R
« X ì Ä R X N ËV ê sS ë s, Wess-Zumino] §, õ m Í R « X ì Ä | ºÇ X Ø× D; c" e8 ý
Ò
Å ® o º8 ý ¤] K ¡X ì Ä ì Åå ¾ ËV R Ë; c 6 # b
L
|6 0¦ ∗
F
K ¸/ B N õ @ / < Æ § õ < ÆÂ Ò, ½ ¨p 730-701 (2007¸ 10 Z 4 16{ 9 ~ Ã Î6 £ §)
>
s t o ) a Wess-Zumino ½ Ós q 6 \ & h q & ñ © | ¾ Ó (nonabelian anomaly)` ¦ F & ³ô Ç H כ É r ¸ ú
· ú
94 R e . s & h É r s " é ¶ \ " f_ q 6 \ & h Ð > r o (nonabelian bosonization)\ 1 p x © H Wess- Zumino ½ Ó_ â Ä º\ : £ ¤ y ¸ ú ì r$ 3 ÷ &# Q e Ü ¼ 9 q 6 \ & h Ð > r o\ ¦ Ð# Å Òl 0 AK s 6 x ÷ &l ¸ Ù þ ¡ . q
6 \ & h q & ñ © | ¾ Ós ¸ H > s t 1 l x1 p x ô Ç > s t © [ þ t Ð s À Ò# Q B > h à º / B N ç ß 0 A\ > r F H µ 1 Ï (line bundle) ½ ¨ ¸\ _ ô Ç כ s H & h ¸ s p µ 1 ß) z ´s . t ë ß & ³F t · ú 9 s [ þ t ¿ º & ³
© s _ ' aº $ í : £ ¤ y > s t o ) a Wess-Zumino ½ Óõ q 6 \ & h q & ñ © | ¾ Ó\ _ ô Ç µ 1 Ï ½ ¨ ¸[ þ t s
_ ½ ¨^ & h à º < Æ& h ' a$ í É r f ë ß 7 á ¤ Û ¼X O > ] jr ÷ &t · ú § ¤ . s ½ ¨\ " f H s ' a$ í ` ¦ l > r _
½ ¨[ þ t Ð [ jy Ð# Å Ò ¦ q ² D G è& h ½ Ó[ þ t` ¦ s 6 x # q 6 \ & h q & ñ © | ¾ Ó` ¦ ] j H כ s =
H : r& h Ü ¼ Ð Ô ¦ 0 p x ô Ç כ \ ¦ Ð# ï r .
PACS numbers: 11.10.Kk, 11.15.Tk
Keywords: q 6 \ & h q & ñ © | ¾ Ó, Wess-Zumino ½ Ó, q 6 \ & h Ð > r o, µ 1 Ï
I. " e  ] Ø
>
s t o ) a Wess-Zumino ½ Ós q 6 \ & h q & ñ © | ¾ Ó` ¦ F
& ³ô Ç H כ É r ¸ ú · ú 94 R e . s & h É r s " é ¶ \ " f _
q 6 \ & h Ð > r o\ 1 p x © H Wess-Zumino ½ Ó_ â Ä º
\
: £ ¤ y ¸ ú ì r$ 3 ÷ &# Q e Ü ¼ 9 q 6 \ & h Ð > r o\ ¦ Ð# Å Ò l
0 AK s 6 x ÷ &l ¸ Ù þ ¡ . q 6 \ & h q & ñ © | ¾ Ós ¸ H > s
t 1 l x1 p x ô Ç > s t © [ þ t Ð s À Ò# Q B > h à º / B N ç ß 0 A\
> r F H µ 1 Ï ½ ¨ ¸\ _ ô Ç כ s H & h ¸ s p µ 1 ß)
z ´s . t ë ß & ³F t · ú 9 s [ þ t ¿ º & ³ © s
_ ' aº $ í : £ ¤ y > s t o ) a Wess-Zumino ½ Óõ q 6 \
&
h q & ñ © | ¾ Ó\ _ ô Ç µ 1 Ï ½ ¨ ¸[ þ t s _ ½ ¨^ & h à º
< Æ& h ' a$ í É r f ë ß 7 á ¤ Û ¼X O > ] jr ÷ &t · ú § ¤ . s
½
¨\ " f H $ s [ þ t y & ³ © [ þ t \ ? /F H µ 1 Ï ½ ¨ ¸
\
¦ Y V Ð ¶ ú ( R Ð ¦ Õ ª ½ ¨ ¸[ þ t _ Ã º < Æ& h 1 l x| 9 $ í õ Ó ü t o
&
h s & h ` ¦ µ 1 ß) " f s [ þ t ç ß _ ' a$ í ` ¦ [ jy Ð# ï r
. 6 £ § \ s ì r$ 3 ` ¦ l ì ø ÍÜ ¼ Ð K " f Krasnikov 1 p x s ]
jî ß ô Ç כ % ! 3 [1,2] q ² D G è& h @ /6 £ x ½ Ó (nonlocal countert- erm)[ þ t` ¦ s 6 x # q 6 \ & h q & ñ © | ¾ Ó` ¦ ] j H כ s Ä
»m o $ í \ 0 AC ) a H & h ü @\ ¸ = H : r& h Ü ¼ Ð Ô ¦ 0
p
x ô Ç כ \ ¦ Ð# ï r .
