1 벡터의 연산
1.삼각형 ABC에서 AB , ∠B , ∠C 이다.
점 P 가 PB PC 를 만족시킬 때,
PA
의 값은?[3점][2012(가) /수능 8]
① ② ③
④ ⑤
2.타원
의 두 초점을 F F′이라 하자. 이 타원 위의 점 P 가
OP OF
을 만족시킬 때, 선분 PF의 길이는 이다. 의 값 을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)[3점][2007(가) 수능(홀) 20]
3.AB , BC 인 직사각형 ABCD 에 대하여 네 선분 AB, CD , DA, BD 의 중점을 각각 E, F, G , H 라 하자. 선분 CF 를 지름으로 하는 원 위의 점 P 에 대하여
EG HP
의 최댓값은?[4점][2016(가) 10월/교육청 18]
① ②
③
④
⑤
4.그림과 같이 선분 AB 위에 AE DB 인 두 점 D , E 가 있다.
두 선분 AE DB 를 각각 지름으로 하는 두 반원의 호 AE , DB 가 만 나는 점을 C 라 하고, 선분 AB 위에 OA OB 인 두 점을 O, O라 하자. 호 AC 위를 움직이는 점 P 와 호 DC 위를 움직이는 점 Q 에 대하여
OP OQ
의 최솟값이 일 때, 선분 AB 의 길이는
이다. 의 값을 구하시오.
(단, OO 이고, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2016(가) 6월/평가원 28]
5.그림과 같이 평면 위에 반지름의 길이가 인 네 개의 원
,
,
,
가 서로 외접하고 있고, 두 원
,
의 접점을 A라 하자. 원
위를 움직이는 점 P 와 원
위를 움직이는 점 Q 에 대하여
AP AQ
의 최댓값은?[4점][2013(B) 10월/교육청 21]
①
② ③
④
⑤ 6.그림과 같이 반지름의 길이가 이고 중심 각의 크기가
인 부채꼴 OAB에서 선분
OA의 중점을 M이라 하자. 점 P 는 두 선 분 OM과 BM 위를 움직이고, 점 Q 는 호 AB 위를 움직인다. OR OP OQ 를 만 족시키는 점 R가 나타내는 영역 전체의 넓이는?
[4점][2014(B) 삼사 15]
①
② ③
④ ⑤
2 벡터의 실수배
7.좌표평면 위의 점 A 가 부등식 ≥
이 나타내는 영역에서 움
직일 때, 벡터 OB
OA
OA
의 종점 B 가 나타내는 도형의 길이는?
(단, O 는 원점이다.)
[3점][2004(자) /수능(홀) 20]
①
②
③
④
⑤
1 위치벡터
8.넓이가 인 삼각형 ABC에 대하여 점 P 가
PA PB PC 을 만족시킬 때, 삼각형 PAB의 넓이를 구하시오.
[4점][2016(가) 5월/전북 27]
9.AB AC 인 이등변삼각형 ABC의 내부의 점 P 가
PA PB PC
를 만족시킨다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2016(가) 10월/경남교육청파이널 17]
ㄱ.
PB
PC
ㄴ. PA∙ BC
ㄷ. 삼각형 ABP 의 넓이가 이면 삼각형 ABC의 넓이는 이 다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
10.직사각형 ABCD 의 내부의 점 P 가
PA PB PC PD CA
를 만족시킨다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2016(가) 9월/평가원 16]
ㄱ. PB PD CP ㄴ. AP
AC
ㄷ. 삼각형 ADP 의 넓이가 이면 직사각형 ABCD 의 넓이는 이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
11.그림과 같이 한 평면 위에서 서로 평행한 세 직선 , , 가 평행한 두 직선 , 와 A, B, C, X , O , Y 에서 만나고 있 다. OA , OB , OC
라고 할 때, AP ( 는 실수)를 만족시키는 점 P 가 나타 내는 도형은?
[2점][2003(자) 6월/평가원 6]
① 직선 AY ② 직선 AO ③ 직선 AX
④ 직선 AB ⑤ 직선 CX
12.평면 위에 삼각형 OAB 가 있다.
OP OA OB ( ≥ , ≥ )
를 만족하는 점 P 가 그리는 도형에 대한 옳은 설명을 <보기>에서 모두 고른 것은?
[4점][2005(가) 10월/교육청 9]
ㄱ. 일 때, 점 P 가 그리는 도형은 선분 AB 이다.
ㄴ. 일 때, 점 P 가 그리는 도형의 길이는 선분 AB 의 길이보다 크다.
ㄷ. ≤ 일 때, 점 P 가 그리는 영역은 삼각형 OAB 를 포함한다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
13.그림과 같이 OA , OB , ∠AOB 인 삼각형 OAB 가 있다. 연립부등식 ≥ , ≤ , ≥ 을 만족시키는
에 대하여 벡터 OP OA OB 의 종점 P 가 존재하는 영 역의 넓이를
라 할 때,
의 값을 구하시오.[4점][2009(가) 삼사 30]
B
A
O °
2 평면벡터의 성분
14.두 벡터 , 에 대하여 벡터 의 모든 성분 의 합은?
[2점][2016(가) 10월/경남교육청파이널 1]
① ② ③
④ ⑤
15.두 벡터 에 대하여 의 모든 성분의 합 은?
[2점][2017(가) 수능 1]
① ② ③
④ ⑤
16.벡터 에 대하여 벡터 의 모든 성분의 합은?
[2점][2016(가) 6월/평가원 1]
① ② ③
④ ⑤
17.두 벡터 , 에 대하여 는?
