Ⅰ 수와 연산

Ⅰ _{수와 연산}

1.

2.

고대 이집트와 바빌로니아 문명의 기록에서 볼 수 있듯이 유리수는 인류 문명의 역사와 함께했다. 피타고라스학파는 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 유리수가 아님 을 알아내어 무리수의 존재를 발견하였다. 이로부터 수는 실수 까지 확장되었다.

이 단원에서는 무리수와 실수의 뜻을 이해하고, 근호를 포 함한 식의 사칙계산 방법을 알아본다.

실생활에서 유리수가 아닌 수를 사용하는 예를 찾아보자.

항공 우주 공학자 - 56쪽 영화에서 나오는 행성 또는 천체의 탈출 속력을 구해 보자.

이 단원의 학습한 내용

내용

학습할 내용

직업 체험

생생

・ 집합 (고1)

・ 명제 (고1)

・ 제곱근과 실수

・ 근호를 포함한 식의 계산

・소인수분해

・정수와 유리수

・ 유리수와 순환소수

준비 학습

다음을 계산하시오.

⑴ 3€ ⑵ (-3)€

⑶ 0.2€ ⑷ {-;5!;}€

1

5, -;4#;,

0.46, 0,

;2¶0;

0.3⁴

4

2

1

점검하면서 드는 생각이나 느낌을 표현해 보자.

2

시작하기 전에

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ (3a-4b)+(2a+b)

⑵ (2a+3b)-(-5a+b)

⑶ 3ab_(-4a€b)

⑷ -8a‹b€/2ab€

3

⑴ ⑵

3`cm 4`cm

x`cm

x`cm 13`cm 5`cm

4

수학

이전에 배운 숨어 있는 학습 요소를 떠올려 봅시

다.

1 ^{제곱근과 실수}

^{바빌로니아 점토판}

바빌로니아에서 발견된 오른쪽 점토판에는 대각 선이 그려진 정사각형에 쐐기 문자로 여러 개의 수가 새겨져 있다. 그 수들은 정사각형의 한 변의 길이, 정사각형의 한 변의 길이 에 대한 대각선의 길이의 비, 정사각형 의 대각선의 길이임이 밝혀졌다.

(자료: 이광연, “피타고라스가 보여 주는 조화로운 세계”)

정사각형의 한 변의 길이에 대한 대각선의 길이의 비의 정확한 값은 얼마일까?

정사각형의 한 변의 길이에 대한 대각선의 길이의 비의 정확한 값은 얼마일까? 20쪽

바빌로니아에서 발견된 오른쪽 점토판에는 대각

생각 열기

제곱하여 9가 되는 수는 3과 -3이 있다. 즉, 3€=9, (-3)€=9

이다.

일반적으로 음이 아닌 수 a에 대하여 제곱하여 a가 되는 수, 즉 x€=a

인 수 x를 a의 제곱근이라고 한다.

제곱근이란 무엇일까?

•제곱근의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.

제곱근의 뜻과 성질

1

➊ 오른쪽 표의 빈칸에 알맞은 수를 써넣어 보자.

➋ 직각삼각형 ㈎의 빗변의 길이를 x라고 할 때, 다음 안에 알맞은 수를 써넣어 보자.

x€=

직각삼각형 ㈎ ㈏

(빗변의 길이)€ 25

빗변의 길이 x

a의 제곱근 x€=a

보기 4의 제곱근은 2와 -2이다.

보기 5의 양의 제곱근은 '5 , 음의 제곱근은 -'5 이다. 즉, 5의 제곱근은 +'5 로 나타낼 수 있다.

'a 를 ‘제곱근 a’ 또는 ‘루트 a’라고

읽는다.

양수나 음수를 제곱하면 항상 양수이므로 음수의 제곱근은 생각하지 않는다.

또, 제곱하여 0이 되는 수는 0뿐이므로 0의 제곱근은 0이다.

양수의 제곱근은 양수와 음수 2개가 있고, 그 두 수의 절댓값은 같다.

양수 a의 제곱근 중에서 양수인 것을 양의 제곱근, 음수인 것을 음의 제곱근이라 하고, 기호 ' 를 사용하여 각각

'a , -'a

와 같이 나타낸다. 이때, 기호 ' 를 근호라고 한다.

또, 'a 와 -'a 를 한꺼번에 +'a 로 나타내기도 한다.

-'a'a ^제곱 a 제곱근

여러 가지 수의 제곱근을 연구하였다.

봄벨리(Bombelli, Raphael, 1526~1572)

다음 수의 제곱근을 근호를 사용하여 나타내시오.

⑴ 3 ⑵ 7 ⑶ ;3@; ⑷ 0.1

2

다음 도형에서 x의 값을 구하시오.

⑴ ⑵

x`cm

15`cm@ 8`cm

5`cm x`cm

3

다음 수의 제곱근을 구하시오.

⑴ 64 ⑵ 121 ⑶ ;2!5^; ⑷ 0.81

1

배우고 익히는 수학

독일의 수학자 루돌프(Rudolff, C., 1499~1543)는 1525년에 뿌리를 뜻하는 radix의 첫 글자 r에서 제곱근 기호 를 고안하여 사 용하였다. 하지만 루돌프의 기호를 사용한 x+1은 x+1의 양의 제 곱근인지, x의 양의 제곱근에 1을 더한 것인지가 분명하지 않았다.

그 후에 프랑스의 수학자 데카르트(Descartes, R., 1596~1650) 는 1637년에 에 가로줄을 그어 현재 사용하고 있는 제곱근 기호 ' 를 사용하였다. 데카르트의 기호를 사용하면 'ßx+1 , 'x+1과 같 이 분명히 구별할 수 있다.

(자료: Cajori, F., “A History of Mathematical Notations: Vol I”)

근호의 유래 ^{태도 및 실천}

▲ 루돌프

제곱근에는 어떤 성질이 있을까?

생각 열기

다음을 계산하시오.

⑴ ('ß11 )€+"ƒ(-9)€ ⑵ -'ß169 +'ß225 예 제 1

풀이 ⑴ ('ß11 )€+"ƒ(-9)€ =11+9=20

⑵ -'ß169 +'ß225 =-"∂13€+"∂15€=-13+15=2 ^{⑴ 20 ⑵ 2} '5 와 -'5 는 5의 제곱근이므로

('5 )€=5, (-'5 )€=5 이다.

한편, 6€=36, (-6)€=36이고, 36의 양의 제곱근은 6이므로

"∂6€='ß36 =6, "ƒ(-6)€='ß36 =6 이다.

제곱근의 성질 a>0일 때

1 ('a )€=a, (-'a )€=a 2 "∂a€ =a, "ƒ(-a)€ =a

이상에서 다음 성질이 성립함을 알 수 있다.

보기 1 ('ß10 )€=10, (-'ß10 )€=10 2 Ƙ{;7!;}€=;7!;, Ƙ{-;7!;}€=;7!;

➊ 위의 대화에서 안에 알맞은 수를 써넣어 보자.

➋ 'ß25 =

"ƒ

민범

다영

민수

민정

25의 양의 제곱근은 5잖아.

그런데 25의 양의 제곱근을 근호를 사용하여 나타내면

'ß25 가 되네.

아하! 그럼 'ß25=

가 성립하겠네! 그렇지.

다음을 계산하시오.

⑴ (-'ß12 )€+'ß81 ⑵ ('8 )€-"ƒ(-2)€

⑶ (-'6 )€_"ƒ(-3)€ ⑷ "ƒ(-4)€/'ß256

2

다음 중 그 값이 같은 것끼리 짝 지으시오.

('5 )€, -"∂5€, 'ß25 , "ƒ(-5)€, -"ƒ(-5)€, -'ß25

1

배우고 익히는 수학

다음 네 학생의 제곱근에 대한 설명 중 옳지 않은 것을 모두 찾아 바르게 고치시오.