∗
E-mail: [email protected]
II. R « X ì Ä R X N ËV ê sS ë s
q
6 \ & h q & ñ © | ¾ Ó É r ´ ú § É r $ [ þ t \ _ K ª ô Ç ~ ½ Ód Ü
¼ Ð ì r$ 3 ÷ &% 3 t ë ß Õ ª Ã º < Æ& h ½ ¨ ¸ H Atiyah-Singer t Ã
º& ñ o \ ¦ : x K " f © " î > × ¼ Qè ß . $ ψ L = P L ψ s ¦ P L = 1 2 (1 + γ 5 ), P R = 1 2 (1 − γ 5 ) s ¦ D(A) = iγ µ (∂ µ +A µ ) ½ + É M : s ³ 1 Ï ` Ø Ôp : r > s t s
: r` ¦ & ñ _ l 0 AK 9 כ ¹ô Ç í ß D L (A) = D(A)P L É r ô
Ç < H ¸ ú s ` Ø Ôp : r` ¦ É r < H ¸ ú s ` Ø Ôp : r Ü ¼ Ð ¨ 8 r v
l M :ë H \ Ã º < Æ& h Ü ¼ Ð & ñ S X > & ñ _ ½ + É Ã º \ O H í ß
.
q
& ñ © | ¾ Ó` ¦ % 6 £ § µ 1 Ï| ô Ç Adler, Bell, Jackiw (ABJ) Õ
ª Ê ê_ $ [ þ t _ â Ä º [3] z ´] j > í ß \ " f H D L @ / iγ µ (∂ µ + A µ P L )` ¦ 6 xÙ þ ¡ . s כ É r © _ ½ ¨ â ç H ` Ø
Ôp : r` ¦ ¸{ 9 ô Ç כ õ ° ú . ¸ ú · ú 9 @ / Ð s ` Ø Ôp : r
É
r ¦ & h Ü ¼ Ð H Á º % i ½ + É` ¦ t · ú §t ë ß ª o r (
` ¦ M : H Õ ª ¥& h Ü ¼ Ð q 6 \ & h q & ñ © | ¾ Ó` ¦ z | ¦ K
$ 3 ) a [4].
Atiyah-Singer t à º& ñ o \ ¦ s 6 x ô Ç q 6 \ & h q & ñ ©
|
¾ Ó_ s K H â Ð& h ì r` ¦ s 6 x ô Ç ª o] X HZ O \ " f
© ~ 1 > s K ½ + É Ã º e . s ] X HZ O _ â Ä º í ß D L (A) _ ' § > =d Det D L (A)` ¦ & ñ _ K ô Ç . ¢ , a < H ¸ ú s
` Ø Ôp : r õ ¸ É r < H ¸ ú s ` Ø Ôp : r _ n =Z Ø Ôà Ô / B N ç ß
-251-
[ þ
t` ¦ y y H L , H R ¦ s [ þ t / B N ç ß [ þ t _ l $ [ þ t` ¦ y y {v Li , }, {v Ri } . s M : Det D L (A) _ Ä »{ 9 > ½ + Ëo
&
h à º < Æ& h & ñ _ H
Det D L (A) = det < v Ri |D L (A)|v Lj > (1) s
. " f Det D L (A) H ¿ º n =Z Ø Ôà Ô / B N ç ß [
þ
t H L , H R \ ' aº ) a & ñ Ð, 7 £ ¤, s [ þ t _ l $ [ þ t {v Li , }, {v Ri } _ 0 A © (phase)\ _ > r H 0 A ©
\
¦ t > ) a . > s t © s ¦& ñ ÷ & > s t ¨ 8 \ _
K ÷ &t · ú § É r ¿ º> h_ " f Ð É r > s © ` ¦
H \ P 2 ; r Ð © \ " f H s 0 A © \ ¦ % ò Ü ¼ Ð Ñ ü t à º e
. s â Ä º D(A)_ % ò s ¦Ä »u [ þ t É r ½ Ó © ` ¦ t
#
Q ¦ ¦Ä »u % ò â Ä º > r F H â Ä º H > s
t © ` ¦ p [ j > or & " f t > ½ + É Ã º e l M : ë
