수학 영역(가형)

수학 영역(가형)

1. 계산 능력 - 평면벡터 ②

a^>=(2^, -3)^, b^>=(-1^, -2)^에서 a^>-b^>=(2^, -3)-(-1^, -2)=(3^, -1) 따라서 벡터 a^>-b^>의 모든 성분의 합은 3+(-1)=2

3. 이해 능력 - 공간도형과 공간벡터 ③

^-AB^- =2(-2)x^2+1^2x+2^2x

=rt9=3

6. 이해 능력 - 공간도형과 공간벡터 ③ 직선의 방향벡터 u^>=(2^, a^, b)^{와 평면의} 법선벡터 n^>=(1^, -2^, 4)가 서로 평행하므로 실수 k^{에 대하여} (2^, a^, b)=k(1^, -2^, 4)^가 성립한다.

따라서 k=2^이므로 a=-4^, b=8^에서 a+b=4

10. 이해 능력 - 평면곡선 ②

(가)에서 1+k=-a^2^, 1-k=b^2^{으로 놓으면} x²

-a²+ yb²²=1^, x²

a²- yb²²=-1

이 되어 두 초점이 y축 위에 있는 쌍곡선이다.

따라서 k+1<0^, 1-k>0^이므로 k<-1 (나)에서 쌍곡선의 두 초점의 좌표를

(0^, c)^, (0^, -c)(c>0)^{라 하면} 2c=2rt3^이므로 c^2=a^2+b^2=-1-k+1-k=3

-2k=3 따라서 k=-3/2

14. 이해 능력 - 지수함수와 로그함수 ⑤ 점 A^{는 곡선} y=log2x/3^가 x축과 만나는 점이므로 log2x/3=0^, x=3^에서 A(3^, 0)

곡선 y=log2x/3 ^{위의 점} B^{의 좌표를} B^(a^, log2a/3)^{라 하고, 점} B^에서 x^{축에 내린} 수선의 발을 H^{라 하면}

^-AH^-=a-3^, ^-BH^-=log2a/3

^-AC^-=^-AB^-^, gakCOA=gakAHB=pai/2^,

gakCAO=gakABH^{이므로 삼각형} ACO^{와 삼각형} BAH^{는 합동이다.}

^-BH^-=^-OA^-^이므로 log2a/3=3^, a/3=8 따라서 a=24

^-AH^-=^-OC^-^이므로 ^-OC^-=24-3=21 점 D^의 y^좌표를 b^{라 하면}

선분 AD^{의 중점과 선분} BC의 중점이 같으므로 0+b2 =3+21

2 즉, b=24

따라서 점 D^의 y^좌표는 24^이다.

2. 이해 능력 - 삼각함수 ④

-1-<cosx-<1^이므로 -1-<-cosx-<1 1-<-cosx+2-<3

따라서 y=-cosx+2^{의 최솟값은} 1^이다.

7. 이해 능력 - 통계 ②

확률의 총합은 1^이므로 a+b=3/4 X

^-= X¹+X2

2 `=2^에서 X1+X2=4^{인 경우는} X1=X2=2^{일 때이므로}

P(X^-=2)=a^2=1/9^에서 a=1/3^, b=5/12 한편 X^-= X¹+X2

2 `=3^에서 X1+X2=6^인 경우는 X1=2^, X2=4 ^또는 X1=4^, X2=2 일 때이므로 P(X^-=3)=2ab=5/18

11. 이해 능력 - 공간도형과 공간벡터 ⑤ 직선 x-1=y/2= z+23 .c3.c3㉠ 위의 임의의 점 P^{의 좌표를} (x^, y^, z)^{라 하면} 점 P^의 xy평면 위로의 정사영의 좌표는 (x^, y^, 0) 이다.

x

z

O

y P{x,`y,`z}

x-1= =2y z+23

{x,`y,`0}

l¡

이때 점 (x^, y^, z)^{는 등식} ㉠을 만족시키므로 점 (x^, y^, 0)^{은 등식} x-1=y/2^{를 만족시킨다.}

따라서 직선 x-1=y/2= z+23 ^의 xy^{평면 위로의} 정사영인 직선 l1의 방정식은

4. 계산 능력 - 적분법 ①

int0!e^x+2dx =e^2int0!e^xdx=e^2^[e^x^]¹₀

=e^2(e-1)=e^3-e^2

8. 이해 능력 - 미분법 ⑤

함수 f(2x-1)^{의 역함수가} g(x)^이므로

g(f(2x-1))=x .c3.c3㉠

㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면

g^′(f(2x-1))\f^′(2x-1)\2=1 .c3.c3㉡

㉡의 양변에 x=1^{을 대입하면} g^′(f(1))\f^′(1)\2=1^이므로 g^′(f(1))= 12f^′(1)

f^′(x)=e^x-1+3+xe^x-1에서 f^′(1)=1+3+1=5^이므로 g^′(f(1))= 12\5=1/10

12. 수학 내적 문제 해결 능력 - 공간도형과 공간벡터 ⑤

^-OH^-=^-OC^-`cospai/6=2rt3

이므로 점 H^{에서 선분} OA에 내린 수선의 발을 D^{라 하면}

^-OD^-=^-OH^-`cospai/6=3

이때 삼수선의 정리에 의해 ^-CD^-jikgak^-OA^-^이므로 삼각형 OCD^{는 직각삼각형이다.}

따라서 costheta= ^-OD^-^-OC^-`=3/4

5. 이해 능력 - 확률 ③

P(AhapB) =P(A)+P(B)-P(AcupB) 에서

11 /

20=P(A)+P(B)-1/20

P(A)+P(B)=12/20 .c3.c3㉠ 한편 P(AcupB) =P(A)\P(B)=1/20 .c3.c3㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