3

'ß36 의 제곱근

+'6 'ß81 =+9 (+'7 )€=7 "ƒ(-2)€ =-2

윤호 지아 하은 준석

‘제곱근(square root)의 날’은 연도의 마지막 두 자리 수의 양의 제곱근을 월과 일로 하는 날을 말한다. 예를 들어, 2009년의 마지막 두 자리 수는 9이고 '9=3이므로 2009년 3월 3일은

‘제곱근의 날’이 된다. 또, 2009년 다음의 ‘제곱근의 날’은 2016년 4월 4일이며, 21세기 마지막

‘제곱근의 날’은 2081년 9월 9일이다.

‘제곱근의 날’은 미국의 수학 교사인 고◯◯이 1981년 9월 9일에 처음 이날을 기념하면서 시작되었다.

사람들은 무나 당근과 같은 뿌리(root)채소를 정사각형 (square)인 면이 나오도록 썰어 먹으며 이날을 기념하고 즐긴다.

(자료: “서울경제”, 2016년 4월 5일)

제곱근의 날 ^{태도 및 실천}

일은

생각 열기

제곱근의 크기는 어떻게 비교할까?

➊ 두 정사각형 모양의 색종이의 한 변의 길이를 각각 구해 보자.

➋ 위의 ➊에서 구한 두 정사각형 모양의 색종이의 한 변의 길이를 서로 비교 해 보자.

생각 열기에서 두 정사각형 모양의 색종이의 넓이는 각각 2 cm€, 5 cm€이므로 그 한 변의 길이는 각각 '2 cm, '5 cm이다. 그런데 정사각형 모양의 색종이의 넓이가 넓을수록 그 한 변의 길이도 길다.

따라서 2<5이면 '2 <'5 임을 알 수 있다.

제곱근의 대소 관계 두 양수 a, b에 대하여

1 a<b이면 'a <'b 2 'a <'b 이면 a<b

일반적으로 다음이 성립한다.

한편, 정사각형 모양의 색종이의 한 변의 길이가 길수록 그 넓이도 넓으므로 '2 <'5 이면 2<5임을 알 수 있다.

보기 1 5<8이므로 '5 <'8 2 ;6!;>;7!;이므로 æ;6!;>æ;7!;

2`cm@

5`cm@

다음 두 수의 대소를 비교하시오.

⑴ -'ß10, -3 ⑵ 0.1, 'ß0.1

예 제 2

풀이 ⑴ 3="∂3€ ='9

또, 10>9이므로 'ß10 >'9 즉, 'ß10 >3이므로 -'ß10 <-3

⑵ 0.1="ƒ0.1€ ='ß0.01

또, 0.01<0.1이므로 'ß0.01 <'ß0.1 따라서 0.1<'ß0.1

⑴ -'ß10 <-3 ⑵ 0.1<'ß0.1

➋ 위의

➋ 위의

➋

해 보자.

그 한 변의 길이는 각각

넓이가 넓을수록 그 한 변의 길이도 길다.

세 수 'ß50 , 7, 'ß51 의 대소를 비교하시오.

2

다음 두 수의 대소를 비교하시오.

⑴ 'ß15 , 'ß20 ⑵ -'ß17 , -'ß23 ⑶ 4, 'ß15 ⑷ -æ;5#; , -0.5

1

배우고 익히는 수학

인원 2~4명

카드 만들기

➊ 크기가 같은 카드를 31장 준비한다.

➋ 카드에 -'ß15 , -'ß14 , y, 0, y, 'ß14 , 'ß15 를 하나씩 적고 카드를 섞는다.

규칙

➊ 모둠원 중 1명이 카드를 한 장 뽑은 후 카드에 적힌 수를 읽는다.

➋ 각자의 놀이판의 빈칸 중 한 곳에 위 ➊의 수를 적는다. 이때, 작은 수부터 크기순으로 연속된 수의 개수에 따라 점수를 획득 하므로 적절한 곳에 수를 써넣는다.

➌ 위의 ➊, ➋를 12번 반복 시행하여 각자의 놀이판을 모두 채우 면 놀이는 끝나고, 각자의 점수를 계산한다.

점수 계산 예시

놀이 결과가 오른쪽 그림과 같을 때, 획득하는 점수는 다음과 같다.

-3, -'6 , 0 3€=9(점)

-'3 , -1, '3 , '5 , 3 5€=25(점) -'7 , -2, 'ß10 3€=9(점)

따라서 획득하는 점수는 9+25+9=43(점)

모둠별로 다음 규칙에 따라 제곱근의 대소 관계 놀이를 해 보자.

문제 해결 의사소통 수학

놀이

와글 ^와글 와글 ^와글

-1 '3 '5

3 2 -'7 -2 'ß10

-'3 0 -'6 따라서 획득하는 점수는 9+25+9=43(점) -3

생각 열기

➊ 자로 측정한 '2 의 값을 말해 보자.

➋ 계산기를 사용하여 '2 를 소수로 나타내어 보자.

➌ 위 ➋의 결과에서 순환마디를 찾을 수 있는지 말 해 보자.

무리수는 어떤 수일까?

•무리수의 개념을 이해한다.

무리수와 실수

2

제곱근의 대소 관계를 이용하여 '2 를 다음과 같이 소수로 나타내어 보자.

이와 같은 방법으로 계속하면 '2 =1.414213562373095 y

와 같이 되며 순환소수가 아닌 무한소수가 됨이 알려져 있다.

준비물 계산기

3 2

0 1

2 1 1.4 1.5

1.5 1.41.41 1.42

1.42 1.411.414 1.415 1 1€=1, 2€=4에서 1€<2<2€이므로

"∂1€ <'2 <"∂2€

1<'2 <2

2 1.4€=1.96, 1.5€=2.25이므로 1.4€<2<1.5€

1.4<'2<1.5

3 1.41€=1.9881, 1.42€=2.0164이므로 1.41€<2<1.42€

1.41<'2 <1.42

4 1.414€=1.999396, 1.415€=2.002225이므로 1.414€<2<1.415€

1.414<'2 <1.415

또, '3, '5 등도 다음과 같이 순환소수가 아닌 무한소수가 됨이 알려져 있다.

'3 =1.732050807568877 … '5 =2.236067977499789 …

이와 같이 어떤 수를 소수로 나타낼 때, 순환소수가 아닌 무한소수로 나타내어지는 수를 무리수라고 한다.

참고 앞으로 수라고 하면 실수를 뜻한다.

정수가 아닌 유리수는 유한소수나 순환소수로 나타낼 수 있다. 거꾸로 유한소수나 순 환소수는 분수로 나타낼 수 있으므로 유리수이다. 그런데 무리수는 유한소수나 순환소 수로 나타낼 수 없으므로 유리수가 아니다.

근호를 사용하여 나타낸 수 중에는 유리수도 있고 무리수도 있다.

예를 들어,

'9 ="∂3€=3, æç;1¡6; =Ƙ{;4!;}€=;4!;, -'ß0.36 =-"ƒ0.6€ =-0.6 과 같이 근호 안의 수가 어떤 유리수의 제곱이면 그 수는 유리수이다.

그러나

'5 , æ;3@; , -'ß0.7

과 같이 근호 안의 수가 어떤 유리수의 제곱이 아니면 그 수는 무리수이다.

보기 다음의 각 수는 순환소수가 아닌 무한소수이므로 무리수이다.

-'2 =-1.414213562373095 … p=3.141592653589793 … 1+'3 =2.732050807568877 …

유리수와 무리수를 통틀어 실수라 하고, 실수를 분류하면 다음과 같다.

양의 정수(자연수) 1, 2, 3, … 정수 0

유리수 음의 정수 -1, -2, -3, … 실수 정수가 아닌 유리수 ;2!;, -0.23, 4.7, …

무리수 p, -'2 , 1+'3 , …

다음 수를 유리수와 무리수로 분류하시오.

⒧ 'ß25 ⑵ -'6 ⑶ 2+'7

⑷ ;12&1; ⑸ 0.26⁴⁴ ⑹ 'ß0.04

1

다음 중 옳은 것을 고르시오.

