Ⅰ . 실수와 그 연산

(1)

(2)

Ⅰ ^. ^{실수와 그 연산}

제곱근과 실수

1

유제1 ④ ^유제2 -5 ^유제3 ③ ^유제4 -2b

유제5 ③ ^유제6 15 ^유제7 ④ ^유제8 17

유제9 ①, ③ ^유제10 90개 ^유제11 ① ^유제12 2+'8

유제13 ⑤ ^유제14 18

7~13쪽

ㄱ. 제곱근 0.16은 '¶0.§16="Ã(0.4)Û` =0.4 0.16의 제곱근은 Ñ'¶0.§16=Ñ"Ã(0.4)Û` =Ñ0.4 ㄴ. "Ã(-9)Û` ='81="Å9Û`=9이므로

9의 제곱근은 Ñ'9=Ñ"Å3Û`=Ñ3

ㄷ. m, n은 서로 부호가 다르고, 절댓값은 같은 수이므로 m+n=0

ㄹ. "Ã(-6)Ý` ="Ã{(-6)Û`}Û` =(-6)Û`=36이므로 36의 양의 제곱근은 '36="Å6Û`=6

(-'§16 )Û`=(-"Å4Û` )Û`=(-4)Û`=16이므로 16의 음의 제곱근은 -'§16=-"Å4Û` =-4 ∴ 6+(-4)=2

따라서 옳은 것은 ㄷ, ㄹ이다.

유제

1

a="Ã(-8)Û` -('10 )Û`=8-10=-2 b=(-'§32 )Û`Ö"Å2Ý`=32Ö'16=32Ö4=8

c= 1

'¶225+"Ã(-5)Û`= 1 15+5 =;2Á0;

∴ aÖbÖc=-2Ö8Ö;2Á0;

=-2_;8!;_20=-5 유제

2

ㄱ. x¾5이면 -2x<0, 5-xÉ0이므로 A =-(-2x)-{-(5-x)}

=2x+5-x=x+5

ㄴ. 0Éx<5이면 -2xÉ0, 5-x>0이므로 A =-(-2x)-(5-x)

=2x-5+x=3x-5

ㄷ. x<0이면 -2x>0, 5-x>0이므로 A =-2x-(5-x)

=-2x-5+x=-x-5 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

유제

3

a-b>0, ab<0이므로 a>0, b<0 유제

4

®Â 126x =¾ÐÐ2_3Û`_7

x 이 자연수가 되려면 x는 126의 약 수이면서 2_7_(자연수)Û``꼴이어야 한다.

따라서 가장 작은 자연수 x의 값은 2_7_1Û`=14

®Â;3*; y=¾Ð^2Ü`_y₃가 자연수가 되려면 y=2_3_(자연수)Û` 꼴이어야 한다.

따라서 가장 작은 자연수 y의 값은 2_3_1Û`=6

∴ x+y=14+6=20 유제

5

®Â n12 =®Â n

2Û`_3 이 유리수가 되려면 n은 3_(유리수)Û` 꼴이어야 한다.

이때 n은 자연수이므로 가장 작은 수 a=3_1Û`=3, 두 번째로 작은 수 b=3_2Û`=12이므로

a+b=3+12=15 유제

6

'¶180+3x 가 자연수가 되려면 180+3x가 180보다 큰 (자연수)Û` 꼴인 수이어야 하므로

180+3x=196, 225, y

∴ x=:Á3¤:, 15, y

따라서 가장 작은 자연수 x의 값은 15이다.

유제

7

102x =2_3_17

x 이 자연수가 되려면 x는 102의 약수이 어야 하므로 x=1, 2, 3, 6, 17, 34, 51, 102

'Ä5Ä0-2§x 가 자연수가 되려면 50-2x가 50보다 작은 (자연수)Û` 꼴인 수이어야 하므로

50-2x=1, 4, 9, 16, 25, 36, 49

∴ x=:¢2»:, 23, :¢2Á:, 17, :ª2°:, 7, ;2!;

이때 x는 자연수이므로 x=23, 17, 7 따라서 구하는 자연수 x의 값은 17이다.

유제

8

a='2, b=2이면

② '§b-a='2-'2=0이므로 유리수이다.

④ a_'§b='2_'2=('2 )Û`=2이므로 유리수이다.

⑤ baÛ`= 2

('2 )Û`=;2@;=1이므로 유리수이다.

따라서 항상 무리수인 것은 ①, ③이다.

유제

9

따라서 b-a<0, -b>0이므로

"Å(b-a)Û`-"ÅaÛ`+"Å(-b)Û` =-(b-a)-a+(-b)

=-b+a-a-b

=-2b

(3)

'§a 가 무리수가 되려면 a는 (자연수)Û` 꼴인 수가 아니어야 한다.

100 이하의 자연수 중 (자연수)Û` 꼴인 수는 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100의 10개이므로 (자연수)Û` 꼴인 수가 아닌 수의 개수는 100-10=90(개)

따라서 구하는 자연수 a의 개수는 90개이다.

유제

10

△ACD에서 ACÓ="Ã1Û`+1Û`='2

AEÓ=ACÓ='2 이고, 점 E에 대응하는 수가 3-'2 이므로 점 A에 대응하는 수는 3이다.

따라서 점 D에 대응하는 수는 3-1=2이다.

유제

11

정사각형 ABCD의 한 변의 길이를 a라 하면

"ÃaÛ`+aÛ`='8이므로 "Å2aÛ` ='8, 2aÛ`=8 aÛ`=4 ∴ a=Ñ2

그런데 a>0이므로 a=2

이때 CBÓ=CPÓ=2이므로 점 P에 대응하는 수는 1-2=-1이고, CAÓ=CQÓ='8이므로 점 Q에 대응하는 수는 1+'8이다.

따라서 두 점 P, Q 사이의 거리는 1+'8-(-1)=2+'8

유제

12

a-b=2-'7-(-1)=3-'7='9-'7>0이므로 a>b

b-c=-1-(-5+'15 )=4-'15 ='16-'15 >0 이므로 b>c

∴ c<b<a 유제

13

'9<'10<'16 에서 3<'10 <4이므로 -4<-'10 <-3 ∴ 4<8-'10 <5

또 '4<'8<'9 에서 2<'8 <3이므로 7<'8+5<8 따라서 8-'10 과 '8+5 사이에 있는 정수는 5, 6, 7이 므로 그 합은 5+6+7=18

유제

14

처음의 정사각형의 넓이는 120`cmÛ` 이고, 정사각형을 한 번 접으면 그 넓이는 전 단계 정사각형의 넓이의 ;2!;이 되므로 [1단계]에서 만들어지는 정사각형의 넓이는

120_;2!;=60 (cmÛ`)

[2단계]에서 만들어지는 정사각형의 넓이는 60_;2!;=30 (cmÛ`)

[3단계]에서 만들어지는 정사각형의 넓이는 30_;2!;=15 (cmÛ`)

따라서 [3단계]에서 만들어지는 정사각형의 한 변의 길이는 '15`cm이다.

2

a`:`b=3`:`4이므로

a=3k, b=4k`(k>0)라 하면

'Äa+b ='7§k 가 자연수가 되어야 하므로 k=7_(자연수)Û`

꼴이어야 한다.

∴ k=7_1Û`, 7_2Û`, 7_3Û`, 7_4Û`, y

이때 3k는 두 자리의 자연수이고, 4k는 세 자리의 자연수이 므로 k=7_2Û`=28

따라서 a=3_28=84, b=4_28=112이므로 a+b=84+112=196

3

① a<0에서 -a>0이므로 -"Ã(-a)Û` =-(-a)=a

② a<0에서 a-1<0이므로

-"Ã(a-1)Û` =-{-(a-1)}=a-1

③ -1<b에서 b+1>0이므로 "Ã(b+1)Û`=b+1

④ -1<a에서 a+1>0이므로 "Ã(a+1)Û`=a+1

⑤ b<0에서 -b>0, 즉 1-b>0이므로

"Ã(1-b)Û`=1-b 이때 -1<b<a<0이므로 a-1<a<0<b+1<a+1<1-b 따라서 가장 큰 수는 ⑤이다.

[다른 풀이]

a=-;4!;, b=-;2!;을 주어진 식에 각각 대입하면

① -¾Ð{;4!;}²=-;4!; ② -¾Ð{-;4%;}²=-;4%;

4

ㄱ. 0의 제곱근의 개수는 1개, 양수의 제곱근의 개수는 2개 이지만, 음수의 제곱근의 개수는 0개이다.

1

14~16쪽

2

1③ 2③ 3④ 4⑤

5④ 6① 7③ 8②

9④ 10①, ⑤ 11④ 12⑤

ㄴ. 제곱근 {-;9$;}⁴ ⇨ ¾Ð{-;9$;}⁴=¾Ð[{-;9$;}²]²

={-;9$;}²=;8!1^;

ㄷ. {"Ã(-6)Û` }Û`=("Å6Û` )Û`=6Û`=36이므로 36의 음의 제곱근 은 -6이다.

ㄹ. 1.H7=:Á9¤:이므로 :Á9¤:의 제곱근은 Ñ;3$;이다.

ㅁ. "Ã'¶625 =¿·"Å25Û` ='25=5이므로 5의 양의 제곱근은 '5 이 고, 25의 양의 제곱근은 5이다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다.

[참고] 계산 결과가 항상 무리수인 경우는 다음과 같다.

① (유리수)Ñ(무리수)

② (0이 아닌 유리수)_(무리수)

③ (0이 아닌 유리수)Ö(무리수)

④ (무리수)Ö(0이 아닌 유리수)

(4)

'4<'5<'9에서 2<'5<3이고, '16<'17<'25에서 4<'17<5이다.

① '5와 '17 사이에는 무수히 많은 유리수가 있다.

② '5와 '17 사이에 있는 정수는 3, 4의 2개이다.

③ '5+'17

2 은 '5와 '17의 평균이므로 '5< '5+'17

2 <'17

④ 1<'2<2에서 3<'2+2<4

이때 '5<3, 4<'17이므로 '5<'2+2<'17

⑤ -5<-'17<-4에서 5<10-'17<6이므로 5<10-'17

따라서 옳지 않은 것은 ①, ⑤이다.

