電磁에너지변환공학에너지변환공학

(1)

電磁에너지변환공학

(2)

1장 전자(電磁)에너지

변환과정

(3)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1. 정전에너지에 의한 전기에너지 → 기계에너지 변환

(1) 대전된 전극 판 사이에 힘이 작용한다.

(2) 전계 내에 놓인 유전체에 힘이 작용한다.

2. 정전에너지에 의한 기계에너지 → 전기에너지 변환

(1) 대전된 전극 판이 서로 상대적으로 운동하면 전극 판에 전하 혹은 전압의 변화가 발생

(2) 전극 판 및 유전체가 서로 상대적으로 운동하면 전극과 유전체 사이에 전압의 변화가 발생

(4)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.1 Coulomb 법칙에 의한 방법

Q

a

F Q

b

d

(1.1)

1.4.1 Coulomb 법칙에 의한 방법 (점 전하에 작용하는 힘)

(5)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.1 Coulomb 법칙에 의한 방법

- +

- -

d

(6)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.1 Coulomb 법칙에 의한 방법

(대전된 전극판 사이에 작용하는 힘)

ΔA의 전하 ΔQ에 대한 Coulomb force

이동판이 x₁에서 x₂로 이동하는 동안 행한 일

(1.2)

(1.3)

그림 1.8 대전된 두 평행판 도체에 작용하는 힘

(7)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.2 전계에 의한 방법

(전계 내에 놓여진 대전체에 작용하는 힘)

(8)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.2 전계에 의한 방법

대전된 도체 공에 손을 대면 머리카락이 사방으로 곤두 서는 것을 볼 수 있다. 머리카락에 대전된 전하가 전기 적 힘을 받고, 이 힘의 방향을 따라 머리카락이 늘어서 기 때문이다. 다시 말해, 이 머리카락의 방향은 전기력 의 방향을 표시하고 있다.

전기력(F)의 크기는 머리카락에 대전된 전하량(q) 에 비례하므로 전기장 E 를 도입해서 나타낸다.

(9)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.2 전계에 의한 방법

전속밀도

D

와 전계

E

의 관계

는 진공 중의 유전율

(1.5)

D[C/m

²

]

전속은 대전된 물체로부터 발산되는 전하 Q의 선속이다.

(10)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.2 전계에 의한 방법

Electric flux

가우스의 정리

임의의 폐곡면으로부터 발산되는 전속의 총 수는 그 폐 곡면에 포함되어 있는 전하의 총수와 같다. 폐곡면의 면 적을

A

라고 하면

(1.6)

Q[C]

D[C/m

²

]

* 전속수와 전하량 Q의 관계는 Gauss 정리에 따른다.

(11)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.2 전계에 의한 방법

(1.7)

판 전면에 전하가 균일하게 분포된 경우,

전속은 균일한 밀도를 가지고 판면에 수직방향으 로 양 쪽으로 발산되므로

그림 1.9 균일하게 대전된 대전 판의 전속방향

두께는 거의 무시

(12)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.2 전계에 의한 방법

(1.8)

(1.9) 따라서 대전판이 갖는 전계의 세기는

여기서, 전하 Q를 갖는 또 다른 대전판 B가 이 전계 내에 놓여있다고 하면, 대전판 B에 작용하는 힘 f는

(13)

대전판 B가 힘 f에 의해서 x₁에서 x₂까지 이동하는데 행한 일 W는

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.2 전계에 의한 방법

(1.10)

•x₁>x₂이면 W의 부호는 +로서 가동판 B에 접속된 기구에 기계적 에너지가 공 급되었다고 볼 수 있다.

•여기서, x1은 초기 위치이고 x2는 이동 후 위치이므로 x₁>x₂의 상황은 가동 판 B가 고정판 쪽으로 이동했음을 의미한다.

(14)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.3 에너지 보존법칙에 의한 방법

축적

손실

입력 출력

입력에너지 = 출력에너지 +축적에너지+손실에너지

에너지보존법칙

(1.11)

장치

(15)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.3 에너지 보존법칙에 의한 방법

전기에너지를 기계적 에너지로 출력하는 경우

dx 방향의 기계적 힘 fx는

(1.12)

(1.13)

* 기계출력 dW를 알면 기계적 힘 fx를 구할 수 있다.

(16)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.3 에너지 보존법칙에 의한 방법

(1.14)

• 판 이동 시에 발생하는 마찰손실을 기계적 출력의 일부로 간주하면, 축적에너지 감소분은 곧 기계적 출력의 증가분으로 된다.

