13.5 중력 위치 에너지

13장. 만유인력

(Universal Gravitation)

13.1 뉴턴의 만유인력 법칙 13.2 자유 낙하 가속도와 중력

13.3 케플러의 법칙과 행성의 운동 13.4 중력장

13.5 중력 위치 에너지

13.6 행성과 위성의 운동에서 에너지 관계

1

Nicolaus Copernicus (폴란드, 1473-1543)

1543년 3월 21일 ‘천구의 회전에 관하여’, 기존의 천동설을 뒤엎고 지동설 주 장

Tycho Brahe (덴마크, 1546-1601)

Copernicus의 지동설을 반박하기 위해서 별에 대한 약 20년 동안의 방대한 관찰 기록을 남김. 당시에 수학에 뛰어난 능력을 보인 Kepler를 초빙하여 같이 연구, Brahe가 일찍 죽는 바람에 3년 정도의 공동연구 수행

Johannes Kepler (독일, 1571-1630)

천문학과 점성술에 관심, Tycho Brahe 와 공동연구(조수)를 하며 Brahe의 방대한 관측 자료분석, 1609년 행성 운동에 관한 제1, 2법칙, 1619년 행성 운동에 관한 제3법칙을 발표

Galileo Galilei (이탈리아, 1564-1642)

실험 물리학자, 성당의 램프가 흔들리는 것을 보고 진자의 주기가 길이에만 관계됨을 증명, 자유낙하 운동, 망원경, Copernicus의 지동설을 뒷바침하는 책 출간(1632년), 1633년 종교재판에 회부

Issac Newton (영국, 1642-1727)

Kepler의 법칙을 증명하기 위해서 - 만유인력의 법칙, Newton의 운동 법칙

2

13.1 뉴턴의 만유인력 법칙

(Newton’s Law of Universal Gravitation)

13.1 뉴턴의 만유인력 법칙

(Newton’s Law of Universal Gravitation)

1) Galileo는 물체를 떨어뜨리면 지면에 힘을 가하는 현상을 연구 - 땅에 나무못을 세우고 돌을 떨어뜨리면

나무못의 들어가는 깊이는 돌의 질량에 비례한다.

∴

F

_g ∝

m

cf

) 같은 (질량의) 돌을 사용하여 높이를 증가시키면, 나무못이 더 깊이 들어간다.

⇒

PE

=

mgh

의 개념

2) Newton은 자신의 제3법칙 (작용 반작용의 법칙)을 적용

- 사과 나무에서 떨어진 사과가 땅에 떨어질 때의 자유낙하운동에서의 반작용은 지구가 사과에 미치는 힘이다.

- 떨어진 돌이 나무못에 힘을 가하여 지면에 들어갈 때에

지면은 (지구는) 나무못에 같은 크기의 힘을 반작용한다.

- 1)에 의하여 지구의 반작용력은 지구의 질량에 비례

∴

F

_g ∝

M

_Earth =

M

1) 2)에서 ∴

F

_g ∝

mM

3) 달의 지구에 대한 원운동(공전) ⇒ 구심력

- 사과의 낙체 운동이 지구와 사과와의 상호 작용에 의한 것이고, 나무에 달린 사과가 지구와 함께 자전한다면

- 달이 지구를 도는 원운동(공전)도 달과 지구와의 상호 작용력(Interaction) 이다.

- 달의 공전

지구 중심에서 달까지의 거리 :

r

= 385,000㎞ =3.85×10⁸

m

달의 공전 주기 :

T

= 27.3일 (= 27.3일×24

h

×3600sec = 2,358,720sec

= 2.34×10⁶sec) - 달의 지구에 대한 구심가속도

이때 지구의 반경

R

_E ≒ 6400㎞이므로

r

_ME=60

R

_E

∴

2

1 a

_C

 r

2

1

F

_g

 r

1), 2), 3)에서 Newton's Law of Universal Gravitation (Newton의 만유인력의 법칙)

비례계수 ⇒

G

: Universal Gravitational Constant (만유인력상수)

= 지구의 중심 방향 = 지상에서 -

y

축 방향 ⇒ "-" sign

r r

F 

_g

 mM

₂

ˆ

rˆ

12 12

ˆ

12

r r r 

  만유인력의 법칙:

우주의 모든 입자는 다른 입자와 두 입자의 질량의 곱에 비례하 고 그들의 거리의 제곱에 반비례하는 힘으로 서로 잡아당긴다.

r r m G m

F

_g

ˆ

2 2

 1

 

2 2

11

/

10 673

. 6 ,

where G  

^

N  m kg

r r G Mm

F

_g

ˆ

 2

 

"-“ sign은 인력을 의미한다.

cf

) If

F

가 "+" sign을 가지면 →

a

> 0 ("+" sign) ⇒

v

> 0 ("+" sign) positive 운동을 한다. ⇒ 궤도에서 이탈하게 된다.

cf

) 공전 궤도를 유지하기 위해서는

E

_tot

 KE  PE  0

이어야 한다.