[2점][2016(가) 10월/교육청 1]
① ② ③
18.두 벡터 에 대하여 벡터 의 모든 성분 의 합은?
[2점][2016(가) 9월/평가원 1]
① ② ③
④ ⑤
19.두 벡터 과 에 대하여 의 값은?
[3점][2015(B) 10월/교육청 5]
① ② ③
④ ⑤
20.두 벡터 , 에 대하여
의 값은?[2점][2016(가) 7월/교육청 3]
①
②
③
④
⑤
3 평면벡터의 내적
21.좌표평면 위에 원점 O 를 시점으로 하는 서로 다른 임의의 두 벡터
OP , OQ 가 있다. 두 벡터의 종점 P , Q 를 축 방향으로 만큼, 축 방향으로 만큼 평행이동시킨 점을 각각 P′, Q′ 이라 할 때, <보기>
에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?
[3점][2006(가) /수능(홀) 4]
ㄱ.
OP OP′
ㄴ.
OP OQ
OP′ OQ′
ㄷ. OP ⋅OQ OP′⋅OQ′
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
22.그림과 같이 한 변의 길이가 인 정육 각형 ABCDEF 가 있다. 두 벡터 AD ,
AE 의 내적 AD ∙ AE 의 값을 구하시 오.
[3점][2009(가) 10월/교육청 19]
23.AB 를 지름으로 하는 원 O 위의 한 점 P 에 대하여 AB ,
BP 일 때, 내적 AB∙ AP 의 값은?
[3점][2002(자) 7월/부산 18]
P
A
∙
BO
① ② ③
④ ⑤
24.세 점 O A B 에 대하여 두 벡터 OA , OB 가 다음 조 건을 만족시킨다.
(가) ∙
(나)
이때, 두 선분 OA, OB 를 두 변으로 하는 평행사변형의 넓이는?
[3점][2007(가) 10월/교육청 4]
①
②
③
④
⑤
25.평면 위에 한 변의 길이가 인 정삼 각형 ABC 와 정사각형 BDEC 가 그림 과 같이 변 BC 를 공유하고 있다. 이 때, AC∙ AD 의 값은?
[3점][2007(가) 삼사 6]
① ②
③
④
⑤
26.AD AB 인 직사각형 모양의 종이 A B C D 가 있다. 대 각선 A C 를 접는 선으로 하여 평면 A B C 가 평면 A C D 와 수직이 되게 접는다.
접은 도형에서 내적 AB ⋅ DC
( 는 서로소인 자연수)일 때,
의 값을 구하시오.
[4점][2004(가) 10월/교육청 22]
A
D E C
B
27.그림과 같이 반지름의 길이가 인 반원의 호를 등분하여 양 끝점과 각 분점을 왼쪽부터 차례로
P, P, P, P, P, P, P
이라 하자. 이 개의 점 중에서 임의로 선택한 서로 다른 두 점을 각각 P, P ≤ ≤ 이라 하고, 선분 PP의 중점을 O 라 하자.
두 벡터 OP, OP의 내적 OP⋅OP의 값을 확률변수
라 할 때, E
이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2014(B) 10월/교육청 27]
28.∠BAC 이고 ∠BCA 인 둔각삼각형 ABC 가 있다.
그림과 같이 ∠BAC 의 이등분선과 선분 BC 의 교점을 D , ∠BAC 의 외각의 이등분선과 선분 BC 의 연장선의 교점을 E 라 할 때, <보기>에 서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?
[3점][2008(가) 삼사 7]
A
B D C E
°
ㄱ. AB AC AD ㄴ. AB∙ AD AC∙ AE ㄷ. AB∙ AC AD ∙ AE
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
29.오른쪽 그림의 어두운 영역에 속하는 모든 점 A 에 대하여 두 벡터 OA 와
OB 의 내적이 OA∙ OB ≤ 을 만 족시키는 점 B가 있다. 이러한 모든 점 B 의 영역을 좌표평면 위에 바르게 나타 낸 것은? (단, 어두운 부분의 경계선은 포함한다.)
[3점][2003(자) 9월/평가원 12]
① ②
③ ④
⑤
30.평면 위의 두 점 O, O 사이의 거리가 일 때, O, O를 각각 중 심으로 하고 반지름의 길이가 인 두 원의 교점을 A, B라 하자. 호 AOB 위의 점 P 와 호 AOB 위의 점 Q 에 대하여 두 벡터 OP ,
OQ 의 내적 OP ⋅OQ 의 최댓값을
, 최솟값을 이라 할 때,
의 값은?[3점][2008(가) 9월/평가원 7]
① ②
③
31.그림과 같이 두 점 O, O를 중심으로 하는 반지름의 길이가 각각
인 두 원이 내접하고, 큰 원의 지름 AB 와 선분 OO가 수직이 다. 점 P 가 작은 원 위를 움직일 때, 두 벡터 OP , OA 의 내적
OP ∙ OA 의 최댓값
에 대하여
의 값을 구하시오.[4점][2011(가) 10월/대전 30]
32.두 벡터 , 에 대하여 ∙ 의 값은?
[2점][2016(가) 5월/전북 1]
① ② ③
④ ⑤
33.두 벡터 , 에 대하여 내적 ∙ 의 값을 구하시오.
[3점][2005(가) 10월/교육청 18]
34.두 벡터 과 에 대하여 내적 ∙ 의 값은?
