5. 자기장에 작용하는 힘
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5.1 자기장의 힘 63
5.2 미소 전류에 작용하는 힘 65 5.3 같은 방향 전류 간에 작용하는 인력 67 5.4 폐회로에 작용하는 힘과 회전력 69
5.5 연습 문제 76
5.1 자기장의 힘(Force)
우주에는 네 종류의 힘이 상존한다. 그 힘은 전자기력, 만유인력, 핵 강력, 그리고 핵 약력이다. 그 중에서 전자기력은 두 종류의 인력으로 구성되어 있다. 하나는 전기장에서 극성이 다른 전하 사이에 작용하는 인력이며, 또 다른 하나는 자기장에서 방향이 같은 전류 사이에 작용하 는 인력이다. 이 두 인력은 서로 간에 Duality로 연결되어 하나의 힘으 로 존재한다.
다른 힘들은 모두 동종(同種) 또는 동향(同向) 간에 인력이 작용하는 힘인 반면, 전자기력 중에서도 전하 사이에 작용하는 힘만이 유일하게 이종(異種) 간에 인력이 작용한다. 자기장에서 방향이 같은 전류 곧 동 향(同向) 전류 사이에 작용하는 인력을 살펴보기로 하자.
자기장은 전류 곧 움직이는 전하에 의해 생성된다. 또한 움직이는 전하에 의해 생성된 자기장은 다시 움직이는 전하에만 힘을 작용한다.
먼저 자기장의 세기
(또는 자속밀도
) 내에 놓여있는 전류가 흐르 는 도체에 작용하는 힘을 고찰해보기로 하자.실험적으로, 자속밀도
내에서 움직이는 전하가 받는 힘의 크기 는 전하량
와 전하의 속도
의 크기 및 자속밀도
의 크기에 비례 한다. 또한 그 힘의 방향은 전하의 속도
의 방향 및 자속밀도
의 방향에 각각 수직인 방향으로 작용한다. 이를 벡터 식을 이용하여 나타 내면 아래와 같이 외적을 이용하여 표현할 수 있다. ×
(5.1)여기서 외적을 이용하여 힘이 결정된다는 점에 유의하자. 이는 자기장 의 세기
(또는 자속밀도
)가 근원인 전류량을 중심으로 회전하는양상으로 형성되는 이치와 부합한다. 자기장의 세기
는 회전하는 양 상으로 발생하기 때문에 전류의 방향과 단위 벡터
의 외적을 이용하 여 표현된다. 이때 Biot-Savart의 법칙에 의해서 자기장의 세기
는 아래와 같이 결정된다. 본 장에서는 근원에 해당하는 경우를 표시하기 위해 프라임 부호(
)를 다시 사용한다.
′ ′×
(5.2)자기장 내에서 전류가 받는 힘은 원래 전류가 흐르는 방향에 항상 직각으로 작용하기 때문에 전류의 속도를 변화시킬 수는 없다. 다시 말 해 힘 곧 가속도의 방향은 항상 전류의 속도에 수직하기 때문에 움직이 는 전하의 운동에너지는 변하지 않는다. 곧 정상 자기장은 전류에 에너 지를 전달하지 못한다. 이 또한 자기장이 근원인 전류를 회전하는 양상 으로 형성되는 이치에 근거한다. 따라서 전류와 자기장 사이에는 에너 지 상호 전달이 일어나지 않는다.
전기장과 자기장이 공존하는 영역 내에서 움직이는 전하가 받는 힘 은 아래와 같이 작용한다.
×
(5.3)이 식을 Lorentz의 힘의 방정식(Force equation)이라 부른다.
5.2 미소 전류에 작용하는 힘
자기장 내에서 미소 전류(differential current element)가 받는 힘 은 식 (5.1)으로부터 아래와 같이 미소 전하
를 이용하여 미소 힘
로 표시할 수 있다. ×
(5.4)식 (5.4)를 이용하여 전류가 흐르는 도체에 작용하는 힘을 고찰해보 자. 대류 전류밀도(convection current density)
는 체적 전하밀도
와 전하의 속도
에 비례하며 다음과 같이 정의된다.
(5.5)미소 전하를 체적 전하밀도로 표현하면
가 된다. 따라서 식 (5.4)는 아래와 같이 정리된다.
× ×
(5.6a)일반적으로 전류 분포 사이에는 아래와 같은 등식이 성립한다.
(5.7)따라서 직류 전류
및 표면 전류밀도
에 대해서도 미소 힘
가 다음과 같이 작용한다. ×
(5.6b) ×
(5.6c)이때 각각의 식을 적분하면 아래와 같이 정리된다.