P(A)=1/10^, P(B)=1/2 ^또는 P(A)=1/2^, P(B)=1/10^이므로 VP(A)-P(B)V=2/5

9. 수학 외적 문제 해결 능력 - 확률 ④ 이 사람이 시험에서 자격증을 받는 사건을 X^라 하고, B ^{과목의 점수가} 60^{점 미만인 사건을} Y^라 하자.

P(X)=5/6\3/4\5/6=25/48 P(Y)=1/4

이므로 이 시험에서 자격증을 받지 못할 확률은 P(X^C)=1-P(X)=23/48

조건에서 P(X^CcupY)=P(Y)=1/4^{이므로 구하는} 확률은

P(YVX^C)= 1/4 23 / 48=12/23

13. 이해 능력 - 평면곡선 ⑤

x^3+x+y+y^3=4^{의 양변을} x에 대하여 미분하면 3x^2+1+ dydx+3y^2dy

dx=0 따라서 dy

dx =-3x²+1 3y²+1 dydx =-3x²+1

3y²+1 =-1^에서 3x^2+1=3y^2+1^, x^2-y^2=0^, (x+y)(x-y)=0

따라서 y=x ^또는 y=-x

y=-x^{이면 등식} x^3+x+y+y^3=4^{를 만족시키는} 두 실수 x^, y는 존재하지 않는다.

y=x^이면 2x^3+2x=4^에서 x^3+x-2=0 (x-1)(x^2+x+2)=0

x^{는 실수이므로} x=1

따라서 a=1^, b=1^이므로 a+b=2

x-1=y/2^, z=0 .c3.c3㉡ 마찬가지로 직선 x/3= y-32 =z+1^의 xy^평면 위로의 정사영 l2의 방정식은

x /

3= y-32 ^, z=0 .c3.c3㉢ 이다.

두 직선 ㉡, ㉢의 방향벡터를 각각 a^>^, b^>^{라 하면} a^>=(1^, 2^, 0)^, b^>=(3^, 2^, 0)

이므로 costheta= Va^>

.c1

Va^>VVb^>V= 3+4rt5rt13 =7rt65 65

17. 이해 능력 - 삼각함수 ④ 그림과 같이 점 D^{에서 선분} BC^{에 내린 수선의} 발을 H^{라 하자.}

A B

C

D E

H

선분 AB^{가 지름이므로} gakBCA=pai/2

^-BH^-=x^{라 하면}

^-AC^-=2^-BC^-^이므로 ^-DH^-=2x

삼각형 BHD^{와 삼각형} BCA^{는 닮음비가} 2^：3^이므로 ^-HC^-=1/2x

tan(gakHCD)= 2x 1 / 2x=4

직선 CE^는 gakBCA^{의 이등분선이므로} gakBCE=pai/4

tan(gakECD)=tan(gakHCD-pai/4)

= tan(gakHCD)-tanpai/4 1+tan(gakHCD)tanpai/4

= 4-11+4\1=3/5

20. 연역적 추론 능력(증명) - 미분법 ③ ㄱ. (참) f(x)= nx9+4x^2에서

f^′(x)= n(9+4x^2)-nx\8x(9+4x^2)^2

= n(-4x^2+9)(9+4x^2)^2 따라서 f^′(0)=n/9

ㄴ. (참) f^′(x)=0^에서 x=z3/2

함수 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x .c3 -3/2 .c3 3/2 .c3

f^'(x) - 0 + 0 -

f(x) ^{↘ 극소 ↗ 극대 ↘}

limx=inf`f(x)=limx=-inf``f(x)=0^이므로 x^축이 점근선이다.

f(0)=0^, f^′(0)=n/9^이므로 n=9^{일 때,} y=x는 원점에서 접하는 직선이 된다.

따라서 n-<9^{일 때,} f^′(0)=n/9-<1^{이므로 함수} y=g(t)^{의 그래프는} [그림 1]^{과 같이 함수} y=f(t)^{의 그래프와 같다.}

15. 수학 외적 문제 해결 능력 - 순열과 조합 ② 조형물 사이에 2개 이상의 빈 설치대가 있어야 하므로 그림과 같이 배치시킨 다음 화살표로 표시된 4개의 위치에 나머지 3^{개의 설치대를} 임의로 배치하면 된다.

이 경우의 수는 서로 다른 4개에서 중복을 허락하여 3개를 택하는 경우의 수이므로 ₄H3=6C3=20 한편 조형물의 순서를 정하는 방법의 수는 3^!=6^이다.