2 12 2 1

12

r ˆ

F r

m G m





2 21 2 1

21

r ˆ

F r

m G m





cf

) 만유인력상수

G

값 :

- 100년 후 영국의 Henry Cavendish에 의해 측정 -

G

= 6.672591(85)×10^-11 Nm²/㎏²

-

G

의 단위 (Unit) :

] [

] ][

[

2 2

2 1

2

Kg m N m

m

G   Fr 

Ex

) 질량 8㎏인 공 두 개가 50㎝ 떨어져 있다면?

m N

Kg Kg

r m G m

F

₂ ⁸

11 2

12 2 1

12

1 . 71 10

) 5 . 0 (

8 8

10 67

.

6

^ _



 



 





Ex

) 해와 달이 지구에 미치는 Net 만유인력 ? - 지구가 받는 최대 인력

- 조수의 간만등 가장 큰 영향을 미친다.

- Grand Cross에서 가장 큰 값을 가진다.

m

_Moon = 7.36×10²²㎏

m

_Earth = 5.98×10²⁴㎏

R

_ME = 3.85×10⁸

m m

_Sun = 1.99×10³⁰㎏

R

_SM = 1.5×10¹¹

m

r N m G m

F

ME E M ME

20 2

 1 . 98  10



r N m G m

F

SM M S MS

20 2

 4 . 35  10



∴

F

_SME

 F

_ME²

 F

_SM²

 1 . 98

²

 4 . 35

²

 10

²⁰

N  4 . 79  10

²⁰

N cf

) 다른 행성의 경우 대체로 10⁴ 정도 작은 영향을 미친다.

⇒ Grand Cross는 무의미 하다.

∴ 사이각 :

0 . 455

10 35 . 4

10 98 .

tan 1

₂₀

20





 



SM ME

F

 F

⇒

θ

≒ 24.5°

중력은 두 물체에 무슨 물질이 끼어 있든지 항상 작용하는 장힘(field force)이다.

임의의 모양을 가진 물체와 입자 사이에 작용하는 만유인력을 구하려 면 물체의 미소 질량이 입자에 작용하는 미소 힘을 구한 후 이들의 합 력을 구해야 한다.

2 E E

g

R

m G M

F 

지구를 구로 근사하면 지구 표면에 위치한 물체에 대해 지구가 작용 하는 중력은

유한한 크기의 구형 대칭으로 생긴 질량 덩어리가 그 밖에 놓인 입자 에 작용하는 중력은 마치 그 덩어리의 질량 전체가 그 물체의 중심에 놓여 있다고 가정했을 때와 같다. (중력에 대한 Gauss법칙)

r r

누구, 당구 칠래요?

예제 13.1

세 개의 0.300 kg짜리 당구공이 당구대의 구석에서 직각삼각형을 형성하고 있다. 당구 대의 두 변의 길이는 a=0.400 m, b=0.300 m, c=0.500 m이다. 다른 두 공이 큐 공(질량 m₁)에 작용하는 중력의 크기와 방향을 구하고 벡터로 나타내라.

풀이

F

₂

j

21 1 2

21

r

m G m



i

F

₂

31 1 3

31

r

m G m



N

m

kg kg kg

m N j

j

11

2 2

2 11

10 75 . 3

) 400 . 0 (

) 300 . 0 )(

300 . 0 ) ( / 10

67 . 6 (

















N

m

kg kg kg

m N i

i

11

2 2

2 11

10 67 . 6

) 300 . 0 (

) 300 . 0 )(

300 . 0 ) ( / 10

67 . 6 (

















11

N

21

31

  ( 6 . 67  3 . 75 )  10

^

 F F i j

F

N

N F

F F

11

11 2

2 2

31 2 21

10 65 . 7

10 )

67 . 6 ( ) 75 . 3 (



















562 . 10 0

67 . 6

10 75 .

tan 3 ₁₁

11

31

21 



 



 ^_

N N F

F F F

x

 y





 tan

^1

( 0 . 562 ) 29 . 3



13.2 자유 낙하 가속도와 중력

(Free-Fall Acceleration and the Gravitational Force)

13.2 자유 낙하 가속도와 중력

(Free-Fall Acceleration and the Gravitational Force)

지구 표면 근처에서 자유로이 낙하하는 질량 m 인 물체에 작용하는 힘의 크기를 생각해보자.