㉠ 무한소수는 모두 무리수이다.

㉡ 0은 유리수도 아니고 무리수도 아니다.

㉢ 유리수와 무리수를 통틀어 실수라고 한다.

㉣ 근호를 사용하여 나타낸 수는 모두 무리수이다.

2

배우고 익히는 수학

문제 해결

정사각형의 한 변의 길이에 대한 대각선의 길이의 비의 정확한 값은 얼마일까?

기원전 약 1800년 무렵의 바빌로니아인들이 남겨 놓은 점토판에는 정사각형 모양 위에 쐐기 문자로 여러 가지 수가 적혀 있다.

오른쪽 화면의 그림에서 30은 정사각형의 한 변의 길이를 나타낸다.

대각선 위의 1, 24, 51, 10을 현대의 식으로 나타내면 1+;6@0$;+ 5160€ +10

60‹ =1.414212

496⁴ 이고, 이것은 '2 를 어림한 값이다.

또, 그 아래 42, 25, 35를 현대의 식으로 나타내면 42+ 2560 + 35

60€ =42.42638

4

이고, 이것은 한 변의 길이가 30인 정사각형의 대각선의 길이를 어림한 값이다.

(자료: 이광연, “피타고라스가 보여 주는 조화로운 세계”)

정사각형의 한 변의 길이에 대한 대각선의 길이의 비의 정확한 값은 얼마일까?

오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정사각형에 대하여 피타고라스 정리를 이 용하여 정사각형의 대각선의 길이를 구해 보자.

또, 닮음을 이용하여 일반적인 정사각형의 한 변의 길이에 대한 대각선의 길이의 비를 말해 보자.

1 1

년 무렵의 바빌로니아인들이 남겨 놓은 점토판에는 정사각형

인 정사각형의 대각선의 길이를 어림한 값이다.

자료: 이광연, “피타고라스가 보여 주는 조화로운 세계”)

11쪽

롤러코스터의 가장 낮은 지점이 지면과 일치한다고 할 때, 지면으로부터 높이가 h m인 곳에서 내려오는 차량의

최대 속력은 'ß'ß'19'19' .6h m/s

바다의 수심을 h m라고 할 때, 지진 해일의 속력은 'ß'ß''9' .' .' 8h m/s

맑게 갠 날, 지면으로부터 높이가 h m인 곳에서 사람의 눈으로 볼 수 있는 곳까지의 거리는 3600_'''^hm 수학

활동

와글 ^와글 와글 ^와글

우리 생활에서 무리수를 이용하는 예는 무엇이 있을까? 생활 속에 나타나는 아래 4가지 상황 중 하나를 골 라 다음 보기와 같이 써 보자.

태도 및 실천 창의*융합

계산:

차와 도로의 마찰 계수가 F이고, 타이어가 미끄러진 자국의 길이가 x m일 때, 제동 장치를

밟기 직전의 속력은 'ß'ß'254'254' xF km/h

가족들과 함께 재난 안전 체험장에 갔다. 체험장에서

분 정도 화재 대피 체험, 태풍 체험, 지진 체험을 하고 안전 교육을 받았다. 지진이나 해저 화산 폭발로 발생하는 지진 해일의 위력을 영상으로 보니 더는 지진 안전지대가 아닌 우리나라도 이에 대비해야 한다는 생각이 들었다. 따라서 이러한 체험을 통해 안전 교육이 꼭 필요하다고 생각했다.

계산: 바다의 수심을

라고 할 때, 지진 해일의 속력은?

"ƒ9.8h ="ƒ9.8_30 ="ƒ294 (m/s)

보기

생각 열기

➊ OA’의 길이를 구해 보자.

➋ 원점 O를 중심으로 하고 OA’를 반지름으로 하는 원을 그릴 때, 원이 수직선과 만나는 두 점 P, Q에 대응하는 수를 각각 구해 보자.

0 1 2 3 -1

-2

-3P Q

A O

한 유리수는 수직선 위의 한 점에 대응시킬 수 있다. 이제 무리수를 수직선 위의 점에 대응시켜 보자.

무리수를 수직선 위에 어떻게 나타낼까?

•실수의 대소 관계를 판단할 수 있다.

실수의 대소 관계

3

일반적으로 수직선은 유리수와 무리수, 즉 실수에 대응하는 점들로 완전히 메울 수 있음이 알려져 있다. 따라서 한 실수는 수직선 위의 한 점에 대응하고, 수직선 위의 한 점에는 한 실수가 대응한다.

이때, 수직선 위에서 원점의 오른쪽에는 양의 실수가 대응하고, 왼쪽에는 음의 실수 가 대응한다.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-21

- 3-11 -Â3 Â7

오른쪽 그림과 같이 모눈종이 위에 그린 직각삼각형 OAB 의 빗변의 길이는 '2 이다. 따라서 원점 O를 중심으로 하고 OA’를 반지름으로 하는 원을 그릴 때, 원이 수직선과 만나 는 두 점 P, Q에 대응하는 수는 각각 -'2 , '2 이다.

이와 같이 한 무리수는 수직선 위의 한 점에 대응시킬 수 있다.

0 1 -1

-2 2

Â2 A O Q P -Â2 B

Â2

보기 오른쪽 그림에서

BP’=AB’="ƒ2€+1€='5

이때, 점 B에 대응하는 수는 -1이므로 점 P에 대응하는 수는

-1-'5 이다. -4 -3-2-1 0

P A

B -1-Â5

다음 그림에서 수직선 위에 있는 두 직각삼각형의 빗변을 반지름으로 하는 원을 그려 수직선과 만나는 점을 각각 A, B, C, D라고 할 때, 네 점 A, B, C, D에 대응하는 수를 각각 구하시오.

-3 -4 -5 -6

-7 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

C D B A

1

배우고 익히는 수학

오른쪽 수직선 위에 -2+'8 , 4-'8 에 대응하는 점을 각각 나타내시오.

2

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

수학

활동

와글 ^와글 와글 ^와글

자와 컴퍼스를 사용하여 '2, '3 을 수직선 위에 나타내는 방법은 다음과 같다.

❶ 한 변의 길이가 1인 정사각형 을 그리고 컴퍼스로 대각선을 옮겨 수직선 위에 표시한다.

0 1 Â2

Â2

❷ 가로의 길이가 '2, 세로 의 길이가 1인 직사각형 을 그린다.

0 1 Â2

Â2

❸

2

0 1 Â2 Â3

Â2 Â3

위의 방법을 이용하여 모눈이 있는 수직선 위에 '5 , '6 , '7 에 대응하는 점을 각각 나타내어 보자. 또, -'5 , -'6 , -'7 에 대응하는 점을 각각 나타내어 보자.

-3

-4 -2 -1 0 1 2 3 4

의사소통 문제 해결

에서 그린 직사각형의

1 2 3

실수의 대소는 어떻게 비교할까?

두 실수의 대소 관계는 유리수에서와 마찬가지로 수직선 위에서 실수 b에 대응하는 점이 실수 a에 대응하는 점보다 오른쪽에 있으면 b가 a보다 크다.

즉, a<b이다.

실수의 대소 관계

1 양수는 0보다 크고, 음수는 0보다 작다.

2 양수는 음수보다 크다.

3 두 양수에서는 절댓값이 큰 수가 크다.

4 두 음수에서는 절댓값이 큰 수가 작다.

일반적으로 실수의 대소 관계에서도 유리수에서와 같이 다음이 성립한다.

참고 실수의 절댓값도 유리수에서와 마찬가지로 수직선에서 원점과 그 실수가 대응하는 점 사이의 거리이다.

|'2 |=|-'2 |='2

다음 두 실수의 대소를 비교하시오.