따라서 구하는 방법의 수는 6\20=120

18. 수학 내적 문제 해결 능력 - 삼각함수 ③ 직선 OP^{의 기울기가} tantheta^이므로

gakPOQ=theta^, ^-OQ^-= 2costheta

점 Q^{의 좌표는} Q^( 2costheta ^, 0^)^이므로 점 R^{의 좌표는} R^( 2costheta ^, 2tantheta

costheta ^)

^-OA^-=2^이므로

16. 이해 능력 - 미분법 ③

0<x<e^에서 f^′(x)=a(lnx+1)^{이고 함수} f^′(x)^{는 연속이므로} f^′(e)=a(lne+1)=2a e-<x1<x2라 하면 평균값의 정리에 의하여

f(x2)-f(x1)

x2-x1 =f^′(c)^{를 만족시키는} c^가 (x1, x2)에 적어도 하나 존재한다.

즉, f^′(c)-<4

x1, x2가 임의의 서로 다른 두 실수이므로 x>e^에서 f′(x)-<4^이다.

조건 (가)에 의하여 2a-<4^이므로 a-<2 즉, f(e)=ae-<2e

x->e^{일 때} f′(x)-<4^이므로 f(x)-<4(x-e)+2e

따라서 f(2e)-<4(2e-e)+2e=6e^이므로 f(2e)^{의 최댓값은} 6e^이다.

19. 연역적 추론 능력(증명) - 확률 ④ r1

par ^{세 수} a^, b^, c가 모두 같을 때, 서로 다른 n^{개의 수에서} 2^{개를 선택하는} 경우와 같으므로 d>M^{인 경우의 수는} _nC2이다.

r2

par ^{세 수} a^, b^, c 중 두 개만 같을 때,

d>M인 경우의 수는 서로 다른 n^{개의 수에서} 3^{개를 선택하여} a^, b^, c^, d^{의 값을 정하는} 경우와 같으므로 d>M인 경우의 수는

6 \_nC3이다.

r3

par ^{세 수} a^, b^, c가 모두 다를 때, d>M^{인 경우의 수는} 6\_nC4 이다.

따라서 구하는 경우의 수는 _nC2+6\_nC3+6\_nC4

= n(n-1)2 +n(n-1)(n-2)

+ n(n-1)(n-2)(n-3)4

= n(n-1)4 {2+4(n-2)+(n-2)(n-3)}

= n(n-1)4 (n²-n)=n²(n-1)² 4 이다. 따라서 k=6^, f(n)=6\_nC4, g(n)= n²(n-1)²

4 ^이므로

f(k)+g(k)=f(6)+g(6)=90+225=315

21. 이해 능력 - 적분법 ③

int0!`f(x+t)dt<sup>에서</sup> x+t=s<sup>로 놓으면</sup> dt/ds=1<sup>이고</sup> t=0<sup>일 때</sup> s=x<sup>,</sup> t=1<sup>일 때</sup> s=x+1<sup>이므로</sup> int0!`f(x+t)dt=intxX/!`f(s)ds

f(x)=e^x+int0!`f(x+t)dt=e^x+intxX/!`f(s)ds 에서 양변을 x에 대하여 미분하면

f^′(x)=e^x+f(x+1)-f(x)

즉, f(x+1)=f(x)+f^′(x)-e^x .c3.c3㉠ 따라서

int1@`xf(x)dx-int0!`xf(x)dx

=int0!`(x+1)f(x+1)dx-int0!`xf(x)dx

=int0!`(x+1){f(x)+f^′(x)-e^x}dx

-int0!`xf(x)dx(.T3㉠)

=int0!`(x+1)f(x)dx+int0!`(x+1)f^′(x)dx -int0!`(x+1)e^xdx-int0!`xf(x)dx

=int0!`xf(x)dx+int0!`f(x)dx

+int0!`(x+1)f<sup>′</sup>(x)dx-int0!`(x+1)e^xdx -int0!`xf(x)dx

=int0!`f(x)dx+C(x+1)f(x)D^1_0

-int0!`f(x)dx-Cxe^xD^1_0

=2f(1)-f(0)-e

=2(2e+3)-1-e=3e+5

한편 n>9^{이면 함수} y=g(t)^{의 그래프는} [그림 2]와 같이 일부분이 함수 y=t^의 그래프와 같아진다.

y

O t

y=t y=Ì{t}

y

O t

y=t y=Ì{t}

[^그림 1] [^그림 2]

따라서 함수 g(t)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 자연수 n^{의 개수는} 9^이다.

ㄷ. (거짓) 함수 g(t)가 미분가능하지 않는 t^의 값이 존재하려면 n>9이어야 한다. 한편 함수

f(x)^는 x=z3/2에서 항상 극값을 가진다.