2 E E

R m G M

mg 

₂

E E

R G M g 

지구 표면에서 높이 h 만큼 떨어진 곳에 있는 질량 m 인 물체의 경우

2

2

( R h )

GM r

g GM

E E E

 



2

2

( R h )

m F M

r m G M

F

E E E

g

  

13.3 케플러의 법칙과 행성의 운동

(Kepler’s Laws and the Motion of Planets)

13.3 케플러의 법칙과 행성의 운동

(Kepler’s Laws and the Motion of Planets)

- Johanner Kepler (1571~1630)

- Tyco Brahe (1546~1601) 목성의 운동을 관찰

케플러의 법칙(Kepler’s laws)

1. 타원 궤도의 법칙

모든 행성은 태양을 한 초점에 놓는 타원 궤도를 따라서 움직인다.

2. 면적속도 일정의 법칙

태양에서 행성까지를 잇는 반지름 벡터는 같은 시간 간격 동안에 같은 넓이를 쓸고 지나간다.

케플러의

제1법칙(Kelper’s First Law)

중력의 거리 제곱에 반비례하는 성질의 결과이다. 원은 타원의 특별한 형태로 해석할 수 있다. [증명은 생략]

3. 조화의 법칙

모든 행성의 공전 주기의 제곱은 그 행성 궤도의 평균 반지름의 세제곱에 비례한다.

3

2 1 2

2

1





 



 

 

 





r r T

T

케플러의

제2법칙(Kelper’s Second Law)

각운동량 보존의 결과로 설명할 수 있다. 태양이 행성에 비 해 훨씬 더 큰 질량을 가지고 있으면, 태양은 움직이지 않는 다고 가정한다. 태양이 행성에 작용하는 중력은 중심력이며, 태양을 향하는 반지름 방향이다.

 상수







 r p r v

L M

_p

0 이므로





 r F

_g

τ

오른쪽 그림에서 dA의 크기를 계산하면

M dt dt L

d dA

2

p

2 1 2

1    

 r r r v

2 const . M

L dt

dA

p





cf

) 점 1, 2를 지나는데 걸린 시간 = 점 3, 4를 지나는데 걸린 시간

cf

) 근일점에서 속도가 빠르고 원일점에서는 늦어진다.

◎ 제 2 법칙의 증명 : (Angular Momentum 보존)

Aside) Angular Momentum Conservation

o 태양 주위를 공전하는 행성의 태양으로부터 근일점까지의 거리가 r_p, 근일점에서의 속도가 v_p 이고, 또 원일점까지의 거리가 r_a라면

원일점에서의 속도 v_a는?

sol) Angular Momentum 보존을 이용 - p점 (근일점)에서 : L_p=mv_pr_p - a점 (원일점)에서 : L_a=mv_ar_a - Angular Momentum 보존 :

mv_pr_p = mv_ar_a cf) Since r_a>r_p ⇒ v_a<v_p

p a p

a

v

r

v  r

케플러의

제3법칙(Kelper’s Third Law)

행성이 원운동할 때 행성의 구심 가속도를 제공하는 것이 중력이므로, 등속 원운동을 하는 물체에 뉴턴의 제2법칙을 적용하면

타원형 궤도의 경우 :

r r M G M

F

_g ^{s p}

ˆ



2

 

이므로 주기

)

: 2 (

T T v  r



2 2 2

2 2

4 2

1

T r T

r r

r v r

GM

_s

 _ 

 

 



 



) / 10

97 . 4 2

,

(

^{19 2 3}

2

m GM s

K where

S s





 

3 3

2

2

4

a K GM a

T

_s

s

 



 



  