10

Ú '3§n 이 유리수인 경우는 n=3_(자연수)Û`` 꼴인 경우이므로 n=3kÛ``(k는 자연수)이라 하면

3kÛ`É150 ∴ kÛ`É50

따라서 k가 될 수 있는 수는 1, 2, y, 7의 7개이다.

Û '8§n ="Ã2Û`_2Ån 이 유리수인 경우는 n=2_(자연수)Û` 꼴인 경우이므로

n=2lÛ``(l은 자연수)이라 하면 2lÛ`É150 ∴ lÛ`É75

따라서 l이 될 수 있는 수는 1, 2, y, 8의 8개이다.

Ü '1§2§n ="Ã2Û`_3Ån 이 유리수인 경우는 n=3_(자연수)Û` 꼴인 경우이므로 Ú과 같다.

따라서 Ú~ ~ Ü에 의해 3kÛ`과 2lÛ`이 일치하는 경우는 없으므 로 '3§n , '8§n , '1§2§n 이 모두 무리수가 되도록 하는 자연수 n의 개수는

150-(7+8)=135(개)

11

△ABC에서 ACÓ="Ã1Û`+1Û` ='2

이때 △ABC가 1회전하는 동안 점 A는 다음 그림과 같이 이동한다.

A(0) B(1) C(2) A'

A B

B'

C C'

따라서 점 A'에 대응하는 수는 2+'2 이다.

8

'26 <a<'35 에서 '25 <'26 <a<'35 <'36 이므로 5<a<6

∴ (주어진 식)

= (a-1)+(a-2)+y+(a-5)+{-(a-6)}

+y+{-(a-10)}

= (a-1)+(a-2)+y+(a-5)+(6-a) +y+(10-a)

=-1-2-3-4-5+6+7+8+9+10=25

5

㈎에서 3<'Ä2x-1<5이므로 3Û`<('Ä2x-1 )Û`<5Û`

9<2x-1<25, 10<2x<26 ∴ 5<x<13 이때 x는 자연수이므로

x=6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 y`㉠

㈏에서 '6<;2{;<'13 이므로 ('6 )Û`<{;2{;}²<('13 )Û`

6< xÛ`4 <13 ∴ 24<xÛ`<52 이때 x는 자연수이므로 xÛ`=25, 36, 49 x=5, 6, 7 y`㉡

따라서 ㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 자연수 x는 6, 7의 2개 이다.

6

2É®Â;[}; <3에서 2Û`É{®Â;[}; }²<3Û`이므로 4É;[}; <9 ∴ 4xÉy<9x

각 변에 x를 더하면 5xÉx+y<10x 이때 x+y=20이므로 5xÉ20<10x 그런데 x는 자연수이므로 x=3 또는 x=4

9

자연수의 양의 제곱근 중 무리수에 대응하는 점의 개수는 다 음과 같다.

1과 2 사이에는 2개 ⇨ 2_1=2 2와 3 사이에는 4개 ⇨ 2_2=4 3과 4 사이에는 6개 ⇨ 2_3=6 ⋮

즉, 연속하는 두 자연수 n과 n+1 사이에는 무리수에 대응 하는 점의 개수가 2n개 있다.

따라서 49와 50 사이에 있는 자연수의 양의 제곱근 중 무리 수에 대응하는 점의 개수는 2_49=98(개)

[다른 풀이]

49="49Û` ='Ä2401, 50="50Û` ='Ä2500

∴ 2500-2401-1=98(개)

12

'1=1, '4=2, '9=3, '16=4, '25=5, '36=6이므로 x=1, 2, 3일 때, N(x)=1 ⇨ 1_3=3

x=4, y, 8일 때, N(x)=2 ⇨ 2_5=10 x=9, y, 15일 때, N(x)=3 ⇨ 3_7=21 x=16, y, 24일 때, N(x)=4 ⇨ 4_9=36

이때 3+10+21+36=70이고, N(25)=N(26)=5이므로 70+5_2=80

따라서 구하는 x의 값은 26이다.

7

③ ¾Ð{;2!;}²=;2!; ④ ¾Ð{;4#;}²=;4#;

⑤ ¾Ð{;2#;}²=;2#;

따라서 가장 큰 수는 ⑤이다.

Ú x=3일 때, x+y=20에서 y=17 x, y는 서로소이므로 조건을 만족시킨다.

Û x=4일 때, x+y=20에서 y=16

x, y는 서로소가 아니므로 조건을 만족시키지 않는다.

따라서 Ú, Û에 의해 x=3, y=17이므로 y-x=17-3=14

(5)

17~19쪽

3

01337 02-32 030 04;6!;

057 06(2, 3, 4), (11, 12, 13), (26, 27, 28)

0720 084개 0955 106개

1176 1210

㈎에서 '§aÁ, '§aª, '§a£, '§a¢, '§a° 가 자연수이므로 aÁ, aª, a£, a¢, a°는 모두 (자연수)Û` 꼴인 수이어야 한다.

또 ㈐에서 aÁ+aª+a£=29이고,

㈏에서 aÁ<aª<a£이므로 aÁ=4, aª=9, a£=16 이때 aª='§a¢, a£='§a° 이므로 '§a¢=9, '§a°=16

따라서 a¢=81, a°=256이므로 a¢+a°=81+256=337 01

ab<0이므로 a와 b는 서로 다른 부호이고, a+b>0, |a|<|b|이므로 a<0, b>0 또 |a|<|b|이므로 aÛ`-bÛ`<0

∴ a|a|-¿¹(aÛ`-bÛ`)Û` +b|b|

=a_(-a)-{-(aÛ`-bÛ`)}+b_b

=-aÛ`+aÛ`-bÛ`+bÛ`=0 03

¾Ð10a

b =¾Ð2_5_a

b 가 자연수가 되려면 b는 10a의 약수이 어야 한다.

Ú b=1일 때, a=2_5_(자연수)Û` 꼴이므로 가장 작은 자연수 a의 값은 2_5_1Û`=10 ∴ a+b=11

Û b=2일 때, a=5_(자연수)Û` 꼴이므로 가장 작은 자연수 a의 값은 5_1Û`=5

∴ a+b=7

Ü b=5일 때, a=2_(자연수)Û` 꼴이므로 가장 작은 자연수 a의 값은 2_1Û`=2

∴ a+b=7

Ý b=2_5=10일 때, a=(자연수)Û` 꼴이므로 가장 작은 자연수 a의 값은 1Û`=1

∴ a+b=11

Þ b가 1, 2, 5 이외의 자연수일 때, a=2_5_b_(자연수)Û` 꼴이므로 a+b¾14

따라서 Ú ~~ Þ에 의해 a+b의 값 중 가장 작은 값은 7이다.

05

(-8)Û`=64의 제곱근은 Ñ8이므로 p=8, q=-8`(∵ p>q)

"Ã(p-q+a)Û`="Ã{8-(-8)+a}Û`="Ã(16+a)Û` 이므로

"Ã(16+a)Û` =8에서

Ú 16+a¾0, 즉 a¾-16일 때 16+a=8 ∴ a=-8 Û 16+a<0, 즉 a<-16일 때 -(16+a)=8, -a=24 ∴ a=-24

따라서 Ú, Û에 의해 모든 정수 a의 값의 합은 -8+(-24)=-32

02

c의 값이 가장 작은 정수가 되려면

'Ä250+a 는 가장 작은 정수이고, 'Ä130-b 는 가장 큰 정수 이어야 한다.

'Ä250+a 가 정수가 되려면 250+a가 250보다 큰 (자연수)Û``

꼴인 수이어야 하므로 250+a=256, 289, y 이때 'Ä250+a 가 가장 작은 정수가 되는 경우는 250+a=256 ∴ a=6

또 'Ä130-b 가 정수가 되려면 130-b가 130보다 작은 (자연수)Û` 꼴인 수이어야 하므로

130-b=1, 4, y, 121

이때 'Ä130-b 가 가장 큰 정수가 되는 경우는 130-b=121 ∴ b=9

즉, 'Ä250+6-'Ä130-9 ='¶256-'¶121=16-11=5 이므로 c=5

∴ a+b+c=6+9+5=20 07

a=x-1, b=x, c=x+1`(x>2)라 하면 a+b+c<99에서

(x-1)+x+(x+1)<99 3x<99 ∴ 2<x<33

이때 'Äa+b+c='3§x 가 자연수가 되려면 x=3_(자연수)Û` 꼴이어야 한다.

x=3kÛ``(k는 자연수)이라 하면 2<3kÛ`<33 ∴ ;3@;<kÛ`<11 즉, kÛ`=1, 4, 9이므로 x=3, 12, 27 따라서 구하는 순서쌍 (a, b, c)는

(2, 3, 4), (11, 12, 13), (26, 27, 28)이다.

06

모든 경우의 수는 6_6=36

'Ä72ab ="Ã2Ü`_3Û`_ab 가 자연수가 되려면 ab=2_(자연수)Û` 꼴이어야 한다.

이때 ab가 될 수 있는 수는 2_1Û`=2, 2_2Û`=8, 2_3Û`=18

이므로 a, b의 순서쌍 (a, b)는 다음과 같다.

Ú ab=2일 때, (1, 2), (2, 1)의 2가지 Û ab=8일 때, (2, 4), (4, 2)의 2가지 Ü ab=18일 때, (3, 6), (6, 3)의 2가지

따라서 Ú ~~ Ü에 의해 'Ä72ab 가 자연수가 되는 경우의 수는 2+2+2=6이므로 구하는 확률은 ;3¤6;=;6!;

04

1.3<'x<2.5에서 1.3Û`<('§x )Û`<2.5Û`

∴ 1.69<x<6.25 08

(6)

근호를 포함한 식의 계산

2

1

유제1 ④ ^유제2 ㄴ, ㄷ, ㅁ ^유제3 ②, ③

유제4 22.80, 0.10818 ^유제5 ④

유제6 :Á2£: ^유제7 ② ^유제8 3'2

2 유제9 ⑤

유제10 4-3'2 ^유제11 ⑤

유제12 12-2'10 ^유제13 ④

유제14 (38+6'7§0 ) cmÛ`

21~27쪽

'180="Ã6Û`_5=6'5 ∴ a=6 '3'2Ö '8

'21_ '5 '20= '3

'2_ '21 '8 _ '5

'20

=¾Ð;2#;_:ª8Á:_;2°0;

=¾Ð;6^4#; =3'7 8

∴ b=;8#;

∴ '¶ab=¾Ð6_;8#; =¾;4(;=;2#;

유제

1

3<'13<4이므로 두 정수 x, y와 x+'13, y-'13 을 넓이 가 13인 정사각형을 이용하여 수직선 위에 나타내면 다음 그 림과 같다.

x x+1313 y-1313 y 넓이 13 넓이 13

이때 x와 x+'13 사이에 있는 정수의 개수는 3개, x+'13 과 y-'13 사이에 있는 정수의 개수는 3개, y-'13 과 y 사 이에 있는 정수의 개수는 3개이므로 x, y 사이에 있는 정수 의 개수는 3+3+3=9(개)이다.