H \ Det D L (A) H D(A) _ ¦Ä »u × æ ] X ì ø Í[ þ t _ & h ] X
>
¸] X ) a Á ºô ÇY L Ü ¼ Ð & ñ _ ½ + É Ã º e . t ë ß D(A) É r
e D h / B N ç ß C = A/G\ ¦ B > h à º/ B N ç ß Ü ¼ Ð t H í
ß s . # l " f A H ¸ H > s © [ þ t Ð s À Ò# Q
/ B N ç ß s ¦ G H, \ V\ ¦ [ þ t # Q, 9 uØ þ à Ô o ) a Ä »9 þ t o × ¼& h r /
B
N ç ß M_ ô Ç& h \ " f > s t ç H G _ ½ Ó1 p x" é ¶ ° ú כ` ¦ t H
¸ H > s t ¨ 8 ç H[ þ t _ | 9 ½ + Ës [5]. s B > h à º/ B N ç
ß C H M = S 4 { 9 â Ä º 0 A © < Æ& h Ü ¼ Ð Ω 3 (G) ü < 1 l x1 p x ô Ç
½
¨ ¸\ ¦ . # l " f C H D L _ & ñ Ã º° ú כ` ¦ t H t Ã
º n\ _ K ì r À Ó÷ & H ì r o ) a $ í ì r[ þ t Ð ½ ¨$ í ÷ & ¦ Ä ºo
H n = 0 â Ä º\ ¦ ¼ # _ © ¦ 9 x . > s t © s {
2 ³ â Ð\ ¦ " f ½ + É â Ä º\ H s 0 A © \ ¦ ] j
H כ s Ô ¦ 0 p x > ) a . s & ³ © _ Ù þ d & h \ O > h H Berry _ 0 A © \ " f ¸ ú × ¼ Qè ß [6]. > s t © s B > h Ã
º / B N ç ß C î ß \ " f ½ + É M : D(A)_ ¦Ä »u [ þ t ¸ " f
> ÷ & H X < s M : B > h à º / B N ç ß _ # Q " t & h \ " f ¦ Ä
»u [ þ t s » ¡ ¤ @÷ & H â Ä º µ 1 ÏÒ q tô Ç . ¦Ä »u % ò s
â Ä º[ þ t _ » ¡ ¤ @ H y y _ ¦Ä »u \ É r 0 A © [ þ t s
" f Ð © W÷ &# Q Det D L (A)\ ¦ & ñ _ H X < Á º ë H ]
j\ ¦ { 9 Ü ¼v t · ú §t ë ß » ¡ ¤ @ ) a ¦Ä »u % ò â Ä º\ H Det D L (A)\ ¦ & ñ _ ½ + É M : ¦Ä »u _ ] X ì ø Í ë ß ` ¦ 6 x l M
:ë H \ 0 A © t t · ú § ¦ z > ) a .
s
0 A © [ þ t É r B > h à º / B N ç ß C © _ µ 1 Ï ½ ¨ ¸\ _
K 0 A © < Æ& h Ü ¼ Ð & ñ ÷ & 9 Õ ª l < Æ& h + þ AI _ & ñ S X ô
Ç g 1 J É r > s t × þ \ _ K & ñ ) a . l ï r > s t ©
`
¦ A Ð H C â > s t (background gauge)\ ¦ × þ ¦ M = S 4 ½ + É M : s µ 1 Ï ½ ¨ ¸\ _ ô Ç 0 A © \ ¦ & ñ
H / B GÒ ¦ (curvature) ¢ ¸ H Ä » ¸> s t © _ [ jl H [7]
[8]
Ω = δω = 1 12π 2
Z
S
4µνρσ tr{F µν F ρσ 1
D A 2 [δA α , δB α ] + F µν 1
D A 2 [δA α , δB α ]F ρσ + F µν (δA ρ δB σ + δB σ δA ρ )} (2)
#
l " f y form[ þ t s _ wedgeY L` ¦ & ñ Ù þ ¡Ü ¼ 9 δA ρ , δB σ [ þ t É r C â > s t ¸| ` ¦ ë ß 7 á ¤ ô Ç .
