1. 집 합 Ⅰ 집합과 명제
1 집합의 뜻과 표현
집합의 연산 01
1.1.실수 전체의 집합 의 두 부분집합 , 에 대하여
∈
이다. 두 집합 , 가 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 의 값을 구하 시오.
[4점][2015(나) 6월/교육청(고2) 27]
(가) 집합 의 모든 원소의 합은 이다.
(나) 집합 ∪ 의 모든 원소의 합은 이다.
(다) ∩
집합의 표현 방법 02
2.2.두 집합 은 자연수 , 은 자연수가 있다.
집합 의 원소 에 대하여 집합 의 원소 중 의 약수의 최댓값을
라 하자.
예를 들어, , 이다.
수열 을
( , , , ⋯ )
라 할 때, lim
→ ∞ ×
의 값을 구하시오.
[4점][2015(가) 6월/교육청(고2) 30]
3.3. 이상 이하의 자연수 에 대하여 집합
log 는 자연수 ≤ ≤
의 원소 중 유리수의 개수를 이라 하자. 예를 들어 ,
이다. ≥ 가 되는 모든 자연수 의 값의 합을 구하시오.
[4점][2015(나) 6월/교육청(고2) 29]
2 집합의 포함 관계
서로소인 집합 01
부분집합의 성질 02
4.4.두 집합 , 에 대하여
∪ 를 만족시키는 모든 실수 의 값의 합은?
[4점][2012 3월/교육청(고2) 12]
①
② ③
④ ⑤
5.5.전체집합 의 부분집합 에 대하여 를 집합 의 모든 원소의 합이라 하자. 집합 의 공집합이 아닌 두 부분 집합 에 대한 설명 중 <보기> 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[3점][2010 9월/교육청(고1) 6]
ㄱ. ≤ ≤
ㄴ. ∪ 이면 이다.
ㄷ. ∩
이고 ∪ 이면
이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
수학Ⅱ 1. 집 합 부분집합의 개수
03
6.6.집합 는 이하의 자연수 의 원소 에 대하여 의 부분집합 중 을 최소의 원소로 갖는 모든 집합의 개수를 이라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2015(나) 9월/교육청(고2) 20]
ㄱ.
ㄴ. ∈ , ∈ 일 때, 이면 ㄷ.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
7.7.전체집합 ≤ ≤ 는 자연수 의 두 부분집합
, 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 의 부분집합 의 개수를 구하시오.
[4점][2011 6월/교육청(고1) 27]
(가) ∪
(나) ∩
8.8.전체집합 의 두 부분집합
, 가 있다.
∪ ∪ 가 성립하는 의 부분집합 의 개수를 구하시오.
[4점][2006 9월/교육청(고1) 27]
9.9.수열 을 다음과 같이 정의하자.
집합 ≤ 에 대하여
∈이면 이고, ∉ 이면 이다.
을 만족시키는 자연수 의 값을 구하시오.
[4점][2015(가) 3월/교육청(고2) 29]
10.10.두 집합
는 이하의 자연수
는 과 서로소인 자연수
에 대하여 다음 조건을 만족시키는 집합 의 개수를 구하시오.
[4점][2015(나) 3월/교육청(고2) 30]
(가) ⊂ , ≠ ∅ (나) ∩ ∅
(다) 집합 의 모든 원소는 와 서로소이다.
1. 집 합 Ⅰ 집합과 명제
3 집합의 연산법칙
집합의 연산법칙 01
색칠한 부분이 나타내는 집합 02
약수와 배수의 집합에서의 연산 03
11.11.자연수 에 대하여 의 양의 약수 전체의 집합을 이라 하자.
예를 들면, 일 때 이다. 두 자연수 에 대 하여 <보기> 중 옳은 것을 모두 고른 것은?
[4점][2004 9월/교육청(고1) 10]
ㄱ. 이 서로소이면 ∩ ∅ ㄴ. 이 의 배수이면 ⊂
ㄷ. ∩⊂
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
집합의 원소의 개수 04
12.12. 명의 학생을 대상으로 세 문제 , , 를 풀게 하였다. 문제 를 맞힌 학생의 집합을 , 문제 를 맞힌 학생의 집합을 , 문제 를 맞힌 학생의 집합을 라 할 때, , , ,
∩ , ∩ , C∩C∩C 이다. 세 문 제 중 두 문제 이상을 맞힌 학생 수의 최솟값은?
[4점][2015(가) 9월/교육청(고2) 17]
① ② ③
④ ⑤
13.13.어느 나라의 축구선수 명 중 대표팀에 소속된 선수는 명 이다. 대표팀은 월드컵대표, 올림픽대표, 청소년대표의 세 종류로 각각
명으로 구성되어 있다. 월드컵대표이면서 올림픽대표인 선수는
명, 올림픽대표이면서 청소년대표인 선수는 명, 청소년대표이면서 월 드컵대표인 선수는 명이다. 월드컵대표에만 소속되어 있는 선수는 모 두 몇 명인가?