따라서 y=x+10이므로 y-x=10 [다른 풀이]

3<'13<4이므로 x+3<x+'13 <x+4 -4<-'13<-3이므로 y-4<y-'13 <y-3

이때 x+'13보다 크고 y-'13보다 작은 정수를 m이라 하면 x+'13 <x+4ÉnÉy-4<y-'13

이 식을 만족시키는 정수 n이 3개이므로 y-4-(x+4)+1=3 ∴ y-x=10 12

4.5É®;[}; <5.5이므로

;2(;É®^;[};<:Á2Á:에서 각 변을 제곱하면 {;2(;}²É{®;[}; }²<{:Á2Á:}²

∴ :¥4Á:É;[};< 1214 y`㉠

이때 ;[};>1이므로 y>x에서 x-y<0

"Ã(x-y)Û`=70에서 -(x-y)=70, -x+y=70

∴ y=x+70

㉠에 y=x+70을 대입하면 :¥4Á:É x+70x < 1214 , :¥4Á:É1+70

x< 1214

;11$7;<;7Ó0;É;7¢7;, ;1@1*7);<xÉ;1$1);

∴ 2.39 y<xÉ3.63 y 따라서 x는 자연수이므로 x=3 이때 y=73이므로 x+y=76 11

'1§1§a+'b=13에서 11a와 b는 모두 (자연수)Û` 꼴인 수이어 야 한다.

이때 11a는 13Û`=169보다 작은 (자연수)Û` 꼴인 수이어야 하 므로 a=11

즉, "11Û`+'b=13이므로 'b=13-11=2 ∴ b=4 따라서 a=11, b=4이므로

"ÃaÛ`-2b="Ã11Û`-2_4='§1§1§3

이때 '§1§0§0 <'§1§1§3<'§1§2§1에서 10<'§1§1§3 <11이므로 구하는 자연수의 합은

1+2+3+y+10=55 09

이때 x는 자연수이므로 x=2, 3, 4, 5, 6

∴ m=2, n=6

즉, ®Â nm _k=®Â;2^;_k ='§3§k 가 자연수가 되려면

k=3_(자연수)Û` 꼴이어야 하고, k는 두 자리의 자연수이므로 k=3_2Û`, 3_3Û`, 3_4Û`, 3_5Û`

따라서 구하는 두 자리의 자연수 k는 12, 27, 48, 75의 4개 이다.

a.Hb=a+;9B;= 9a+b9 이므로

¿·a.Hb=¾Ð 9a+b9

따라서 ¾Ð 9a+b9 가 유리수가 되려면 9a+b가 (유리수)Û` 꼴인 수이어야 한다.

이때 a와 b는 한 자리의 자연수이므로 순서쌍 (a, b)는 (1, 7), (2, 7), (3, 9), (5, 4), (7, 1), (8, 9)의 6개이다.

10

(7)

ㄱ. '¶300='Ä3_100="Ã3_10Û`=10'3=5_2'3=5a ㄴ. '84="Ã2Û`_3_7=2'3_'7='7a

ㄷ. a=2'3="Ã2Û`_3='12이므로 '¶1.44=¾Ð;1!0$0$;= "Å12Û`

"Å10Û`=('12)Û`

10 =aÛ`

10 ㄹ. 2'3=a에서 '3=;2A;이므로

'¶¶0.27=¾Ð;1ª0¦0;= "Å3Ü`

"Å10Û`=3'3 10

=;1£0;_;2A;=;2£0;a 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

유제

5

ㄱ. ab<0이므로 "ÃaÛ`bÛ`="Ã(ab)Û`=-ab ㄴ. -a>0이므로 "(-a)Û`b=-a'b

ㄷ. bÛ`>0이고 abÛ`<0이므로 "aÛ`bÝ`="Ã(abÛ`)Û`=-abÛ`

ㄹ. aÛ`>0이고 aÛ`b>0이므로 -"aÝ`bÛ` =-"Ã(aÛ`b)Û`=-aÛ`b ㅁ. a<0이므로 ¾Ð baÛ`=- 'b

a

ㅂ. a<0, b>0이므로 -¾Ð aÛ`bÛ`=- -ab =;bA;

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㅁ이다.

유제

2

'¶280="ÃÅ2Ü`_5_7="Å2Ü`_'5_'7

=('2)Ü`_'5_'7=zÜ`_;2{;_3y=;2#;xyzÜ`

유제

6

- 5'15Ö 10

'3_{- 3'2}=- 5'15_ '3

10 _{- 3 '2}

= 32'10= 3_'10 2'10_'10

=3'10 20 따라서 m=20, n=3이므로 '¶m§n='Ä20_3='60=2'15 유제

7

¾;aB; +¾;bA; = 'b '§a+ '§a

'b=('§a )Û`+('b )Û`

'§a'b = a+b 'a§b 이때 a+b=12, ab=32이므로

a+b'a§b= 12

'32= 124'2= 3

'2= 3_'2 '2_'2=3'2

2 유제

8

A=3'5-'3

'3 =(3'5-'3 )_'3 '3_'3

=3'15-3

3 ='15-1 B=5'3+'5

'5 =(5'3+'5 )_'5 '5_'5

=5'15+5

5 ='15+1

따라서 A+B=2'15, A-B=-2이므로 A-BA+B = -2

2'15=- 1

'15=- '15 15 유제

9

① '¶0.0606=¾Ð 6.06100 =¾Ð6.06 10Û`

= '¶6.06 10 =2.462

10 =0.2462

② '¶0.246=¾Ð 24.6100 =¾Ð24.6 10Û`

= '¶24.6 10 =4.960

10 =0.4960

③ '¶0.00624=¾Ð 62.410000 =¾Ð62.4 100Û`

= '¶62.4 100 =7.899

100 =0.07899

④ '¶612000 ='¶61.2_10000="Ã61.2_100Û`

=100'¶¶61.2=100_7.823=782.3

⑤ '¶25¶30 ='¶25.3_100="Ã25.3_10Û`

=10'¶¶25.3=10_5.030=50.30 ∴ 2'¶25¶30 =100.60

따라서 옳지 않은 것은 ②, ③이다.

유제

3

'¶520 ="Å2Û`_130=2'¶130=2'¶1.3¶_¶100=2"Ã1.3_10Û`

=2_10_'¶1.3=20_1.140=22.80 '¶0.0117 =¾ÐÐ 11710000 =¾Ð^3Û`_13_100Û` ⁼³₁₀₀^'13

= 3_3.606100 =0.10818 유제

4

2'2='8이고, 2<'8 <3이므로 a=2'2-2

1<'2<2에서 -2<-'2<-1이므로 1<3-'2<2

∴ b=(3-'2 )-1=2-'2 이때 a, b는 소수 부분이므로

0Éa<1, 0Éb<1에서 1-a>0, b-1<0

∴ "Ã(1-a)Û`-"Ã(b-1)Û`

=1-a-{-(b-1)}

=1-a+b-1

=-a+b

=-(2'2-2)+(2-'2 )

=-2'2+2+2-'2

=4-3'2 유제

10

'2 { '6 4 - 5

'2}- '§45

4'3Ö '56 ='§12

4 -5-'§15 4 _ 6

'5

=2'3

4 -5-3'3 2

=-5-'3 따라서 a=-5, b=-1이므로

ab=-5_(-1)=5 유제

11

ax^by^cz^d=;2#;xyzÜ`에서 a=;2#;, b=1, c=1, d=3

∴ a+b+c+d=;2#;+1+1+3=:Á2£:

(8)

®;4#;- 1'12+'3= '3 2 - 1

2'3+'3= '3 2 -'3

6 +'3

=3'3-'3+6'3 6 =8'3

6 =;3$;'3

∴ a=3

4'3 (2-'3)+ 9'3-'¶108=8'3-12+3'3-6'3

=5'3-12

∴ b=5, c=-12

∴ a+b+c=3+5+(-12)=-4

7

'6 ('3-'2 )x-'3>3'2x-1에서 3'2x-2'3x-3'2x>-1+'3 -2'3x>-1+'3

∴ x<-1+'3

-2'3 = '3-3 6

이때 1<'3<2이므로 -;3!;< '3-3 6 <-;6!;

따라서 주어진 부등식을 만족시키는 x의 값 중 가장 큰 정수 는 -1이다.

6

'¶148='¶1.48_100="Ã1.48_10Û`

=10'¶1.48=10_1.217=12.17 '¶148-'§§x=11.098에서

'§x='¶¶148-11.098=12.17-11.098=1.072

이때 제곱근표에서 1.072의 값을 갖는 제곱근은 '¶1.15 이다.

∴ x=1.15

3

ㄱ. '¶0.72=¾Ð;1¦0ª0; =¾Ð^2_6Û`_10Û` ⁼⁶_{10 =}^'2 ³^'2_{5 =;5#;a} ㄴ. '¶2.42=¾Ð;1@0$0@; =¾Ð^2_11Û`_10Û` ⁼¹¹10 =;1!0!;a^'2 ㄷ. a'¶0.05='2_®Â;10%0;=®Â2_Â;10%0;

=®Â;1Á0;= 1'10= '10 10 ㄹ. '50- 4'2=5'2-2'2=3'2=3a 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다.

