미분적분학-다중적분

기초교육학부

양영균 교수님

미분적분학-다중적분

[ 2강 ]

극좌표를 이용해 이중적분을 구할 수 있다.

곡면적을 구할 수 있다.

학습목표

4. 극좌표에서의 이중적분

이제 영역 이 그림 1에 있는 영역 중의 하나일 때 이중적분

값을 구하고자 한다고 가정하자. 어느 경우든지, 직교좌표로 을 묘 사하면 오히려 복잡하게 되지만, 극좌표로는 을 쉽게 나타낼 수 있음 을 알 수 있다.

R

R



R R

그림 1

4. 극좌표에서의 이중적분

그림 2로부터 한 점의 극좌표 와 는 아래의 방정식에 의해 서로 관계가 있음을 상기하라.

그림 2

) , (x y )

, (r 

2 2

2

x y

r   ^x  ^{r cos}  y  r sin 

4. 극좌표에서의 이중적분

 





 

 (r, )| a r b, R

그림 1에 있는 영역은 그림 3의 극직사각형

의 특별한 경우이다.

4. 극좌표에서의 이중적분

 

 









i

n

j

i j

i j n i

R m

A r

r f dA

y x f

1 1

*

*

*

*

,

( cos , sin )

lim )

,

(  







 



i

n

j

i j i

j n i

m

f r r r r

1 1

*

*

*

*

*

,

( cos , sin )

lim   









 ^b f r r rdrd

 

 ( cos , sin )

[2] 이중적분에서 극좌표로의 변환

만약 가

(단, )인 극직사각형 에서 연속이면

f

R











 ,

0 a r b







0   





 

 f r r rdrd

dA y x

f ^b

a

R

 



4. 극좌표에서의 이중적분

2에 있는 공식은 이중적분에서 로 기술함

으로써, 과 에 대해 적분의 적절한 극한을 취하고 를 로 대체시키면 직교좌표를 극좌표로 바꿀 수 있다는 것을 의미한다. 공식 2의 오른쪽에 있는 부가적인 요소 을 잊지 않도록 주의하라. 이것을 기억하는 고전적인 방법이 그림 5에 있는데, 거기에 서 “무한소” 극직사각형은 각 변이 와 인 보통의 직사각형 으로 취급될 수 있으므로 넓이 을 갖는다.



, sin

cos y r

r

x  

r



 rdrd

r



rd dr

 rdrd dA 

그림 3

4. 극좌표에서의 이중적분

예제 1.

이 두 개의 원 과 로 둘러싸인 윗쪽

반평면의 영역인 경우에 =?

풀이

영역 을 로 나타낼 수

있다. 그림 1(b)는 이것을 보여주고 있으며, 이것은 극좌표

로 나타낼 수 있다. 그러므로, 공식 2에 의하여

2 1

2  y 

x x²  y²  4

dA y

R x

 ^{(3 4 2)}





 x y y x y

R R



 





 2,0 1 r









rdrd r

r dA

y

R x

 



2 1

2 2

2) (3 cos 4 sin )

4 3

(









drd r

 

 0 2 1

2 3

2 cos 4 sin )

3 (

4. 극좌표에서의 이중적분

예제 1.

이 두 개의 원 과 로 둘러싸인 윗쪽

반평면의 영역인 경우에 =?

풀이

2 1

2  y 

x x²  y²  4 dA y

R x



 ^{ }  ^

^{  }

 r r d d

r

r (7cos 15sin )

sin

cos ²

0 2

0 1

2 4

3   

















 0 (1 cos 2 ) 2

cos 15 7

2 2 15

4 sin 15 2

sin 15 7

0

 

 



 

 





4. 극좌표에서의 이중적분

예제 2.

평면 과 포물면 으로 둘러싸인 입체의 부피?

풀이

 0

z z  1  x

 y

만약 포물면의 방정식에서

z  0

극좌표로 나타내면 가 된다. 그런데

이므로 부피는 다음과 같다.

2 1

2  y  x

2 1

2  y  x

D D



 ² 0

, 1

0  r   

2 2

2

1

1  x  y   r

2 1

2  y  x

4. 극좌표에서의 이중적분

예제 2.

평면 과 포물면 으로 둘러싸인 입체의 부피?

풀이_계속

 0

z z  1  x

 y

 

d dr r r dA

y x

V

D

 



 ²

0 1 0

2 2

2 ) (1 )

1 (

2 4

2 2 )

(

1

0 4 2 2

0

1 0

3  

 

 



 



 











dx dy r y x

dA y

x

V ^x

x

D

 







  







 ¹

1 1

1

2 2

2 2

2

2 (1 )

) 1

(

만약 극좌표 대신에 직교좌표를 사용하면

이것은 와 같은 적분을 포함하기 때문에 계산하기 쉽지 않다.

dx



6. 곡면적

와 2를 방정식 3과 2에서 주어진 것 처럼 에서의 접선벡터라고 하자.