[4점][2008 6월/교육청(고1) 20]
① ② ③
④ ⑤
수학Ⅱ 2. 명 제
1 명제와 조건
명제가 참이 되도록 하는 미지수 구하기 01
명제의 참과 집합의 포함 관계 02
14.14.전체집합 는 이하의 자연수 에 대하여 두 조건
의 진리집합을 각각 라 하자. 조건 가
는 소수이다.
일 때, 명제 ∼ → 가 참이 되게 하는 집합 의 개수를 구하시오.
[3점][2010 9월/교육청(고1) 24]
2 명제의 역과 대우
명제의 역, 대우의 참 거짓 01
명제의 대우와 삼단논법 02
15.15.전체집합 의 공집합이 아닌 세 부분집합 , , 가 각각 세 조건 , , 의 진리집합이고, 세 명제 → , ∼ → , ∼ → 가 모두 참일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2012 11월/교육청(고1) 14]
ㄱ. ⊂ ㄴ. ∅ ㄷ. ∪⊂
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
16.16.전체집합 는 이하의 자연수 에 대하여 조건
‘ ≤ ’의 진리집합을 , 두 조건 , 의 진리집합을 각각
, 라 하자. 두 명제 → 와 ∼ → 가 모두 참일 때, 두 집합
, 의 순서쌍 의 개수를 구하시오.
[4점][2016(나) 3월/교육청 27]
2. 명 제 Ⅰ 집합과 명제
｢모든｣과 ｢어떤｣을 포함한 명제 03
17.17.집합 의 공집합이 아닌 부분집합 에 대하여 명 제 ‘집합 의 어떤 원소 에 대하여 는 의 배수이다.’가 참이 되도 록 하는 집합 의 개수를 구하시오.
[3점][2015년 9월/교육청(고1) 25]
18.18.두 실수 , 에 대하여 조건 , 가
≤
≤
일 때, 명제 ‘어떤 , 에 대하여 이면 이다.’가 참이 되도록 하는 정수 의 최솟값을 구하시오.
[4점][2016(나) 10월/교육청 29]
19.19.명제 ‘ ≤ ≤ 인 어떤 실수 에 대하여 ≤ ≤ 이 다.’가 참이 되게 하는 정수 의 개수는?
[4점][2012 6월/교육청(고1) 16]
① ② ③
④ ⑤
3 필요조건과 충분조건
필요조건과 충분조건 01
20.20.세 실수 , , 에 대하여 조건 가 조건 이기 위한 충분조건이 지만 필요조건이 아닌 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2011 9월/교육청(고1) 10]
ㄱ. : 이고 : ㄴ. : : ㄷ. : :
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
21.21.전체집합 가 유한집합일 때 의 두 부분집합 , 에 대하여
<보기>에서 가 이기 위한 충분조건인 것을 있는 대로 고른 것은?
(단, , 는 공집합이 아니고, 는 집합 의 원소의 개수이다.) [3점][2008 9월/교육청(고1) 8]
ㄱ. ≤ ⊂ ㄴ.
ㄷ. ∪
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄱ，ㄷ ⑤ ㄴ，ㄷ
22.22.두 실수 , 에 대하여 조건 가 조건 이기 위한 충분조건이지만 필요조건이 아닌 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2015(나) 11월/교육청(고2) 17]
ㄱ.
ㄴ. 또는 ㄷ.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
수학Ⅱ 2. 명 제
23.23.두 실수 , 에 대하여 는 이기 위한 충분조건이지만 필요조건 이 아닌 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2011 11월/교육청(고1) 17]
ㄱ. ㄴ. ≥ ≥ 또는 ≥ ㄷ. ≤
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
24.24.두 조건 에 대하여 〈 〉를
( 가 이기 위한 충분조건일 때 )
〈 〉
( 가 이기 위한 필요충분조건일 때 ) ( 가 이기 위한 필요조건일 때 )
으로 정의한다. 세 집합 에 대하여 조건 이 다음과 같을 때,
⊂ ∩
⊂ ∪
⊂ 또는 ⊂
〈 〉 〈 〉 〈 〉의 값은?
[3점][2007 6월/교육청(고1) 7]
① ② ③
④ ⑤
4 절대부등식
절대부등식 01
산술평균과 기하평균 02
25.25.[그림1]과 같이 세 모서리의 길이가 각각 , , 인 직육면체 모 양의 나무토막이 있다.
[그림1]
[그림1]의 나무토막의 한 모퉁이에서 모서리의 길이가 인 정육면체 모 양의 나무토막을 잘라내었더니 [그림2]와 같이 나무토막 와 나무토막
로 나누어졌다.