4

7'2='98 이므로 9<'98<10

∴ a¦=7'2-9 10

'2=10'2

2 =5'2='50 이므로 7<'50<8

∴ b10= 10

'2-7=5'2-7

∴ a¦-b10=(7'2-9)-(5'2-7)

=7'2-9-5'2+7=2'2-2

8

ABÓ=OBÓ-OÕAÓ='§x-'48='§x-4'3 BCÓ=OCÓ-OBÓ='108-'§x=6'3-'§x 이때 ABÓ=BCÓ이므로 '§x-4'3=6'3-'§x 2'§x=10'3, '§x=5'3='75 ∴ x=75

5

'¶0.12+'¶0.0018

=¾Ð 12100 +¾Ð 18

10000 =¾Ð^2Û`_3_10Û` ⁺¾Ð^2_3Û`_100Û`

=2'3 10 +3'2

100 =2_1.732

10 + 3_1.414100

= 3.46410 +4.242

100 =0.3464+0.04242=0.38882 따라서 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림하여 구한 값은 0.39이다.

2

직육면체의 높이를 h cm라 하면 '1§4_'5_h=14'5+5'1§4에서 h=14'5+5'§14

'§14_'5 ='1§4+'5

∴ (직육면체의 겉넓이)

=2_{'1§4_'5+'1§4_('1§4+'5 )

+'5 _('1§4+'5 )}

=2_(19+3'7§0 )=38+6'7§0 (cmÛ`) 유제

14

pq=3이므로 p¾Ð3q

p +q¾Ð12p

q -;p!;¾Ð27p q

=¾Ð3q

p _pÛ` +¾Ð12p

q _qÛ` -¾ÐÐ27p q _1

pÛ`

='¶3pq +'¶12pq-¾Ð 27pq

='9+'36-'9=6

1

28~30쪽

2

1④ 2② 3② 4②

5② 6③ 7① 8③

9② 10④ 11④

(상자의 밑면의 가로의 길이) ='147-2'3

=7'3-2'3=5'3 (cm) (상자의 밑면의 세로의 길이) ='108-2'3

=6'3-2'3=4'3 (cm) 이때 상자의 높이는 '3 cm이므로

(상자의 부피)=5'3_4'3_'3=60'3 (cmÜ`) 유제

13

3'2△(3-'10 ) = '180+{3'2-'2(3-'10)}

3'2-'2

=6'5+(3'2-3'2+'20) 2'2

=6'5+2'5 2'2 =8'5

2'2=2'10 이때 '36<'40<'49 에서 6<2'10<7이므로 a=6, b=2'10-6

∴ a-b=6-(2'10-6)=12-2'10 유제

12

(9)

ODÓ=;2!; OÕAÓ=;2!;_12=6 (cm)

CDÓ=x cm라 하면 OCÓ=OAÓ=12 cm이므로

△COD에서 6Û`+xÛ`=12Û`, xÛ`=108 이때 x>0이므로 x='¶108=6'3`

∴ ODCE=6_6'3=36'3 (cmÛ`)

10

2<'8<3이므로 '8의 소수 부분은 '8-2

∴ f(8)=2'2-2

또 4<'18<5이므로 '18 의 소수 부분은 '18-4

∴ f(18)=3'2-4

∴ 6 f(8)

f(18)+4= 6(2'2-2)

(3'2-4)+4=12'2-12 3'2

= 4'2-4

'2 =(4'2-4)_'2 '2_'2 = 8-4'22 =4-2'2

9

세 정사각형의 넓이가 각각 2`cmÛ`, 6`cmÛ`, 24`cmÛ`이므로 한 변의 길이는 각각 '2`cm, '6`cm, 2'6`cm이다.

④ ADÓ=ABÓ+BDÓ='2+'6 (cm)

11

31~33쪽

3

01;2¥1; 02(x+2)(y+6) 039개 04 11'6

6 0556-7'2 06-7+2'6 07A: 5개, B: 3개 08140 0910'5-21 103 11 24'5

5 126'3+10'5

'37 <;2Ó1;< '23 `(x는 자연수)라 하면 '37 =

3'3 21 ='27

21 , '2 3 =

7'2 21 ='98

21 이므로 '2721 <;2Ó1;< '9821

이때 5<'27<6, 9<'98<10이므로 x가 될 수 있는 수는 6, 7, 8, 9이다.

따라서 구하는 기약분수는 ;2¥1;이다.

01

2<'8 <3에서 x='8-2=2'2-2이므로 '2= x+22 6<'45 <7에서 y='45-6=3'5-6이므로 '5=y+6

3

∴ '360="Ã6Û`_10=6'10=6_'2_'5

=6_ x+22 _ y+6

3 =(x+2)(y+6) 02

f(x)=x('§x-1)

'§x =x('§x-1)_'§x

x =x-'§x

∴ f(2)+f(4)+f(8)+f(16)+f(32)

=(2-'2 )+(4-'4 )+(8-'8 )+(16-'16) +(32-'32 )

=(2+4+8+16+32)-('2+'4+'8+'16+'32 )

=62-('2+2+2'2+4+4'2)

=62-(7'2+6)

=62-7'2-6

=56-7'2 05

세 자연수 a, b, c에 대하여 2'§a+b'2='c 가 성립하려면 a=2_mÛ``(m은 자연수) 꼴이어야 한다.

2'§a+b'2 =2m'2+b'2=(2m+b)'2

="Ã2(2m+b)Û`

∴ c=2(2m+b)Û`

이때 2m+b¾3이므로

Ú c=2_3Û`=18일 때, (m, b)=(1, 1) ∴ (a, b, c)=(2, 1, 18)

Û c=2_4Û`=32일 때, (m, b)=(1, 2) ∴ (a, b, c)=(2, 2, 32)

Ü c=2_5Û`=50일 때, (m, b)=(1, 3), (2, 1) ∴ (a, b, c)=(2, 3, 50), (8, 1, 50) Ý c=2_6Û`=72일 때, (m, b)=(1, 4), (2, 2) ∴ (a, b, c)=(2, 4, 72), (8, 2, 72)

Þ c=2_7Û`=98일 때, (m, b)=(1, 5), (2, 3), (3, 1) ∴ (a, b, c)=(2, 5, 98), (8, 3, 98), (18, 1, 98) 따라서 Ú ~ Þ~에 의해 구하는 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 1+1+2+2+3=9(개)

03

a ç b=b'3+'2

a+1 ='2이므로

b'3+'2=a'2+'2 ∴ b'3=a'2 y`㉠

1 ç b=b'3+'2

1+1 ='3이므로 b'3+'2=2'3, b'3=2'3-'2

∴ b=2'3-'2

'3 =2- '6

3 y`㉡

06

두 무리수 a, b를 순서쌍 (a, b)로 나타내면

('2, '3 ), ('2, '5 ), ('3, '2 ), ('3, '5 ), ('5, '2 ), ('5, '3 )

이때 x=ab에서 x='6, '10, '15 이므로 가장 작은 x의 값은 '6이다.

또 y=;bA;+;aB;= aÛ`+bÛ`ab 에서 y= 5 '6, 7

'10, 8 '15이므로 각각 제곱하면 :ª6°:, ;1$0(;, ;1^5$;

즉, 가장 작은 y의 값은 5 '6=5'6

6 이다.

따라서 x+y의 값 중 가장 작은 값은 '6+5'6

6 = 11'6

6 04

(10)

nx가 자연수이므로 nx=1, 2, 3, 4, y

∴ x= 1n , 2 n, 3

n, 4

n, y y`㉠

'§n§x 의 정수 부분이 2이므로 2É'§n§x <3에서 4Énx<9

∴ 4nÉx< 9n y`㉡

㉠, ㉡에서 x= 4n , 5

n, 6n, 7n, 8n 이때 모든 x의 값의 합이 10이므로

n (4+5+6+7+8)=101 , 30n =10 ∴ n=3 10

㈎에서 a, b, c, d는 모두 (자연수)Û` 꼴인 수이므로

㈏에서 2a+b=17을 만족시키는 a, b의 값은 a=4, b=9 3c+d=129를 만족시키는 c, d의 값은 c=16, d=81 이때 2'Äa+c=2'Ä4+16=2'20=4'5 이고,

8<'80<9이므로 8<4'5 <9

∴ x=4'5-8

또 "Ã2(b+d)="Ã2_(9+81)='§1§8§0=6'5 이고, 13<'180<14이므로 13<6'5<14

∴ y=6'5-13

∴ x+y=(4'5-8)+(6'5-13)=10'5-21 09

'2=1.414이므로 자연수 n에 대하여 Ú 1ÉnÉ58일 때

1<'2+ n100 <2 ∴ ['2+ n100 ]=1 Û 59ÉnÉ99일 때

2<'2+ n100 <3 ∴ ['2+ n100 ]=2 따라서 Ú, Û에 의해

(주어진 식) =(1+y+1)+(2+y+2)

=1_58+2_41=140

( { 9^58개 ( { 9^41개

08

ㄱ. 제곱근 0.25는 '¶0.25="Ã(0.5)Û`=0.5이다.

ㄴ. (-4)Û`=16이므로 16의 제곱근은 Ñ4이다.

ㄷ. 유리수 0과 무리수 '2의 곱은 0_'2=0으로 유리수이다.

ㄹ. 정사각형의 한 변의 길이를 a라 하면 aÛ`=8 이때 a>0이므로 a='8=2'2`

01

01 ② 02 ④ 03② 04-'2+8 05 ㄴ, ㄷ 061.127 07 '70

5 08 4-2'2 09② 10 90 11 -2x 12 4 13 '2

2 14 ④ 15 ④ 서술형 문제 <과정은 풀이 참조>

16-4a-3b 172'3-'2 18-10 1912'2 34~36쪽 오른쪽 그림과 같이 넓이

가 각각 3, 5, 12, 20인 정사각형의 한 변의 길이 는 차례로 '3, '5, '12 (=2'3 ), '20 (=2'5 )이고, 겹치

는 부분인 정사각형의 한 변의 길이는 차례로

;2!;_'3= '3

2 , ;2!;_'5='5

2 , ;2!;_2'3='3이므로 (주어진 도형의 둘레의 길이)

= (처음 네 정사각형의 둘레의 길이) -(겹치는 부분인 세 정사각형의 둘레의 길이)

=4_('3+'5+2'3+2'5 )-4_{ '3 2 +'5

2 +'3 }

=4_(3'3+3'5 )-4_{3'3 2 +'5

2 }

=12'3+12'5-6'3-2'5

=6'3+10'5 12

215 15 213

13

13 13

;;2;; ;;2;;15

정사각형의 한 변의 길이를 x라 하면 이 정사각형의 넓이가 180이므로 xÛ`=180

이때 x>0이므로 x=6'5

즉, 사다리꼴의 높이가 6'5이므로 윗변의 길이를 3a`(a>0), 아랫변의 길이를 7a라 하면

;2!;_(3a+7a)_6'5=180, 30'5a=180

∴ a= 6 '5=6'5

5

따라서 사다리꼴의 윗변의 길이와 아랫변의 길이의 차는 7a-3a=4a=4_6'5

5 =24'5 5 11

사용한 나무막대 A, B의 개수를 각각 x개, y개라 하면 (2+'3 )x+(3-'3 )y =2x+'3x+3y-'3y

=(2x+3y)+(x-y)'3

=19+2'3 즉, 2x+3y=19, x-y=2이므로 두 식을 연립하여 풀면 x=5, y=3

따라서 나무막대 A는 5개, 나무막대 B는 3개를 사용하여 연 결하였다.

