벡터 연산

제 2 장: 힘 벡터(Force Vector)

2-D 벡터 연산 (2–D Vector Addition) 수업목표:

a) 한 개의 2차원 벡터(힘)를 성분으로 분해하는 법.

b) 2-D 벡터를 직교벡터 표기법을 사용하여 더하는 법.

강의 내용:

강의 내용:

• 예습 퀴즈

• 힘의 합성 원리의 응용

• 평형사변형 법칙

• 직교벡터 표기를 사용한 벡터의 분해

• CVN을 사용한 합

• 복습 퀴즈

예습 확인 퀴 즈

1. 다음 중 스칼라 양은 어느 것인가?

A) 힘 ^(Force) B) 위치^(Position) C) 질량^(Mass) D) 속도^(Velocity)

2. 벡터의 합을 구하기 위해서는 ( ?? ) 법칙을 사용 하여야 한다.

한다.

A) 뉴턴의 제2법칙 (Newton’s the 2^nd law) B) 연산법칙 (the arithmetic summation) C) 파스칼의 법칙 (Pascal’s law)

D) 평행 사변형 법칙 (the parallelogram)

힘(Vector)의 합성법칙 응용 사례

왼쪽 그림에서 브라켓에 네 개의 케이블력이 동시에 작용하고 있다.

작용하고 있다.

브라켓에 작용하는

힘의 합을 어떻게 구할 수 있을까?

• 벡터 합의 공식을 사용하여

스칼라와 벡터량

예: 질량, 부피, 길이 힘, 모멘트, 속도 특징: 크기를 갖는다. 크기와 방향을

(양수 혹은 음수로 규정) 갖는다.

합을 구하는 법: 단순 연산 평형사변형 법칙 특별한 표기: 이탤릭체 (없음) Bold, 선을 긋는다

화살표 A

벡터의 꼬리, 머리

벡터 연산

스칼라의 곱셈과 나눗셈:

- 단순한 곱셈 또는 - 단순한 곱셈 또는

나눗셈과 같이

- 음(-)의 값은 반대 방향 으로 대응하는 벡터

평행 사변형 법칙 혹은 삼각형 법칙을 사용한 힘의 벡터 합

(PARALLELOGRAM LAW OR TRIANGLE LAW)

- 평행 사변형 법칙:

- 삼각형 작도:

- 삼각형 작도:

(화살표 머리에서 꼬리로 연결)

A+B=B+A (교환법칙)

• 그럼, 벡터의 뺄셈은 어떻게 할까? A-B=A+(-B)

• 세 개 이상의 벡터를 기하학적으로 어떻게

더할 수 있을까? A+B+C=(A+B)+C

삼각형 법칙을 사용한 합 벡터의 크기와 방향 계산

- 평행 사변형 법칙 또는삼각형 작도후, 합력의 크기는 코사인법칙을 이용하여,

방향은 사인법칙으로 구한다.

(상당한 계산량을 필요로 함)

삼각형 법칙을 사용한 합 벡터의 크기와 방향 계산 예제들 예제 2-1 (page 36)

예제 2-3 (page 38)

“벡터의 분해”는 벡터(힘)를 그 성분으로 쪼개는 것.

이를 위해 평행 사변형 법칙을 역으로 사용하면 된다.

백터(힘)의 분해

(Resolution of a Vector)

(성분)

(합 벡터 R의 머리로 부터 평행선을 연장하여 성분을 만든다.)

힘 벡터를 직교벡터로 표시 (Section 2.4)

• 그 힘 벡터(F)의 각 성분은 크기와 방향을 갖는다.

• 벡터를 x와 y 축 계를 사용하는 성분으로 분해한다.

크기와 방향을 갖는다.

• 성분벡터의 방향은 x와 y축을 따른다.

• x와 y축 방향을 나타내기 위해 “단위벡터” i 와 j를 사용한다. 그 크기는 | i |= | j |= 1

예를 들면,

F = F_x i + F_y j 혹은 F'

= F'

(a) 여기서 x축과 y축은 언제나 서로 직각을 이룬다.

(단위벡터는 서로 독립적이다).

(b) 좌표축은 임의의 경사각으로도 분해될 수도 있다.

여러 개 힘(벡터)의 합

• 단계 1 은 각 힘을 직각성분 으로 분해하는 것이다.

• 단계 2 는 모든 x성분을 함께 더하고, 그리고 나서 모든 y 성분을 함께 더한다. 이들 두

• 단계 3 은 합 벡터의 크기와 각도를 구하는 것이다.

성분을 함께 더한다. 이들 두 벡터의 합이 합 벡터가 된다.

F_Rx=ΣFx F_Ry=ΣF_y

다수 개 벡터의 합을 구하는 과정의 예,

1단계 2단계

삼각함수와 피타고라스정리를 사용하여,

2-D 벡터를 크기와 각도를 갖는 벡터로 나타낼 수 있다.