[2점][2003(자) /수능(홀) 3]
① ② ③
④ ⑤
35.두 벡터 , 에 대하여 ∙ 을 만족시키는 실수 의 값을 구하시오.
[3점][2016(가) 6월/평가원 23]
36.좌표평면 위의 두 점 A , B 에 대하여
OB ∙ AB 일 때, 양수 의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)
[3점][2012예비(B) 5월/평가원 23]
37.좌표평면 위의 네 점 O , A , B , C 에 대 하여 OA∙ BC 의 값은?
[3점][2015(B) 9월/평가원 6]
① ② ③
④ ⑤
38.좌표평면 위의 점 A 와 벡터 에 대하여 점 P 가
OP OA (는 실수)
를 만족시킨다. 점 P 가 나타내는 직선과 직선 OA가 이루는 예각의 크 기가 °가 되도록 하는 모든 실수 의 값의 합은? (단, O 는 원점이 다.)
[4점][2016(가) 5월/전북 18]
① ② ③
④ ⑤
39.그림은 한 변의 길이가 인 정사각 형 개를 붙여 만든 도형이다. 개 의 꼭짓점 중 한 점을 시점으로 하고 다른 한 점을 종점으로 하는 모든 벡 터들의 집합을
라 하자. 집합
의 두 원소 , 에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?[3점][2008(가) 10월/교육청 8]
ㄱ. ⋅ 이면
,
의 값은 모두 정수이다.ㄴ.
,
이면 ⋅ ≠ 이다.ㄷ. ⋅ 는 정수이다.
< 보 기 >
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
40.두 벡터 와 가 서로 수직일 때, 의 값은?
[2점][2016(가) 8월/영남권 1]
① ② ③
④ ⑤
41.두 벡터 가 서로 수직일 때, 의 값은?
[2점][2011(가) 9월/평가원 2]
① ② ③
④ ⑤
42.두 벡터 에 대하여
이고, 두 벡터 와 가 서로 수직일 때, ∙ 의 값은?
[3점][2016(가) 9월/평가원 8]
①
②
③
④
⑤
43.서로 평행하지 않은 두 벡터 에 대하여
이고, ∙ 일 때, 두 벡터 와 가 서로 수직이 되도록 하는 실수 의 값은?
[3점][2014(B) 9월/평가원 5]
① ② ③
④ ⑤
44.서로 직교하는 두 벡터 와 에 대하여 이고 일 때, 의 값은?
[2점][2002(자) 9월/평가원 2]
45.크기가 인 두 벡터 , 가 을 만족할 때, , 가 이루는 각 의 크기는? (단, ≤ ≤ )
[3점][2004(가) 9월/평가원 3]
①
②
③
④
⑤
46.두 벡터 에 대하여 일 때, 내 적 ∙ 의 값은?
[2점][2014(B) 삼사 3]
① ② ③
④ ⑤
47.두 벡터 가 , , 을 만족시킬 때,
∙ 의 값은?
[2점][2011(가) 삼사 3]
① ② ③
④ ⑤
48.좌표공간에서 원점에 대한 세 점 A B C 의 위치벡터를 차례로 ,
, 라 할 때, 이들 벡터 사이의 내적을 표로 나타내면 다음과 같다.
∙
예를 들어, ∙
이다. 세 점 A B C 에 대하여 두 점 사 이의 거리의 대소 관계로 옳은 것은?[4점][2017(가) /수능 16]
① AB AC BC
② AB BC AC
③ AC AB BC
④ BC AB AC
⑤ BC AC AB
49.두 평면벡터 , 가
,
,
를 만족시킬 때, 두 평면벡터 , 가 이루는 각을 라 하자. cos 의 값은?
[3점][2016(가) 7월/교육청 9]
①
②
③
④
⑤
50.두 벡터 , 가 이루는 각의 크기가 이고,
,
일 때, 의 값은?[2점][2015(B) 삼사 3]
①
②
③
④
⑤ 51.두 벡터 가 이루는 각이 이다. 의 크기는 이고, 의 크기가
일 때, 의 크기는?[2점][1997(자) 수능(홀) 3]
① ② ③
④ ⑤
52.두 위치벡터 OA 와 OB 이 주어졌을 때, 다음을 만족시키는 점 C에 대한 위치벡터 OC 의 크기의 최댓값과 최솟값의 합 을 구하시오.
[4점][2003예비(가) 12월/평가원 24]
CA⋅CB
53.좌표평면 위에 세 점 O A B 가 있다. 점 P
가 두 조건
PA ⋅ PB ≤ , OP ⋅ OA OB ≤ 를 만족할 때, 점 P 가 존재하는 영역의 넓이는?
[4점][2004(가) 10월/교육청 13]
① ②
③ ④ ⑤
54.한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC 에서 변 AB 를 로 내분 하는 점을 D 라 하고, 변 AC 를 과 으로 내분하는 점을 각각 E, F 라 할 때,
BF DE
의 값은?[3점][2013(B) 9월/평가원 11]
① ② ③
④ ⑤
55.그림과 같이 점 O 를 중심으로 하고, 길이가 인 선분 AB를 지름으 로 하는 반원이 있다. 이 반원의 내부에 AC 인 점 C를 잡고,
∆ABC의 내접원의 중심을 O′이라 하자. 선분 AO′의 연장선과 선분 BC의 교점을 N, 반원과의 교점을 P 라 하고, 선분 BC의 중점을 M, 선분 AM의 연장선과 선분 BP 의 교점을 Q 라 하자. 옳은 것만을 <보 기>에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2010(가) 11월/대전 14]
ㄱ. AN∙ BQ ㄴ. AN
AB
AC
ㄷ. AQ AM
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
56.평면에서 그림의 오각형 ABCDE가
AB BC , AE ED , ∠B ∠E °를 만족시킬 때, 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2010(가) /수능 14]
ㄱ. 선분 BE 의 중점 M 에 대하여 AB AE 와 AM은 서로 평행하다.