×
(5.8a)
×
(5.8b)
×
(5.8c)식 (5.8c)를 균일한 자기장의 세기
(또는 자속밀도
) 내에 놓여 있는 길이
인 직선도체에 적용하면 ×
(5.9)를 구하게 된다. 이때 힘
의 크기
는 아래와 같이 되며 Fleming의 왼손법칙을 만족한다.
sin
(5.10)여기서
는 전류의 방향과 자속밀도
의 방향 간의 사잇각이다.5.3 같은 방향 전류 간에 작용하는 인력
“방향이 같은 전류 사이에는 인력이 작용한다.” (자기장의 세계)
아래의 그림 5.1에서와 같이, 같은 방향으로 흐르는 직류 전류
및
가 각각 원점 및
축 상의 한 점
를 관통하여 놓여 있 는 경우를 생각해보자. 두 직류 전류
및
는 간격
를 유지하여
축에 평행하게 놓여있는 두 무한직선 도체에 흐른다. 이때 상호간에 작용하는 힘을 구해보자. 상호간에 작용하는 힘은 도체의 길이에 비례 하므로 단위길이 당 힘 ′
을 구하기로 한다.직류 전류
에 의해 전류
가 흐르는 도체가 놓여있는 공간 위치 에 생성된 자속밀도를
라고 표기하면 자속밀도
는 아래와 같이 결정된다.
(5.11)
그림 5.1
축에 평행하게 놓여있는 두 도체에 같은 방향으로 흐르는 전류
및
이때 직류 전류
가 흐르는 도체에 작용하는 단위길이 당 힘
′
는 아래와 같이 결정된다.
′
×
×
(5.12)
여기서 단위길이 당 힘
′
는
방향을 가리키므로 직류 전류
가 흐르는 도체에는 같은 방향으로 직류 전류
가 흐르는 도체에 의 해 인력이 작용함을 확인하게 된다.마찬가지로, 전류
에 의해 전류
이 흐르는 도체가 놓여있는 공 간 위치에 발생한 자속밀도
은
(5.13)
가 된다. 따라서 직류 전류
에 의해 직류 전류
가 흐르는 도체에 작용하는 단위길이 당 힘
′
는 아래와 같이 결정된다.
′
×
×
(5.14)
여기서 또한 단위길이 당 힘
′
는
방향을 가리키고 있다. 따라서 직류 전류
가 흐르는 도체에는 같은 방향으로 직류 전류
가 흐르 는 도체에 의해 인력이 작용함을 확인하게 된다.5.4 폐회로에 작용하는 힘과 회전력(Torque)
앞에서 전류 곧 움직이는 전하에 의해 생성된 자기장은 다시 전류가 흐르는 도체에 의해 힘이 작용하고 있음을 확인하였다. 자속밀도
내 에 놓여있는 폐회로에 직선 전류(filamentary current)
가 흐르고 있 다면 이에 작용하는 힘은 식 (5.8c)로 결정된다.
×
(5.8c)
×
(5.8d)만약 균일한 자속밀도
를 가정하면 적분 기호 안에 있는 자속밀 도
는 밖으로 나올 수 있어 아래와 같이 작용하는 힘은
가 된다.
×
(5.15)이는 폐회로에 대한 선적분
이
가 되기 때문이다. 따라서 균 일한 자속밀도
내에서 폐회로에 작용하는 총 힘은 언제나
가 된 다. 그러나 총 힘은
라 하더라도 폐회로에 회전력(torque)이 작용한 다. 일반적으로 회전력
는 회전력을 계산하는 기준점 곧 회전력의 기점과 힘이 작용하는 점을 이용하여 정의된다.그림 5.2
기점
점에서 작용점
점을 연결하는 팔의 길이 를
이라 하고 힘
를
점에 작용할 경우에 발 생하는 회전력
그림 5.3
팔의 길이가 각각
및
이고, 크기는 같으나 방향이 반대인 힘
및
가 작용할 경우에 발생 하는 회전력
앞면의 그림 5.2에서와 같이 힘
를
점에 가해줄 경우에 좌표축 의 원점
점에서 발생하는 회전력
를 고찰해보자. 회전력의 기점
점에서 작용점
점을 연결하는 팔의 길이가
일 때, 회전력
의 크기는 힘의 크기 및 팔의 길이의 크기에 비례한다. 또한 회전력
의 방향은 힘
및 팔의 길이
방향에 각각 수직인 방향이다. 이를 벡 터식을 이용하여 나타내면 아래와 같이 외적을 이용하여 표현된다. ×
(5.16)이때 오른나사 법칙이 적용된다. 오른나사는 시계방향(clockwise)으로 나사를 돌리면 즉 힘을 가하면 앞으로 나아가는 나사이다.