⑴ -5, -2-'5 ⑵ -'5 , -3 예 제

풀이 ⑴ 두 수 -5, -2-'5 를 수직선 위에 나타내면 오른쪽 그림 과 같다. 이때, 수직선에서 -2-'5 에 대응하는 점이 -5 에 대응하는 점보다 오른쪽에 있으므로

-5<-2-'5

⑵ |-'5 |='5 , |-3|=3이므로 '5 <3

즉, -3의 절댓값이 -'5 의 절댓값보다 크므로 -'5 >-3

⑴ -5<-2-'5 ⑵ -'5 >-3 -5 -4 -3 -2 -1

-2-Â5

예를 들어, -0.5, '2 , -'2 , -1-'3 , '5 를 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다.

-3 -2 -1 0 1 2 3

Â2 Â5

-0.5 -Â2

-1-Â3

위의 수직선에서 오른쪽에 있는 수가 왼쪽에 있는 수보다 크므로 -1-'3 <-'2 <-0.5<'2 <'5

임을 알 수 있다.

다음 수직선 위의 네 점 A, B, C, D는 각각 오른쪽 수와 대응한다. 각 점에 대응하는 수를 말하고, 대소를 비교하 여 부등호를 써서 나타내시오.

-3 -2 -1 0 1 2 3

C D

A B

1

배우고 익히는 수학

오른쪽 수직선을 이용하여 다음 두 실수의 대소를 비교하시오.

⑴ -'ß10 +6, 2

⑵ -4+'2 , -2+'5

2

-1 -2 -3 -4 -5

-6 0 1 2 3 4 5 6 7

다음 중 -1과 '5 사이의 수를 모두 고르시오.

-;2#;, 1-'2 , 2, -1+'2 , 4-'2

3

-;2#;, -'5, '3, -1

피타고라스(Pythagoras, B.C. 569?~B.C.

475?)와 그 제자들은 우주를 이루는 근본은 수라고 생각하였다. 특히, 정수와 정수의 비로 표현할 수 있는 수, 즉 유리수가 수의 전부이고 이것이 진리라 고 믿었다. 그러나 그들은 '2 와 같이 유리수가 아닌 수가 존재한다는 사실을 발견하여 만물의 척도라고 믿었던 유리수에 대한 믿음이 무너지고 말았다.

전해 내려오는 일화에 따르면 피타고라스학파는 이와

같은 충격적인 사실을 비밀로 하려고 이 비밀을 누설한 히파수스 (Hippasus, B.C. 550?~B.C. 500?)를 추방하였다고 한다.

(자료: Eves, H.(이우영*신항균 역), “수학사”)

무리수! 이제는 말할 수 있다 ^{태도 및 실천}

전해 내려오는 일화에 따르면 피타고라스학파는 이와

같은 충격적인 사실을 비밀로 하려고 이 비밀을 누설한 히파수스 를 추방하였다고 한다.

그래도 무리수는 존재한다.

무리수의 존재를 누설한 히파수스를

추방하라!

교과 역량 더하기

집중!

다음 순서에 따라 a>3일 때, "ƒ(3+a)€-"ƒ(3-a)€ 을 간단히 해 보자.

1단계 3+a, 3-a의 값의 범위를 각각 구해 보자.

2단계 "ƒ(3+a)€, "ƒ(3-a)€ 을 각각 간단히 해 보자.

3단계 "ƒ(3+a)€-"ƒ(3-a)€ 을 간단히 해 보자.

제곱근의 성질의 활용

1

추론

다음은 자연수 5를 이용하여 '5 를 수직선 위에 나타내는 방법이다.

❶ 수직선 위에 5와 -1을 지름의 양 끝으 로 하는 반원을 그린다.

❷ 원점 O를 지나고 수직선과 수직인 직선 이 반원과 만나는 점을 A라고 한다.

❸ 점 O를 중심으로 하고 OA’를 반지름으 로 하는 원이 수직선과 만나는 점을 P라

고 한다. ^{-1 0 1 2 3 4 5}

P O

A

(1) 점 P에 대응하는 수가 '5 임을 위의 그림을 이용하여 설명해 보자.

(2) 위와 같은 방법으로 '7 을 아래 수직선 위에 나타내어 보자.

수직선 위에 무리수 나타내기

2

문제 해결 의사소통

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

문제 해결 추론 창의 융합 의사소통 정보 처리 태도 및 실천

제곱근을 이용한 시 짓기

3

창의・융합 태도 및 실천

활동 3 친구들과 같이 시를 읽고 느낌을 발표해 보자.

활동 2 위의 활동 1 에서 조사한 제곱근의 정수 부분부터 소수점 아래의 숫자 배열을 이용하여 시를 지어 보자.

활동 1 인터넷 등을 이용하여 '3 , '5 , '6 , y의 어림한 값을 조사해 보자.

나의 꿈

난 꿈이 있어

그 꿈을 위해

항상 날 소중히 생각하면서 최선을 다하여

살지

1 4

4

3 5 6 1

1 2

2

다음은 어느 중학생이 '2 의 정수 부분부터 소수점 아래 9번째 자리까지의 숫자 배열을 이용하여 지은 시이다.

다음 두 수의 대소를 비교하시오.

⑴ 6, 'ß37 ⑵ ;5!;, æ;5!;

⑶ -'ß0.3, -0.3 ⑷ -4, -'ß17

3

제곱근과 실수 배운 내용을 다음과 같이 정리해 보자.

다음을 계산하시오.

⑴ "∂3€-"ƒ(-2)€ ⑵ -'ß1.44+'ß0.04

⑶ Ƙ{-;3@;}€ _æç;4¡9; ⑷ (-'ß12 )€/('3 )€

2

제곱근의 뜻과 성질

무리수와 실수 실수의 대소 관계 제곱근

a>0일 때 음이 아닌 수a에 대하여 제곱하여a가 되는 수

x²=a 양의 제곱근: a ,음의 제곱근:^{- a}

9의 제곱근:3, -3 3의 제곱근: 3, - 3

제곱근의 성질

제곱근의 대소 관계

a, b가 양수일 때 이면 이면

중단원 마무리

스스로 쓱쓱 ^{중단원 마무리} 스스로 쓱쓱

다음 수의 제곱근을 구하시오.

⑴ 6 ⑵ 81 ⑶ ;5&; ⑷ 0.64

기

1

초

다음 보기 중 옳은 것을 모두 고르시오.

㉠ 7의 제곱근은 +'7 이다.

㉡ 'ß25 의 양의 제곱근은 5이다.

㉢ -'5 는 5의 음의 제곱근이다.

㉣ 16의 제곱근과 'ß16 은 같다.

㉤ 0.4⁴의 제곱근은 +;3@;이다.

보기

5

기본

다음 보기 중 무리수를 모두 찾으시오.

'5 , 'ß169 , 'ß0.9 , 4-'ß25 , p

보기

4

"∂2›/(-'3 )€-"ƒ(-3)€_{æ;3@; }€을 계산하시오.

6

1.^{제곱근과 실수}

a-b>0, ab<0일 때, 다음 식을 간단히 하시오.

⑴ "∂a€+"∂b€ ⑵ "ƒ(-b)€-"∂b€

7

-3<x<2일 때, "ƒ(x+3)€+"ƒ(x-2)€ 을 간단히 하시오.

8

다음 그림에서 수직선 위에 있는 세 사각형은 모두 한 변의 길이가 1인 정사각형이다. 각 정사각형의 대각선 을 반지름으로 하는 원을 그려 수직선과 만나는 점을 각각 A, B, C, D, E라고 할 때, -2+'2 에 대응하는 점을 말하시오.

-3 -2 -1 0 1 2 3

B

A C DE

11

다음 수를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, 네 번째에 오는 수를 말하시오.

-2, 'ß24 , Æ ;2!; , -'5 , 'ß12 , 5

9

중단원 마무리 중단원 마무리 중단원 마무리

스스로

쓱쓱 ^{중단원 마무리 중단원 마무리} 스스로

쓱쓱

다음 보기 중 오른쪽 그림의 ㈎에 해당하는 수를 모 두 고르시오.