07

㉠에 ㉡을 대입하면 {2- '6

3 }'3=a'2, a'2=2'3-'2

∴ a=2'3-'2

'2 ='6-1

∴ a-3b='6-1-3{2- '6 3 }

='6-1-6+'6=-7+2'6

(11)

Ú '¶45§n="Ã3Û`_5_n이 자연수가 되려면 n=5_(자연수)Û`

꼴이어야 한다.

Û ®Â 180n =¾Ð^2Û`_3Û`_5_n 가 자연수가 되려면 n은 180의 약 수이면서 5_(자연수)Û` 꼴이어야 한다.

따라서 Ú, Û에 의해 두 수를 모두 자연수가 되도록 하는 n 의 값은 5_1Û`=5, 5_2Û`=20, 5_3Û`=45, 5_2Û`_3Û`=180 이다.

02

-3.3<-'3§xÉ-2.1에서 (-2.1)Û`É(-'3§x)Û`<(-3.3)Û`

4.41É3x<10.89 ∴ 1.47Éx<3.63 따라서 구하는 정수 x는 2, 3의 2개이다.

03

p='32+2=4'2+2, q='¶121-'8=11-2'2, r=1+'50=1+5'2이므로 p-q =4'2+2-(11-2'2 )

=4'2+2-11+2'2

=6'2-9='72-'81<0

∴ p<q

q-r =11-2'2-(1+5'2 )

=11-2'2-1-5'2

=10-7'2='100-'98>0

∴ q>r

p-r =4'2+2-(1+5'2 )

=4'2+2-1-5'2

=1-'2<0

∴ p<r

∴ p<r<q 09

'¶1.§18=1.086이므로 a=1.18, '¶1.§36=1.166이므로 b=1.36 따라서 a+b2 =1.18+1.36

2 = 2.542 =1.27이므로

¾Ð a+b2 ='¶1.§27=1.127 06

ㄱ. 'Ä0.058=®Â 5.8100 =®Â5.8 10Û`= '5§.8

10 =2.408

10 =0.2408 ㄴ. 'Ä0.0058=®Â 5810000 =®Â 58

100Û`= '58 100 이므로 '58의 값이 주어져야 한다.

ㄷ. 'Ä580000='Ä58_10000="Ã58_100Û`=100'¶58 이므로 '58의 값이 주어져야 한다.

ㄹ. 'Ä58000 ='Ä5.8_10000="Ã5.8_100Û`=100'¶5.8

=100_2.408=240.8

ㅁ. '¶2320 ="Ã2Û`_580="Ã2Û`_5.8_10Û`=20'¶5.8

=20_2.408=48.16 ㅂ. '¶2320

2 =20'5§.8

2 =10'¶5.8 =10_2.408=24.08

따라서 그 값을 구할 수 없는 것은 ㄴ, ㄷ이다.

05

3'2='18이고, 4<'18<5이므로 m=3'2-4

5'2='50이고, 7<'50<8에서

-8<-'50<-7이므로 2<10-5'2<3

∴ n=(10-5'2 )-2=8-5'2

∴ m+n =(3'2-4)+(8-5'2 )=4-2'2 08

a`:`b`:`c=('5+'2 )`:`('3-'2 )`:`('5-'3 )이므로 a=('5+'2 )k, b=('3-'2 )k, c=('5-'3 )k`(k>0) 로 놓고, a+b+c='7에 각각 대입하면

07

1_3+1=4=2Û`, 3_5+1=16=4Û`, 5_7+1=36=6Û`, y, 17_19+1=324=18Û`이므로

(주어진 식)

=2+4+6+y+18

=(2+18)+(4+16)+(6+14)+(8+12)+10

=20_4+10=90 10

정사각형 ABCD의 한 변의 길이를 a라 하면 aÛ`=32 이때 a>0이므로 a='32=4'2

점 C에 대응하는 수가 3'2이므로

점 B에 대응하는 수는 3'2-4'2='64=-'2

△BCD에서 BDÓ=¿·(4'2 )Û`+(4'2 )Û`='64=8 따라서 BEÓ=BDÓ=8이므로 점 E에 대응하는 수는 -'2+8이다.

04

-1<x<0이므로 ;[!;<-1 따라서 x+;[!;<0, x-;[!;>0이므로

¾Ð{x+;[!;}²-¾Ð{x-;[!;}²=-{x+;[!;}-{x-;[!;}

=-x-;[!;-x+;[!;

=-2x 11

'¶144 <'¶145<'¶169 이므로 12<'¶145<13 f(145)=('¶145 이하의 자연수의 개수)=12 '64 <'80<'81 이므로 8<'80<9 12

('5+'2 )k+('3-'2 )k+('5-'3 )k='7 2'5 k='7 ∴ k= '7

2'5= '35 10

∴ a-b-c

=('5+'2) '35

10 -('3-'2)'35

10 -('5-'3)'35 10

=2'70 10 ='70

5 ㅁ. 0<a<1일 때, a-1<0이므로

"Ã(a-1)Û`+"ÅaÛ`=-(a-1)+a=-a+1+a=1 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다.

(12)

5x-2y

4x+7y =;3!;이므로

3(5x-2y)=4x+7y, 15x-6y=4x+7y 11x=13y ∴ x=;1!1#;y

®Â x+yx-y = ;1!1#;y+y

;1!1#;y-y=¾Ð 2411 yÖ 211 y='12 이때 3<'12<4이므로

a=3, b='12-3=2'3-3

∴ ab+3 = 3

(2'3-3)+3= 3 2'3=3'3

6 ='3 2

ÇÉ

ò

È 15

1<'2<2이므로 a='2-1, b= 1'2= '2

2 … ⅰ

주어진 식에 a='2-1, b= '2

2 를 대입하면 2('2-1-1)+{ '2

2 +3}c+3'2

=2'2-4+ '2

2 c+3c+3'2

=-4+3c+{5+;2C;}'2 … ^ⅱ

이 식의 값이 유리수가 되려면 5+;2C;=0이어야 하므로

;2C;=-5 ∴ c=-10 … ^ⅲ

채점 요소 비율

ⅰ a, b의 값 각각 구하기 30 %

ⅱ 주어진 식을 간단히 나타내기 30 %

ⅲ c의 값 구하기 40 %

18

ab<0에서 a와 b는 서로 다른 부호이고, a-b>0이므로 a>b

즉, a>0, b<0, b-a<0이므로 … ^ⅰ -3"ÅaÛ`-"Ã(b-a)Û`+4|b|

=-3a-{-(b-a)}+4_(-b)

=-3a-a+b-4b

=-4a-3b … ^ⅱ

ⅰ a, b, b-a의 부호를 각각 구하기 60 %

ⅱ 주어진 식을 간단히 하기 40 %

16

2'3x+3'2='3x+2'3에서 '3x=2'3-3'2

∴ x=2'3-3'2

'3 =(2'3-3'2 )_'3 '3_'3

=6-3'6

3 =2-'6 … ^ⅰ

17

주어진 직육면체의 겉넓이는

2('a'b+'b'c+'c'a)=12'2+8'3+4'6이므로 'a§b+'bc+'ca =6'2+4'3+2'6

='72+'48+'24 … ^ⅰ 이때 a<b<c에서 ab<ac<bc이므로

ab=24, ac=48, bc=72 … ^ⅱ

(ab)_(ac)_(bc) =(abc)Û`

=24_48_72

=2¹⁰_3Ý`

=(2Þ`_3Û`)Û`

그런데 abc>0이므로 abc=2Þ`_3Û`` … ^ⅲ 따라서 직육면체의 부피는

'a'b'c='¶abc="Ã2Þ`_3Û`=12'2 … ^ⅳ

ⅰ 주어진 조건을 식으로 나타내기 20 %

ⅱ ab, ac, bc의 값 각각 구하기 30 %

ⅲ abc의 값 구하기 20 %

ⅳ 직육면체의 부피 구하기 30 %

19

"Ã4ß`+8¡`

"Ã32Þ`+2_16Ü`=¾Ð (2Û`)ß`+(2Ü`)¡`

(2Þ`)Þ`+2_(2Ý`)Ü`

=®Â²₂¹²25⁺²+2²⁴¹³=¾Ð²₂¹²13^_(1+2_(2¹²+1)¹²⁾

=®;2!;= 1'2= '2 2 13

한 변의 길이가 6 cm인 정사각형 안에 그린 세 정사각형의 넓 이는 각각

36_;2!;=18 (cmÛ`), 18_;2!;=9 (cmÛ`), 9_;2!;=;2(; (cmÛ`) 이므로 세 정사각형의 한 변의 길이는 각각

'18=3'2 cm, '9=3 cm, ¾;2(;=3'2

2 cm이다.