[그림2]
의 부피가 일 때, 의 겉넓이의 최솟값을 구하시오. (단, ,
)
[4점][2012 11월/교육청(고1) 28]
2. 명 제 Ⅰ 집합과 명제
26.26.다음은 실수 , 에 대하여 , 일 때,
의 최솟값을 구하는 과정으로, 어떤 학생의 오답에 대 한 선생님의 첨삭지도 일부이다.<학생풀이> 2009년 ○○월 ○○일 산술평균과 기하평균의 대소 관계를 적용하면
≥
⋯ ㉠
≥
⋯ ㉡
㉠, ㉡의 양변을 각각 곱하면
≥
⋅
⋯㉢
그러므로 구하는 최솟값은 이다.
<첨삭내용> ○ ○ ○ (인)
㉠의 등호가 성립할 때는 (가) 이고
㉡의 등호가 성립할 때는 (나) 이다.
따라서 (가)와 (나)를 동시에 만족하는 양수 , 는 존재 하지 않으므로 최솟값은 8이 될 수 없다.
(가), (나)에 알맞은 것과 최솟값을 바르게 구한 것은?
[4점][2009 9월/교육청(고1) 13]
(가) (나) 최솟값
①
②
③
④
⑤
27.27.‘피타고라스 나무’란 다음과 같은 규칙으로 그린 [그림 ]과 같은 도형이다.
[단계 ] : 정사각형을 그린 후 정사각형의 한 변을 빗변으로 하는 직각삼각형을 그린다.
[단계 ] : 직각삼각형의 나머지 두 변을 한 변으로 하는 정사각형을 각각 그린다.
[단계 ] : [단계 ]에서 그려진 두 정사각형의 한 변을 각각 빗변 으로 하는 직각삼각형을 [단계 ]에서 그린 직각삼각형 과 닮음이 되도록 그린다.
[단계 ] : [단계 ]와 [단계 ]을 계속 반복하여 그린다.
[그림 ]
‘피타고라스 나무’의 일부분인 [그림 ]에서 직각삼각형 ABC 의 세 변 의 길이가 각각 , , 이고, 정사각형 개의 넓이의 합이 일 때,
의 최댓값은?
[4점][2011 9월/교육청(고1) 20]
[그림 ]
① ② ③
④ ⑤
수학Ⅱ 2. 명 제
28.28.두 양수 , 에 대하여 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 의 네 변 AB , BC , D C , D A 를 각각 로 내분하는 점을 E , F , G , H 라 하고, 선분 FH 의 중점을 M 이라 하자. 그림은 위의 설명과 같이 그린 한 예이다.
<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2016(나) 3월/교육청 17]
ㄱ. FM G M ㄴ. ∆EFM ≥ ∆FG M
ㄷ. FH
일 때, 삼각형 FG M 의 넓이의 최댓값은 이다.< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
29.29.그림과 같이 폭이 cm 인 긴 양철판을 접어서 두 줄기로 물이 가득 차서 흘러가도록 하려고 한다.
물이 흘러가는 방향에 수직으로 자른 단면이 서로 합동이고 한 변이 없 는 두 개의 직사각형 모양이 되도록 할 때, 두 직사각형의 넓이의 합의 최댓값을 cm라 하자.
의 값을 구하시오. (단, 양철판의 두께는 무시한다.)
[4점][2006 3월/교육청(고2) 30]
30.30.철수는 그림과 같이 넓이가 인 화단을 만들기 위해 직사각형 ABCD 모양의 울타리를 설치하려고 한다. 울타리 설치비용 중 영희네 와 이웃한 B 지점에서 C 지점까지는 절반씩 나누어 지불하고, 나머지는 철수가 지불한다. 울타리를 설치하는데 철수가 지불해야 하는 총비용이 최소일 때, B 지점에서 C 지점까지 설치할 울타리의 길이는? (단, 울타 리의 설치비용은 높이와 두께에 상관없이 둘레의 길이에 비례한다.)
[4점][2010 9월/교육청(고1) 10]
① ② ③
④ ⑤
31.31.AB , AC , ∠A ° 인 직각삼각형 ABC 에 내접하는 직사각형을 만들 때, [그림1]과 같이 직사각형의 두 변이 삼각형의 변 위에 존재하는 경우와 [그림2]와 같이 직사각형의 한 변만이 삼각형의 변 위에 존재하는 경우가 있다.
[그림1] [그림2]
[그림1]과 [그림2]의 경우에 내접하는 직사각형의 넓이를 각각 , 라 하자. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?
[4점][2008 3월/교육청(고2) 19]
ㄱ. 의 최댓값은 이다.
ㄴ. 이 최대일 때, 직사각형의 둘레의 길이는 이다.
ㄷ. 의 최댓값과 의 최댓값은 같다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
1. 함 수 Ⅱ 함수
1 대응과 함수
여러 가지 함수 01
일대일 대응이 되기 위한 조건 02
32.32.실수 전체의 집합 에 대하여 함수 → 가
로 정의될 때, 이 함수가 일대일대응이 되도록 하는 정수 의 개수를 구하시오.