㉠ -'3 ㉡ -'ß36 ㉢ 'ß12

㉣ 'ß1.69 ㉤ 'ß121 ㉥ 0.2⁴

보기

10

정수 0

유리수 음의 정수

실수 정수가 아닌 유리수

㈎

0<a<1일 때, Ƙ{a+;a!;}€ -Ƙ{a-;a!;}€ 을 간단히 하시오.

12

발전

æ√²⁴⁰x 이 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 x의 값을 구하시오.

13

다음 그림에서 수직선 위의 네 점 A, B, C, D에 대응하는 수를 각각 말하고, 각 수의 대소를 비교하여 부등 호를 써서 나타내시오.

-1 0 1 2 3

1 C

A B D

15

두 실수 3-'6 , 1+'ß10 사이에 있는 정수를 모두 구하시오.

밑줄 친 부분의 수를 바꾸어 문제를 만들고 친구와 바꾸어 풀어 보자.

14

1.^{제곱근과 실수}

1 2 3 4 5 6 7 8

13쪽 1, 2 15쪽 2 17쪽 1 20쪽 1 13쪽 1, 2 15쪽 2 14~15쪽 14~15쪽 복습이 필요한 문항은 아래 교과서 쪽에서 찾아 확인해 봅시다.

문항 번호 되돌아보기

9 10 11 12 13 14 15

17쪽 1, 2 18~19쪽 23쪽 1 14~15쪽 18~19쪽 25쪽 3 23쪽 1 24~25쪽 문항 번호

되돌아보기

직접 해 보기 홍길주의 제곱근 풀이법을 이용하여 25의 양의 제곱근을 구해 보자.

홍길주의

제곱근 풀이법

수학 충전소

역사와 수학 _사이

지금까지 조선 시대의 제곱근 계산 방법은 중국에서 영향을 받은 것으로 알려져 왔다. 하지만 19세기 조선 시대의 학자 홍길주(洪吉周, 1786~1841)는 다음과 같 이 제곱근을 계산하는 독자적인 방법을 제시하였다.

예를 들어, 홍길주의 제곱근 풀이법을 이용하여 36의 양의 제곱근을 구하면 다음과 같다.

(자료: 전용훈, ‘19세기 조선 수학의 지적 풍토:

홍길주(1786~1841)의 수학과 그 연원’) 36을 반으로 나눈다. 36/2=18

1을 뺀다. 18-1=17 2를 뺀다. 17-2=15

3을 뺀다. 15-3=12

4를 뺀다. 12-4=8

5를 뺀다. 8-5=3

6을 뺀다. 뺄 수 없다.

남은 수를 2배 한다. 3_2=6 따라서 남은 수를 2배 한 수는 빼고자 했던 수인 6 과 같으므로 36의 양의 제곱근은 6이다.

직접 해 보기

어떤 수의 제곱근을 구할 때, 어떤 수(자연수) 를 반으로 나눈 다음 1, 2, 3, …을 차례대로 빼 어 본다.

더 이상 뺄 수 없을 때, 남은 수를 2배 하여 다음에 빼고자 했던 수와 비교해 본다.

비교 결과 두 수가 같으면 그 수는 원래 수의 양의 제곱근이다.

◀ 산통

▲ 산가지

2 근호를 포함한 식의 계산

1. 근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈 2. 근호를 포함한 식의 덧셈과 뺄셈

^{푸코의 추}

프랑스의 과학자 푸코(Foucault, J. B. L., 1819~1868)는 1851년에 28 kg의 추가 달린 67 m의 줄을 돔의 천장에 매달아 실험 을 하였다. 푸코는 이 실험에서 추가 1시간당 시곗바늘이 도는 방향으 로 11^씩 천천히 회전함을 밝힘으로써 지구가 자전하고 있음을 입증

하였다. 후세 사람들은 그가 고안한 추를 ‘푸코의 추’라고 불렀다.

( 자료: “수학동아”, 2015년, 12월)

줄의 길이를 12배로 늘이면 추가 1회 왕복하는 데 걸리는 시간은 몇 배로 늘어날까?

줄의 길이를 36쪽

생각 열기

제곱근의 곱셈은 어떻게 할까?

•근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈을 할 수 있다.

근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈

1

➋ 위의 ➊에서 'a _'b와 'ßab의 계산 결과를 비교해 보자.

➌ 위의 ➋를 이용하여 '2 _'3을 어떻게 계산하면 되는지 추측해 보자.

실수의 곱셈에서는 유리수의 곱셈에서와 같이 교환법칙과 결합법칙이 성립한다.

이를 이용하여 두 수 '2 _'5 와 'ß2_5가 같은지 알아보자.

'2 _'5 는 양수이고, 이를 제곱하면

('2 _'5 )€ =('2 _'5 )_('2 _'5 )

='2 _'5 _'2 _'5

=('2 _'2 )_('5 _'5 )

=('2 )€_('5 )€

=2_5

이다. 따라서 '2 _'5 는 2_5의 양의 제곱근이다.

그런데 2_5의 양의 제곱근은 'ß2_5이므로 '2 _'5='ß2_5

임을 알 수 있다.

이와 같이 a, b가 양수일 때, 양수 'a 'b 를 제곱하면 ab이므로 'a 'b 는 ab의 양의 제곱근인 'ßab 와 같다.

참고 'a _'b 는 _를 생략하여 'a 'b 와 같이 나타내기도 한다.

➊ 다음 표의 빈칸에 알맞은 수를 써넣어 보자.

a b 'a 'b 'a _'b 'ßab

4 9

;4!; ;2ª5;

제곱근의 곱셈⑴

a>0, b>0일 때, 'a 'b='ßab 이상을 정리하면 다음과 같다.

보기 1 '3 '7 ='ß3_7 ='ß21

2 æ;5#; æç:™2∞: =æç;5#;_:™2∞: =æç:¡2∞:

보기 1 'ß12="ƒ2€_3 ="∂2€ '3 =2'3

2 -3'5=-"∂3€ '5 =-"ƒ3€_5 =-'ß45 제곱근의 곱셈⑵

a>0, b>0일 때, "ƒa€b=a'b 이상을 정리하면 다음과 같다.

이와 같이 a, b가 양수일 때, "ƒa€b="∂a€ 'b이고 "∂a€=a이므로 "ƒa€b 는 a'b와 같다.

참고 a'b 의 꼴로 나타낼 때, 보통 근호 안의 수는 가장 작은 자연수가 되도록 한다.

양수 a, b에 대하여 근호 안의 수가 a€b이면 'ß50="ƒ5€_2="∂5€ '2=5'2

와 같이 근호 밖으로 꺼내어 간단히 나타낼 수 있다.

한편, 근호 밖의 양수를 제곱하여 2'5="∂2€ '5="ƒ2€_5='ß20 과 같이 근호 안에 넣을 수도 있다.

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ 2'7_3'2 ⑵ -'ß24_'ß48

예 제 1

풀이 ⑴ 2'7_3'2 =2_3_'7_'2 =6'ß14

⑵ -'ß24_'ß48 =-2'6_4'3 =-2_4_'6_'3

=-8'ß18=-8_3'2

=-24'2

⑴ 6'ß14 ⑵ -24'2

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ 4'6_'ß18 ⑵ -'ß72_(-'ß108 )

4

다음 수를 'a 또는 -'a 의 꼴로 나타내시오.

⑴ 4'5 ⑵ 3'6

⑶ -4'2 ⑷ -5'3

3

다음 수를 a'b 의 꼴로 나타내시오.

⑴ 'ß18 ⑵ 'ß27

⑶ -'ß50 ⑷ -'ß98

2

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ '5 'ß11 ⑵ -'5 '7

⑶ æç:¡9¢: æ;7(; ⑷ -æç:™5¡: æç:¡7º:

1

배우고 익히는 수학

창의・융합 추론

줄의 길이를 12배로 늘이면 추가 1회 왕복하는 데 걸리는 시간은 몇 배로 늘어날까?