이제는 좌면의 그림 5.3에서와 같이, 힘
및
가 작용점
및
점에 각각 인가될 경우에 발생하는 회전력
를 구해보자. 기점
점에서
및
점을 연결하는 팔의 길이를 각각
및
라 하 고, 크기는 같으나 방향이 반대인 두 힘
및
가 각각의 작용점
및
점에서 변형되거나 평행이동하지 않는 물체에 작용한다면, 기점에서의 회전력
는 아래와 같다.
×
×
(5.17)여기서 두 힘은 크기는 같으나 방향이 반대이므로 두 힘의 합은
가 된다.
따라서 식 (5.17)은 아래와 같이 정리된다.
×
×
(5.18)이때 벡터
는 힘
과
의 작용점을 연결하는 직선 벡터로 각각
및
의 기점과는 독립적으로 결정되는 벡터이다. 따 라서 힘의 합이
이면
및
의 기점과는 무관한 회전력
가 결 정된다. 이러한 결과는 힘의 수가 둘 이상 다수인 경우에도 유효하다.그림 5.4
자속밀도
내에 놓 여 있는 미소 폐곡선 에 흐르는 전류
위의 그림 5.4에서와 같이 자속밀도
내에 놓여 있는 미소 폐곡 선(a differential closed line)→→→→
에 전류
가 흐를 경우 에 발생하는 회전력을 고찰해보자. 그림에서
평면 위에 놓여져 있는 미소한 크기의 폐회로에서 자속밀도
는 충분히 균일하다고 가정할 수 있다. 따라서 이 폐회로에 작용하는 총 힘의 합은 식 (5.15)에 의해
가 된다. 따라서 회전력의 기점을 임의로 정할 수 있기 때문에 이 경
그림 5.4에서 폐회로의 경로
→
상에 작용하는 힘은 식 (5.6c)로 부터 아래와 같이 결정된다.
×
이때 회전력의 기점으로 잡은 폐회로의 중심점으로부터 경로
→
의 중심까지 팔의 길이는
이다. 따라서 경로
→
에 작용하는 회전력은 아래와 같이 구해진다.
×
×
마찬가지로 경로
→
에서는
×
×
이 되어, 두 경로에서의 회전력을 합하면 아래와 같은 결과를 얻는다.
같은 방법으로 나머지 두 세로 경로에 대하여 회전력을 계산하면
을 얻게 된다. 그러므로 네 경로에서의 회전력을 모두 합하면 총 회전 력
가 아래와 같이 결정되고
괄호 안의 연산을 외적을 이용하여 표시하면 아래와 같이 표현된다.
×
×
이를 일반화하면 아래와 같이 나타낼 수 있다.
×
(5.19)여기서
는 미소 폐회로의 면적 벡터를 나타내며, 전류
와 면적 벡 터
와의 곱을 자기 모멘트
이라고 정의하여 사용한다.
따라서 식 (5.19)는 아래와 같이 정리된다.
×
(5.21)식 (5.19) 및 (5.21)로 구한 회전력은 그림 5.4에 있는 직사각형의 미소 폐회로에만 한정해서 적용되는 것은 아니다. 이 식은 임의의 모양 을 갖는 미소 폐회로에 공히 적용된다.
또한 자속밀도
가 균일하기만 하면, 임의의 크기와 임의의 모양 으로 구성된 평면 폐회로(planar loop)에 대하여 작용하는 회전력
는 아래와 같이 표현된다.
×
(5.22)이때 회전력
는 평면 폐회로에 흐르는 전류에 의해 생성된 자속밀도 가 외부에서 인가한 자속밀도
와 같은 방향이 되도록(to align with) 평면 폐회로를 회전시킨다.5.5 연습 문제
1. 방향이 같은 직류 전류
및
가 각각 원점 및
축 상의 한 점
을 관통하여
축에 평행한 무한 직선상에 각각 흐르고 있을 경우에 다음의 각각을 구하시오.(1) 전류
에 의해 전류
가 흐르는 도체에 생성된 자속밀도
; (2) 전류
가 흐르는 도체에 작용하는 단위길이 당 힘 ′
.2. 균일한 자속밀도
환경 속에서
평면에 놓 여 있는 원점(origin)
과 한 점
을 지나는 직사각 형 폐회로에 직류 전류
가 시계 반대 방향으로 흐르고 있을 경우에 회전력
를 구하고 그 회전력
의 경향을 설명하시오.(1) 회전력
;(2) 회전력
