6장. 원운동과 뉴턴 법칙의 응용
(Circular Motion and Other Applications of Newton’s Laws)
6.1 등속 원운동하는 입자 모형의 확장 6.2 비등속 원운동
6.3 가속틀에서의 운동 6.4 저항력을 받는 운동
1
○ 5장에서 Newton의 운동 법칙을 직선 운동에 적용
○ 6장에서는 Newton의 운동 법칙을 1) 원운동
2) 점성이 있는 매질 속에서 운동하는 물체의 운동에 적용
6.2: Tangential Velocity
This animation shows an overhead view of a ball moving in a circular path in a horizontal plane. When the string breaks, the ball moves in the direction tangent to the circle.
2
r a
cv
2앞 장에서 배운 것처럼 원운동할 때 속도 벡터의 변화로부터 구한 물체의 구심가속도는
뉴턴의 운동 법칙과 결합하면 물체에 작용하는 힘은 줄에 걸리는 장력이 유일하다(물체가 수평면 위에서 운동 중이고 가정하면 중력은 수직항력과 상쇄된다).
r m v ma
T
F
c
2
- 구심력 (Centripetal Force) :
(구 or 원의 중심 방향) (구 or 원의 중심 방향)
(수평 원운동) - 구심 가속도 (Centripetal Acceleration)
6.1 등속 원운동하는 입자 모형의 확장
(Extending the Particle in Uniform Circular Motion)
6.1 등속 원운동하는 입자 모형의 확장
(Extending the Particle in Uniform Circular Motion)
원뿔 진자 (천장에 매달려 회전하는 공) 예제 6.1
질량 m 인 작은 공이 길이 L인 끈에 매달려 있다. 그림처럼 이 공은 수평면에서 반지름 r 인 원 위를 일정한 속력 v 로 돌고 있다.
진자의 속력 v 에 대한 식을 구하라.
0 cos
F
y T mg
수직 성분과 수평 성분으로 분해하여 뉴턴 법칙을 적용하면
Sol
Tension T의 성분 분해 y-성분 :
cos T mg
r ma mv
T
F
cx
2
sin
x-성분 :
☆
tan rg
v
tan sin
Lg v
r mg mv
T mg
2
tan cos sin
sin
rg v
2tan
orL
r
sin- 이므로
r L sin
즉 L과 Θ 만 알면 된다.
g L g
L g
L
g r rg
r v
r v
T S
2 cos
cos sin 2 sin
tan 2 sin
2 tan tan
2 2
o 주기 (Period):
o 주파수 (Frequency, f ) : ( ) cos
2 1 2
1
Hz
L g r
v f T
자동차의 최대 속력 Ex 6.2 대치
- 1000㎏의 차가 반경 50m의 평평한 Curve를 50㎞/h (14㎧)의 속도로 움직인다.
Sol 1) 이 차에 작용하는 구심력은?
m N
s m Kg
r ma mv
Fcar c 3900
50
/ 14
1000 2
2
2) 마찰력
1)에서 차와 노면과의 마찰을 고려한다면, 마찰력이 Fcar보다 크면, 차는 미끄러지지 않으나,
마찰력이 이보다 작으면 차는 미끄러진다.
- 안미끄러질 최대속도 :
r mg
mv
2 v
max rg
cf) 이때, 차의 운동 방향과 구심력의 방향은 직각이 된다. 그러므로 이때에 사용해야 하는 마찰계수는 정지마찰계수이다.
- 차에 작용하는 수직력 (항력, Normal Force)
= 차의 무게 W = 9800N
- 차와 노면의 정지 마찰계수가 0.2라면, 마찰력 : Ffr = μsFN = 0.2×9800N ≒ 2000N
∴ Ffr=0.2 < Fcar → 미끄러진다.
- 차와 노면의 정지 마찰계수가 0.6이라면, 마찰력은 : Ffr = μsFN = 0.6×9800N ≒ 5900N
∴ Ffr=0.6 > Fcar → 안미끄러진다.