33쪽 줄의 길이를 회 왕복하는 데 걸리는 시간은 몇 배로 늘어날까?

푸코(Foucault, J. B. L., 1819~1868)는 지구가 자전하고 있음을 입증함으로써 당시의 최고 영예였던 코플리상을 수상하였다.

일반적으로 추가 1회 왕복하는 데 걸리는 시간은 추가 매달린 줄의 길이의 제곱근에 정비례한다.

따라서 줄의 길이를 8배로 늘이면 추가 1회 왕복하는 데 걸리는 시 간은 '8="ƒ2€_2=2'2 (배) 늘어난다.

푸코의 실험에서 사용한 줄의 길이를 12배로 늘이면 추가 1회 왕복 하는 데 걸리는 시간은 몇 배 늘어나는지 말해 보자.

( 자료: “수학동아”, 2015년, 12월)

제곱근의 나눗셈은 어떻게 할까? 또, 분모의 유리화는 어떻게 할까?

생각 열기

'2'5는 양수이고, 이를 제곱하면

{ '2

'5}€= '2 '5_ '2

'5= '2_'2 '5 _'5

= ('2 )€

('5 )€=;5@;

이다. 따라서 '2

'5는 ;5@;의 양의 제곱근이다.

그런데 ;5@;의 양의 제곱근은 æ;5@;이므로 '2'5=æ;5@;

임을 알 수 있다.

이와 같이 a, b가 양수일 때, 양수 'a

'b를 제곱하면 ;bA;이므로 'a

'b는 ;bA;의 양의 제곱근 인 æ;bA;와 같다.

➊ 다음 표의 빈칸에 알맞은 수를 써넣어 보자.

a b 'a 'b 'a

'b æ;bA;

4 9

0.04 0.25

두 수 '2

'5 와 æ;5@;가 같은지 알아보자.

➋ 위의 ➊에서 'a

'b 와 æ;bA; 의 계산 결과를 비교해 보자.

➌ 위의 ➋를 이용하여 '2 /'3 을 어떻게 계산하면 되는지 추측해 보자.

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ 'ß24 /(-'8 )_2'3 ⑵ '2 _'5 / '7 2 예 제 2

풀이 ⑴ 'ß24 /(-'8 )_2'3 =- 'ß24

'8 _2'3 =-'3 _2'3 =-6

⑵ '2 _'5 / '7

2 ='ß10 _ 2

'7= 2'ß10

'7 = 2'ß10 _'7

'7 _'7 = 2'ß707 ⑴ -6 ⑵ 2'ß707

근호를 포함한 식의 계산에서 곱셈과 나눗셈이 섞여 있을 때에는 앞에서부터 차례대 로 계산한다. 이때, 나눗셈은 나누는 수의 역수를 곱하여 계산하면 편리하다.

제곱근의 나눗셈 a>0, b>0일 때, 'a

'b =æ;bA;

이상을 정리하면 다음과 같다.

보기 'ß15

'3 =æç:¡3∞:='5 , 'ß26 /'2= 'ß26

'2 =æç:™2§: ='ß13

이제 분수의 분모가 근호를 포함한 무리수일 때, 분모를 유리수로 바꾸는 방법을 알 아보자.

'2'5의 분모와 분자에 '5 를 각각 곱하면

'2'5= '2 _'5

'5 _'5= 'ß105

이 되어 분모를 유리수로 고칠 수 있다.

이와 같이 분모에 근호가 있을 때, 분모, 분자에 0이 아닌 같은 수를 곱하여 분모를 유리수로 고치는 것을 분모의 유리화라고 한다.

분모의 유리화

a>0, b>0일 때, 'a

'b = 'a 'b 'b 'b = 'ßabb 이상을 정리하면 다음과 같다.

보기 '5

'7= '5 _'7

'7 _'7= 'ß357 , '7

3'2= '7 _'2

3'2 _'2= 'ß143_2 ='ß14 6

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ '6 _'5 /'3 ⑵ 'ß10

'3 / '5 '6_ 9

'ß12

3

다음 수의 분모를 유리화하시오.

⑴ '3

'5 ⑵ 6

'3 ⑶ - 3

'ß12

2

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ 'ß12

'6 ⑵ 'ß28 /'7 ⑶ 6'ß15

3'5

1

배우고 익히는 수학

수학

퀴즈

와글 ^와글 와글 ^와글

다음 등식이 맞으면 ◯, 틀리면 _에 표시하고 독도 관련 상식이 맞는지 확인해 보자.

태도 및 실천 창의*융합

다음 등식이 맞으면 ◯, 틀리면 _에 표시하고 독도 관련 상식이 맞는지 확인해 보자.

태도 및 실천 창의*융합

3'3 _5'6 /5'2

=9

“삼국사기”에는 신라 지증왕 시절인 512년에 이사부가 우 산국을 정벌했다는 내용이 나 온다.

“세종실록지리지”에는 울릉도 (무릉)와 독도(우산)가 강원 도 울진현에 속한 섬이라고 기 록되어 있다.

독도는 두 개의 큰 섬인 동도 와 서도로 구성되며, 동도의 높이는 약 80 m이다.

'2 5 _ 'ß10 '3 / 1

=5'5 '3

- '2'3 /æç;1ª0; _æ;5#;

=-;3!;

( 자료: 사이버독도, http://www.dokdo.go.kr, 2018년)

생각 열기

근호를 포함한 식의 덧셈과 뺄셈은 어떻게 할까?

•근호를 포함한 식의 덧셈과 뺄셈을 할 수 있다.

근호를 포함한 식의 덧셈과 뺄셈

2

영철아! 2'⁷⁺³'⁷ 은

계산할까?어떻게

2a+3a=5a 인 것과 원리가 같아. 즉, '⁷ 이 2개 있는데, '⁷ 이

3개 더 있으면 '⁷ 은 모두 몇 개

있는 걸까?

아하! 결국 '⁷ 이 모두 5개 있으니까 2'⁷⁺³'⁷ 을 계산하면….

예를 들어, 5'3 +2'3 과 5'3 -2'3 은 다음과 같이 계산한다.

5'3 +2'3 =(5+2)'3 =7'3 5'3 -2'3 =(5-2)'3 =3'3

이와 같이 근호를 포함한 식의 덧셈과 뺄셈은 다항식의 덧셈과 뺄셈에서 동류항끼리 모아서 계산하듯이 근호 안의 수가 같은 것끼리 모아서 계산한다.

근호를 포함한 식의 덧셈과 뺄셈에서는 양수 a, b에 대하여 "ƒa€b =a'b 와 같이 간단 히 나타내고, 분모에 근호가 있는 분수는 분모를 유리화하여 간단히 한 후 계산한다.

다음에 주의한다.

a>b>0일 때 'a+'b+'ßa+b

'a-'b+'ßa-b

한편, 서로 다른 문자 a, b에 대한 다항식 a+2b는 더 이상 간단히 할 수 없듯이 '2+2'3 과 같은 식은 더 이상 간단히 할 수 없다.

또, 실수의 덧셈에서는 유리수에서와 같이 교환법칙과 결합법칙이 성립한다.

보기 1 '3 +3'5 -2'3 +4'5 =('3 -2'3 )+(3'5 +4'5 )

=-'3 +7'5 2 (3+'2 )-(1-2'2 )=3+'2 -1+2'2

=(3-1)+('2 +2'2 )

=2+3'2

근호를 포함한 식의 덧셈과 뺄셈은 근호 안의 수가 같은 부분을 하나의 문자로 생각 하여 다항식의 동류항과 같이 모아서 계산한다.