[4점][2015년 11월/교육청(고1) 28]
함수의 개수 구하기 03
33.33.집합 , 에 대하여 함수 → 가 일대일 대응이다.
이때, × × × × 을 만족하는 함 수 의 개수는?
[3점][2008(가) 11월/교육청(고2) 6]
① ② ③
④ ⑤
34.34.집합 에 대하여 함수 가 → 라 할 때,
≠ 을 만족하는 함수 의 개수를 구하시오.
[3점][2005(가) 6월/교육청(고2) 24]
35.35.집합 에 대하여 다음 두 조건을 모두 만족 하는 함수 의 개수를 구하시오.
[4점][2011 3월/교육청(고2) 26]
(가) 함수 는 에서 로의 함수이다.
(나) 의 모든 원소 에 대하여 이다.
함수방정식의 함숫값 구하기 04
36.36.양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 가 다음 조건을 만족 시킬 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2015(가) 6월/교육청(고2) 29]
(가) ≤ ≤
(나) 모든 양의 실수 에 대하여 이다.
수학Ⅱ 1. 함 수
2 합성함수와 역함수
01 합성함수
37.37.집합 에 대하여 두 함수
→ , → 가 있다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[3점][2009 3월/교육청(고2) 11]
ㄱ. , 가 모두 항등함수이면 ∘ 는 항등함수이다.
ㄴ. ∘ 가 항등함수이면 , 는 모두 일대일대응이다.
ㄷ. ∘ 가 항등함수이면 , 는 모두 항등함수이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
38.38.두 함수 ,
≥
에 대하여 을 만족하는 실수 의 값을 , ( )라 하자. 이때 의 값을 구하시오.
[4점][2008 3월/교육청(고2) 26]
39.39.이차함수 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가)
(나) 이차방정식 의 실근의 개수는 이다.
방정식 ∘ 의 서로 다른 실근을 모두 곱한 값은?
[4점][2016(나) 3월/교육청 19]
①
②
③
④
⑤
합성함수의 그래프 02
40.40.그림은 이차함수 의 그 래프이다. 방정식 의 서 로 다른 세 실근의 합은?
[4점][2006 3월/교육청(고2) 17]
①
②
③
④
⑤
합성함수의 추정 03
41.41.함수 에 대하여 , , ⋯ 이 라 정의하자. 이때 집합 에 대하여 함수 → 가 두 조건
( 는 항등함수)
를 만족한다. 함수 의 역함수를 라 할 때, 의 값은?
[4점][2008 3월/교육청(고2) 14]
① ② ③
④ ⑤
1. 함 수 Ⅱ 함수 역함수의 계산
04
42.42.집합 에 대하여 에서 로의 두 함수 와 가 그림과 같을 때, ∘ ∘ 의 값은?
[3점][2011 11월/교육청(고1) 5]
① ② ③
④ ⑤
43.43.집합 에 대하여 에서 로의 함수 가
는 상수 이고, 함수 의 역함수 가 존재한다.
, ( ⋯ )라 할 때,
의 값은?
[4점][2015(나) 11월/교육청(고2) 19]
① ② ③
④ ⑤
44.44.실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수
≥ 에 대하여 의 값을 구하시오.
(단, 는 각각 의 역함수이다.)
[3점][2007 3월/교육청(고2) 25]
45.45.집합 , , , , 에 대하여 집합 에서 집합 로의 두 함수 , 가 있다. 두 함수 , ∘ 의 그래프가 각각 그림과 같을 때, ∘ 의 값은?
[4점][2015(가) 9월/교육청(고2) 16]
O
∘
O
① ② ③
④ ⑤
수학Ⅱ 1. 함 수 그래프를 이용한 역함수의 함숫값
05
46.46.집합 에 대하여 두 함수 → , → 가 있다. 함수 는 를 만족시키고 함수 의 그 래프는 그림과 같다.
O
두 함수 , 에 대하여 함수 → 를
≥ 라 정의하자. 함수 가 일대일대응일 때, 의 값을 구 하시오.
[4점][2014년 11월/교육청(고1) 28]
47.47.함수 ≥ 의 역함수를 라 하고, 두 곡선
와 가 직선 와 만나는 점을 각각 P Q 라 하자. 선분 P Q 의 길이를 라 할 때, lim
→
의 값 은?
[4점][2015(가) 6월/교육청(고2) 20]
O
P
Q
48.48.실수 전체의 집합에서 연속인 함수
≥
의 역함수가 존재하도록 하는 두 실수 , 에 대하여 의 최댓 값을 구하시오.
[4점][2015(나) 9월/교육청(고2) 29]
49.49.그림과 같이 점 을 지나는 함수 의 그래프와 의 그래프가 두 점 , 에서 만나고 그 외의 점에서 만 나지 않는다. 를 만족시키는 모든 실수 의 값의 합은? (단, 는 의 역함수이다.)