따라서 색칠한 부분의 둘레의 길이의 합은 세 정사각형의 둘레 의 길이의 합과 같으므로

4 {3'2+3+3'2

2 }=4{9'2

2 +3}=18'2+12 (cm) 14

'6 (x+1)-(k-6)='2 (x-1)+3'6에 x=2-'6을 대 입하면

'6 (2-'6+1)-(k-6)='2 (2-'6-1)+3'6 3'6-6-k+6='2-2'3+3'6

∴ k=2'3-'2 … ^ⅱ

ⅰ 일차방정식의 해 구하기 50 %

ⅱ 상수 k의 값 구하기 50 %

f(80)=('80 이하의 자연수의 개수)=8

∴ f(145)-f(80)=12-8=4

(13)

Ⅱ ^. 다항식의 곱셈과 인수분해

다항식의 곱셈

1

유제1 ① ^유제2 8 ^유제3 ③ ^유제4 32

유제5 ④ ^유제6 9+3'5

4 유제7 ⑤

유제8 xÝ`+2xÜ`-21xÛ`-22x+48 ^유제9 ④

유제10 -6 ^유제11 ㄱ, ㄴ ^유제12 ④ ^유제13 5

유제14 1

39~44쪽

(2x-ay+1)(bx+3y-2)에서 xy항이 나오는 부분만 전개하면

2x_3y+(-ay)_bx=6xy-abxy=(6-ab)xy 즉, 6-ab=-4이므로 ab=10

또 xÛ` 항이 나오는 부분만 전개하면 2x_bx=2bxÛ`

yÛ` 항이 나오는 부분만 전개하면 -ay_3y=-3ayÛ`

이때 xÛ`의 계수와 yÛ`의 계수의 곱은 2b_(-3a)=-6ab=-6_10=-60 유제

1

xÛ`(-3x+1)(xÛ`-4)=(-3xÜ`+xÛ`)(xÛ`-4)에서 xÜ` 항이 나오는 부분만 전개하면

-3xÜ`_(-4)=12xÜ` ∴ a=12 xÛ`항이 나오는 부분만 전개하면 xÛ`_(-4)=-4xÛ` ∴ b=-4

∴ a+b=12+(-4)=8 유제

2

(x-2)(x+2)(xÛ`+4)(xÝ`+16)`

=(xÛ`-4)(xÛ`+4)(xÝ`+16)

=(xÝ`-16)(xÝ`+16)=x¡`-256

즉, x¡`-256=x^p-q이므로 p=8, q=256

∴ ;pQ;= 2568 =32 유제

4

2<'5<3에서 3<6-'5<4이므로 a=3

∴ b=(6-'5 )-3=3-'5

∴ ;bA;= 33-'5= 3(3+'5 ) (3-'5 )(3+'5 )

= 9+3'5

3Û`-('5 )Û`=9+3'5 4 유제

6

3x-y=A로 놓으면

(3x-y+2)Û` =(A+2)Û`

=AÛ`+4A+4

=(3x-y)Û`+4(3x-y)+4

=9xÛ`-6xy+yÛ`+12x-4y+4 따라서 a=-6, b=12이므로

a+b=-6+12=6 유제

7

(x-1)(x-4)(x+2)(x+5)+8

={(x-1)(x+2)}{(x-4)(x+5)}+8

=(xÛ`+x-2)(xÛ`+x-20)+8 xÛ`+x=A로 놓으면

(A-2)(A-20)+8

=AÛ`-22A+48

=(xÛ`+x)Û`-22(xÛ`+x)+48

=xÝ`+2xÜ`+xÛ`-22xÛ`-22x+48

=xÝ`+2xÜ`-21xÛ`-22x+48 유제

8

(x-4)(y+4)=xy+4(x-y)-16이므로 14+4(x-y)-16=22, 4(x-y)=24

∴ x-y=6

∴ xÛ`-5xy+yÛ` =(x-y)Û`-3xy

=6Û`-3_14=-6 유제

10

x=-3-2'5에서 x+3=-2'5 양변을 제곱하면

(x+3)Û`=(-2'5 )Û` , xÛ`+6x+9=20

∴ xÛ`+6x=11

∴ "Ã2xÛ`+12x+5 ="Ã2(xÛ`+6x)+5

='Ä2_11+5

='27=3'3 유제

12

1 xÛ`+ 1

yÛ`=xÛ`+yÛ`

xÛ`yÛ` =(x-y)Û`+2xy (xy)Û`

=(2'7 )Û`+2_4 4Û` =;4(;

유제

9

ㄱ. xÛ`+ 1

xÛ`={x-;[!;}Û`+2=(-2)Û`+2=6 ㄴ. {x+;[!;}Û`=xÛ`+ 1xÛ`+2=6+2=8 ㄷ. xÝ`+ 1

xÝ`={xÛ`+ 1xÛ`}²-2=6Û`-2=34 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

유제

11

주어진 그림에서 길을 제외한 땅의 넓이는 오른쪽 그림의 색칠한 부분 과 같으므로

(7a-1)(5a-1)=35aÛ`-12a+1 유제

3

5a

7a 1 1

2019_2021-2020Û`+2018 2017

=(2020-1)(2020+1)-2020Û`+2018

2017

=2020Û`-1-2020Û`+2018

2017 =1

유제

5

(14)

(직육면체의 부피) =(2x-3)(x+4)(5x-y+a)

=(2xÛ`+5x-12)(5x-y+a) 위의 식에서 xÛ` 항이 나오는 부분만 전개하면 2xÛ`_a+5x_5x=(2a+25)xÛ`

이때 xÛ`의 계수가 7이므로 2a+25=7 2a=-18 ∴ a=-9

또 상수항이 나오는 부분만 전개하면 -12_a=-12a 따라서 상수항은 -12a=-12_(-9)=108

1

45~47쪽

2

1④ 2③ 3① 4①

5② 6② 7③ 8②

9③ 10⑤ 11③ 12③

1<'2<2에서 1<3-'2<2이므로 a=(3-'2 )-1=2-'2

또 2'2='8이고, 2<'8<3이므로 b=2'2-2

∴ (3a+b)Û` ={3(2-'2 )+(2'2-2)}Û`

=(6-3'2+2'2-2)Û`

=(4-'2 )Û`

=16-8'2+2

=18-8'2

2

1

1+'2+'3= (1+'2 )-'3

{(1+'2 )+'3 }{(1+'2 )-'3 }

= (1+'2 )-'3 (1+'2 )Û`-('3 )Û`

= 1+'2-'3 1+2'2 +2-3

=1+'2-'3 2'2

=(1+'2-'3 )_'2 2'2 _'2

=2+'2 -'6 4

따라서 a=2, b=1, c=-1이므로 a+b+c=2+1+(-1)=2

5

1

f(n)= 1

'§n+'Än+1 = '§n-'Än+1 ('§n+'Än+1)('§n-'Än+1)

= '§n-'Än+1

('§n )Û`-('Än+1)Û`= '§n-'Än+1 n-(n+1)

='Än+1 -'§n

∴ 1f(1)+ 1 f(2)+ 1

f(3)+y+ 1 f(15)

=('2-1)+('3-'2 )+('4-'3 ) +y+('16-'15 )

='16-1

=4-1=3

6

('3+2)¹¹('3-2)¹³

=('3+'2 )¹¹('3-2)¹¹('3-2)Û`

={('3+2)('3-2)}¹¹('3-2)Û`

={('3 )Û`-2Û`}¹¹('3-2)Û`

=(-1)¹¹('3-2)Û`

=-(3-4'3+4)

=-7+4'3

따라서 a=-7, b=4이므로 a+b=-7+4=-3

4

xÛ`+2x-13=0에서 xÛ`+2x=13 (x-4)(x-1)(x+3)(x+6)+100

={(x-1)(x+3)}{(x-4)(x+6)}+100

=(xÛ`+2x-3)(xÛ`+2x-24)+100

=(13-3)_(13-24)+100

=10_(-11)+100

=-10

7

;a!;+;b!;= 1a-b에서 a+bab = 1 a-b (a+b)(a-b)=ab ∴ aÛ`-bÛ`=ab

∴ bÛ`

aÛ`+ aÛ`

bÛ`= aÝ`+bÝ`

aÛ`bÛ` =(aÛ`-bÛ`)Û`+2aÛ`bÛ`

aÛ`bÛ`

=(ab)Û`+2aÛ`bÛ`

aÛ`bÛ` = 3aÛ`bÛ``

aÛ`bÛ` =3

8

2020=a라 하면

2_2020Û`-2020_2021-2019_2022+3

=2aÛ`-a (a+1)-(a-1)(a+2)+3

=2aÛ`-aÛ`-a-(aÛ`+a-2)+3

=2aÛ`-aÛ`-a-aÛ`-a+2+3

=-2a+5

=-2_2020+5=-4035

3

2'6='24이고, 4<'24<5이므로 1<2'6-3<2 이때 x=(2'6-3)-1=2'6-4이므로

x+4=2'6 양변을 제곱하면

(x+4)Û`=(2'6 )Û`, xÛ`+8x+16=24

∴ xÛ`+8x=8

∴ xÛ`+8x-3=8-3=5 유제

13

x+y= '2+1

2 +'2-1 2 ='2 xy= '2+1

2 _'2-1 2 =;4!;

∴ xÛ`+yÛ`-2xy =(x+y)Û`-4xy

=('2 )Û`-4_;4!;

=2-1=1 유제

14

(15)

x+0이므로 xÛ`-2x-1=0의 양변을 x로 나누면 x-2-;[!;=0 ∴ x-;[!;=2

이때 xÛ`+ 1

xÛ`={x-;[!;}Û`+2=2Û`+2=6, xÝ`+ 1

xÝ``={xÛ`+ 1xÛ`}Û`-2=6Û`-2=34 이므로

x¡`+ 1

x¡``={xÝ`+ 1xÝ``}Û`-2=34Û`-2=1154 따라서 일의 자리의 숫자는 4이다.

11

(x-y)Û` =(x+y)Û`-4xy=7Û`-4_9=13 그런데 x>y에서 x-y>0이므로 x-y='13

∴ '§x+'y

'§x-'y= ('§x+'y )Û`

('§x-'y )('§x+'y )

=('§x )Û`+2'§x 'y+('§y )Û`

('§x )Û`-('y )Û`

=x+y+2'§x§y

x-y =7+2'9 '13

= 7+2_3 '13 = 13

'13='13

10

2^10x_2^10y=(12-4'7)(12+4'7)

=12Û`-(4'7)Û`=144-112

=32=2Þ`

즉, 2^10x_2^10y=2^10x+10y=2^10(x+y)=2Þ`이므로 10(x+y)=5 ∴ x+y=;2!;

∴ (x+y)²={;2!;}²=;4!;

12

주어진 조건에서 ax+by의 x, y의 지수가 1씩 커지므로 x+y와의 곱을 생각한다.