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ 'ß12-'ß27 +'ß48 ⑵ 'ß20 -'ß45 -'ß80

⑶ 5'7 - 21'7 ⑷ 'ß18 - 4'2+'ß32

3

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ 4'2 +5'3 +3'2 -4'3 ⑵ '3 -5'3 +2'7 +3'7

⑶ (2-'7 )+(3+2'7 ) ⑷ (-1+3'6 )-(2-2'6 )

2

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ 3'2 +5'2 ⑵ 4'5 +'5

⑶ 4'6 -3'6 ⑷ 5'3 -7'3

1

배우고 익히는 수학

오른쪽 그림과 같이 넓이가 각각 32 m€, 16 m€, 8 m€인 3개의 정사각형 모양의 꽃밭이 붙어 있다. 이때, 이 꽃밭 의 둘레의 길이를 구하시오.

4

32`m@

16`m@

8`m@

32`m@

16`m@

8`m@

'ß27 -'ß12 + 2

'3를 간단히 하시오.

예 제 1

풀이 'ß27 -'ß12 + 2

'3=3'3 -2'3 + 2_'3 '3 _'3

=3'3 -2'3 + 2'3 3

={3-2+;3@;}'3

= 5'33 ^5'33

뺄셈을 이용하여 실수의 대소는 어떻게 비교할까?

생각 열기

실수에서도 유리수에서와 같이 a-b의 값의 부호에 따라 두 실수 a, b의 대소를 비 교할 수 있다.

즉, 두 실수 a, b에 대하여

a-b>0이면 a-b+b>0+b이므로 a>b a-b=0이면 a-b+b=0+b이므로 a=b a-b<0이면 a-b+b<0+b이므로 a<b 이다.

다음 두 실수의 대소를 비교하시오.

⑴ 1+'2, 2 ⑵ 3-'3 , 1+'3

예 제 2

풀이 ⑴ (1+'2 )-2='2-1

이때, '2-1='2-'1>0이므로 1+'2 >2

⑵ (3-'3 )-(1+'3 )=3-'3 -1-'3 =2-2'3 이때, 2-2'3 ='4 -'ß12 <0이므로 3-'3 <1+'3

⑴ 1+'2 >2 ⑵ 3-'3 <1+'3

실수의 대소 관계 두 실수 a, b에 대하여

1 a-b>0이면 a>b 2 a-b=0이면 a=b 3 a-b<0이면 a<b

a-b

a-b 0 a-b 0 a-b 0

a b a b a b

a b

-2 4

-3 -3

-4 -6

이상을 정리하면 다음과 같다.

㉠

㉡

㉢

다음 두 실수의 대소를 비교하시오.

⑴ '7 +3, 6 ⑵ '6 -1, 2'6 -3

1

배우고 익히는 수학

두 수를 수직선 위에

나타내 보면 어떨까? 한 수에서 다른 수를

빼 보면 어떨까?

두 실수 3-'5 와 1의 대소를 비교하는 방법을 친구들과 함께 토론해 보자.

의사소통

2

수학

활동

와글 ^와글 와글 ^와글

수민이와 진우가 출발점에서 시작하여 다음과 같이 이동할 때, 각각 도착한 지점을 말해 보자.

의사소통

큰 수가 적힌 깃발이 있는 방향으로

가야지!

가 나 다 라 마 바

4-'2 3

11-'5

1-'5 -1

'ß15 -4 'ß14 -4

'7 +3 '7 +4

-'6 +5 2

"ƒ(-2)€

작은 수가 적힌 깃발이 있는 방향으로 가야지! 수민 진우

문제 해결

근호를 포함한 식의 혼합 계산은 어떻게 할까?

실수의 계산에서도 유리수의 계산에서와 마찬가지로 분배법칙이 성립하므로 근호를 포함한 식에 괄호가 있을 때에는 분배법칙을 이용하여 괄호를 푼 후 계산한다.

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ '3(2'2 +'ß15 ) ⑵ (2'6 -'ß18 )/'6 예 제 3

풀이 ⑴ '3(2'2 +'ß15 ) ='3 _2'2 +'3 _'ß15

=2'6 +'ß45

=2'6 +"ƒ3€_5

=2'6 +3'5

⑵ (2'6 -'ß18 )/'6 =(2'6 -'ß18 )_ 1'6

= 2'6 '6 - 'ß18

'6

=2-'3 ⑴ 2'6 +3'5 ⑵ 2-'3

근호를 포함한 식에 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 섞여 있을 때에는 유리수의 계산에서 와 마찬가지로 곱셈과 나눗셈을 먼저 계산한다.

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ 4_'2 -5/'2 ⑵ 'ß27 -6/'3 +'ß243 예 제 4

풀이 ⑴ 4_'2 -5/'2 =4'2 - 5'2 =4'2 -5'2

2 = 3'22

⑵ 'ß27 -6/'3 +'ß243 =3'3 - 6

'3+9'3

=3'3 -6'3 3 +9'3

=3'3 -2'3 +9'3

=(3-2+9)'3

=10'3 ^{⑴ 3'2}_{2 ⑵ 10'3}

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ '3 ('6 +2'3 ) ⑵ ('8 -5)'2

⑶ ('ß30 -'ß15 )/'5 ⑷ (3'7 +'ß14 )/'7

1

배우고 익히는 수학

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ 'ß18 /'6 +'4 _'3 ⑵ (2'3 +'2 )'2 -2'6

⑶ 5-'ß15

'5 +'5 ('ß20 -1) ⑷ 3 '2+ 5

'6-'2 (2+'3 )

2

수학

놀이

와글 ^와글 와글 ^와글

아래 <그림 1>은 한 변의 길이가 2인 정사각형을 7조각으로 나눈 것이고, <그림 2>는 한 변의 길이가 1인 정사각형이다. 다음 단계에 따라 <그림 1>, <그림 2>의 8조각을 모두 사용하여 하나의 큰 정사각형을 만들 어 보자.

1단계 8조각을 모두 사용하여 정사각형을 만들 때, 다음을 추측해 보자.

⑴ 만들어질 정사각형의 넓이

⑵ 만들어질 정사각형의 한 변의 길이

2단계 <그림 1>에서 만들어질 정사각형의 한 변의 길이의 ;2!;이 될 수 있는 선분을 모두 찾아 색칠해 보자.

3단계 <그림 1>, <그림 2>의 8조각을 모두 사용하여 하나의 큰 정사각형을 만들어 보자.

추론 의사소통

<그림 1> <그림 2>

조각을 모두 사용하여 정사각형을 만들 때, 다음을 추측해 보자.

교과 역량 더하기

집중!

오른쪽 그림은 직각삼각형 ABC의 세 변을 각각 한 변으로 하는 정사각 형을 그린 것이다. 이때, a와 b는 각각 BC’, AC’를 한 변으로 하는 정사 각형의 넓이이다.

(1) BC’’, AC’, AB’의 길이를 각각 a, b를 사용하여 나타내어 보자.

(2) 위 (1)의 결과를 이용하여 'a +'b >'ßa+b 임을 설명해 보자.

(3) 위의 (2)를 이용하여 '2 +'3 +'5 임을 설명해 보자.

제곱근의 대소 관계

추론

1

의사소통

A B

C a

b

오른쪽 그림은 인수가 설계한 집의 평면도이다. 이 평면도는 전체의 넓이가 60인 정사각형 모양이고, 방 A는 넓이가 15인 정사각형 모양이며 방 B와 주방은 각각 넓이가 10인 직사각형 모양이다. 이때, 욕실의 세로의 길이를 구해 보자. (단, 벽의 두께는 생각하지 않는다.)

➊ 문제 이해 구하려고 하는 것은 무엇인가?

➋ 계획 수립 전체 평면도의 세로의 길이와 방 A, B의 세로의 길이를 각각 구한다.

➌ 계획 실행 욕실의 세로의 길이를 구한다.

➍ 반성 구한 답이 문제의 뜻에 맞는지 확인한다.

집의 평면도

2

B

A

창의・융합 문제 해결 문제 해결 창의・융합

인원 4명(2명씩 2팀)

예시

다음 보기의 수를 이용하여 아래 놀이 방법에 따라 친구들과 근호를 포함한 식의 혼합 계산 놀이를 해 보자.