- 만유인력의 법칙과 행성의 주기운동

- 원궤도 운동을 이용 (∵ 평균거리

r

= 원운동의 반경) - 태양과 행성간의 만유인력 = 구심력

r r v a M

M

F

_{C p C} ^p

ˆ

2





 



const 4

²

3

2

 

_s



s

GM K r

T 

∴

∴ ₃ or

2 2 2 3

1 2 1

r T

T  r

³

2 1 2

2

1

 

 



 

 

 





r r T

T

cf

) 태양으로 부터의 거리 순서 : 일 수 금 지 화 목 토 천왕 해왕 명왕성(1930년) - Newton은 Kepler의 제 3 법칙 증명 후 천왕성을 예측

[증명은 생략] 행성질량 무시함

Aside) 정지위성 보충 - 인공 위성의 운동

o 고도 A에서 지표에 접선 방향으로 포사체 발사 - 1, 2, 3 → 추락

- 4, 5, 6 → 궤도 운동

- 1 ~ 6 : 닫힌 궤도 (Closed Orbits)

- 7, 8 → 열린 궤도 (Opne Orbits) : 궤도 이탈 지구 정지 궤도상에 있는 위성

예제 13.5

지표면으로부터 고도 h 에서 지구 주위를 등속력 v 로 원운동하고 있는 질량 m 인 위성을 생각해 보자.

(A) 위성의 속력을 G, h, R_E (지구의 반지름), M_E (지구의 질량)으로 나타내어라.

풀이

r ma mv

r m G M

F

_g ^E _C

2

2

 



h R

GM r

v GM

E E E

 

 )

1 (

o 원 궤도 운동식

- 만유인력 = 구심력

(원형 궤도 : 위성의 궤도방정식)

☆

3 / 1 2

2

4  

 



 

 T r GM

^E

(B) 만일 위성이 지구 정지 궤도상에 있다면 (즉, 지구상 한 점 위에서 고정되어 있는 것 처럼 보인다면), 이 위성의 속력을 구하라. (T = 24시간=24×3600초=86400초)

m

s kg

kg m r N

7

3 / 1 2

2 24

2 2

11

10 23 . 4

4

) 86400 )(

10 98 . 5 )(

/ 10

67 . 6 (







 



   

 ^



- 원 궤도에서의 주기

GM r GM

r r v

T r

32

2 2

2



_



_





cf

) o 고도 200㎞에서의 중력장의 세기

g‘

:



⁶



^{2 2}

24 2

2 11

2

9 . 2 sec

10 ) 2 . 0 38 . 6 (

10 98 . 5 ) /

( 10 67 .

' 6 m

m

Kg Kg

Nm r

g GM

^E











 



^

- 고도 200㎞에서의 인공위성의 회전 속도 : 만유인력 = 구심력 s

m

m

kg kg

m N r

v GM^E

/ 10 07 . 3

10 23 . 4

) 10 98 . 5 )(

/ 10

67 . 6 (

3

7

24 2

2 11











 



^

 

h Km s

m

m

kg kg

m N r

v GM^E

/ 000 , 28 /

10 79 . 7

10 ) 200 6380

(

) 10 98 . 5 )(

/ 10

67 . 6 (

3

3 2

24 2

2 11















 



^

13.4 중력장

(The Gravitational Field)

13.4 중력장

(The Gravitational Field)

- 자유낙하의 원인은 만유인력 ⇒ 중력 = 지구와의 만유인력

r r G mM g

m

F 

_g

   

₂

ˆ

r r G M

g   

₂

ˆ

∴

-

g

는 지구 중심에서 거리

r

되는 구면의 한점에 test mass 1㎏을 놓았을 때의 지구와의 만유인력과 같다.

- test 질량이

m

㎏이면 :

만유인력

F

_g = -m

g

⇒

m

에 작용하는 중력

- 지구 중심에서 거리

r

되는 모든 지점 (= 반경

r

인 구의 표면)에서

g

는 같다.

- 중력가속도

g

가 같은 면 = Filed (장) ⇒ Gravitational Field (중력장)

"Gravitational Field (중력장)"

cf

) 편의상 "-" sign 생략!

cf

) 전하의 상호작용에서는 Coulomb Force보다는 Electric Field

E

를 중요시한다.