(axÛ`+byÛ`)(x+y)=axÜ`+byÜ`+xy(ax+by)에서 10_1=26+xy_8

∴ xy=-2

(axÜ`+byÜ`)(x+y)=axÝ`+byÝ`+xy(axÛ`+byÛ`)에서 26_1=axÝ`+byÝ`+(-2)_10

∴ axÝ`+byÝ`=46

(axÝ`+byÝ`)(x+y)=axÞ`+byÞ`+xy(axÜ`+byÜ`)에서 46_1=axÞ`+byÞ`+(-2)_26

∴ axÞ`+byÞ`=98 02

aÛ`-ab+bÛ`=16 y`㉠

aÛ`+ab+bÛ`=24 y`㉡

㉠+㉡을 하면 2(aÛ`+bÛ`)=40

∴ aÛ`+bÛ`=20

㉡에 aÛ`+bÛ`=20을 대입하면 ab=4

∴ (a-b)Û`=aÛ`-2ab+bÛ`=20-2_4=12 03

;aÁb;+;bÁc;+;cÁa;=;2!;에서 a+b+cabc =;2!;

이때 abc=2이므로 a+b+c=1

즉, a+b=1-c, b+c=1-a, c+a=1-b이므로 (a+b)(b+c)(c+a)

=(1-c)(1-a)(1-b)

=1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc

=1-1+(-5)-2=-7 01

(a+b)(a-b)=aÛ`-bÛ` 에서 a+b=2, aÛ`-bÛ`=-1이므로 2_(a-b)=-1 ∴ a-b=-;2!;

∴ (a+b)¹⁹⁹(a-b)²⁰¹=(a+b)¹⁹⁹(a-b)¹⁹⁹(a-b)Û`

={(a+b)(a-b)}¹⁹⁹(a-b)Û`

=(aÛ`-bÛ`)¹⁹⁹(a-b)Û`

=-1_{-;2!;}Û`=-;4!;

04 x= '3-'2

'3+'2= ('3-'2 )Û`

('3+'2 )('3-'2 )

=('3 )Û`-2'3 '2+('2 )Û`

('3 )Û`-('2 )Û`

=3-2'6+2

=5-2'6 y= '3+'2

'3-'2= ('3 +'2 )Û`

('3-'2 )('3+'2 )

=('3 )Û`+2'3'2+('2 )Û`

('3 )Û`-('2 )Û`

=3+2'6+2

=5+2'6

∴ x+y=(5-2'6 )+(5+2'6 )=10 x-y=(5-2'6 )-(5+2'6 )=-4'6 xy=(5-2'6 )(5+2'6 )=5Û`-(2'6 )Û`=1 ㄱ. x+y=10

ㄴ. (x-y)Û`=(-4'6 )Û`=96

ㄷ. xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy=10Û`-2_1=98 따라서 옳지 않은 것은 ㄷ이다.

9 3

48~50쪽

01-7 0298 0312 04-;4!;

05'7 068 07 18+7'2

6 0895 0960 10ㄷ, ㄹ 110

aÛ`=8+2'7, bÛ`=8-2'7이므로 aÛ`+bÛ`=(8+2'7 )+(8-2'7 )=16 aÛ`bÛ`=(8+2'7 )(8-2'7 )=8Û`-(2'7 )Û`=36 이때 a>0, b>0이므로 ab=6

05

(16)

3'2 ='18이고, 4<'18<5이므로 2<3'2-2<3

∴ [a]=2

∴ a

[a]+a- 1 [a]-a

= 3'2-2

2+(3'2-2)- 1 2-(3'2-2)

=3'2-2 3'2 - 1

4-3'2

=(3'2-2)_'2

3'2 _'2 - 4+3'2 (4-3'2 )(4+3'2 )

=6-2'2

6 -4+3'2 16-18

=6-2'2

6 +4+3'2 2

=6-2'2+12+9'2 6

=18+7'2 6 07

x+0이므로 xÛ`-3x+1=0의 양변을 x로 나누면 x-3+;[!;=0 ∴ x+;[!;=3

ㄱ. {x+;[!;}Û`=3Û`=9 ㄴ. xÛ`+ 1

xÛ`={x+;[!;}Û`-2

=3Û`-2=7 ㄷ. xÝ`3 + 1

3xÝ`=;3!;{xÝ`+ 1xÝ`}=;3!;[{xÛ`+ 1xÛ`}Û`-2]

=;3!;_(7Û`-2)=:¢3¦:

ㄹ. ;2!;xÛ`-3x+ 12xÛ`-;[#;=;2!;{xÛ`+ 1xÛ`}-3{x+;[!;}

=;2!;_7-3_3=-:Á2Á:

따라서 옳지 않은 것은 ㄷ, ㄹ이다.

10

ab =(-5+'26 )(-5-'26 )

=(-5)Û`-('26 )Û`=-1 이때 a³ⁿ=A, b³ⁿ=B라 하면 11

'§x+ 1'§x='5의 양변을 제곱하면 {'§x+ 1'§x}²=('5 )Û`, x+;[!;+2=5

∴ x+;[!;=3

이 식의 양변에 x를 곱하면 xÛ`+1=3x에서 xÛ`-3x=-1 08

1<'3<2이므로 '3의 소수 부분은 f(1)='3-1

1

`f(1)= 1

'3-1= '3+1

('3-1)('3-1)= '3+1 2 이고, 2<'3+1<3에서 1< '3+1

2 <;2#;이므로 1

`f(1)의 소수 부분은 f(2)= '3+1

2 -1='3-1 2 1

`f(2)= 2

'3-1= 2('3+1)

('3-1)('3+1)='3+1이고, 2<'3+1<3이므로

1

`f(2)의 소수 부분은 f(3)=('3+1)-2='3-1 같은 방법으로 계속하면

f(1)=f(3)=f(5)=y=f(39)='3-1, f(2)=f(4)=f(6)=y=f(40)= '3-1

2

∴ f(1)+f(2)+f(3)+y+f(40)

=('3-1)_20+ '3-1 2 _20

=20'3-20+10'3-10

=-30+30'3

따라서 a=-30, b=30이므로 b-a=30-(-30)=60 09

(3+1)(3Û`+1)(3Ý`+1)(3¡`+1)=;2!;_3^a-b의 양변에 (3-1)을 곱하면

(3-1)(3+1)(3Û`+1)(3Ý`+1)(3¡`+1)

=(3-1){;2!;_3^a-b}

(3Û`-1)(3Û`+1)(3Ý`+1)(3¡`+1)=3â-2b (3Ý`-1)(3Ý`+1)(3¡`+1)=3â-2b (3¡`-1)(3¡`+1)=3â-2b 3¹⁶-1=3â-2b

즉, 16=a, -1=-2b이므로 a=16, b=;2!;

∴ ab=16_;2!;=8 06

(a+b)Û` =aÛ`+2ab+bÛ`

=16+2_6=28 a+b>0이므로 a+b=2'7`

(a-b)Û` =aÛ`-2ab+bÛ`

=16-2_6=4

a>b에서 a-b>0이므로 a-b=2`

∴ a+ba-b = 2'7

2 ='7

∴ (x+3)(x+1)(x-4)(x-6)

={(x+3)(x-6)}{(x+1)(x-4)}

=(xÛ`-3x-18)(xÛ`-3x-4)

=(-1-18)_(-1-4)

=-19_(-5)=95

(17)

2 인수분해

1

유제1 ③, ④ ^유제2 ㄷ ^유제3 ③ ^유제4 36

유제5 3x-9 ^유제6 ① ^유제7 (2x-3)(3x+1)

유제8 ① ^유제9 -55 ^유제10 ⑤ ^유제11 9

유제12 ② ^유제13 2x-3y-3 ^유제14 ④

유제15 2'5-5 ^유제16 20'5-21

52~58쪽

2(x+2)Û`-3(x+2) =(x+2){2(x+2)-3}

=(x+2)(2x+4-3)

=(x+2)(2x+1) 따라서 인수인 것은 ③, ④이다.

유제

1

(z-y)Û`={-(y-z)}Û`=(y-z)Û`이므로 (x-y)(y-z)Û`-(z-y)Û`(x-z)

=(x-y)(y-z)Û`-(y-z)Û`(x-z)

=(y-z)Û`{x-y-(x-z)}

=(y-z)Û`(x-y-x+z)

=(y-z)Û`(-y+z)

=-(y-z)Ü`

따라서 인수가 아닌 것은 ㄷ이다.

유제

2

0<4a<1에서 0<2a<;2!;, 0<a<;4!;이므로 2a-;2!;<0, a-;4!;<0

유제

3

xÛ`-8x+15=(x-5)(x-3)이고,

2xÛ`-9x-5=(2x+1)(x-5)이므로 두 다항식의 공통 인 인수는 x-5이다.

이때 3xÛ`+ax-30=(x-5)(3x+m)(m은 상수)으로 놓으면

3xÛ`+ax-30=3xÛ`+(m-15)x-5m 따라서 a=m-15, -30=-5m이므로 m=6, a=-9

유제

6

선영이는 상수항을 제대로 보았으므로 3(x+1)(2x-1)=6xÛ`+3x-3 에서 처음 이차식의 상수항은 -3이다.

∴ b=-3

유진이는 x의 계수를 제대로 보았으므로 (2x-1)(3x-2)=6xÛ`-7x+2

에서 처음 이차식의 x의 계수는 -7이다.

∴ a=-7

따라서 처음 이차식은 6xÛ`-7x-3이므로 바르게 인수분해 하면

6xÛ`-7x-3=(2x-3)(3x+1) 유제

7

¾Ð 2019_2020+20192020Û`-1 =¾Ð 2019(2020+1) (2020+1)(2020-1)

=¾Ð 2019_20212021_2019 =1 유제

8

1Û`-2Û`+3Û`-4Û`+5Û`-6Û`+7Û`-8Û`+9Û`-10Û`

= (1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+(5-6)(5+6) +(7-8)(7+8)+(9-10)(9+10)

=-3-7-11-15-19=-55 유제

9

∴ ®Â4aÛ`-2a+;4!; -¾ÐaÛ`-;2!;a+;1Á6;

=¾Ð{2a-;2!;}^2`-¾Ð{a-;4!;}²

=-{2a-;2!;}+{a-;4!;}

=-2a+;2!;+a-;4!;

=-a+;4!;

(3x+5)(3x-7)+k =9xÛ`-6x+k-35

=(3x)Û`-2_3x_1+k-35 이 식이 완전제곱식이 되려면

k-35=1Û` ∴ k=36 유제

4

(도형 ㈎의 넓이) =(3x-4)Û`-5Û`

=(3x-4+5)(3x-4-5)

=(3x+1)(3x-9)

따라서 두 도형 ㈎, ㈏의 넓이가 서로 같으므로 도형 ㈏의 가로의 길이는 3x-9이다.