ㄴ. AB∙ AE BC∙ ED ㄷ. BC ED BE
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
57.한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발을 H라 하자. 점 P 가 선분 AH 위를 움직일 때,
PA ⋅PB
의 최댓값은
이다. 의 값을 구하시오. (단, 와
는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2013(가) /수능 26]
58.그림과 같이 반지름의 길이가 이고 중심 각의 크기가
인 부채꼴 OAB가 있다. 호
AB 위를 움직이는 두 점 P Q 에 대하여
<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?
[3점][2007(가) 삼사 12]
ㄱ. OP OQ 의 최솟값은
이다.ㄴ. OP OQ 의 최댓값은
이다.ㄷ. OP ∙ OQ 의 최댓값은 이다.
< 보 기 >
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
B O
A
Q P
59.그림과 같이 평면 위에 정삼각형 ABC와 선분 AC를 지름으로 하는 원
가 있다. 선분 BC 위의 점 D 를 ∠DAB 가 되도록 정한다.
점
가 원
위를 움직일 때, 두 벡터 AD CX 의 내적 AD ∙ CX 의 값이 최소가 되도록 하는 점 X 를 점 P 라 하자. ∠ACP 일 때,
의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2011(가) /수능 22]
60.그림과 같이 AB 인 삼각형 ABC 에 내접하는 원의 중심을 I 라 하고, 점 I 에서 변 BC 에 내린 수선의 발을 D 라 하자. BD 일 때,
BA∙ BI 의 값을 구하시오.
[3점][2016(가) 10월/교육청 25]
61.그림과 같이 삼각형 ABC 에 대하여 꼭짓점 C 에서 선분 AB 에 내린 수선의 발을 H 라 하자. 삼각형 ABC 가 다음 조건을 만족시킬 때,
CA∙ CH 의 값은?
[4점][2016(가) 7월/교육청 19]
A H B
C
(가) 점 H 가 선분 AB 를 으로 내분한다.
(나) AB∙ AC
(다) 삼각형 ABC 의 넓이는 이다.
① ② ③
④ ⑤
62.두 점 A , B 와 타원
위를 움직이는 점 P 에 대하여, AB∙ AP 가 최대가 되는 점 P 에서의 접선의 방정식은
이다. 의 값을 구하시오.
[4점][2010(가) 11월/대전 21]
63.그림은 AB , AD
인 직사각형 ABCD 와 이 직사각형의 한 변 CD 를 지름으로 하는 원을 나타낸 것이다. 이 원 위를 움직이는 점 P 에 대하여 두 벡터 AC , AP 의 내적 AC∙ AP 의 최댓값은?(단, 직사각형과 원은 같은 평면 위에 있다.)
[4점][2010(가) 10월/교육청 11]
① ② ③
④ ⑤
64.평면에서 그림과 같이 AB 이고 BC
인 직사각형 ABCD 와 정삼각형 EAD 가 있다. 점 P 가 선분 AE 위를 움직일 때, 옳은 것 만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?[4점][2010(가) 9월/평가원 14]
ㄱ.
CB CP
의 최솟값은 이다.ㄴ. CA∙ CP 의 값은 일정하다.
ㄷ.
DA CP
의 최솟값은
이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
65.한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 에서 변 AB와 변 AD 에 모두 접하고 점 C를 지나는 원을
라 하자. 원
위를 움직이는 점 X 에 대하여 두 벡터 AB , CX 의 내적 AB∙ CX 의 최댓값은
이 다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 자연수이다.)[4점][2015(B) 삼사 29]
66.함수
의 그래프는 그림과 같다. 함수 의 그
래프 위의 두 점 P , Q
을 지나는 직선의 방향벡터 중 크기가
인 벡터를 라 하자. 의 값 은?[3점][2016(가) 7월/교육청 13]
O
① ② ③
④ ⑤
4 평면벡터의 방정식
67.좌표평면에서 두 직선
,
이 이루는 예각의 크기를 라 할 때, cos 의 값은?
[3점][2016(가) 6월/평가원 12]
①
②
③
④
⑤
1 속도와 가속도
68.좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 에서의 위치
가
이다. 시각 에서 점 P 의 속력은?
[3점][2017(가) /수능 10]
①
② ③
④
⑤
69.좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 에서의 위치 가
cos , sin 이다. 시각
에서의 점 P 의 속력이 일 때, 의 값을 구하시오.
[3점][2016(가) 10월/경남교육청파이널 25]
70.좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 에서의 좌표가 각각
sin cos 일 때, 점 P 의 속력의 최댓값은? (단,
≥ )
[3점][2012(가) 삼사 4]
① ②
③ ④
⑤
71.좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 에서의 위치가
sin cos sin cos
이다. 점 P 의 속력의 최댓값을
라 할 때, 의 값을 구하시오.
(단, 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2010(가) 11월/대전 30]
72.양의 실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 에 대하여 좌 표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 ≥ 에서의 위치 가
ln 이다. 점 P 가 점 로부터 움직인 거리가 가 될 때, 시각 는
이고, 일 때, 점 P 의 속도는
이다. 시각 일 때 점 P 의 가속도를
라 할 때, 의 값을 구하 시오.[4점][2016(가) 6월/평가원 29]
73.수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각 에서의 위치 가
cos
이다. 점 P 의 시각
에서의 가속도의 크기를 구하시오.
