대한 힘의 모멘트는 힘의 작용선까지의 수직거리 d_a만

결정되면 구할 수 있다.

- 벡터해석을 사용하면, 삼중스칼라 곱 M_a로 나타낼 수 있고,

M_a=u_a•(r x F) 이며, 여기서 u_a 는 축의 방향을 나타내고, r은 축 상의

어느 점으로부터 힘의 작용선까지의 위치벡터를 나타낸다.

- M_a의 결과가 음의 스칼라이면, M_a의 방향은 u_a의 반대 방향이다.

특정 축에 관한 힘의 모멘트 요점

예 제

1) 모멘트를 구하기 위해 M_z = u • (r  F) 를 사용하는 것이 필요하다.

2) z-축 방향벡터는 u = 1 k.

3) 벡터 r은 A에서 B까지의 위치벡터이다.

4) 힘 F 는 이미 직교벡터 형식으로 주어져 있다.

A

B

주어진 값: 가스 밸브를

열기 위해 공구에 힘

F 가 작용하고 있다.

목표: 밸브의 z-축에 관한 힘 F에 의한 모멘트의 크기를 구하라.

계획 (풀이):

예 제 (계속)

u = 1 k

r

F = {-60 i + 20 j + 15 k} N

 F)

0 0 1

0.125 0.2165 0 -60 20 15

Created with the Trial Edition of SmartDraw 5.

M_z =

= 1{0.125(20) – 0.2165(-60)} N·m = 15.5 N·m

A

B

개념 확립 퀴즈

1. 벡터 연산 (P  Q) • R 과 같은 것은?

A) P • (Q  R).

B) R • (P  Q).

C) (P • R)  (Q • R).

D) (P  R) • (Q  R ).

2. 힘 F 가 선분 DC를

따라서 작용하고 있다.

봉 BA에 관한 힘 F 의 모멘트를 구하기

위해서 삼중 곱을 할 때, 다음 위치벡터 중 사용할 수 없는 것은?

A) r_BC B) rAD C) r_AC D) r_DB E) r_BD

개념 확립 퀴즈

주의환기 퀴즈

1. x-축에 관한 힘 F 의 모멘트를 구하기 위한 삼중 스칼라곱 계산에서 위치벡터는 ___

이다.

A) r_AC B) r_BA

C) r_AB D) r_BC

2. 만약 r = {1 i + 2 j} m, F = {10 i + 20 j + 30 k} N라면, y-축에 관한 힘 F 의 모멘트는 ____ N·m이다.

A) 10 B) -30

C) -40 D) 답 없음.

예제 4-8

F = {-40 i + 20 j +10 k }의 힘이 점 A에 작용한다. x-축 및 a축에 대한 이 힘의 모멘트를 구하라.

M

= u

•(r

u

r

F = -40 i + 20 j + 10 k

M

= u

•(r

r

F = -40 i + 20 j + 10 k

스칼라 해석의 예

예제 4-9

F = (-600 i + 200 j - 300 k)의 힘에 의해 발생하는 모멘트 M_AB를 구하라.

M

= u

•(r

r

u

= r

/r

r

F = -600 i + 200 j - 300 k