#
l " f ] X 5 Å q (connection) ¢ ¸ H Ä » ¸> s t © ω\ @ / ô
Ç ³ ð & ³\ δA = D A θ\ ¦ @ /{ 9 q 6 \ & h q & ñ © | ¾ Ó_
³
ð & ³s : r . Ó ü t : r s ° ú כ É r ABJ \ _ ô Ç õ ü < ° ú É r ³ ð
&
³` ¦ ï r . q 6 \ & h q & ñ © | ¾ Ó\ @ /ô Ç s ] X HZ O _ © & h
É r IV] X \ " f ¶ ú ( R Ð x .
III. R « X ì Ä | ºÇ X Ø× D; c" e8 ý Wess-Zumino] §
s
" é ¶ \ " f_ ` Ø Ôp : r& h ' § > =d _ ° ú כ É r Polyakov- Wiegmann \ _ K & ñ S X y > í ß ÷ &% 3 [9, 10]. 7 £ ¤ > s t
© A µ \ ¦ 6 £ § õ ° ú s B > h à º o
A + ≡ A 0 + iA 1 = h −1 ∂ + h (3)
A − ≡ A 0 − iA 1 = k −1 ∂ − k, (4)
W (A µ ) = T r lnD(A µ ) = S(hk −1 ) (5)
Ð Å Ò# Q . # l " f
S(g) = 1 8π
Z
d 2 x tr ∂ µ g ∂ µ g −1
(6)
− i 12π
Z
D
d 3 x abc tr g −1 ∂ a g g −1 ∂ b g g −1 ∂ c g(7)
s
¦ D H Ä »9 þ t o × ¼& h s " é ¶ r / B N ç ß (\ V\ ¦ [ þ t # Q S 2 ¢ ¸ H 7
á
§ 8 { 9 ì ø Í& h Ü ¼ Ð o ë ß / B G )` ¦ â > Ð H " é ¶ ª
^
.
d
(7) (modulo −i)\ ¦ Wess-Zumino ½ Ó Γ(g) ¦ ô Ç .
s
½ Ó É r ç H ª ^ G 0 A_ ý aÄ ºÔ ¦ 3-form ω 3 _ pull-
back g ∗ ω 3 \ ¦ & h ì r ô Ç כ s .
Γ(g) ½ Ó É r \ V\ ¦ [ þ t # Q WZNW- ¸4 S q_ â Ä º ç H G ° ú כ` ¦
t H ¸ H { 9 " é ¶ Ó ü t o / B N ç ß (ç ß é ß ô Ç \ V Ð S 1 ) © _ © [
þ
t Ð s À Ò# Q Ó ü t o & h e D h / B N ç ß (S 1 _ â Ä º Ω 1 (G)) 0
A_ ] X 5 Å q ¢ ¸ H > s t © ` ¦ · p . s â Ä º Õ ª Ã º < Æ& h
½
¨ ¸ 7 £ ¤ µ 1 Ï ½ ¨ ¸ H q 6 \ & h q & ñ © | ¾ Ó_ â Ä ºü < 1 l x { 9
t ë ß > s t © s & ñ _ ) a l $ / B N ç ß s Ó ü t o & h e D
h / B N ç ß s Ù ¼ Ð Á º ¸í H s \ O . 7 £ ¤ n` ¦ { 9 ì ø Í& h & ñ à º
½ + É M :
Z
S
3g ∗ ω 3 = 2πn (8)
H z ´M :ë H \ 0 A © H ¸ ú & ñ _ ) a _ p \ ¦
. 7 á § 8 [ jy à º < Æ& h ½ ¨ ¸\ ¦ ¶ ú ( R Ðl 0 AK G = SU (2) _ â Ä º { 9 ì ø Í& h B > h à º o g = exp(iτ z φ) exp(iτ x θ) expi(τ z ψ)\ ¦ 6 x # Γ(g)\ ¦ ³ ð & ³
[11]
Γ(g) = 1 2π
Z
d 2 x µν φ sinθ ∂ µ θ ∂ ν ψ (9)
s
¦ ý a³ ð ¨ 8 φ → φ + 2πn \ δΓ(g) = n
Z
d 2 x µν sinθ ∂ µ θ ∂ ν ψ (10)
Ð ô Ç . # l " f & h ì r É r y 6 £ § Ã º (winding number), 7 £ ¤
&
ñ Ã º° ú כ` ¦ Å ÒÙ ¼ Ð e iΓ(g) H ] j@ / Ð & ñ _ ) a .