[4점][2015(B) 7월/교육청 26]
74.좌표평면 위의 반지름의 길이가 인 원
와 이 원 위를 움직이는 점 P 가 다음 조건을 만족시킨다.(가) 점 P 는 원
위를 시계 반대 방향으로 매초 의 속력 으로 움직인다.(나) 원
는 축의 양의 방향으로 매초 의 속력으로 움 직인다.원
는 중심이 원점에서, 점 P 는 점 에서 동시에 출발할 때, 원
의 중심과 점 P 를 지나는 직선이 직선 와 만나는 점을 Q 라 하자. 출발한 후 초가 되는 순간, 점 Q 는 직선 위를
매초 의 속력으로 움직인다. 의 값을 구하시오.
[4점][2009(가) 10월/교육청 30]
75.원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 P , Q 의 시각
에서의 위치 P, Q는 다음과 같다.
P , Q ln
두 점 P , Q 가 서로 반대 방향으로 움직이는 시각 의 범위가
일 때, 실수 의 값은?
[3점][2012(가) 3월/교육청 9]
① ②
③
④
⑤
76.좌표평면 위에 그림과 같이 중심각의 크기가 °이고 반지름의 길이 가 인 부채꼴 OAB가 있다. 점 P 가 점 A에서 출발하여 호 AB를 따라 매초 의 일정한 속력으로 움직일 때, ∠AOP °가 되는 순 간 점 P 의 좌표의 시간(초)에 대한 변화율은?
[3점][2007(가) 9월/평가원 28]
①
②
③
④ ⑤
77.그림과 같이 지면에서 회전 주심 O 까지의 높이가 m 이고 반지름 의 길이가 m 인 원 모양의 관람차가 rad분의 일정한 속력으로 시계반대방향으로 돌고 있다. 개의 관람차량 중 한 차량에 탑승하고 있는 칠수가 A 지점을 통과하는 순간 점 H 와 칠수 사이의 거리의 시간 에 대한 변화율은 m분이다. 의 값은? (단, 점 H 는 중심 O 에서 지면에 내린 수선의 발, ∠AOH , 관람차량의 크기는 무시한다.
[4점][2011(가) 10월/대전 21]
①
②
③
④
⑤
78.길이가 인 선분 AB 를 지름으로 하는 반원이 있다. 그림과 같이 두 점 P Q 가 점 B 에서 동시에 출발하여 다음 조건을 만족시키면서 반원 위를 움직인다.
(가) ∠QAB ∠PAB
(나) 선분 BP 의 길이의 시간(초)에 대한 변화율은
이다.
점 P 가 점 B 에서 출발하여 초가 되는 순간 선분 AQ 의 길이의 시간 (초)에 대한 변화율은 이다. 의 값을 구하시오.
(단, ≤ ∠PAB
이다.)
79.좌표평면 위에 그림과 같이 중심각의 크기가
이고 반지름의 길이가
인 부채꼴 OAB가 있다. 점 P 가 점 A 에서 출발하여 호 AB 위를 시계 반대 방향으로 매초 의 일정한 속력으로 움직일 때, 축 위 의 점 Q 는 PQ
를 만족시키면서 축 위를 움직인다.
O A
B
Q P
∠POA
가 되는 순간, 점 Q 의 좌표의 시간(초)에 대한 변화율
을 라 할 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2012(가) 4월/교육청 30]
80.곡선
≥ 과 곡선
의 접선
이 있다. 곡선
위의 점 P 에서 축에 평행한 직선을 그어 접선과 만나는 점을 Q 라 하자.점 P 가 점 A 을 출발하여 곡선 위를 매초 의 일정한 속력으로 점 B 까지 이동할 때, 시간(초)에 대한 선분 PQ 의 길이의 순 간변화율의 최댓값을 구하시오.
[4점][2014(B) 7월/교육청 26]
P Q
81.지면에서 회전 중심축까지의 높이가 이고, 길이가 인 풍력 발 전기의 날개가 축을 중심으로 일정한 속력으로 시계반대방향으로 돌고 있다. 지면에서 날개 끝까지의 높이가 가 될 때, 시간(초)에 따른 높 이의 변화율이 이고, 풍력 발전기의 날개가 한 바퀴 도는데 걸 리는 시간을 초라 하자.
( 는 서로소)일 때, 의
값을 구하시오. (단, 축은 지면과 평행하고 축과 날개의 두께는 고려하지 않는다.)
[4점][2009(가) 7월/교육청 30]
82.높이가 m 인 번지점프대에 길이가
m 인 원기둥 모양의 탄력줄이 연결되 어 있다. 이 탄력줄은 힘을 주어 길이가 늘어나도 원기둥 모양이 유지되며 그 부 피는 변하지 않는다고 한다.
어떤 사람이 탄력줄을 매고 점프대를 출발한 후 m였던 탄력줄의 길이가
m 로 되는 순간에 탄력줄의 길이가 늘어나는 속도는 m초 이고, 탄력줄
83.좌표평면에서 축 위를 움직이는 점 P 의 시각 ( )에서의 좌표는
이다. 점 P 를 지나고 축에 수직인 직선이 곡선 sin 와 만나는 점을 Q 라 할 때, 점 P 를 중심으로 하고 선분 PQ 를 반지름으로 하는 원의 넓이를
라 하자.