⇒ Electric Field

r r G M

g  

₂

ˆ

E q r r

k Qq

F 

_C







₂

ˆ r

r

k Q

E  

₂

ˆ

m F

g

g 

F r

g ˆ

r

2

GM m

g

 

E



o Cavendish에 의한 지구의 질량 (

M

_E )

G

= (6.6720±0.0041)×10^-11

Nm

²/㎏²

R

_E = 6.38×10⁶

m

또

g

=9.8

m

/sec²

r

2

g  GM

^E

Kg

Kg Nm

m m

G

M

_E

gR

^E _{11 2 2} ²⁴

6 2

2

10 98 . ) 5 /

( 10 67 . 6

10 38 . 6 sec / 8 .

9  





 



_

두 물체가 직접적으로 상호 작용을 한다기보다는 공간에 퍼져 있는 장이 물체에 힘을 작용한다고 생각하는 것을

장 이론(field theory)이라고 한다.

중력장(gravitational field)이 공간의 어느 곳에나 퍼져있다는 개념을

이용해서 중력 작용을 매우 다른 시각으로 보는 방법이다. 중력장

g 가 있는 곳에 질량 m 인 물체가 놓여 있으면 이 물체는 F

_g

= mg 인 힘을 받는다.

중력장 (정의)

(예) 지구 중심으로부터 거리 r 만큼 떨어진 곳에서의

중력장 g 는 다음과 같다.

Aside) ◎ 불완전하게 회전하는 지구 - 유효 중력가속도

- 지구의 자전(회전)에 의한 구심력에 따른 중력가속도 크기의 변화

- 지구가 완전한 구형이고, 남극과 북극을 중심으로 자전(회전)한다면,

- 자전(회전)이 적도에서 미치는 영향

- 극(북극 또는 남극)에서의 중력가속도 : g - 극지방에서의 무게 측정 :

Weight W = mg ⇒ F_net = W -mg = 0

cf) sign 설정 : spring이 당기는 힘 (=W )은 mg 의 반대 방향 (∵ 반작용) - 적도에서의 무게 (W‘ )측정 : 구심력에 작용 ⇒ 중력가속도에 의한 무게 + 구심력

R r m mv

m

E E ˆ '

'

 2





g g

W

(∵ 구심력은 지구의 중심 방향)

- Define) 유효중력가속도 g‘: r

R v

E E ˆ '

 2

g  g

sec / 10 64 . sec 4

60 60 24

10 38 . 6 14 . 3 2 hour 24

2 ⁶ ₂

m m R

t

v_E S ^E  









 

 

 

cf) 지구의 자전속도 :

cf) 지구에서의 중력장 차이 :

' 0 . 0337 / sec

²

3 %

2

  





a m

R g mv

g _C

E E

Aside) 우주에서의 무중력 지점

- 지구의 질량은 달의 질량의 81배 - 지구와 달 사이의 거리 :

R

- 지구와 무중력 지점 사이의 거리 :

r

- 무중력 지점에 test mass

m

을 놓으면 - 무중력 지점 :

지구와

m

의 만유인력 = 달과

m

의 만유인력

r

2

G mM F 

_Em



^E

)

2

( R r G mM

F

_Mm ^M

 



2 2

2

( )

81

r R

m G M

r

m G M

r m

G M

^{E M M}

 



2

)

2

(

81 R  r  r

(양변을 √ 하면) ⇒ 9(

R

–

r

) =

r

⇒ 9

R

=10

r

∴ 무중력 지점 :

r R 10

 9

13.5 중력 위치 에너지

(Gravitational Potential Energy)

13.5 중력 위치 에너지

(Gravitational Potential Energy)

- 일(Work) :

W

=

F

ㆍ

d

→ d

W

=

F

ㆍ

dl

- 만유인력 (중력)의 방향 = 지구의 중심 방향 (-

r

)

- 만유인력에 의해서 물체가 움직이는 방향 = 지구의 중심 방향 (-

r

)

→

dl

//

r

- 만유인력에 의한 일 :

- Gravitational Potential Energy : 만유인력

F

_g 가 할 수 있는 일의 능력

∴ 만유인력

PE

:

cf

) 지구 표면 (

r

=

R

_E )에서의 만유인력

PE

:

r d F

dW

_g



_g





 r

r G Mm dr

F 

_g

 dW

^g

 

₂

ˆ

→

r PE G Mm r dr

G Mm r

d F

W

_g

  ^

_g

 ^   

²

   r r

G Mm W

PE  

_g

    1

E E

R

R

m G M

PE

E





Since ₂

E E

E

R

g  GM

_E

R

mgR

PE

E





(7장) 보존력이 계 내부에서 한 일과 위치 에너지의 감소가 같도록

위치 에너지 함수(potential energy function) U 를 정의하였다.