[3점][2012 3월/교육청(고2) 16]
O
① ② ③
④ ⑤
50.50.정의역이 ≤ ≤ 인 두 함수 , 는 일 대일 대응이고 그래프는 그림과 같다.
등식 를 만족시키는 두 자연수 , 의 순서쌍 의 개수는? (단, 두 함수의 그래프는 각각 세 선분으로 되어 있다.)
2. 유리함수와 무리함수 Ⅱ 함수
1 유리함수
01 유리함수
유리함수의 평행이동과 대칭이동 02
유리함수의 그래프의 대칭성 03
51.51.유리함수
의 그래프는 두 직선 와
에 대하여 각각 대칭이다. 이 때, 의 값은?
[ 점][2009(가) 6월/교육청(고2) 16]
① ② ③
④ ⑤
유리함수의 역함수 04
유리함수의 산술평균과 기하평균 05
52.52. 는 상수이고, 유리함수
에 대하여 일 때, 유리함수 의 그래프 위를 움직이는 점 P 와 직선
사이의 거리의 최솟값은?
[4점][2015(가) 6월/교육청(고2) 14]
O
① ②
③
④ ⑤
53.53.그림과 같이 함수
＞
의 그래프와 직선 가 있다. 함수 의 그래프 위의 점 P 를 지나고 축에 수직인 직선이 직선 와 만나는 점을 Q 라 하자. 선분 P Q 의 길이의 최솟값은?
[4점][2014년 11월/교육청(고1) 18]
O
P
Q
①
② ③
수학Ⅱ 2. 유리함수와 무리함수
54.54.좌표평면 위에
함수
의 그래프와 직선 가 있다.
함수 의 그래프 위의 점 P 를 지나고 축에 수직인 직선이 직 선 와 만나는 점을 Q , 점 Q 를 지나고 축에 수직인 직선이
와 만나는 점을 R 라 할 때, 선분 P Q 와 선분 Q R 의 길이의 곱 P Q × Q R 의 최솟값을 구하시오.
[4점][2016(나) 4월/교육청 27]
55.55. 에서 정의된 함수
의 그래프를 축의 방향으로 만큼,
축의 방향으로 만큼 평행이동한 그래프 위의 점 P 에서 축, 축에 내린 수선의 발을 각각 Q , R 라 할 때, 직사각형 RO Q P 의 넓이의 최 솟값은? (단, O 는 원점이다.)
[4점][2011 11월/교육청(고1) 21]
① ②
③
④ ⑤
유리함수의 활용 06
56.56.AB BC CD , AD 인 등변사다리꼴 ABCD 에서 선분 BC 위를 움직이는 점을 E , 직선 AE 와 직선 CD 의 교점을 F 라 하 자. 점 C 와 점 E 사이의 거리를 ≤ ≤ , 점 C 와 점 F 사이 의 거리를 라 할 때, 함수 의 그래프의 모양으로 알맞은 것은?
[4점][2015(나) 9월/교육청 15]
A
B
D
C E
F
①
O
②
O
③
O
④
O
⑤
O
2. 유리함수와 무리함수 Ⅱ 함수
57.57.그림과 같이 도형 가 직선 과 만나 는 두 점을 P , Q 라 하자. 두 점 P , Q 의 좌표의 곱이 일 때
O P × O Q 의 값을 구하시오. (단, )
[4점][2010 3월/교육청(고2) 29]
58.58.함수 는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) ≤ ≤ 에서 이다.
(나) 모든 실수 에 대하여 이다.
두 함수 ,
의 그래프가 무수히 많은 점에서 만나도
록 하는 정수 의 값의 합은?
[4점][2014(A) 3월/교육청(고2) 21]
① ② ③
④ ⑤
59.59.유리함수
와 수열 에 대하여
이다.
≤ 을 만족시키는 자연수 의 최댓값을 구 하시오.[4점][2016(나) 3월/교육청 30]
60.60.그림과 같이 점 A 와 곡선
위의 두 점 B , C 가 다 음 조건을 만족시킨다.
(가) 점 B 와 점 C 는 직선 에 대하여 대칭이다.
(나) 삼각형 ABC 의 넓이는
이다.점 B 의 좌표를 라 할 때, 의 값은? (단,
) [4점][2015(나) 3월 교육청(고2) 21]① ② ③
④ ⑤
수학Ⅱ 2. 유리함수와 무리함수
2 무리함수
무리함수의 그래프 01
무리함수의 그래프와 미정계수 구하기 02
무리함수와 역함수의 교점 03
61.61.두 함수
≥ ,
에 대하여 , 의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하 는 모든 정수 의 개수는?
[4점][2015(나) 9월/교육청(고2) 19]
① ② ③
④ ⑤
무리함수의 활용 04
62.62.실수 전체의 집합에서 정의된 함수 가
≤ 일 때, 함수 는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 함수 의 치역은 이다.
(나) 임의의 두 실수 , 에 대하여 ≠ 이면
≠ 이다.