유제

5

(a³ⁿ+b³ⁿ)Û`-(a³ⁿ-b³ⁿ)Û`

=(A+B)Û`-(A-B)Û`

=AÛ`+2AB+BÛ`-(AÛ`-2AB+BÛ`)

=4AB=4a³ⁿb³ⁿ=4(ab)³ⁿ=4_(-1)³ⁿ 따라서

f(1)=4_(-1)Ü`=-4 f(2)=4_(-1)ß`=4 f(3)=4_(-1)á`=-4

⋮

f(100)=4_(-1)³⁰⁰=4

이므로 f(n)의 값은 n이 홀수일 때 -4, n이 짝수일 때 4 이다.

∴ f(1)+f(2)+f(3)+y+f(100) =(-4)+4+(-4)+y+4=0

(18)

0<a<1에서 ;a!;>1이므로 0<a<;a!;

즉, a+;a!;>0, a-;a!;<0, -a<0

∴ ¾Ð{a-;a!;}²+4 -¾Ð{a+;a!;}²-4 +"Ã(-a)Û`

=¾ÐaÛ`-2+ 1aÛ`+4 -¾ÐaÛ`+2+ 1aÛ`-4 +"Ã(-a)Û`

=¾Ð{a+;a!;}²-¾Ð{a-;a!;}² +"Ã(-a)Û`

=a+;a!;+{a-;a!;}-(-a)`

=a+;a!;+a-;a!;+a=3a`

2

(xÛ`-ax+3b)-(-3ax+b) =xÛ`-ax+3b+3ax-b

=xÛ`+2ax+2b 이 식이 완전제곱식이 되려면 2b={ 2a2 }

2=aÛ`, 즉 b= aÛ`2 이 어야 하므로 이를 만족시키는 10보다 작은 자연수 a, b의 순 서쌍 (a, b)는 (2, 2), (4, 8)이다.

따라서 a+b의 값 중 가장 큰 값은 4+8=12이다.

1

59~61쪽

2

1③ 2④ 3① 4①

5③ 6⑤ 7④ 8⑤

9③ 10①, ④ 11② 12③

xÛ`-3xy+2yÛ`-3x-y-28 =xÛ`-3(y+1)x+2yÛ`-y-28

=xÛ`-3(y+1)x+(y-4)(2y+7)

={x-(y-4)}{x-(2y+7)}

=(x-y+4)(x-2y-7) 따라서 두 일차식의 합은

(x-y+4)+(x-2y-7)=2x-3y-3 유제

13

a= 2

'3-1= 2('3+1)

('3-1)('3+1)='3+1 b= 1

'3+1= '3-1

('3+1)('3-1)= '3-1 2

∴ aÛ`-2a+1-4bÛ`

=(aÛ`-2a+1)-4bÛ`

=(a-1)Û`-(2b)Û`

=('3+1-1)Û`-{2_ '3-1 2 }² =('3 )Û`-('3-1)Û`

=('3+'3-1)('3-'3+1) =2'3-1

유제

14

xÛ`-yÛ`+2x+1 ＝(xÛ`+2x+1)-yÛ`

=(x+1)Û`-yÛ`

=(x+y+1)(x-y+1) 즉, (x+y+1)(x-y+1)=80이므로 ('5+1)(x-y+1)=80에서 x-y+1= 80

'5+1= 80('5-1) ('5+1)('5-1)

=80'5-80 4

=20'5-20

∴ x-y=20'5-21 유제

16

aÜ`-aÛ`b-a+b =aÛ`(a-b)-(a-b)

=(aÛ`-1)(a-b)

=(a+1)(a-1)(a-b)

ac-bc-aÛ`+2ab-bÛ` =(a-b)c-(aÛ`-2ab+bÛ`)

=(a-b)c-(a-b)Û`

=(a-b)c-(a+b)(a-b)

=(a-b)(c-a-b) 따라서 두 다항식의 공통인 인수는 a-b이다.

유제

12

x-2y=A, x+2y=B로 놓으면

2(x-2y)Û`-3(x-2y)(x+2y)-5(x+2y)Û`

=2AÛ`-3AB-5BÛ`

=(A+B)(2A-5B)

=(x-2y+x+2y){2(x-2y)-5(x+2y)}

=2x(-3x-14y)

=-2x(3x+14y) 따라서 a=3, b=14이므로 a+b=3+14=17 유제

10

(x-3)(x-2)(x+3)(x+4)+a

={(x-3)(x+4)}{(x-2)(x+3)}+a

=(xÛ`+x-12)(xÛ`+x-6)+a xÛ`+x=A로 놓으면

(A-12)(A-6)+a

=AÛ`-18A+72+a 이 식이 완전제곱식이 되려면 72+a={-;;Á2¥;;}Û`, 72+a=81

∴ a=9 유제

11

4<2'5<5이므로 x=2'5-4

∴ xÜ`-xÛ`+x-1

xÛ`+1 =xÛ`(x-1)+(x-1) xÛ`+1 =(x-1)(xÛ`+1)

xÛ`+1

=x-1

=(2'5-4)-1

=2'5-5 유제

15

(19)

256=2¡`이므로

x¡`-2¡` =(xÝ`+2Ý`)(xÝ`-2Ý`)

=(xÝ`+16)(xÛ`+2Û`)(xÛ`-2Û`)

=(xÝ`+16)(xÛ`+4)(x+2)(x-2) 따라서 인수가 아닌 것은 ①이다.

3

xÛ`+3x-10=(x-2)(x+5)이므로 2xÛ`-ax-30이 x-2 와 x+5를 각각 공통인 인수로 가지는 경우로 나누어 생각 한다.

Ú x-2가 공통인 인수일 때

2xÛ`-ax-30=(x-2)(2x+k)`(k는 상수)로 놓으면 2xÛ`-ax-30=2xÛ`+(k-4)x-2k

즉, -a=k-4, -30=-2k이므로 k=15, a=-11

Û x+5가 공통인 인수일 때

2xÛ`-ax-30=(x+5)(2x+l)`(l는 상수)로 놓으면 2xÛ`-ax-30=2xÛ`+(l+10)x+5l 즉, -a=l+10, -30=5l이므로

l=-6, a=-4

따라서 Ú, Û에 의해 모든 a의 값의 합은 -11+(-4)=-15

6

12xÛ`+20xy+kyÛ`=(6x+ay)(2x+by)에서 12xÛ`+20xy+kyÛ`=12xÛ`+(2a+6b)xy+abyÛ`

즉, 20=2a+6b, k=ab이므로 a+3b=10, k=ab

이때 a, b는 자연수이므로

b=1일 때, a=7 ∴ k=7_1=7 b=2일 때, a=4 ∴ k=4_2=8 b=3일 때, a=1 ∴ k=1_3=3 따라서 k의 값 중 가장 큰 수는 8이다.

5

xÛ`=t로 놓으면

xÝ`-2xÛ`+1 =tÛ`-2t+1=(t-1)Û`

=(xÛ`-1)Û`={(x+1)(x-1)}Û`

=(x+1)Û`(x-1)Û`

이때 삼차식인 인수는

(x+1)Û`(x-1), (x+1)(x-1)Û`

사차식인 인수는 (x+1)Û`(x-1)Û`

∴ A =(x+1)Û`(x-1)+(x+1)(x-1)Û`+(x+1)Û`(x-1)Û`

=(x+1)(x-1){(x+1)+(x-1)+(x+1)(x-1)}

=(x+1)(x-1)(xÛ`+2x-1) 따라서 A의 인수가 아닌 것은 ①, ④이다.

10

x+y=A로 놓으면

(x+y)Û`-4(x+y)-21 =AÛ`-4A-21

=(A+3)(A-7)

=(x+y+3)(x+y-7) 이때 x, y는 자연수이고, x+y+3>x+y-7이므로 (x+y+3)(x+y-7)이 소수가 되려면 x+y-7=1이어야 한다.

즉, x+y-7=1에서 x+y=8이므로

(x+y+3)(x+y-7)=(8+3)_(8-7)=11

따라서 주어진 식의 값은 11이고, 소수이므로 구하는 자연수 x, y의 순서쌍 (x, y)는

(1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1) 의 7개이다.

9

3¹²-1 =(3ß`+1)(3ß`-1)

=(3ß`+1)(3Ü`+1)(3Ü`-1)

=730_28_26

=2Ý`_5_7_13_73

따라서 3¹²-1은 두 자연수 2_13=26, 2Û`_7=28로 나누어 떨어지므로 두 자연수의 합은

26+28=54

7

80{1- 12Û`}{1- 13Û`}{1- 14Û`}_y_{1- 120Û`}

=80{1-;2!;}{1+;2!;}{1-;3!;}{1+;3!;}{1-;4!;}{1+;4!;}

_y_{1-;1Á9;}{1+;1Á9;}{1-;2Á0;}{1+;;2Á0;}

=80{;2!;_;2#;_;3@;_;3$;_;4#;_;4%;

_y_;1!9*;_;1@9);_;2!0(;_;2@0!;}

=80_;2!;_;2@0!;=42

8

(a-b)Û` =(a+b)Û`-4ab

=3Û`-4_1=5

11

ADÓ를 지름으로 하는 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면

2pr=10p ∴ r=5

∴ ADÓ=10 cm

이때 색칠한 부분의 넓이는 ABÓ를 지

름으로 하는 원의 넓이에서 ACÓ를 지름으로 하는 원의 넓이 를 뺀 것과 같으므로

CDÓ=BDÓ=a cm라 하면 (색칠한 부분의 넓이)

=p{ 10+a2 }²-p{ 10-a2 }²

=p{ 10+a2 + 10-a2 }{ 10+a2 - 10-a2 }

=p_10_a=10ap (cmÛ`) 즉, 10ap=35p이므로 a=;2&;

따라서 CDÓ의 길이는 ;2&; cm이다.

4

A C D B

Ⅰ . 실수와 그 연산