인 순간, 넓이
의 에 대한 변화율은?[4점][2007(가) 10월/교육청 28]
① ②
③
④
⑤
84.한 변의 길이가
인 정삼각형과 그 정삼각형에 내접하는 원으로 이루어진 도형이 있다. 이 도형에서 정삼각형의 각 변의 길이가 매초
씩 늘어남에 따라 원도 정삼각형에 내접하면서 반지름의 길이가 늘 어난다. 정삼각형의 한 변의 길이가
이 되는 순간, 정삼각형에 내 접하는 원의 넓이의 시간(초)에 대한 변화율이 이다. 이때, 상수 의 값을 구하시오.[4점][2011(가) 7월/교육청 24]
85.두 곡선 과 축 위의 점 P 가 있다.
점 P 를 지나고 축과 평행한 직선이 두 곡선 과 만나 는 점을 각각 A B라 하자. 또, 점 B를 지나고 축과 평행한 직선이 곡선 과 만나는 점을 C라 하고, 점 C를 지나고 축과 평행한 직선이 곡선 과 만나는 점을 D라 하자. 점 P 가 점 를 출 발하여 축의 양의 방향으로 매초 의 일정한 속도로 움직인다. 점 P 가 점 를 지나는 순간, 삼각형 ADC의 넓이의 시간(초)에 대한 순간변화율은?
[4점][2013(B) 3월/교육청 14]
① ln
② ln
③ ln
④ ln
⑤ ln
86.그림과 같이 좌표평면에서 원 위의 점 P 는 점 A
에서 출발하여 원 둘레를 따라 시계 반대 방향으로 매초
의 일정한
속력으로 움직이고 있다. 점 Q 는 점 A에서 출발하여 점 B 을 향하여 매초 의 일정한 속력으로 축 위를 움직이고 있다. 점 P 와 점 Q 가 동시에 점 A에서 출발하여 초가 되는 순간, 선분 PQ , 선분 QA, 호 AP 로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를
라 하자. 출발한 지 초가 되는 순간, 넓이
의 시간(초)에 대한 변화율은?[4점][2008(가) 수능(홀) 29]
①
②
③
④
⑤
87.좌표평면 위에 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원 O 와 네 점 A B C D 을 꼭짓점으로 하는 정 사각형 ABCD 가 있다. 원 O 의 중심이 축을 따라 양의 방향으로 매 초 의 일정한 속력으로 움직인다. 초 후 원의 내부와 정사각형 ABCD 의 내부가 겹치는 부분의 넓이를
라 하자. 원 O 의 중심이
을 지나는 순간, 넓이
의 시간(초)에 대한 변화율은?(단, ≤ ≤ )
[4점][2012(가) 7월/교육청 19]
O
A
B C
D
①
②
③
④
⑤
88.그림과 같이 좌표평면 위의 반지름의 길이가 인 사분원 OAB 에 대 하여 각 AOB를 이등분하는 직선이 사분원과 만나는 점을 C 라 하자.
두 점 P , Q 는 점 C에서 동시에 출발하여 사분원의 둘레를 따라 각각 시계 방향, 시계 반대 방향으로 매초
의 일정한 속력으로 움직인다.
두 점 P , Q 가 점 C에서 출발하여 초 가 되는 순간, 선분 PQ 를 한 변으로 하고 사분원 OAB 에 내접하는 직사각형의 넓이를
라 하자. 출발한 지 초가 되는 순간, 넓이
의 시간(초)에 대한 변화율은?[4점][2011(가) 3월/교육청 20]
①
②
③
④
⑤
89.그림과 같이 좌표평면에서 원 위의 점 P 가 점 에 서 출발하여 원점을 중심으로 매초
(라디안)의 일정한 속력으로 원
위를 시계 반대 방향으로 움직이고 있다. 점 P 에서 축에 평행한 직선 을 그을 때, 원과 직선으로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를
라 하자.점 P 가 점
을 지나는 순간, 넓이
의 시간(초)에 대한 변화 율은 이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이
다.)
[4점][2007(가) 수능(홀) 30]
90.그림과 같이 원점 O 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원이 있 다. 직선
와 원이 제사분면에서 만나는 점을 A라 하자. 점 P 는 원점 O 를 출발하여 축을 따라 양의 방향으로 매초 의 일정한 속력으로 움직인다. 점 P 가 원점 O 를 출발하여 초가 되는 순간, 점 P 를 지나고 직선
에 평행한 직선이 제사분면에서 원과 만나는 점을 Q 라 하자.세 선분 AO , OP , PQ 와 호 QA로 둘러싸인 부분의 넓이를
라 할 때, 점 Q 의 좌표가 가 되는 순간, 넓이
의 시간(초)에 대한 변화율 을 구하시오. (단, )[4점][2015(B) 4월/교육청 30]
O
A
Q
P
91.밑면의 지름의 길이가 이고 높이가 인 원기둥이 있다. 그림과 같 이 평행한 두 선분 AB 와 DC 는 서로 다른 두 밑면의 지름이고, 두 선 분 DA 와 AB 는 수직이다.
점 P 가 매초 의 일정한 속력으로 원기둥의 옆면을 따라 점 A 에서 출발하여 선분 CB 위의 점을 지나 점 D 까지 최단거리로 움직인다. 점 P 에서 선분 AB 를 포함하는 밑면에 내린 수선의 발을 H 라 하고, 삼각 형 PAH 의 넓이를
라 하자.점 P 가 점 A 에서 출발한 지 초가 되는 순간, 넓이
의 시간 (초)에 대한 변화율은 이다. 의 값을 구하시오. (단, , 는
서로소인 자연수이다.)