일 때, 상수 의 값은? (단, 는 상수이다.)
[4점][2012 11월/교육청(고1) 18]
①
②
③
④
⑤
63.63.무리함수
에 대하여 좌표평면에 곡선 와 세 점 A , B , C 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC 가 있다. 곡선 와 함수 의 역함수의 그래프가 삼각형 ABC 와 만나도록 하는 실수 의 최댓값은?[4점][2016(나) 3월/교육청 15]
① ② ③
④ ⑤
64.64.자연수 에 대하여 직선 이 무리함수
의 그래프와 만나는 점을 A, 축과 만나는 점을 B이라 할 때, 선분AB의 길이보다 크지 않은 최대의 정수를 이라 할 때,
의값은? (단, O 는 원점이다.)
[4점][2015(나) 6월/교육청(고2) 14]
A
B
O
① ② ③
④ ⑤
2. 유리함수와 무리함수 Ⅱ 함수
65.65.좌표평면에서 무리함수
의 그래프가 도형 이고 ≥ 과 한 점에서 만난다고 한다.이 때, 점 가 존재하는 영역을 나타낸 것은? (단, 경계선 포함) [4점][2007 3월/교육청(고2) 16]
① ②
③ ④
⑤
66.66.두 함수
,
의 그래프와 두 직선 , 로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하 시오.
[4점][2009 3월/교육청(고2) 29]
67.67.좌표평면에서 자연수 에 대하여 두 곡선
,
과 축으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함 되고 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수를 이라 하자.
의 값을 구하시오.
[4점][2015(나) 11월/교육청(고2) 29]
68.68.좌표평면에서 자연수 에 대하여 영역
≤ ≤ ≤ ≤
에 포함되는 정사각형 중에서 다음 조건을 만족시키는 모든 정사각형의 개수를 이라 하자.
(가) 각 꼭짓점의 좌표, 좌표가 모두 정수이다.
(나) 한 변의 길이가
이하이다.예를 들어 이다. ≤ 을 만족시키는 자연수 의 최 댓값을 구하시오.
[4점][2016(나) 9월/평가원 30]
수학Ⅱ 1. 등차수열과 등비수열
1 등차수열
등차수열의 일반항 01
69.69.등차수열 의 공차와 각 항이 이 아닌 실수일 때, 방정식
의 한 근을 이라 하면 등차수열
의 공차는? (단, ≠ )[4점][2009(나) 4월/교육청 10]
①
②
③
④
⑤
등차수열의 식 작성 02
70.70.그림과 같이 반지름의 길이가 인 원을 개의 부채꼴로 나누었더 니 부채꼴의 넓이가 작은 것부터 차례로 등차수열을 이루었다. 가장 큰 부채꼴의 넓이가 가장 작은 부채꼴의 넓이의 배일 때, 가장 큰 부채꼴 의 넓이는 이다. 이때 의 값을 구하시오.
[4점][2008(나) 3월/교육청 25]
71.71.직각삼각형의 세 변의 길이 , , 가 공차가 인 등차수열을 이 룬다고 한다. 이 때, 이 직각삼각형의 넓이를 의 식으로 나타내면?
[3점][2005(나) 3월/교육청 26]
① ② ③
④ ⑤
등차수열의 합 03
72.72.첫째항이 , 공차가 인 등차수열 에 대하여 부등식
≥ ≥
을 만족시키는 의 최솟값을 이라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2012(나) 4월/교육청 17]
ㄱ.
ㄴ. 수열 은 공차가 인 등차수열이다.
ㄷ.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
73.73.첫째항이 이고 공차가 인 등차수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하자. 모든 자연수 에 대하여 일 때, 자연수 의 최댓값을 구하시오.
[4점][2014(B) 3월/교육청 28]
74.74.수열 이 다음 조건을 만족시킨다.
(가) ( ≥ ) (나)
의 값을 구하시오.
[4점][2014(A) 10월/교육청 30]
1. 등차수열과 등비수열 Ⅲ 수열
75.75.등차수열 에서 , 일 때, ⋯ 이 최소가 되는 자연수 의 값을 구하시오.
[3점][2009(나) 4월/교육청 21]
76.76.첫째항이 이고 공차가 인 등차수열 에 대하여 등식
⋯
을 만족시키는 두 자연수 , 가 존재하도록 하는 자연수 의 개수 는?
[4점][2014(A) 3월/교육청 15]
① ② ③
④ ⑤
77.77.첫째항이 , 공차가 정수인 등차수열 에 대하여 수열 을
⋯
이라 하자. 수열 이 다음 조건을 만족시킨다.
(가) (나)
을 만족시키는 의 최댓값을 구하시오.
[4점][2013(B) 3월/교육청 29]
78.78.첫째항이 인 등차수열 에 대하여 수열 을
⋯ 이라 하자. 수열 이 다음 조건을 만족시킨다.
