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Lattice Fermion and Nonabelian Anomaly in the Overlap Formalism
Dae-Gyu Choi ∗
School of Natural Sciences, Kumoh National Institute of Technology, Kumi 730-701 (Received 5 November 2010 : revised 1 December 2010 : accepted 17 January 2011)
In chiral gauge models, there exist line bundle structures on the parameter space C consisting of all gauge-inequivalent gauge fields, making them inconsistent unless cancelations occur among the curvatures contributed by the chiral fermions. In physics literature, these line bundle structures manifest in the form of nonabelian anomalies that play auxiliary roles in a mathematical sense.
In this work, the domain wall fermion and the overlap prescription for lattice fermions proposed by Kaplan, Narayanan, and Neuberger are discussed, focusing on the way in which the line bun- dle structure present in the original model manifests itself in these formalisms. This analysis will contribute to the development of a more natural theory of conventional chiral fermion models. In
-133-
that theory consistency is restored by satisfying the anomaly cancelation conditions. The equiva- lence of the overlap determinant with the chiral fermion determinant is clarified by revealing their line bundle structures, which shows a common mathematical structure residing in both quantities.
This relation may lead to a concise proof of the overlap formalism and will contribute to a better understanding of nonabelian bosonization.
PACS numbers: 11.15.Ha
Keywords: overlap formalism, chiral anoamaly, line bundle, lattice gauge theory
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E-mail: [email protected]
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III. ß f Ä T ¬ o @ _ª Q Æ X ØÊ Ý overlap { Ec ÇÅ k Ä
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H Nielsen-Ninomiya & ñ o \ כ ¹ ÷ &# Q e 1 p w s \ " f
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§ ¤ . Õ ª Q domain wall ` Ø Ôp : r` ¦ 0 A\ ` ¦ o
H כ s 0 p x H z ´s ] jr ÷ & " f z ´ o Ðs l
r Ù þ ¡ ¦ [20] Narayananõ Neuberger\ _ K overlap s
: r Ü ¼ Ð & ñ o ÷ & " f ¢ - a$ í ÷ &% 3 [11–14].
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º < Æ& h ½ ¨ ¸ë ß ` ¦ Ð 9 Ð H 5 Å q& h â Ä º
¼
# o . 2n+1 " é ¶ r / B N ç ß _ ý a³ ð> \ ¦ (x
µ, s) Ð ¿ º .
#
l " f x
µ H 2n + 1 " é ¶ _ Ó ü t o & h r / B N ç ß ý a³ ð> ¦ s H 2n + 1 P : ý a³ ð\ ¦ · p . s ~ ½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð + þ A$ í ) a domain wall É r s \ H | 9 | ¾ Ó ½ Ó m(s) = m θ(s), m > 0 Ð Å
Ò# Q . # l " f θ(s) H Â Ò ñ < ÊÃ º(sign funtion) . s M : 2n + 1 " é ¶ Dirac ~ ½ Ó& ñ d É r
[D / + γ
2n+1∂
s+ m(s)]Ψ(x
µ, s) = 0 (8)
Ð Å Ò# Qt ¦ # l " f zero mode K Ψ
0(x
µ, s) = ψ
0(x
µ)f (s) s ¦ f(s) = exp(− R
s0
m(s
0)ds
0) { 9 M :ë ß 2n
" é ¶ _ zero mode ψ
0(x
µ)) > r F ô Ç . 2n + 1 \ " f H ` Ø
Ôp : r` ¦ Wilson | 9 | ¾ Ó ½ Ó` ¦ 6 x \ ` ¦ o H X < Á
º ë H ] j \ O Ü ¼Ù ¼ Ð Kaplan É r 2n + 1 " é ¶ _ Dirac ` Ø Ô p
: r` ¦ o r & " f 2n s ³ 1 Ï ` Ø Ôp : r` ¦ % 3 H ] j î
ß ` ¦ > ) a . Ó ü t : r s s : r \ H zero mode ü @\ ¸ m
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Ø Ôp : r[ þ t s e .
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µ H s \ 1 l qw n & h s ¸ 2
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d ¯ ψdψ e
S(A)(9)
S(A) = Z
∞−∞
ds Z
L (10)
L = ¯ ψγ
2n+1[∂
s+ H(m(s), A)]ψ (11)
² D G + þ Ad & h Ü ¼ Ð
e
−Γ(A)=< −, A |+, A > / < − |+ > (12)
Ð è q à º e . # l " f |±, A > H f . Ë{ 9 K x 9 Ðm
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2n+1[D / ± m] ` Ø Ôp : r > _ Fock
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µ 1 Ï_ sections .
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±i < −, A | +, A >= det < v
−i|v
+j> Ð j þ t à º e ¦ v
±i © I Ð_ projector[ þ t` ¦ P
±s det[ P
−P
+] Ð
¸ & h ` ¦ Ã º e (Ó ü t : r KerP
+ü < CokerP
+s % ò { 9 M :ë ß ).
Det(W ) _ / B GÒ ¦ É r Ω = δω, ω = < −, A |δ| +, A > ¢ ¸
H projector\ ¦ s 6 x # ¥ y 6 x H Ã º < Æ& h ³ ð & ³
2Ω = −
14T r[P
−δP
−∧ δP
−] Ð & h ` ¦ Ã º e [25].
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³ ð & ³[ þ t \ " f · ú Ã º e 1 p w s overlap s : r É r Atiyah ü <
Singer & ñ _ Ù þ ¡~ t à º µ 1 Ï Ind D
L(A) õ Ã º < Æ& h Ü ¼ Ð
2
![2009 4 X N Ë Ê Ý] K ¡Ê Ý w Õ ×Ê ÝX N Ë ö n ÚP I w Ê Ý" e8 ý w Õ ×Ê ÝX N ËÊ Ý 5 Ó Þ8 ý X ì ı n ÇV R Ë Ä Z ØV Ä](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)