3차원상의 입자에 작용하는 응력

lecture_05 암반의 변형

Deformation of Rock Mass

지반의 설계기준

강도

응력 vs. 강도

변위(변형)

응력-변형률로부터 계산

3차원상의 입자에 작용하는 응력

2차원

응력 매트릭스

3차원

x zx

zx z

 

 

 

 

 

1

3

0 0





 

 

 

x xy zx

xy y yz

zx yz z

  

  

  

 

 

 

 

 

주응력 매트릭스

응력 매트릭스

0 0

0 0

0 0

x

y

z







 

 

 

 

 

주응력 매트릭스

수직-전단응력과 변형률

x y z

x

y x z

y

x y z

z

E E E

E E E

E E E

  

  

  

  

 

   

  

  

  

  

 

   

xy xy

zx zx

yz yz

G G G

 

 

 

 

 

 

응력 변형률 관계 - 등방 탄성체

기본 방정식

2(1 )

3(1 2 ) G E

K E





 

 

 ^{: Lame 정수}

(1 )(1 2 )

  E

 

  

응력 변형률 관계 - 등방 탄성체

응력증가-변형률 관계식

응력 변형률 관계 - 등방 탄성체

평균수직응력과 축차응력

1, dev 1 m

  

    

1 2 3

1

3

  

 ^{    }

  

1 2 3

2 1

( )

3  3  

     

2, 2

3, 3

dev m

dev m

  

  

    

    

1 2 3

m 3

  

 ^{    }

 

응력 변형률 관계 - 등방 탄성체

평균변형률과 축차 변형률

1 2 3

3 3

v m

   

  ^{    } 

•

1, dev 1 m

    

1 2 3

1 3

  

 ^{ }

 

1 2 3

2 1

( )

3  3  

  

2, 2

3, 3

dev m

dev m

  

  

 

 

3 1

3

m m

v m

m m

K

K

 

 

 

 

 

 

응력 변형률 관계- 등방 탄성체

축차응력-축차변형률 관계

1 2 3

1, 1

1 2 3

3 3

1 2 2 1

3 1 2

1 2 3

1, 1,

2, 2,

3, 3,

3

2 1 1

3 3 3

2 1

( ) ( )

3 3

1 ( )

3

1 1 1 1

( )

3 3 3

1

2 2

2

dev

dev dev

dev dev

dev dev

E E E E E E

E E E

E

E G

G G

  

 

  

   

     

    

   

  

 

 

   

  

 

   

     

  

  

      

 

  

 

 

1 1,

1,

2 2,

2,

3 3,

3,

1 1

3 2

1 1

3 2

1 1

3 2

m dev

m dev

m dev

m dev

m dev

m dev

K G

K G

K G

  

 

  

 

  

 

 

   

 

   

 

   

응력-변형률 관계 - 비등방 탄성체

Orthotropic 대칭

ij ji

i j

E E

 



응력-변형률 관계 - 비등방 탄성체

가로축 등방(transversely isotropic)

s t

st ts

E E E

  

 

 

암석의 탄성계수와 포아송비

암석의 탄성계수와 포아송비

(1) 의 값은 대부분 200~500 사이에 존재함

(2) 의 값은 화성암등과 같이 결정성암(crystalline rock)에서는 비교적 큰 값을 띠고, 쇄설성 암(clastic rock)에서는 작은 값을 띤다

/ _c E 

/ _c

E 

암석의 탄성계수와 포아송비

동적실험에 의한 탄성계수

: : : V

P V S



s

파의 속도 파의 속도 암석의 밀도

2

2

2 2

1 1

2

p

s

p s

E V G V

V V











 

     

 

암반의 탄성계수와 포아송비

암반의 탄성계수 (암석의 10 – 50%) 암반의 변형시험

(1)평판재하시험(plate bearing test) (2)보어홀 잭 시험(borehole jack test) (3)dilatometer 시험

(4)플래트잭 시험 등 암석시험 결과의 보정법

+ RMR, Q

동적시험에 의한 암반정수 산정

( ) :

:

( ) : E E f RQD

E E

f RQD RQD

m

 

m

암반의 탄성계수 암석의 탄성계수

값에 따른 감소계수

10

10

100

GSI

E _ 

m



 100 MPa

샘플링된 암석코아중 길이가 10cm 이상인 코아들의 합계

RQD = ---  100 (%)

시추공에서 샘플링한 시추공 총 길이

불연속면에서의 변형

기본 이론

불연속면에 인장응력이 작용된 경우

불연속면에 수직압축응력 이 작용하는 경우

불연속면에 전단응력 가 작용하는 경우









 

( ) ( )

n n n

v f

K v





  

  



( ) ( ) K s

u



  



불연속면의 변형을 고려한 등가 연속체모델

불연속면의 변형을 고려한 등가 연속체모델

수직응력에 대한 등가모델 탄성계수

암석에서의 수직 변위 :

불연속면에서의 수직 변위:

등가모델에서의 변위:

n S

E



 

n

K n





^{n n}

n

E S K

 

 

  계:

n n

E S



 

1 1 1

E E K S

  



불연속면의 변형을 고려한 등가 연속체모델

전단응력에 대한 등가 모델 전단계수

암석에서의 전단변위:

불연속면에서의 전단변위:

등가모델에서의 전단변위:

ns S S

G

  ^  

K s





:

s

G S K

 

    계

ns

G S



 

1 1 1

ns s

G G K S

  



암반의 시간의존적 거동

크립거동

암석의 시간의존성

팽창성(swelling)

압착성(squeezing)

암반의 시간의존적 거동

시간의존성 모델 탄성모델

점성모델

  G 

d dt

      

암반의 시간의존적 거동

시간의존성 모델

일축압축하중시의 점탄성 거동 탄성모델

맥스웰모델

켈빈모델

버거모델

암반의 시간의존적 거동

시간의존성 모델

일축압축하중시의 점탄성 거동 탄성모델

맥스웰모델

켈빈모델

1 1,

1 1

3 K

2 G

      

1 m

3

 ^ 

 

1, 1 1

2

dev m

3

   

      

 ^{1 1 1}

1 1

1 1 2

3 3 2 3

9 3

K G

K G

  

 

     

 

 

1 1 1

1( )

2 2

9 3 3

t

t K G

  

 

  

  

1 1

( / )

1 1

1( )

1

[1 ]

9 3

G t

t e

K G

  

  ^  ^ 