(가) (나)
을 만족시키는 의 최솟값과 최댓값의 합을 구하시오.
[4점][2013(A) 3월/교육청 30]
수학Ⅱ 1. 등차수열과 등비수열 등차수열의 합의 특징
04
79.79.수열 에 대하여 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하자.
수열 은 공차가 인 등차수열이고, 수열 은 공차가 인 등차수열이다. 일 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2010(나) /수능 30]
80.80.공차가 인 두 등차수열 의 첫째항부터 제 항까 지의 합을 각각 이라 하자.
일 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?
[4점][2008(가) 6월/평가원 16]
ㄱ. 이면 이다.
ㄴ.
ㄷ. ≠ 이면 이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
등차수열의 합의 활용 05
81.81.수학자 드무아브르에 대하여 다음과 같은 일화가 전해지고 있다.
드무아브르는 자신의 수면 시간이 매일 분씩 길어진다는 것 을 깨닫고, 수면 시간이 시간이 되는 날을 계산하여 그날에 자신이 죽을 것이라고 예측하였다. 그런데 놀랍게도 그날에 수 면하는 상태에서 생을 마쳤다.
드무아브르가 매일 밤 시에 잠든다고 가정할 때, 처음 이 사실을 알 게 된 날의 수면 시간이 시간이었다면 그날부터 생을 마칠 때까지 깨 어있는 시간의 합은?
[3점][2008(나) 4월/교육청 27]
① ② ③
④ ⑤
82.82.선미는 문제 수가 인 수학책을 첫째 날에는 문제를 풀고 둘째 날부터 매일 문제 수를 만큼씩 증가시키면서 풀어 아홉째 날까지 문 제를 풀고 나면 문제가 남게 된다. 또, 첫째 날에는 문제를 풀고 둘째 날부터 매일 문제 수를 만큼씩 증가시키면서 풀어 일곱째 날까 지 문제를 풀고 나면 문제가 남게 된다. 선미가 풀고자 하는 이 수학 책의 문제 수 의 값을 구하시오.
[4점][2006(나) 3월/교육청 25]
1. 등차수열과 등비수열 Ⅲ 수열
83.83.그림과 같이 원점 O 에서 시작하여 A , A , A , A , A ⋯ A 의 순서대로 각 점을 연결하는 선분을 긋는다. 그어진 모든 선분의 길이의 합이
일 때, 의 값은?[4점][2009(가) 9월/교육청(고2) 21]
O A A
A A
A A
A
A
A A
A
A
A
① ② ③
④ ⑤
84.84.어느 농장에서 마리의 돼지가 일 동안 먹을 수 있는 사료를 마련하였다. 그런데 사료를 주기 시작한 다음 날부터 매일 돼지가 마 리씩 줄어 일 동안 사료를 먹일 수 있었고, 마련한 사료는 다 떨어졌다.
첫째 날 둘째 날 셋째 날 ⋯
사료를 먹는
돼지의 수 ⋯
이때, 의 값을 구하시오. (단, 돼지 한 마리가 하루에 먹는 사료의 양 은 일정하다.)
[4점][2007(가) 9월/교육청(고2) 27]
85.85.이차함수 가 모든 실수 에 대하여
를 만족시킨다. 모든 자연수 에 대하여 이 공차가 인 등차수 열 의 첫째항부터 제 항까지의 합과 같을 때,
이 성립하도록 하는 의 최댓값은?
[4점][2015(나) 9월/교육청(고2) 14]
① ② ③
④ ⑤
86.86.그림과 같이 AC BC 이고, ∠C 인 직각삼 각형 ABC 가 있다.
변 AB 를 등분하는 점 P P ⋯ P를 지나 변 AB 에 수직 인 직선을 그어 변 AC 또는 변 CB 와 만나는 점을 각각 Q, Q,
⋯ , Q라 하자.
PQ PQ PQ ⋯ PQ 의 값을 구하시오.
[4점][2006(나) 3월/교육청 30]
수학Ⅱ 1. 등차수열과 등비수열
2 등비수열
등비수열의 일반항 01
등비수열의 일반항의 활용 02
87.87.반지름의 길이가
인 원이 있다. 그림과 같이 이 원에 내접하 는 두 정삼각형이 겹쳐지는 부분이 정육각형이 되도록 모양의 도형(어두운 부분)을 그린다. 또, 의 정육각형에 내접하는 원을 그리고, 이 원에 내접하는 두 정삼각형이 겹쳐지는 부분이 정육각형이 되도록
모양의 도형 (어두운 부분)를 그린다.
이와 같은 방법으로 모양의 도형 ⋯ 을 그릴 때, 도 형 의 넓이는?
[4점][2008(나) 3월/교육청 17]
①
②
③
④
⑤
03 등비중항
등비수열의 합 04
88.88.세 양수 는 이 순서대로 등비수열을 이루고, 다음 두 조건 을 만족한다.
(가)
(나)
의 값은?