대전된 두 평행판 도체에 작용하는 힘

전기적 입력 = 0인 상태에서 이동판이 미소 변위되는 경우, 전하는 재 분포된다. 이때 전하이동에 따른 에너지손실 (전기저항)이 발생되지만 미소변위이므로 무시한다. .

(1) 전원=0인 경우

(17)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.3 에너지 보존법칙에 의한 방법

2 도체 정전계에 있어서의 축적에너지를 C와 Q로 나타내면,

그러므로

→ 힘 fx는 x에 따른 판간의 용량 C의 변화량으로 구할 수 있다.

(1.16)

(1.17)

따라서 (1.15)

(18)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.3 에너지 보존법칙에 의한 방법

여기서 는 양 극판 사이의 전위차로서 다음 식으로 나타낸다.

이 때, 정전용량 C는 다음 식으로 구한다.

(1.18)

(1.19)

(19)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.3 에너지 보존법칙에 의한 방법

판상의 전하분포가 균일하다고 가정하면, 가동판의 전속밀도

D

는

(1.20)

전계

E

는 다음 식으로 나타내므로

따라서 전위차 v

(1.21)

(20)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.3 에너지 보존법칙에 의한 방법

그리고 정전용량 C는

(1.21)

그리고 x의 정방향으로 작용하는 힘 fx는 식(1.17)로부터

(1.22)

(-)부호는 힘의 방향이 x의 정방향과 반대임을 나타냄

식 (1.22)는 식(1.9)의 결과와 같아진다.

(21)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.3 에너지 보존법칙에 의한 방법

이동판이 dt 시간에 dx만큼 변위한 경우 식(1.13)으로부터

(1.23) 여기서, 전기입력에너지는

여기서 dq는 dt 시간 사이에 전원으로부터 판으로 이동 한 전하량이다.

(1.24)

(2) 전원이 판에 인가된 경우

(22)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.3 에너지 보존법칙에 의한 방법

전하 재 분포에 의한 저항손실과 전원에 연결된 도선에 의한 손실을 무시하고 기계적 손실은 기계적 출력에 포함시키면 총 손실은 0가 된다.

그리고 축적에너지는

(1.26) (1.25)

이때 축적에너지의 변화분 dW는 다음 식으로 된다. 여기서, q와 v는 모두 변수이다.

(1.27)

(23)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.3 에너지 보존법칙에 의한 방법

따라서, 식 (1.23)으로부터

이 식에 를 대입하면 fx에 대한 일반식이 된다.

※ 이 관계는 대전체의 모양과 관계없 이 2 전극계에 대해서 성립되는 식으로, 계의 일부분이 변화하여 정전용량을 증 가시키면 변위의 방향으로 힘이 발생함 을 뜻한다.

(1.28)

(1.29) 여기서 C와 v는 변수이므로

(24)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.4 해석방법의 비교

정전력 계산의 3가지 방법

(1) Coulomb법칙에 의한 계산법 (2) 전계에 의한 계산법

(3) 에너지보존법칙에 의한 계산법

이 3가지 방법을 비교하기 위하여 직선운동변환기를 도입 (x방향으로만 자유롭게 이동)

이 계에 작용하는 힘은 수직방향성분(y축 성분) 만 존재하게 된다.

(25)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.4 해석방법의 비교

두 판이 겹쳐진 부분에만 전하가 존재한다고 가정하면 수직방향성분(y방향 성분)만 존재하고 x방향으로는 존재하지 않게 된다.

그러나 실제로 양 전극이 겹쳐지지 않은 부분에도 약간의 전하가 존재하게 되므로

→ x방향으로 약간의 힘이 작용한다. 따라서 전위차 v가 일정하면 가동판이 x방향으 로 움직인다 해도 전계는 변하지 않고 다만 면적이 증가되는 효과로 나타나게 된다.

(26)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.4 해석방법의 비교

※ 힘 fx 를 에너지보존의 법칙으로 구한다.

그러므로 x방향의 힘 fx는 v가 일정하게 유지되는 한 x의 위치에 관계없이 일정하 게 된다,

식 (1.29)에서 fx는 다음 식으로 주어진다.

겹친 부분의 전하

(1.30)

(1.31)

이 힘은 coulomb법칙이나 전계의 개념을 적용해서 구하기는 매우 어렵다.

(27)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.4 해석방법의 비교

양 판 사이의 정전용량

이 식을 식(1.30)에 대입하면

(1.34)

(1.33) 주변전하는 다음 식으로 나타낸다.

(1.32)

(28)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.4 해석방법의 비교

해석방법 면에서,

1. Coulomb법칙이나 전계 개념을 이용한 힘의 계산

물리적 현상을 이해하는 데는 도움을 주지만 양적인 계산은 매우 복잡다단하다.