따라서 f(3/2)=3/2^{이 되도록} n^{의 값을} 선택하면 [그림 3]^{과 같이} t=z3/2^{에서 함수} g(t)는 극값을 갖지만 이 두 점에서

미분가능하지 않다. 이때 n=18^이므로 n^의 최솟값은 18^이다.

t

y y=t

y=Ì{t}

O - 23 - 23 2

3

23

[^그림 3]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

f(theta)=1/2^( 2costheta`-2)\ 2tanthetacostheta

= 2(1-costheta)tanthetacos²theta 따라서

theta limB0+` f(theta)theta³

=lim_{theta B0+} 2(1-costheta)tantheta theta³\cos²theta

=lim_{theta B0+}c2\ 1-cos²theta

theta²(1+costheta)\ tanthetatheta \ 1 cos²theta d

=lim_{theta B0+}12\ sin²theta

theta² \ 1

1+costheta\ tanthetatheta

\ 1cos²theta 2

=2\1\1/2\1\1=1

22. 이해 능력 - 지수함수와 로그함수 5 f(x)=x^2-3lnx^에서 f^′(x)=2x-3/x

따라서 f^′(3)=6-1=5

26. 이해 능력 - 평면곡선 36 포물선 y^2=16x^{의 초점을} F(4^, 0)^{이라 하고,} 두 교점 B^, C^{에서 준선} x=-4^{에 내린 수선의} 발을 각각 B^′, C^{′이라 하자.}

x

y y@=16x

O F A B' B

C' C

삼각형 ACC^{′에서 점} B^{는 선분} AC^의 중점이므로 ^-CC^-^′=2\^-BB^-^′이다.

즉, ^-CF^-=2\^-BF^- .c3.c3㉠ 삼각형 AFC^{에서 원점} O^{는 선분} AF^의

중점이므로

^-CF^-=2\^-BO^- .c3.c3㉡

㉠, ㉡에서 ^-BF^-=^-BO^-^{이므로 점} B^의 x^좌표는 2^이다.

따라서 a=2^, b=rt32=4rt2^이므로 a^2+b^2=4+32=36

27. 이해 능력 - 확률 38

카드를 한 줄로 늘어놓는 방법의 수는 7^!

3^!=7\6\5\4=840

홀수가 적힌 카드를 홀수 번째에 놓는 방법의 수는

4P2=12

짝수가 적힌 카드를 짝수 번째에 놓는 방법의 수는

3P2=6

나머지 자리에 숫자가 적혀 있지 않은 카드를 놓는 방법의 수는 1

따라서 구하는 확률은 12\6\1

840 =3/35^이므로 p+q=38

23. 이해 능력 - 순열과 조합 48

(2+3x)^5^{의 전개식에서} x^2^항은 5C2\(3x)^2\2^3 이므로 x^2^{의 계수는} 5C2\2^3\3^2=720^이고, (kx+1)^6^{의 전개식에서} x^2^항은 6C2\(kx)^2\1^4 이므로 x^2^{의 계수는} 6C2\k^2=15k^2^이다.

따라서 720=15k^2 k^2=48

29. 수학 내적 문제 해결 능력 - 공간도형과 공간벡터 121 세 점 A(1^, 0^, 0)^, B(0^, 2^, 0)^, C(0^, 0^, 2)^를 지나는 구의 중심의 좌표를 (a^, b^, c)^{라 하면} (a-1)^2+b^2+c^2 =a^2+(b-2)^2+c^2

=a^2+b^2+(c-2)^2 정리하면

-2a+1=-4b+4=-4c+4^에서

c=b^, a=2b-3/2 .c3.c3㉠ 세 점 A(1^, 0^, 0)^, B(0^, 2^, 0)^, C(0^, 0^, 2)^를 지나는 평면의 방정식은

x+y/2+z/2=1^에서 2x+y+z=2

구 S^{의 중심} (a^, b^, c)^{는 평면} 2x+y+z=2 ^위의 점이므로 2a+b+c=2 .c3.c3㉡ 24. 이해 능력 - 지수함수와 로그함수 2

함수 y=2^x^{의 그래프를} x^{축의 방향으로} m^만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수는

f(x)=2^x-m이다.

함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점은 직선 y=x 위에 있고, 교점 중 한 점의 x^좌표가 4이므로 그 교점의 좌표는 (4^, 4)^이다.

f(4)=2^4-m=4^이므로 4-m=2 따라서 m=2

28. 수학 내적 문제 해결 능력 - 공간도형과 공간벡터 17 점 H를 원점으로 하고 세 반직선 HE^>^, HG^>^, HD^>^를 각각 x^축, y^축, z축의 양의 방향으로 하는

좌표공간을 설정하면 A(3^, 0^, 1)^, G(0^, 4^, 0) 이므로 점 M^{의 좌표는} (3/2^, 2^, 1/2)^이고, 두 점 P^, Q^{의 좌표는 각각} (3^, a^, 1)^, (0^, b^, 1) 로 놓을 수 있다.

이때 AG^>=(-3^, 4^, -1)^, MP^>=(3/2^, a-2^, 1/2)^, MQ^>=(-3/2^, b-2^, 1/2)^이다.