[4점][2010(가) 10월/교육청 30]
92.그림과 같은 원모양의 시계가 있다. 시계의 중심을 O , 길이가 인 시침의 끝점을 P , 길이가 인 분침의 끝점을 Q 라 할 때, 삼각형 OPQ 의 넓이를
라 하자. 시 정각이 되는 순간, 넓이
의 시간(분) 에 대한 순간변화율은 이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는
서로소인 자연수이고, 세 점 O P Q 가 일직선 위에 있는 경우는
으로 한다.)[4점][2010(가) 7월/교육청 30]
93.그림과 같이 높이가 cm이고 윗면은 반 지름이 cm, 아랫면은 반지름이 cm인 원으로 된 원뿔대 모양의 물통에 물이 가득 차 있었다. 이 물통의 바닥에 구멍이 나서 바닥에 서부터 수면까지의 높이가 cm일 때 매초
cm의 양으로 물이 새어 나가고 있다. 일 때 높이의 순간 변화율은? (단위는 cmsec)
[4점][1997(자) 수능(홀) 23]
①
× ②
×
③
× ④
×
⑤
×
94.반지름의 길이 m인 원판에 기대어 있는 막대 OP 의 한끝은 아래 그림과 같이 평평한 지면 위의 한 점 O 에 고정되어 있다. 원판이 지면 과 접하는 점을 Q 라 하자. 원판의 중심이 오른쪽으로 지면과 평행하게 등속도 m/초로 움직인다. OQ m 되는 순간, 막대 OP 가 지면 과 이루는 각의 크기 의 시간에 대한 순간변화율은? (단, 단위는 라디 안/초이다)
[2점][1996(자) 수능(홀) 30]
①
②
③
④
⑤
95.지점 O 와 지점 E 사이의 거리는 m 이다.
오른쪽 그림과 같이 갑은 지점 O 에서 출발하여 선분 OE에 수직인 반직선 OS를 따라 초속
m의 일정한 속력으로 달리고, 을은 갑이 출발 한 지 초가 되는 순간 지점 E 에서 출발하여 선분 OE 에 수직인 반직선 EN 을 따라 초속
m 의 일정한 속력으로 달리고 있다. 갑과 을의 지점을 연결하여 만든 선분과 선분 OE 가 만나 서 이루는 각을 (라디안)라 할 때, 갑이 출발 한 지 초가 되는 순간 의 변화율은?
[4점][2006(가) /수능(홀) 29]
①
라디안/초 ②
라디안/초
③
라디안/초 ④
라디안/초
⑤
라디안/초
2 속도와 거리
96.좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 에서의 위치벡터를
라 하면
,
이 성립한다. 이때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2009(가) 10월/교육청 29]
ㄱ. 에서 점 P 의 속도 와 위치벡터 는 서로 수직이다.
ㄴ. 임의의 시각 에서 점 P 의 가속도 와 위치벡터 는 서로 같다.
ㄷ. 점 P 가 에서 까지 움직인 거리는 이상이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
97.좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 에서의 위치 가
cos sin cos ≤ ≤ 이다.
점 P 가 에서 까지 움직인 거리 (경과 거리)를 라 할 때,
의 값을 구하시오.
[4점][2010(가) /수능 30]
98.좌표평면에서 매개변수 로 나타낸 곡선
cos cos , sin sin
에 대하여 아래 다음에 답하시오. (단, 는 실수이다.)
≤ ≤ 일 때, 이 곡선의 길이는?
[3점][2016(B) 삼사 12]
① ② ③
④ ⑤
99.[그림 1]과 같이 좌표평면 위에 중심이 원점이고 반지름의 길이가 인 큰 원
과 반지름의 길이가 인 작은 원
가 점 에서 외접 하고 있다. 이때 작은 원 위의 한 점을 P 라 하자.[그림 2]와 같이 원
가 원
에 접한 상태로 굴러갈 때, 두 원의 중 심을 연결한 선분이 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 라 하자.의 값이 에서
까지 변할 때, 점 에서 출발한 점 P 가 움직
인 거리는?
[4점][2013(가) 삼사 22]
① ② ③
④ ⑤
100.좌표평면 위를 움직이는 점 의 시각 에서의 위치가
sin cos sin cos
이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2016(가) 8월/영남권 16]
ㄱ. 에서 점 P 의 속력은 이다.
ㄴ. 임의의 시각 에서 점 P 의 속도 와 가속도 는 서로 수직 이다.
ㄷ. 점 P 가 에서 까지 움직인 거리는
이다.< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
101.실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖고 ,
을 만족시키는 모든 함수 에 대하여
′ 의 최솟값은?[3점][2007(가) 9월/평가원 27]
①
② ③
④
⑤
102.좌표평면 위의 곡선
≤ ≤ 에 대하여 에서 까지의 곡선의 길이를 이라 할 때, 의 값을 구하시오.
[3점][2016(가) 7월/교육청 25]
103. 에서 까지 곡선
의 길이를 구하시오.
[4점][2008(가) /수능(홀) 30]
104. ≤ ≤ 에서 곡선
의 길이가 일 때, 의 값
을 구하시오.
[3점][2016(가) 5월/전북 25]
105.두 전신주 사이에 늘어져 있는 전신줄이나 현수교의 케이블 등에서 볼 수 있는 곡선은 ‘현수선’이라 불리며,
꼴의 곡선 의 방정식으로 표현된다. 에 대한 다음 <보기>의 설명 중 옳은 것 만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2008(가) 10월/대전 29]
ㄱ. ′
ㄴ. ≥ 일 때, 의 역함수를 라 할 때,
′
이다.