2. 에너지보존법칙에 의한 힘의 계산

힘에 대한 함수 표현식을 구할 수 있지만, 물리적 개념은 얻을 수가 없다.

(29)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.5 정전회전기

회전기의 기계적 출력은 회전력 T로 나타낸다.

의 형식으로 T를 나타내면 다음 식으로 된다.

(1.35)

(1.36)

→ 이 식은 회전각이 증가할 때 정전용량 C가 증가하면 θ의 정방향으로 회전력이 발생 함을 나타낸다.

평판 사이의 기계적 힘

(30)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.5 정전회전기

Stator

Rotor

(31)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.5 정전회전기계

Θ=0에서 고정판과 회전판이 완전 일치된 경우, θ=0에서의 정전용량

d는 양 극판사이의 거리이다.

(1.37)

그림 1.13 (a) 정전회전계기

(32)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.5 정전회전기계

이 변화를 Θ와 C와의 관계식으로 나타내면,

※ π/2, π, 3π/2 … 에서 곡선의 끝 부분이 둥글게 되는 것은 주변 전계에 의한 영향이다.

(1.37’) 회전각 Θ에 따른 정전용량 C의 변화

즉, 정전용량 C가 회전각 θ에 따라 그림과 같이 변화한다.

그림 1.13 (b) θ와 C의 관계곡선

(33)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.5 정전회전기계

회전각 Θ와 회전력 T의 관계

이므로 (θ에 따른 C의 변화) 앞에서,

(34)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.5 정전회전기계

(1) 0＜θ＜π/2 구간

회전각 θ에 따른 회전력 T 에서,

(2) π/2＜θ＜π 구간

회전판의 평균회전력은 0이 된다.

그러므로 계속적으로 회전력을 낼 수 없다.

(1.38) -기울기

+기울기

정전전압계는 회전각을 ^

 이내로 제한

(35)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.5 정전회전기계

π/2 π 3π/2 2π

θ

T

θ

π/2 π 2π

θ

2π 3π/2

π/2 π 3π/2 2π

θ

T

θ

한쪽 방향으로만 회전력을 발생시키려면 (+구간)이나 (-)구간이 되는 전압의 위상을 인가하면 된다.

이때 v²에 비례하므로 전압의 극성과는 무관하다.

+ 전압 위상구간 π/2 ＜ θ ＜π구간, 3π/2 ＜ θ ＜ 2π구간

(a) 일정전압시의 정전회전기의 회전력곡선

(b) 단자에 가해진 단속교류전압

(c) b의 경우의 회전력곡선 그림 1.14

(36)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.5 정전회전기계

※ 회전력은 의 극성과 무관하게 한 방향으로 발생된다.

→ 정현파 교류전압을 가하면 한 방향으로만 유효한 회전력을 얻을 수 있다.

이 전압에 따라 주기적 변하는 정전용량의 Fourier급수는 다음과 같다.

전압에 따라 회전하므로 C가 변화

(cos함수는 우함수파) (1.39)

(1.40)

(37)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.5 정전회전기계

회전각속도 t=0에서의 회전기의 초기위치 이면

이 식을 에 대입하면

(1.41)

(1.42) 모든 항이 정현파적으로 변하기 때문에 평균값=0가 된다

.

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

(38)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.5 정전회전기계

(회전주기와 인가전압주기가 일치) 이면, 이때의 회전력,

(1.43)

인 경우에도 동일한 결과를 나타낸다.

이 기계는 인가전압의 각속도와 똑같은 회전 각속도일 때만 회전력이 발생하는 일 종의 동기회전기인 셈이다.

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

(39)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.5 정전회전기계

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

이 기계의 최대출력

(1.44) 이 기계에 부하가 걸린 경우에는 회전판이 시간적으로 뒤로 쳐져서 용량이 최대가 되는

θ=0의 위치로부터 δ만큼 뒤떨어지게 된다. 그러므로 δ가 0<δ<π/4 내에서 증가하면 T_θ가 중가하기 때문에 부하가 요구하는 회전력을 발생시킬 수 있다.

그림 1.15 δ와 평균회전력 T와 관계곡선

이 기계의 축에 전동기를 연결하고 회전력을 가하면 발전기가 된다. 즉, 전기에너지로 변환할 수 있다.

발전기와 전동기의 회전방향은 항상 반대가 된다.

(40)

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

1.4.5 정전회전기계

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

이때, 전기적 출력의 평균값

고정판과 회전판 사이의 비유전율 효과

1.4 정전기력에 의한 에너지변환

(1.45)

(1.47) (1.46)

고정판과 회전판 사이에 비유전율 인 유전체를 채우면 축적되는 에너지는 배가 된다.