AG^>jikgakMP^>^, AG^>jikgakMQ^>^에서 AG^>.C1MP^>=AG^>.C1MQ^>=0^이므로 AG^>.C1MP^>

=(-3)\3/2+4\(a-2)+(-1)\1/2

=-9/2+4a-8-1/2=4a-13=0 a=13/4

AG^>.C1MQ^>

=(-3)\(-3/2)+4\(b-2)+(-1)\1/2

=9/2+4b-8-1/2=4b-4=0 b=1

따라서

MP^>+MQ^>=(3 /2^, 5/4^, 2)+(-31/ /2^, -1^, 1/2)

=(0^, 1/4^, 1) 이므로

VMP^>+MQ^>V=50^2+(1/4)^^2+1^2b= rt174 ` p=17

25. 이해 능력 - 삼각함수 4

asin x+pai3 =-a/2^에서 sin x+pai3 =-1/2^이므로 x+pai

3 =7pai/6 ^또는 x+pai 3 =11pai/6 x=5pai/2 ^또는 x=9pai/2

즉, ^-AB^-=9pai/2-5pai/2=2pai

x

y y=f{x}

y=- O

P

A B

2a - 2a

삼각형 PAB의 넓이가 최대이려면 삼각형 PAB^의 높이가 최대이어야 하므로 점 P^의 y^좌표가 a^{일 때} 최대이다.

삼각형 PAB의 높이가 최대일 때 그 높이는 3/2a 이다.

삼각형 PAB의 넓이의 최댓값이 6pai^이므로 1

/

2\2pai\3/2a=6pai 따라서 a=4

30. 발견적 추론 능력(추측) - 미분법 112 y= -8xx²+1^에서

y^′= -8(x²+1)+8x\2x

(x²+1)² = 8(x-1)(x+1)(x²+1)² y^′=0^에서 x=-1(.T3x-<0)

함수 y= -8xx²+1의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x .c3 -1 .c3 0

y^' + 0 -

y ^↗ 4 ^↘ 0

직선 y=t^{가 함수} y=g(x)의 그래프와 만나는 점의 x좌표 중 가장 작은 값이 h(t)^이다.

f(x)=x^3+ax^2+bx+c(a^, b^, c^{는 상수)라 하면} 함수 g(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=0^{에서 연속이다.}

f(0)=c=0 .c3.c3㉠

(가)에서 _t lim_B4-h(t)<lim_{t B4+}h(t)=1^이고, 함수 g(x)^가 x=-1^{에서 극댓값} 4^{를 가지므로} 함수 y=f(x)^{의 그래프는 점} (1^, 4)^{를 지난다.}

g(1)=f(1)=1+a+b+c=4 .c3.c3㉡ (나)에서 lim_{t Bp+}h(t)>lim_{t Bp-}h(t)=4/3^이므로 함수 g(x)^는 x=4/3^{에서 극댓값} p^{를 갖는다.}

f^′(x)=3x^2+2ax+b^이므로

g^′(4/3)=f^′(4/3)=3\(4/3)^^2+2a\(4/3)+b

=16/3+8/3a+b=0 .c3.c3㉢ 즉, 함수 y=g(x)의 그래프의 개형은 그림과 같다.

p 4

y=Ì{x}

O

-1 1

34 x

y

㉠, ㉡, ㉢에서 a=-5^, b=8^, c=0^이므로 f(x)=x^3-5x^2+8x

p=f(4/3)=(4/3)^^3-5\(4/3)^^2+8\4/3 =64/27-80/9+32/3= 11227

따라서 27p=112

㉠, ㉡에서 b=c=5/6^, a=1/6 따라서 구의 방정식은

(x-1/6)^^2+(y-5/6)^^2+(z-5/6)^^2=25/12 이고 여기에 y=2^{를 대입하면}

(x-1/6)^2+(z-5/6)^^2=13/18

따라서 구 S^{와 평면} y=2가 만나서 생긴 도형의 넓이는 13/18pai^이다.

한편 두 평면 2x+y+z=2^, y=2^{가 이루는} 예각의 크기를 theta^{라 하면}

costheta= 1\1

22²+1²x+1²x\rt1^2 = 1rt6 =rt6 6 ^이므로 구하는 넓이는 13/18pai\ rt66 =13rt6

108 pai 따라서 p+q=121

수학 영역(나형)

1. 계산 능력 - 지수와 로그 ③

8^-1/3=(2^3)^-1/3=2^3\(-1/3)=2^-1=1/2

2. 이해 능력 - 집합과 명제 ②

AcupB={5^, 7}^이므로

모든 원소의 합은 5+7=12^이다.

6. 가형 5번과 동일 ③

10. 이해 능력 - 수열 ④

a_n=1+(n-1)\3=3n-2^이고 an+1-a_n=3^이므로

1an+13a+1anq = 3(1aⁿ⁺¹a-1a_nq) an+1-an

=1an+1a-1a_nq 따라서

sigk=1

^33` 3 1ak+1a+1akq `

=sigk=1^33`(1ak+1a-1akq)

=sigk=1^33`(rt3k+1-rt3k-2)

=(rt4-rt1)+(rt7-rt4)+(rt10-rt7)+.c3 +(rt100-rt97)

=10-1=9

3. 이해 능력 - 수열 ②

sigk=1

^5(2a_k+3b_k+5) =2sigk=1^5a_k+3sigk=1^5b_k+sigk=1^55

=2\3+3\7+5\5

=6+21+25

=52

7. 이해 능력 - 집합과 명제 ④

2a+4/a->242a\4/av=2rt8=4rt2

(단, 등호는 a=rt2^{일 때 성립한다.)} 따라서 2a+4/a^{의 최솟값은} 4rt2^이다.