F _Rx =ΣF x F _Ry =ΣF _y

48페이지 요점 참고

예 제

주어진 값: 어떤 브라켓에 작용하는 세 개의 힘.

목표: 합력의 크기와 각도를 구한다.

계획 (풀이):

a) x-y축 성분으로 각각의 힘들을 분해한다.

b) 합력 벡터를 얻기 위해 각 방향의 성분들을 더한다.

c) 합성분을 사용하여 크기와 각도를 구한다.

F_Rx=ΣFx F_Ry=ΣF_y

예 제

F = { 15 sin 40° i + 15 cos 40° j } kN F₁ = { 15 sin 40° i + 15 cos 40° j } kN

= { 9.642 i + 11.49 j } kN

F₂ = { -(12/13)26 i + (5/13)26 j } kN

= { -24 i + 10 j } kN

F₃ = { 36 cos 30° i – 36 sin 30° j } kN

= { 31.18 i – 18 j } kN

모든 x축 방향(i)성분과 y축 방향(j)성분들의 합을 구한다.

그러면,

F_R = { (9.642 – 24 + 31.18) i + (11.49 + 10 – 18) j } kN

= { 16.82 i + 3.49 j } kN

y

예 제

x y

φ

F_R 합력의 크기:

F_R = ((16.82)² + (3.49)²)^1/2 = 17.2 kN 합력이 x축과 이루는 각도:

φ = tan^-1(3.49/16.82) = 11.7°

개념 퀴즈

1. 어떤 2차원(2-D) 벡터를 90° 를 이루지 않는 두 방향(직각이 아닌 방향)으로 분해할 수 있을까?

A) Yes, 그러나 유일하지는 않음.

B) No.

C) Yes, 유일함.

2. 어떤 2-D 벡터를 임의의 세 방향(예를 들면 0, 60, 와 120°)으로 분해할 수 있을까?

A) Yes, 그러나 유일하지는 않음.

B) No.

C) Yes, 유일함.

그룹 문제 해결

주어진 값: 어떤 브라켓에 작용하는 세 개의 힘.

목표: 합력의 크기와 각도를 구한다.

계획(풀이):

a) x-y축방향 성분으로 각각의 힘을 분해한다.

b) 합력 벡터를 얻기 위해 각방향 성분들을 더한다.

c) 합력성분을 구하는 방법으로 합력의 크기와 각도를 구한다.

F₁ = { (4/5) 850 i - (3/5) 850 j } N

그룹 문제 해(계속)

F₁ = { (4/5) 850 i - (3/5) 850 j } N

= { 680 i - 510 j } N

F₂ = { -625 sin(30°) i - 625 cos(30°) j } N

= { -312.5 i - 541.3 j } N

F₃ = { -750 sin(45°) i + 750 cos(45°) j } N { -530.3 i + 530.3 j } N

모든

i

j

F_R = { (680 – 312.5 – 530.3) i + (-510 – 541.3 + 530.3) j }N

= { - 162.8 i - 521 j } N

F = ((162.8)² + (521)²) ^½ = 546 N

y

그룹 문제 해(계속)

F_R = ((162.8)² + (521)²) ^½ = 546 N φ= tan^–1(521/162.8) = 72.64° or

From Positive x axis θ = 180 + 72.64 = 253 °

φ

y

x

F

주의 퀴즈

1. 그림의 힘F 를 x와 y 축을 따라서 분해 하고 그것을 벡터형태로 기술하면,

F = { ___________ } N

A) 80 cos (30°) i - 80 sin (30°) j B) 80 sin (30°) i + 80 cos (30°) j C) 80 sin (30°) i - 80 cos (30°) j

30°

x y

F = 80 N C) 80 sin (30°) i - 80 cos (30°) j

D) 80 cos (30°) i + 80 sin (30°) j

2. F₁ = { 10 i + 20 j } N 과 F₂ = { 20 i + 20 j } N 일 때, 합력 (F₁ + F₂) 의 크기를 N으로 나타내어라.

A) 30 N B) 40 N C) 50 N D) 60 N E) 70 N

F = 80 N

P. 50: 예제 2.6 그림 2.18(a)의 링크에 두개의 힘F₁ 과 F₂ 가 작용하고 있다. 합력의 크기와 방위를 구하시오 P. 49: 예제 2.5 그림 2.17(a)의 붐에 작용하는 두 힘F₁ 과

F₂ 의 x, y방향성분을 구하라. 각 힘을 직교벡터로 나타내시오.

P. 51: 예제 2.7 그림 2.19(a)의 붐의 끝부분 O점에서 P. 51: 예제 2.7 그림 2.19(a)의 붐의 끝부분 O점에서

동일평면에 작용하는 세 힘이 모두 만나고 있다.

합력의 크기와 방위를 구하시오

레포트: 52페이지 2-31번에서 2-50번까지 에서 자기 학번의 끝번에 해당하는 문제를 풀어서 이번 주 금요일까지 담당교수에게 직접제출할 것.