※ 커브길에서 마찰을 크게하는 것이 좋다. → 도로면을 거칠게 한다.
cf) 자동차의 잠김 방지 제동 장치 (ABS)
3) Banked Curve (커브길에서의 경사도)
◎ 경사진 곳에서의 회전
Ex) 구심력과 마찰 → 커브길에서의 경사도 - 노면을 거칠게 하는 대신에 회전중심을
향하여 경사를 준다
- 원운동시 구심력에 대항하는 힘
= 타이어의 마찰에 의한 마찰력
+ x-방향의 항력 (Normal Force)
(차의 무게에 의한 수직력의 x-성분) - 마찰력 : 항력의 y-성분에 작용하는 정지마찰력 - Net Force의 성분 분해 :
cos sin
sin
N N
fr N
x x
F F
F F
ma
F
x
sin cos
cos
N N
fr N
y y
F mg
F
F mg
F ma
F
y
- 차가 어떤 경우에도 안미끄러지려면 ? ⇒ 마찰력이 0 이라면, ⇒ μ =0 - 타이어의 종류나 상태, 노면의 상태에 무관
⇒ x-방향으로 구심력에 대한 같은 힘을 가지면 된다. ⇒ y-방향의 운동은 0
) 1 ( 0
cos
ma F mg
F
y y N
) 2 ( sin
2
r F mv
ma
F
x
x
N
(1)에서
F
Ncos mg ( W )
cos F
N mg
(2)에서 ⇒ 필요한 최소의 경사도 Θ ?
r F
Nmv
2
sin
sin tan
sin cos
2
mg mg r F
mv
N
rg v
2tan
cf) 같은 Θ 에 대하여 : v → small, r → large이때 v2 에 비례 ⇒ 속도를 조금만 줄여도 큰 효과 발생
Ex) 차가 반경 50m의 Curve를 50㎞/h (14m/sec)의 속도로 움직인다.
필요 경사도는?
4 . sec 0
/ 8 . 9 50
sec) /
14
tan (
22
2
m m
m rg
v
22
cf) 이 경우, 항력의 y-성분이 무게에 대한 반작용에 의한 힘이 된다.
) (
cos mg W
F
N
회전관람열차 예제 6.3
☆
질량 m, 반경 r =10m, 접선속도 v = 3m/sec a) 바닥에서, b) 맨위에서 아이의 무게는?
지름 방향에 대해 뉴턴 법칙을 적용하면 가속도는 구심가속도에 해당하므로
r mg mv
F F
F
Nety y NBot 2
rg
mg v r
mg mv F
NBot2 2
1
mg mg
FNBot 1.09
) s / m 80 . 9 m)(
10 (
s) / m 3
1 ( 2
2
Sol
a)
r mg mv
F F
F
Nety y NTop
2
mg mg
F
NTop0 . 908
) m/s 80 . 9 m)(
10 (
m/s) 3
1 (
22
b)
rg
mg v r
mg mv F
NTop2 2
1
6.2 비등속 원운동
(Nonuniform Circular Motion)
6.2 비등속 원운동
(Nonuniform Circular Motion)
F Fr F
t
일정하지 않은 속력으로 원운동하면 가속도의 지 름 성분 외에도 접선 성분이 존재한다. 그러므로 작용하는 힘도 접선 성분과 지름 성분을 가져야 한다. 입자에 작용하는 전체 힘은 두 성분의 합과 같다.
sin
sin g
a
ma mg
F
t t t
R mg mv
T F
r2
cos
cos
2
R g m v
T
구의 접선 방향에 대해 운동법칙을 적용하면 중력의 접선 성분만 고려하면 된다.
구의 지름 방향에 대해 운동법칙을 적용하면
1 1
2 2
Rg mg v
T
Rg mg v
T
bot bot
top top
공에 주목 예제 6.4
그림에 설명된 것처럼 질량 m 인 작은 구가 길이 R 의 줄 끝에 매달려 고정된 점 O 를 중심으로 수직 원 운동을 하고 있다. 이 구의 속력이v이고 줄이 수직 방향과 각 θ를 이루고 있을 때 줄의 장력을 구하라.
Sol
6.3 가속틀에서의 운동 자동차, 지구
(Motion in Accelerated Frames)
6.3 가속틀에서의 운동 자동차, 지구
(Motion in Accelerated Frames)
자동차가 급격하게 좌회전하면 좌석에 앉아 있는 승객은 오른쪽으로 밀리는 힘을 받는다(원심력).
겉보기 힘은 어떤 물체에 실제 힘과 같은 방식으로 작용 하는 것 같이 보인다. 그러나 실제 힘은 언제나 두 물체 간의 상호 작용이지만, 겉보기 힘에 대하여는 두 번째 물 체를 찾을 수 없다.