그림 3(a)는 벡터들을 이용하여 에서 만나는 조각의 두 가장자리를 어떻게 근사할 수 있는가를 보여준다. 교대로 편도함수는 차분몫을 이용하여 근사적으로 구할 수 있기 때문에 벡터 와 에 의해 결정된 평행사변형을 이용하여 를 근사할 수가 있다. 그림 3(b)는

에서 에 대한 접평면에 놓여 있는 이 평행사변형을 보여주고 있다. 이 평행사변형의 면적은

가 되므로 의 면적에 대한 근사값은 )

, ( ^{* *}

*

j i u

u r u v

r  Pij

) , ( ^{* *}

*

j i v

v r u v

r 

S

Sij

Pij

*

uru



*

vrv



Pij



 









m 

i

n

j

v

u u v

1 1

*

* r

r

6. 곡면적

그림 2 .작은직사각형R_ij의 상은 조각 S_ij이다.

그림 3. 평행사변형을 이용한 조각의 근사

6. 곡면적

[4] 정의

만약 매끄러운 매개곡면 의 방정식이

이고 가 매개영역 전체에 걸쳐 변함에 따라 를 꼭 한 번 덮을 수 있다면, 그 때 다음을 의 곡면적이라 한다.

단,

작은 직사각형의 수를 늘려감에 따라 이 근사값은 더욱 개선된다는 것을 직관적으로 알 수 있으며, 이중합을 이중적분 dudv

D u v



에 대한 리만합으로 생각하면 된다. 이것은 다음 정의를 유도한다.

k j

i

r(u, v)  x(u, v)  y(u, v)  z(u, v)

S

) ,

(u v D S

S

D u v dudv



k j

i

r u

z u

y u

x

u 

 



 



  r i j k

v z v

y v

x

v 

 



 



 

6. 곡면적

예제1.

반경 의 구면의 곡면적을 구하여라.

풀이_계속

a

10.5절의 예제 4에서 매개표현식

를 구한 바 있다. 단, 매개영역은

이다. 우선 접선벡터의 외적을 계산한다.



 cos sin

a

x  y  asinsin z  acos





D 

6. 곡면적

예제1.

반경 의 구면의 곡면적을 구하여라.

풀이_계속

a

0 cos

sin sin

sin

sin sin

cos cos

cos





























 



a a

a a

a z

y x

z y

x

















 









 



k j

k i j

i r

r

k j

i    



 cos sin sin sin cos

sin^{2 2 2 2 2}

2 a a

a  



6. 곡면적

예제1.

반경 의 구면의 곡면적을 구하여라.

풀이_계속

a

이와 같이, 에 대해 이므로

그러므로, 정의 4에 의하여 구의 면적은



 



0 sin  0















 r  a⁴ sin⁴ cos² a⁴ sin⁴ sin² a⁴ sin⁴ cos² r











sin^{4 4 4 2 2 2 2}

4 a a a

a   



6. 곡면적

예제1.

반경 의 구면의 곡면적을 구하여라.

풀이_계속

a





 





 dA a d d

A

D

2 sin

0 0

 



 r r

2 2 2

0 0

2

2 d a sin d a (2 )2 4 a

a ^



 







 

6. 곡면적

그래프의 곡면적

방정식 인 곡면 의 특별한 경우에 대해서, 와 를 매개변수로 택한다. 단, 이고 는 연속인 편도함수 를 갖는다. 매개방정식은

이므로

이고

) , (x y f

z  S

) , (

y y z f x y x

x   

x y

D y

x, )

( f

k i

r 



 







 

 x

f

x r j k



 







 

 y

f

y

[5].

k j i

k j

i r

r 



 



 







 

 y

f x

f

y f x f

y x

1 0

0 1

6. 곡면적

그래프의 곡면적

이와 같이 정의 4에 있는 곡면적 공식은

[6].

y dA f x

S f A

D





2 2

1 )

(

6. 곡면적

예제2.

평면 의 아래에 있는 포물면 의 부분면적?

풀이_계속

9

z z  x²  y²

평면은 원 에서 포물면과 교차한다. 그러므로, 주어진 곡면은 원점을 중심으로 하고 반경이 3인 원반 위에 놓이게 된다 (그림 4 참조).

2 9

2  y  x

D

그림 4

6. 곡면적

예제2.

평면 의 아래에 있는 포물면 의 부분면적?

풀이_계속

9

z z  x²  y²

공식 6을 사용하면

dA y

x y dA

z x

A z

D

D





 ^{2 2}

2 2

) 2 ( )

2 ( 1 1

dA y

x

D



 1 4( ^{2 2})

6. 곡면적

예제2.

평면 의 아래에 있는 포물면 의 부분면적?

풀이_계속

9

z z  x²  y²

극좌표로 바꾸어 계산하면

 

 

 ^  ^2 

0

3 0 2 2

0

3 0

2 1 4

4

1 r rdrd d r r dr

A

) 1 37 37

6 ( )

4 1 3 ( 2 8 2 1

3

0 2 / 3

2   



 



 



  r 

적분영역이 원판의 일부일 때 극좌표를 이용하여 이중적분을 계산한다.

즉,

학습정리





 

 f r r rdrd

dA y x

f ^b

a

R

 



이다.

매개곡면 S : 의 곡면적은r(u,v) x(u,v)i y(u,v)j z(u,v)k

D u v dudv