[3점][2006(나) 3월/교육청 27]
①
②
③
④
⑤
89.89.다항식 ⋯ 을 로 나눈 몫을 라고 할 때, 를 로 나눈 나머지는?
[3점][2006(나) 10월/교육청 13]
① ② ③
④ ⑤
90.90.각 항이 양수인 등비수열 에 대하여 수열 을 다음과 같 이 정의한다.
log ( , , , ⋯) 수열 이 다음 조건을 만족시킬 때, 의 값은?
[4점][2010(나) 3월/교육청 15]
(가) ⋯
(나) ⋯
① ② ③
④ ⑤
91.91.자연수 에 대하여 연립부등식
≤ ,
≥
을 만족시키는 좌표평면 위의 점 가 나타내는 영역의 넓이를
이라 하자. 수열 의 첫째항부터 제항까지의 합 에 대하여 log
의 값을 구하시오.
[4점][2011(나) 4월/교육청 30]
1. 등차수열과 등비수열 Ⅲ 수열 등비수열의 합의 특징
05
92.92.수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합 이
일 때, 의 값을 구하시오.
[3점][2012예비(A) 5월/평가원 24]
93.93.일반항이 인 수열 에 대하여 첫째항부터 제 항까 지의 합을 이라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면?
[3점][2004(가) 9월/평가원 14]
ㄱ. 수열 log 은 등차수열이다.
ㄴ. 수열 은 등비수열이다.
ㄷ.
가 성립한다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
등차중항과 등비중항 06
94.94.등차수열 과 공비가 보다 작은 등비수열 이
, , , 를 모두 만족시킬 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2016(나) 10월/교육청 27]
95.95.두 수열 , 이 다음 조건을 만족시킨다.
(가)
(나) 수열 은 공차가 인 등차수열이고, 수열 은 공비 가 인 등비수열이다.
수열 의 모든 항이 수열 의 항이 되도록 하는 보다 큰 모든 자연수 의 합을 구하시오.
[4점][2013(A) 10월/교육청 30]
96.96.그림과 같이 좌표축 위의 다섯 개의 점 A B C D E 에 대하 여 AB ⊥ BC BC ⊥ CD CD ⊥ D E 가 성립한다.
세 선분 AO O C EA 의 길이가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 직선 AB 의 기울기는? (단, O 는 원점이고 O A O B 이다.)
[4점][2006(가) 3월/교육청 14]
①
②
③ ④
⑤
수학Ⅱ 1. 등차수열과 등비수열
3 등비수열의 합의 활용
일정한 비율로 증가(감소) 01
97.97.다음 표는 어느 학교에서 한 달 전에 구입한 휴대용 저장 장치의 용량에 따른 개당 가격과 개수의 현황을 나타낸 것이다.
용량 MB MB MB G B G B
개당 가격
개수
현재 모든 휴대용 저장 장치의 가격이 한 달 전보다 모두 씩 하락 하였다. 이 학교에서 휴대용 저장 장치의 용량과 개수를 위 표와 동일하 게 현재의 가격으로 구입한다면 지불해야 하는 금액은? (단, ＞ 이고
＞이다.)
[4점][2007(나) 6월/평가원 28]
①
②
③
④
⑤
적금과 상환 02
98.98.어느 회사원이 년 초에 만원을 적립하고 다음 해부터 매년 초에 전년도 적립금액의 를 증액하여 적립하기로 하였다. 년 말까지 적립되는 원리합계는? (단, 연이율 , 년마다의 복리로 계산 하고, 로 계산한다.)
[3점][2007(나) 4월/교육청 26]
① 만원 ② 만원 ③ 만원
④ 만원 ⑤ 만원
99.99.지호는 여행비용을 마련하기 위하여 다음 조건으로 저축을 시작하 였다.
(가) 년 월부터 년 월까지 매달 초에 입금한 다.
(나) 첫째 달은 만원을, 두 번째 달부터는 바로 전 달보다
% 증가한 금액을 입금한다.
(다) 매번 입금한 금액에 대하여 입금한 날로부터 개월까지는 월이율 %의 복리로 매달 계산하고, 그 이후에는 월이율
%의 복리로 매달 계산한다.
이와 같은 조건으로 저축하였을 때, 년 월 말의 원리합계는?
(단, , 으로 계산한다.)
[4점][2009(나) 10월/교육청 11]
① 만 천 원 ② 만 천 원 ③ 만 천 원
④ 만 천 원 ⑤ 만 천 원
100.100.월 초에 만원을 월이율 , 개월 마다 복리로 계산하 는 예금 상품에 가입하고, 월부터 그 해 월까지 매월 말에 만원 씩 찾았다. 그 해 월 말에 통장에 남아있는 금액은?
(단, 으로 계산한다.)
[4점][2008(나) 4월/교육청 14]
① 만 원 ② 만 원 ③ 만 원
④ 만 원 ⑤ 만 원