11. 가형 7번과 동일 ②

4. 이해 능력 - 다항함수의 미분법 ② f^′(x)=3x^2+4x^이므로

limh=0` f(1+h)-f(1)h =f^′(1)=3+4=7

8. 이해 능력 - 함수의 극한과 연속 ① 함수 y=f(x)의 그래프는 그림과 같다.

x y

-2 O -4-3

2 3 4 1

2

y=f{x}

따라서 _x lim_Ba-`f(x)=2를 만족시키는 상수 a^{의 값은} -2^이다.

12. 이해 능력 - 다항함수의 적분법 ③ f^′(x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)^이므로

Vf′(x)V

x-1 =V(x-1)(x-2)V x-1

1<x<2^{일 때} (x-1)(x-2)<0^이므로 Vf′(x)V

x-1 =V(x-1)(x-2)V x-1

= -(x-1)(x-2)x-1 =-(x-2)=-x+2 따라서 _x lim_B1+ Vf′(x)V

x-1 =lim_{x B1+}(-x+2)=1

5. 계산 능력 - 지수와 로그 ③

log23+log49 =log23+log2^23^2

=log23+log23

=2log23

log34+log92 =log32^2+log3^22

=2log32+1/2log32

=5/2log32 따라서

(log23+log49)(log34+log92)

=2log23\5/2log32

=(2\5/2)(log23\log32)

=5

9. 이해 능력 - 통계 ②

함수 y=f(x)^{의 그래프와 직선} x=5/2 ^및 x^축, y축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 1^이므로 1

/

2\(m-1/2+m)\2+

1 /

2\(8+m-17/2+10+m-17/2)\1/2=1 2m-1/2+m/2+1/4=1

5 / 2m=5/4 따라서 m=1/2

13. 발견적 추론 능력(추측) - 함수 ③ y=rtax-a+1=rta(x-1)+1^이므로

곡선 y=rtax-a+1^은 a^{의 값에 관계없이} 점 (1^, 1)^{을 지난다.}

y=ax-a=a(x-1)^이므로 직선 y=ax-a^은 a^{의 값에 관계없이} 점 (1^, 0)^{을 지난다.}

따라서 곡선 y=rtax-a+1^{과 직선} y=ax-a^의 위치관계는 다음과 같다.

r1

para>0^{일 때}

x y

O 1

1

y=ax-a y=Âax·-·a·+·1·

r2

para<0^{일 때}

x y

O 1 1

y=ax-a y=Âax·-·a·+·1·

이상에서 곡선 y=rtax-a+1^과

직선 y=ax-a^는 a의 값에 관계없이 항상 한 점 에서 만난다.

따라서 f(-1)+f(2017)=2

18. 발견적 추론 능력(추측) - 수열의 극한 ④ 그림과 같이 정사각형 Dn

Dn+1

Cn

Cn+1

An an

an+1

An+1

Bn

Bn+1

A_nB_nC_nD_n^{의 한} 변의 길이를 a_n^이라 하면

(1/2a_n+an+1)^^2 +(1/2an+1)^^2=a_n² 에서

5an+12+4a_nan+1-3a_n²=0 an+1= -2a_n+24a_n²+x15a_n²x

5

= -2+rt195 a_n

따라서 수열 {a_n}^{은 첫째항이} a1=2^{이고 공비가} -2+rt19

5 ^{인 등비수열이다.}

a_n=2\^( -2+rt195 )^n-1

이때 정사각형 A_nB_nC_nD_n^{의 둘레의 길이는} 4a_n^이므로

limn=infL_n=sign=1^inf4a_n=8sign=1^inf^( -2+rt195 )^n-1

=8\ 1

1- -2+rt195

= 407-rt19 =4(7+rt19) 3

19. 가형 19번과 동일 ④

16. 수학 외적 문제 해결 능력 - 통계 ⑤ E(X^-)=500^, sigma(X^-)= 40rt100 `=4^이므로 X

^-^{는 정규분포} N(500^, 4^2)^{을 따른다.}

P(X^-->494) =P(Z-> 494-5004 `)

=P(Z->-3/2)

=P(Z-<3/2) 따라서 k=3/2

20. 수학 내적 문제 해결 능력 - 함수 ④ r1

par x->k^{일 때}

y= kx+1Vx-kV =kx+1

x-k =k+1+k² 1+k^2>0^{이고 점근선은} x=k^, x-ky=k^이다.

r2

par x<k^{일 때}

y= kx+1Vx-kV = kx+1

-x+k =-kx-1 x-k =-k+ -1-k^2x-k

-1-k^2<0^{이고 점근선은} x=k^, y=-k^이다.