◎ 만유인력 PE 와 중력 위치 에너지

- 지상의 고도

r

_i 와

r

_f 사이의 만유인력

PE













^f

i

r i r

f

U F r dr

U

U ( )

2

이므로

)

( r

m r GM

F  

^E

i f

f i E i

f E

i

f

r r

r m r

r GM m r

GM U

U 



 







 



 





 1 1

f

i f

i

r

r E

r E r i

f

GM m r

r m dr GM U

U  

 





 

²

¹

고도차

h

=

r

_f -

r

_i = -(

r

_i -

r

_f ), Since

R

_E>>

r

_f,

r

_i

r mgh m h

r GM r

r m r

GM

U

_E

i f

i f

E

  





_{2 ∵}

r

2

g

_E

 GM

^E - 중력 위치 에너지의 경우, 높이의 차이

h

에 의한

PE

의 차

U

=

mgh

가

의미를 가지므로 중력 위치 에너지

PE

=

mgh

로 주로 사용한다.

따라서, 임의의 두 입자로 이루어진 계가 갖는 중력 위치 에너지는

r m U   Gm

^{1 2}

 

 



  











23 3 2 13

3 1 12

2 1 23

13

12

r

m m r

m m r

m G m

U U

U U

_total

U 는 항상 음(-)의 값이며, 무한대 떨어져 있을 때 0이다.

◎ 만유인력 PE

r m r GM

U  

^E

 ( )

또 임의의 세 입자로 이루어진 계의 경우는,

위치 에너지의 변화 예제 13.6

질량 m 인 입자가 지표면 위에서 수직으로 작은 거리 y 만큼 이동한다.

이 경우 중력 위치 에너지의 변화는 우리에게 친숙한 △U=mg △y 임을 보여라.

풀이

 





 



 

 







 



 







f i

i f

E i

f

E

r r

r m r

r GM m r

GM

U 1 1

) 1 (

y r

r

_f



_i

 

y mg R y

m U GM

E

E

  





₂

,

2

E E

R g GM where 

☆

) (  R

_E

  y

2 E f

i

r R

r 

13.6 행성과 위성의 운동에서 에너지 관계

(Energy Considerations in Planetary and Satellite Motion)

13.6 행성과 위성의 운동에서 에너지 관계

(Energy Considerations in Planetary and Satellite Motion)

계의 역학적 에너지는 운동 에너지와 위치 에너지의 합이다.

U K

E  

r mv GMm

E 

²

 2

1

r ma mv

r F

_g

GMm

2

2

 



2 2

2

1

₂

U

r mv GMm

K   

r GMm r

E  GMm  2

양변에 r을 곱하고 2로 나누면

(원형 궤도)

2  0





 r

E GMm

계의 역학적 에너지가 음(-)이면 물체는 구속된 운동을 하게 된다.

(예: 인공위성 및 달의 운동, 원자핵에 묶인 전자의 운동 등)

위성의 궤도 수정 예제 13.7

☆

우주 수송선이 지표면에서 고도 280㎞의 상공 궤도를 돌다가 470㎏인 통신 위성을 분리시킨다. 위성에 장착된 로켓 엔진이 위성을 지구 정지 궤도까지 올려 놓는다. 엔 진은 얼마만큼의 에너지를 소모하는가?

풀이 통신 위성 : 고도

h

=280㎞, 질량

m

=470㎏ → 지구 정지 궤도

예제 13.5에서 지구 정지 궤도의 반경 :

 





 



 



 



 



 













i f

i f

i

f

r r

GMm r

GMm r

E GMm E

E 1 1

2 2

2

T m

r

_f

GM

^{E 7}

3 / 1 2

2

10 23 . 4  4 



 





 m km

km h

R

r

_i



_E

  6370  280  6 . 65  10

⁶

J

m m

Kg Kg

Kg Nm

r r

E GMm

i f

10

6 7

24 2

2 11

10 19

. 1

10 65

. 6

1 10

22 . 4

1

2

470 10

97 . 5 /

10 67

. 6

1 1

2







 





 

 







 













 









cf

) 휘발유 89갤런 (=3.785412×89ℓ=336.902ℓ)의 에너지

▣ 탈출 속력(Escape speed)