이것은 자동차의 속도 벡터의 방향 변화와 관련된 구심 가속도에 의한 겉보기 힘 (fictitious force)이다.
승객에 작용하는 힘(곡률 중심을 향한)이 충분히 크다면, 승객은 자동차를 따라 원형 궤도를 돌게 된다. 이 힘은 승 객과 자동차 의자 사이의 마찰력이다.
승객이 문 쪽으로 미끄러지는 것은 밖으로 향하는 힘 때 문이 아니라, 승객이 자동차를 따라 휘어진 궤도를 움직 일 정도로 마찰력이 충분히 크지 않기 때문이다.
◎ 코리올리 힘 (Coriolis force) 그림 (a): 관성 기준틀에서 본
공의 궤도
그림 (b): 원판에 앉아 있는 관찰자가 본 공의 궤도 그림 (b)의 관찰자의 (a)의 궤 도를 예상하지만 공은 자신을 향해 날아오다가 한쪽으로 방 향을 바꾸는 것으로 관찰한다.
그러므로 회전하는 플랫폼에 있는 친구는 공이 뉴턴의 제1법칙을 만족하 지 않는다고 말하고, 어떤 힘에 의해 공이 휘어진 궤도를 따르게 되었다 고 주장한다. 이 가상의 힘을 코리올리 힘(Coriolis force) 이라 한다.
겉보기 힘은 실제 힘은 아닐지라도, 실제로 영향을 미칠 수 있다. 지구의 회전에 의한 코리올리 힘은 허리케인의 회전을 일으키며 대규모의 대양 해류를 일으킨다. 비관성계: 하수구, 태풍경로, 남극풍선, 푸코진자 등
선운동에서의 겉보기 힘 예제 6.5
☆
Sol
질량 m 인 구가 기차 천장에 줄에 매달려 있다. 기차가 움직이면서 구는 천장에 대하여 θ 의 각을 이룬다.
a) 관성 기준틀에 대한 기차의 가속도는?
b) 기차 안의 관측자와 기차 바닥의 마찰력은?
a) 관성 기준틀에 대하여 기차는 a 의 가속도
ma T
F F
Net xx
sin
0 cos
F T mg
F
Net yy
cos
T mg
sin tan
cos
sin g
m mg
m
a T
b) 비관성 기준틀에 대하여
0 sin
'
'Net
F
x T
F
fr F
x
0 cos
'
'
F
T
mg
F
Net yy
ma
F
fr 유체(액체 또는 기체) 안에서 물체가 움직이면 유체는 그 안에서 움직이는 물체에 저항력(resistive force) 작용한다.
저항력의 방향은 언제나 물체의 매질에 대한 상대적인 운동 방향과 반대이 고, 크기는 속력에 따라 복잡한 방식으로 변한다.
액체나 기체 속을 운동하는 물체에 작용하는 저항력이 물체의 속도에 비례하는 경우
b: 물체의 모양과 크기 그리고 매질의 성질에 의존하는 상수 v: 물체의 매질에 대한 상대 속도
“-” sign : R 은 v 에 반대 방향 ∵ 저항력 모형 1: 물체의 속도에 비례하는 저항력
(Model 1: Resistive Force Proportional to Object Velocity)
v R b
6.4 저항력을 받는 운동
(Motion in the Presence of Resistive Forces)
dt m dv ma
bv
mg
그림의 경우,
위의 식은 미분 방정식으로서, 속력 v에 대해 풀면 그림 (c)와 같은 결과를 얻을 수 있다. 속도가 커질수록 가속도(기울기)가 작아진다!
저항력의 크기가 구의 무게에 가까워지면 가속도는 영(0)에 가까워진다.
이 경우, 구의 속력은 종단 속력 vT (terminal speed)에 가까워진다.
m v g b
dt
dv
0
bv
Tmg b
v
T mg ma
F R
F
Nety
g
dt m dv ma
mg
bv
ma F
R
F
Net y
g
∴
dt dv b v m b
mg
m dt dv b
b v mg
1
v t
m t v b
b mg
0 0
ln
m t b b
v mg b
mg
ln ln
m t b b
mg b v mg
ln
mt b
e b
mg b v mg
mt b
b e mg b
v mg
mt b b
v mg b
mg
ln
ln
tmb
b e
v mg 1
cf
) 저항력을 받는 운동의 해Sol
※ 종단 속도 (Terminal Velocity, 끝속도)
y-방향으로 떨어지는 속도가 어느 정도에 달하게 되면, 저항에 의하여 더 이상 가속도가 붙지 못하고 일정한 속도로 낙하하게 된다.