이상에서 함수 y= kx+1Vx-kV^{의 그래프는} 그림과 같다.

x

y k>0 k<0

k

-kOk x

y

Ok k

-k

[^그림 1] [^그림 2]

[그림 1]^{에서 곡선} y= kx+1Vx-kV^{과 직선} y=n^이 한 점에서 만나도록 하는 정수 n^{의 값의 범위는} -k<n-<k

f(k)=k-(-k)=2k=10 즉, k=5

[그림 2]^{에서 곡선} y= kx+1Vx-kV^{과 직선} y=n^이 한 점에서 만나도록 하는 정수 n^{의 값의 범위는} k<n-<-k

f(k)=-k-k=-2k=10 즉, k=-5

따라서 구하는 모든 정수 k^{의 값의 곱은} (-5)\5=-25

17. 가형 15번과 동일 ②

21. 연역적 추론 능력(증명) - 다항함수의 미분법 ③ 0<a-<3^{일 때} ^-PQ^-=f(a)=-a^3+3a^2^이고, a>3^{일 때} ^-PQ^-=-f(a)=a^3-3a^2^이므로

-a^3+3a^2+a (0<a-<3) S(a)=ca^3-3a^2+a (a>3)

-3a^2+6a+1 (0<a<3) S^′(a)=c3a^2-6a+1 (a>3)

ㄱ. (참) 0<a<3^{일 때} S^′(a)=1^에서 a=2^이고, a>3^{일 때} S^′(a)=1^{을 만족시키는} a^는 존재하지 않는다.

따라서 S^′(a)=1^{을 만족시키는} a^{의 개수는} 1^이다.

ㄴ. (참) r1par0<a<3^{일 때,} S^′(a)=-3a^2+6a+1=0 에서

a= 3+2rt33 (.T30<a<3)

이때 a= 3+2rt33 ^{의 좌우에서} S^′(a)^의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 함수 S(a)^는 a= 3+2rt33 ^{에서 극대이다.}

r2

para=3^{일 때,}

a limB3- S(a)=lim_{a B3+} S(a)=S(3)=3^이므로 함수 S(a)^는 a=3^{에서 연속이다.}

한편,

-3a^2+6a+1 (0<a<3) S^′(a)=c3a^2-6a+1 (a>3) 이므로 a=3^{의 좌우에서} S^′(a)^{의 부호가} 음에서 양으로 바뀐다.

따라서 함수 S(a)^는 a=3^{에서 극소이다.}

r3

para>3^{일 때,}

S^′(a)=3a^2-6a+1=3(a-1)^2-2>0 이므로 극값을 갖지 않는다.

r1

par^, r2par^, r3par^{에서 함수} S(a)^{가 극값을 갖는} a^의 개수는 2^이다.

ㄷ. (거짓)

a limB3+ S(a)-S(3) a-3

=lim_{a B3+} (a^3-3a^2+a)-3

=lim_{a B3+} (a^2+1)=3^2+1=10a-3

a limB3- S(a)-S(3) a-3

=lim_{a B3-} (-a^3+3a^2+a)-3

=lim_{a B3-}(-a^2+1)=-3^2+1=-8a-3

이므로

lim_{a B3} S(a)-S(3)

a-3 의 값은 존재하지 않는다.

따라서 함수 S(a)^는 a=3^{에서 미분가능하지} 않다.

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[다른 풀이]

-3a^2+6a+1 (0<a<3) ㄷ. S^′(a)=c3a^2-6a+1 (a>3)

에서

a limB3-S^′(a)=-8^, _a lim_B3+S^′(a)=10 따라서 _a lim_B3-S^′(a)not=lim_{a B3+}S^′(a)^이므로 함수 S(a)^는 a=3에서 미분가능하지 않다.

15. 이해 능력 - 다항함수의 적분법 ④ f(x) =int0X`(-6t^2+6t)dt=C-2t^3+3t^2D^x_0

=-2x^3+3x^2=x^2(-2x+3) 이므로 f(x)=0^에서

x y

O 23

x=0 ^또는 x=3/2 따라서 곡선 y=f(x) 와 x^{축으로 둘러싸인} 부분의 넓이는

int0^3/2Vf(x)Vdx=int0^3/2(-2x^3+3x^2)dx

=^[-1/2x^4+x^3^]_0^3/2=-81/32+27/8

= -81+10832 =27/32

14. 이해 능력 - 확률 ③

집합 A의 공집합이 아닌 부분집합의 개수는 2⁶-1=63

택한 집합의 원소 중에서 가장 작은 원소를 a^라 하자.

r1

par a=1^{인 경우}

1^과 6이 있어야 하고 그 사이의 원소는 4개이므로 부분집합의 개수는 2^4=16^이다.

r2

par a=2^{인 경우}

2^와 5가 있어야 하고 그 사이의 원소는 2개이므로 부분집합의 개수는 2^2=4^이다.

r3

par a=3^{인 경우}

3^과 4가 있어야 하고 그 사이의 원소는 없으므로 부분집합의 개수는 1^이다.