- 행성에서의 탈출 속도

- 질량

m

인 물체가 지구에서 탈출한다고 하면,

(전체적으로 고립계를 이루므로) ⇒ Total Energy 보존

E

_tot =

KE

+

PE

=

KE

_i +

PE

_i =

KE

_f +

PE

_f

- 지구 표면 :

- 탈출 후 :

- final state에서 :

r

_f → ∞ (∵ 탈출 후

m

은 무한대로 갈 수 있다)

v

_f → 0 (∵ 최소 탈출 속도를 원하므로

탈출 후

m

은 더 이상 속도가 필요 없다.)

∴

KE

_f +

PE

_f =

E

_tot → 0

- initial state에서 : 지구의 표면에서 탈출한다면, 최소 탈출 속도

v

_esc

v

_i →

v

_esc ,

r

_i →

R

_E

E E i

i

i

R

m G M

mv PE

KE  

²

 2

1

f E f

f

f

r

m G M

mv PE

KE  

²

 2

1

2 0 1

₂











E E esc

i i

tot

R

m G M

mv PE

KE E

E E

esc

R

m G M

mv

²

 2

→

1

∴

E E

esc

R

v  2 GM

(탈출 속력은 물체의 질량과 무관)

cf

) 지구 표면에서의 탈출 속도 :

E esc

mgR PE

mv KE







²

2 1

sec / 2

. 11

2 gR Km

v

_esc



_E



▣ 블랙홀(Black holes)

- 빛도 못 빠져나오는 행성

v

_esc ≥

c

= 2.999×10⁸

m

/sec≒ 3×10⁸

m

/sec 이면 Black Hole이 된다.

이려면,

R

→ 小,

M

→ 大

cf

) Schwarzschild Radius (슈바르츠실트 반지름)

2

2

2

R c

v

_esc

 GM 

2

2 c R  GM

로켓의 탈출 속력 예제 13.8

☆

핵의 질량 < 태양 질량의 1.4배  백색 왜성 핵의 질량 > 태양 질량의 1.4배  중성자별 핵의 질량 > 태양 질량의 3배  블랙홀

탈출 속력이 광속보다 커지는 경우를 블랙홀.

Ex

) Sun이 Black Hole이 되려면,

M

_sun = 1.989×10³⁰㎏≒2×10³⁰㎏

c

= 2.999×10⁸

m

/sec

G

= (6.6720±0.0041)×10^-11

Nm

²/㎏²≒7×10^-11

Nm

²/㎏²

- 태양의 반경이 약 3㎞로 수축되면 Black Hole이 될 수 있다.

c m

R GM

₁₆ ³

19 2

8

30 11

2

3 10

10 9

10 28 )

10 3 (

10 2 10

7 2

2  



 









 



^

▣ 암흑물질 (Dark Matter)

o 행성의 회전 운동을 고려하면

r G Mm mv

E

_tot



_t²

 2

1

- For Rotation : ^{2 2 2}

2 1 2

1 2

1 mv

_t

 mv

_CM

 I 

mr

2

I 

r G Mm mr

mv r

E 

_CM²



^{2 2}

 2

1 2

) 1 ,

(  

2 2 2

2

2 2

1

mr mr   L

- Since

L  I   mr

²



r G Mm mr

mv L r

E 

_CM²



² ₂

 2

2 ) 1 , ( 

r G Mm mr

V

_eff

 L

² ₂



2

o for a Circular Motion : V_eff = 0

r G Mm mr

L

² ₂

 2



2

2 GMm

2

r mr

L  

3

2 r

 GM



∴ 행성의 접선속도

r GM r

r GM r

v

_t

2 2

3





 

- 행성은 태양에서 멀어질수록 느리게 움직인다.

- 수성, 금성의

v

> 목성, 토성의

v

cf

) 나선은하의 경우 항성의 회전 속도가 같다 :

→ 마치 강체의 회전 운동과 같다

- 항성 사이에 보이지 않는 물질이 있어서 항성의 회전 속도를 같게 한다

⇒ 암흑물질 (Dark Matter)

- 측정 가능한 우주 물질 = 4%, 암흑물질 = 26%, 암흑에너지 = 70% 정도

cf

) 암흑에너지 : 우주의 팽창을 가속시키는 에너지

Abell1689 은하단