ㄷ. 점 에서 출발하여 곡선
의 제1사분면 위를 매초 1의 속력으로 움직이는 점 P 에 대하여, 초 후의 점 P 의 좌표는 ln
이다.< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
정답 및 해설
1. [정답] ③
PB PC 에서
AB AC AP
AP
AB AC
∴ P는 BC의 중점이다.
AP
2. [정답]
OP OF
에서, FP의 중점을 Q 라고 하면
OP
OF
OQ
한편, F ′P//OQ이므로
F ′P
PF ′ 이다.PF ′ PF 이므로, PF
∴
3. [정답] ②
[출제의도] 벡터의 기하학적인 성질을 이용하여 두 벡터의 합의 크기 의 최댓값을 추론한다.
EG HPBH HPBP이므로
EG HP의 최댓값은 BP의 최댓값과 같다.
즉, 원 밖의 한 점 B 에서 원 위의 점 P 에 이르는 거리의 최댓값이다.
따라서 원의 중심을 O 라 하면 BP의 최댓값은
BO
일치한다. 따라서
OP OG
≥
OC OA
∠AOC 라 하자.
OC OA
의 양변을 제곱하면
OC
OC ∙ OA
OA
OC
OA
cos , × × × cos
cos
점 C 에서 직선 AB 에 내린 수선의 발을 H라 하면
OH OC cos × cos
이고, OH HO이므로
AB AO OH HO OB
따라서 이므로
5. [정답] ②
[출제의도] 벡터와 관련된 문제를 도형을 이용하여 해결한다.
네 원 , , , 의 중심을 각각 O, O, O, O
라 하고, 두 원 ,의 접점을 B 라 하자.
사각형 OOOO은 네 변의 길이가 모두 인 마름모이고, 두 점 A, B는 각각 변 OO, 변 OO의 중점이다.
∴ AO AO AB OO
한편, 벡터 OQ를 시점이 O이 되도록 평행이동하였을 때, 그 종점을 Q′이라 하면
OP OQ OP OQ′이므로
AP AQ
AO OP
AO OQ
AO AO
OP OQ
OO OP OQ′
이때, 벡터 AP AQ의 크기가 최대가 되려면 OO은 방향과 크기가 일정한 벡터이므로 두 벡터 OP, OQ′이 OO과 방향이 같아야 한다.
∴ AP AQ≤
OO
6. [정답] ③
따라서 점 R 이 나타내는 영역은 다음 그림과 같다.
⇨
위 영역의 넓이는 가로의 길이가 이고 세로의 길이가 인 직사각형의 넓이와 같다.
따라서 구하는 넓이는 이다.
7. [정답] ①
OB는 OA의 단위벡터이므로 OB 따라서 중점 가 나타내는 도형은 원점에서
에 그은 두 접선 사이의 원점을 중심으로 하는 부채꼴의 호이다.
접점 P
이라 하면
⋯ ①
①에 원점 을 대입하면
정리하면 ± 따라서 접선의 기울기는
± ±이므로 부채꼴의 중심각의 크기는 이다.
따라서 구하는 도형의 길이는 ⋅⋅
8. [정답]
[출제의도] 수학내적문제 해결 능력 – 평면벡터
이다. 따라서 점 P는 선분 CD의 중점이다.
두 삼각형 ADP, APC 의 넓이가 서로 같고 두 삼각형 BPD, BCP의 넓이도 서로 같으므로 두 삼각형 PAB , ABC 의 넓이의 비는 이다.
따라서 삼각형 ABC 의 넓이가 이므로 삼각형 PAB 의 넓이는 이다.
9. [정답] ③
[출제의도] 평면벡터의 성질을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다.
선분 BC 의 중점을 M 이라 하자.
PA PB PC 에서 PA
PB PC 이므로
PA PM
따라서 점 P 는 선분 AM 의 중점이다.
A
P
B M C
ㄱ. 삼각형 PBC 는 PB PC인 이등변삼각형이므로 PBPC
(참)
ㄴ. 선분 AM 과 선분 BC 는 수직이고 점 P 는
선분 AM 의 중점이므로 선분 PA 와 선분 BC 는 수직이다. 따라서
PA ⋅ BC (참)
ㄷ. 두 삼각형 ABP PBM 의 넓이는 같고, 삼각형 ABC 의 넓이는 삼각형 ABM 의 넓이의 배이다. 따라서 삼각형 ABC 의 넓이는 삼각형 ABP 의 넓이의 배이다. 삼각형 ABP 의 넓이가 이면 삼각형 ABC 의 넓이는 (거짓)
10. [정답] ⑤
[출제의도] 벡터로 주어진 조건을 만족시키는 점의 위치를 정하고, 주 어진 명제의 참 거짓을 판별할 수 있는가?
CA PA PC이므로 PA PB PC PD PA PC에서
PB PD PC
ㄱ. PB PD PC CP (참) ㄴ.
PB PD
PC
선분 BD의 중점 E라 하면 PE PC
그림에서 점 P는 선분 EC 의 중점이다.
따라서 AP AC이다. (참)
ㄷ. 삼각형 ADC 의 넓이는 삼각형 ADC 의 넓이의
이므로 삼각형 ADC의 넓이는 ×
따라서 사각형 ABCD의 넓이는 × 이다. (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
11. [정답] ① 벡터AP
OC OB OA