r1

par^, r2par^, r3par에 의하여 구하는 확률은 21/63=1/3

22. 계산 능력 - 순열과 조합 64

4PAI3=4^3=64

23. 계산 능력 - 다항함수의 적분법 14 int-1!`{f^′(x)+2x}dx =Cf(x)+x^2D^1_-_1

=f(1)-f(-1)

=8-(-6)

=14

24. 이해 능력 - 함수의 극한과 연속 7 f(1/2)=limn=inf`(1/2)ⁿ⁺²+6

(1/2)ⁿ+2 `

= 0+60+2 `=3 f(2)=limn=inf` 2ⁿ⁺²+6

2ⁿ+2 `

=limn=inf`2²+ 62ⁿ 1+ 22ⁿ``

= 2²+0 1+0 =4 이므로

f(1/2)+f(2)=3+4=7

28. 이해 능력 - 확률 19

색깔이 같은 공을 색이 다른 공으로 생각하면 전체 경우의 수는 6^!이다.

r1

par A^, B가 노란색 공을 뽑을 확률

A^, B가 노란색 공을 가지는 경우의 수가 2^!, 나머지 네 사람이 나머지 공을 가지는 경우의 수가 4^{!이므로 확률은} 2^!\4^!

6^! =1/15 r2

par A^, B가 파란색 공을 뽑을 확률

A^, B가 파란색 공을 가지는 경우의 수가

3P2=6, 나머지 네 사람이 나머지 공을 가지는 경우의 수가 4^{!이므로 확률은} 6\4^!

6^! =1/5 r1

par^, r2par에서 구하는 확률은 1

/

15+1/5= 1+315 =4/15 따라서 p+q=15+4=19

30. 수학 내적 문제 해결 능력 - 함수의 극한과 연속 3 g(x)=Vax^2-3xV^{라 하면} a>0^이므로

ax^2-3x (x<0 ^또는 x>3/a) g(x)=^k

-ax^2+3x (0-<x-<3/a)

직선 y=ax+t^가 t^{의 값이} -z^{부터 증가하여} 곡선 y=Vax^2-3xV와 처음으로 만날 때의 t^의 값을 t1이라 하자.

이때 함수 f(t)^는 t=t1에서 항상 불연속이므로 함수 f(t)^{의 불연속인 실수} t^{의 개수가} 1^이려면

0 (t<t1) f(t)=^k1 (t=t1) 2 (t>t1) 이어야 한다.

따라서 그림과 같이 곡선 y=-ax^2+3x^의 x=0에서의 접선의 기울기가 a ^{이하이어야 한다.}

x y y=ax+t y=|ax@-3x|

O

y^′=-2ax+3^에서 x=0^{일 때} y^′=3^이므로 a->3

따라서 a^{의 최솟값은} 3^이다.

25. 이해 능력 - 함수 13

f^-1@ g^-1@ h=f NO(g^@ f)^-1@ h=f NOh=(g@ f)@ f NOh=g@ (f@ f)

(f@ f)(x)=f(f(x))=2(2x)=4x^이므로 h(x)=g((f@ f)(x))=g(4x)=4x+1 따라서 h(3)=12+1=13

26. 이해 능력 - 집합과 명제 11

VxV<10NO-10<x<10 Vx-1V<aNO-a+1<x<a+1

이므로 명제 ‘VxV<10^이면 Vx-1V<a^{이다.’가} 참이려면

-a+1-<-10^, a+1->10이 성립하여야 한다.

따라서 a->11^{이므로 양수} a^{의 최솟값은} 11^이다.

29. 이해 능력 - 다항함수의 미분법 28 lim_{x B2} f(x)-1

x^2-4 =-1^에서

x`C`2^{일 때, (분모)}`C`0^{이므로 (분자)}`C`0^이어야 한다.

즉, lim_{x B2}`f(x)=1^{이어야 한다.}

그런데 다항함수 f(x)^{는 연속함수이므로} f(2)=1

이때

lim_{x B2} f(x)-1 x²-4

=lim_{x B2} f(x)-f(2)

x-2 \lim_{x B2} 1 x+2

=f^′(2)\ 12+2 =-1 이므로

f^′(2)=-4

y=(x+1)f(x)^에서 x=2^{일 때} y=(2+1)f(2)=3\1=3^이므로 a=3 또, y=(x+1)f(x)^에서

y^′=f(x)+(x+1)f^′(x)^이므로

곡선 y=(x+1)f(x) ^{위의 점} (2^, 3)^에서의 접선의 기울기는

f(2)+(2+1)f^′(2) =1+3\(-4)

=-11 이므로 접선의 방정식은 y-3=-11(x-2) 즉, y=-11x+25

따라서 y^절편은 b=25^이므로 a+b=3+25=28

27. 발견적 추론 능력(추측) - 수열 40 S1=2+(-1)¹=1=a1

S2=a1+a2=2+(-1)^2=3^에서 a2=2 S3=S2+a3=2+(-1)^3=1^에서 a3=-2 S4=S3+a4=2+(-1)^4=3^에서 a4=2 S5=S4+a5=2+(-1)^5=1^에서 a5=-2

⋮ 이므로 sigk=1

^10(a2k-a2k+1)

=10{2-(-2)}

=10\4=40