'2 , '3 , 2, '5 , '6 , '7 , '8 , 3, 'ß15 , 'ß18 , 'ß20 , 'ß21 , 'ß24 , 5, 'ß27 , 'ß28 , 'ß32 , 6

보기

근호를 포함한 식의 혼합 계산 놀이

3

추론 태도 및 실천

문제 해결 추론 창의 융합 의사소통 정보 처리 태도 및 실천

Â2 5Â2 11 4Â3 Â24· Â14·4· 4

2Â3 3 2 1

성한다. (단, 위 ^보기 의 수는 2회까지 사용할 수 있다.) ① 1층의 각 칸에는 두 수를 더하거나 뺀 수를 적는다.

② 2층의 각 칸에는 두 수를 곱하거나 나눈 수를 적는다.

③ 3층의 칸에는 5개의 수와 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 모두 사용하여 계산한 수를 적는다.

➋ 상대 팀과 피라미드를 교환한다.

➌ 상대 팀이 만든 수가 답이 되도록 위에 주어진 수를 이용 하여 식을 만든다.

➍ 활동이 끝나면 상대 팀의 식이 맞는지 채점하여 점수를 매긴다. 이때, 1층, 2층, 3층의 점수는 각 칸마다 각각 1점, 2점, 5점이다.

➎ 두 팀 중 많은 점수를 얻은 팀이 승리한다.

3 2

1

1층에 있는 2'³ 은 'ß27 -'³ 이야!

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ 4'2 +2'2 ⑵ 7'3 -5'3

⑶ 'ß27 +4'3 ⑷ 'ß24 -'6

4

다음 수의 분모를 유리화하시오.

⑴ '3

'2 ⑵ - '3

'7 ⑶ 3

'5 ⑷ 9

'3

3

근호를 포함한 식의 계산 배운 내용을 다음과 같이 정리해 보자.

중단원 마무리

스스로 쓱쓱 ^{중단원 마무리} 스스로 쓱쓱

다음 수를 a"b의 꼴로 나타내시오.

⑴ 'ß28 ⑵ 'ß45 ⑶ -'ß48 ⑷ -'ß72

2

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ '2 _'7 ⑵ 'ß27 /'3

⑶ 2'5 _'ß15 ⑷ 6'7 /'ß21

기

1

초

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ 4'2 _'3 -'ß12 /'2

⑵ '3 {'ß12 - 6

'3 }+'ß27

6

다음을 만족시키는 수 a, b의 값을 각각 구하시오.

æç:¡3¢: _æ;7^; =a, æç:¡4∞: _3æç:¡5™: =b

7

기본

æ;2&; /æç:¡2∞: /æç;1£0; 을 간단히 하시오.

9

다음 안에 >, < 중 알맞은 것을 써넣으시오.

⑴ 5-3'2 4-2'2 ⑵ 'ß28 2'7+1

5

2.근호를 포함한 식의 계산

다음 보기 중 안에 들어갈 수가 가장 큰 것을 고르시오.

㉠ 3'5 ="ƒ^{ß ㉡ -'ß250 =-5}"ƒ^{ß ㉢ 'ß675 = '3}

㉣ 'ß700 = '7 ㉤ -6æ;3$; =-"ƒ^ß

보기

8

중단원 마무리 중단원 마무리 중단원 마무리

스스로

쓱쓱 ^{중단원 마무리 중단원 마무리} 스스로

쓱쓱

'ß80 - 10'5+'ß20 =a'5 일 때, 수 a의 값을 구하시오.

11

다음 식을 간단히 하시오.

'ß24 -æ;3*; + 'ß27-'2 '3 -1

12

다음 세 실수 a, b, c의 대소를 비교하여 부등호를 써서 나타내시오.

a='2 +'3 , b=2'3 -'2 , c=2'3

13

오른쪽 그림과 같은 삼각형과 직사각형의 넓이가 서로 같을 때, 실수 x의 값을 구하시오.

10

Â12°`cm 4Â3`cm x`cm

Â28°`cm

4

'2('2 -'3 )+ 'ß48 -'ß72

'3 =a+b'6 일 때, a-b의 값을 구하시오. (단, a, b는 유리수.)

14

2.근호를 포함한 식의 계산

a>0, b>0이고 ab=36일 때, aæ√ 18ba +bæç2a

b 의 값을 구하시오.

밑줄 친 부분의 수를 바꾸어 문제를 만들고 친구와 바꾸어 풀어 보자.

16

발전

1+'3 의 소수 부분을 a, 3-'3 의 소수 부분을 b라고 할 때, a+b의 값을 구하시오.

15

1 2 3 4 5 6 7 8 9

36쪽 1, 4

39쪽 1 36쪽 2 39쪽 2 41쪽 1, 3 43쪽 1 45쪽 2 36쪽 1, 4 36쪽 2, 3 39쪽 1 복습이 필요한 문항은 아래 교과서 쪽에서 찾아 확인해 봅시다.

문항 번호

되돌아보기

10 11 12 13 14 15 16 17

36쪽 4

39쪽 1 41쪽 3 45쪽 2 43쪽 1 45쪽 2 41쪽 2 34~36쪽

40~41쪽 44~45쪽 문항 번호

되돌아보기

오른쪽 도형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하시오.

17

3 Â7

Â21°

Â3+Â21°

직접 해 보는 수학 교실

컴퓨터 계산기와 제곱근표를 이용하여 다음 수의 어림한 값을 구해 보자.

⑴ 'ß138 ⑵ 'ß0.138

활동

로 해 보는

컴퓨터 수학

제곱근의 어림한 값을 구하는 방법을 알아보자.

계산기를 이용하는 방법

다음 과정에 따라 오른쪽 그림과 같은 컴퓨터 계산기를 이용하여 'ß1.35 의 어림한 값을 구해 보자.

❶ , , , 를 차례대로 눌러 화면에 1.35를 입력한다.

❷ 를 누르면 화면에 나타난 1.161895003862225가 'ß1.35 의 어 림한 값이다.

제곱근표를 이용하는 방법

이 책의 부록에 있는 제곱근표는 1.00에서 99.9까지의 수에 대한 양의 제곱근의 어림한 값을 소수점 아래 셋 째 자리까지 정리하여 나타낸 표이다. 제곱근표는 1.00에서 9.99까지는 0.01 간격으로, 10.0에서 99.9까지 는 0.1 간격으로 되어 있다.

이제 제곱근표를 이용하여 'ß1.35 의 어림한 값을 구해 보자.

다음 제곱근표에서 1.3의 가로줄과 5의 세로줄이 만나는 수 1.162가 'ß1.35 의 어림한 값이다.

수 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

⋮

1.000 1.005 1.010 1.015 1.020 1.025 1.030 1.034 1.039 1.044 1.049 1.054 1.058 1.063 1.068 1.072 1.077 1.082 1.086 1.091 1.095 1.100 1.105 1.109 1.114 1.118 1.122 1.127 1.131 1.136 1.140 1.145 1.149 1.153 1.158 1.162 1.166 1.170 1.175 1.179 1.183 1.187 1.192 1.196 1.200 1.204 1.208 1.212 1.217 1.221

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

1 140 1 145 1 149 1 153 1 158

025 072 118

또, 1보다 작거나 100보다 큰 양수의 제곱근의 어림한 값은 제곱근표에 나타나 있지 않지만 제곱근의 성질 과 제곱근표를 이용하여 구할 수 있다. 예를 들어, 'ß148 의 어림한 값을 구하면 다음과 같다.

'ß148 ="ƒ10€_1.48 =10'ß1.48 이고 제곱근표에서 'ß1.48 =1.217이므로 'ß148 =10'ß1.48 =10_1.217=12.17

2 1

제곱근의 어림한 값 구하기

컴퓨터 계산기와 제곱근표를 이용하여 다음 수의 어림한 값을 구해 보자.

참고 제곱근표에 있는 값은 대부분 제곱근의 어림한 값이지만 등호를 사용하여 나타내기로 한다.