⇒ 등속도 운동
이때의 속도를 종단속도(Terminal Velocity)라 한다.
ex) 유체 내에서 (비이커 속에 점성이 큰 액체를 담고) 물체를 낙하시키면, 쉽게 종단속도에 도달하게 된다.
ex) 빗물의 낙하 속도
cf) 물방울 : 약 1㎝/sec 이하 (구름의 형성이 가능)
- 종단 속도 vT 에서 ⇒ 물체는 y-방향의 등속도 운동 (No Acceleration! a =0)
0
bv
Tmg b
v
T mg
종단속도(Terminal Velocity)cf) 골프공 : 12°~13°에서 최대거리가 나온다.
cf) Terminal Velocitys : 사람 → 54m/sec (194㎞/h, 120mile/h)
→ 낙하산 이용시 : 6.3m/sec (22.68㎞/h, 14mile/h)
e : (exponential) 자연로그의 밑, 오일러 수 (e =2.71828) τ =m/b, 시간 상수 (time constant)
t = 0에서 놓여진 구가 종단 속력의 63.2%에 도달하는데 걸리는 시간 t =τ 를 대입하면
미분방정식의 실제 해:
( 1 e
bt/m) v
T( 1 e
t/) b
v mg
) ( ge
bt/mdt
dv
v
Tv 0 . 632
이 해를 미분방정식에 대입하여 확인해 보자
기름 속에서 떨어지는 공 예제 6.6
커다란 용기 속에 질량 2g 인 작은 공을 놓았다. 공의 종단 속력은 5㎝/sec 이다.
이 종단 속력의 90%에 도달하는 시간을 구하라.
Sol
b
v
T mg g s
s cm
s cm g
v b mg
T
/ / 392
5
/ 980
2
2
종단 속력
시간 상수
s
s g g b
m
310 10
. / 5
392
2
90%에 도달하는 시간
v
Tv
T1 e
t9
. 0
9 . 0 1
e
t 1 . 0 9
. 0
1
t
e
3 . 2 1
. 0
ln
t
ms s
s
t 2 . 3 2 . 3 5 . 10 10
3 11 . 7 10
3 11 . 7
2 2
1
D Av R
모형 2: 물체 속력의 제곱에 비례하는 저항력
(Model 2: Resistive Force Proportional to Object Speed Squared)
비행기, 스카이다이버, 자동차 또는 야구공처럼 공기 속에서 빠른 속력으 로 운동하는 물체들에 대해서는, 저항력이 속력의 제곱에 비례하는 것으 로 비교적 잘 모형화할 수 있다.
D (끌림 계수) : 경험적으로 얻어지는 차원이 없는 양 ρ : 공기의 밀도
A : 운동하는 물체의 속도(운동 방향)에 수직인 평면에서 측정한 물체의 단면적
2 2
1
D Av
mg
F
2
2 v
m A g D
a
질량 m인 물체가 정지 상태에서 자유 낙하하는 경우
A D v
Tmg
2
A v
D mg
T2
2
22
1
D Av R
2 0
2
v
Tm
A g D
중력이 저항력과 상쇄될 때, 이 물체에 작용하는 알짜힘은 영이 되므로 종단 속력 vT 를 구할 수 있다.
야구공에 작용하는 저항력 예제 6.7
투수가 타자에게 0.145 kg의 야구공을 40.2m/s(〓90 mi/h)의 빠른 속력 으로 던졌다. 이 속력에서 공에 작용하는 저항력을 구하라.
공기의 밀도를 1.20 kg/m3라 하고 표 6.1로부터 m, vT 및 A에 적당한 값 을 대입하여 D를 구하면
305 . 0
) m 10 2 . 4 )(
kg/m 2 . 1 ( m/s) 43 (
) m/s 80 . 9 )(
kg 415 . 0 ( 2
2 3 3
2
2
N 2 . 1
) m/s 2 . 40 )(
m 10 2 . 4 )(
kg/m 20 . 1 )(
305 . 0 2(
1 3 3 2 2