s
s " é ¶& h Wess-Zumino ½ Ó É r : £ ¤ y µ 1 Ï ½ ¨ ¸\ ¦ t
H & ³ © [ þ t × æ © é ß í H ô Ç + þ AI ª % i < Æ\ " f_ l
f . ËF G © õ Ä » $ í ` ¦ ¸ ú × ¼ Q? / H \ Vs l ¸ . ¸ ú · ú
9 @ / Ð l f . ËF G _ â Ä º ½ ¨+ þ Aý a³ ð> \ ¦ 6 x # S 2 ©
\
" f ¶ ú ( R Ð s S 2 / B G ` ¦ W = l 0 AK ¿ º> h_ ý a³ ð ¸y [
þ
t s , \ V\ ¦ [ þ t # Q · ¡ ¤ ì ø ͽ ¨ü < z ì ø ͽ ¨\ ¦ W = H O + ü < O − , 9 כ
¹ ¦ y ý a³ ð ¸y [ þ t 0 A\ " fë ß & ñ _ ) a ² D G è& h > s t
© [ þ t É r, A + , A − , & h ¸ Â Ò H \ " f, 7 £ ¤ O + ∩ O − \ " f s
< ÊÃ º (¢ ¸ H s > s t ¨ 8 ) g +− = e inφ \ _ K
÷
&# Q @ /% i & h Ü ¼ Ð ¸ ú & ñ _ ) a > s t © ` ¦ & ñ _ > ) a .
s
[ þ t ² D G è& h > s t © A + , A − [ þ t É r y y _ ý a³ ð ¸y [ þ t, O + , O − © \ " f & ñ _ ) a ² D G è& h > s t ¨ 8 , g + , g − [ þ t \
¨ 8 ÷ &Ù ¼ Ð s < ÊÃ º g +− H s ² D G è& h > s t
¨ 8
\ g + g +− g − −1 Ð ¨ 8 ) a . " f g + , g − \ ¦ & h { © y
¸] X K " f g +− ` ¦ ½ Ó1 p x" é ¶ Ü ¼ Ð ¨ 8 r ~ ´ Ã º e Ü ¼ Õ ª
>
s t © É r 0 A © < Æ& h Ü ¼ Ð é ß í H ô Ç כ s ÷ & H כ s . t
ë ß 0 A © < Æ& h Ü ¼ Ð é ß í H ô Ç כ s > s t © _ [ jl % ò s
) a H כ ` ¦ _ p H כ s m H כ É r { 9 t ´ ú
ô Ç . s l f . ËF G É r â Ð& h ì r \ " f 6 £ § õ ° ú É r × æ
, 7 £ ¤ 0 A © Ð è ß .
e i R A (11)
#
l " f ² D G è& h ý a³ ð ¨ 8 \ @ /K " f H A 0 + = A + + dθ + 1 p x Ü
¼ Ð ¨ 8 t ë ß s < ÊÃ º\ _ ô Ç ¿ º ² D G è& h > s t © [ þ t
É r A + = A − + dφ Ð ô Ç . Ê ê _ â Ä º d (11)_ 0 A ©
H { 2 ³ â Ð_ â Ä º\ ¦ Ò q ty , 7 £ ¤ φ → φ + 2πn s Ù
¼ Ð
e i R A
+= e 2πin e i R A
−(12)
s
÷ &# Q ] j@ / Ð & ñ _ ) a H כ ` ¦ S X ½ + É Ã º e ¦ s & h É r d
(10)\ @ /6 £ x ÷ & H õ . s ¸ H © S ! [ þ t õ 0 A\ " f : r Wess-Zumino ½ Ó_ â Ä º_ Ã º < Æ& h ½ ¨ ¸_ 1 l x{ 9 < Ê É r s ] j ì
r" î ½ + É כ s .
d
(5)õ Polyakov-Wiegmann / B Nd , 7 £ ¤
S(gh) = S(g) + S(h) (13)
− 1 2π
Z
d 2 x tr g −1 ∂ + g ∂ − hh −1 (14)
`
¦ 6 x q 6 \ & h Ð > r o / B Nd ` ¦ 7 £ x" î ½ + É Ã º e [10].
Γ(g) _ G L × G R @ /g A$ í ` ¦ > s t o r ½ Ó É r [12]
Γ(g, A) = Γ(g) − 1 4π
Z
A a ∧ tr T a(L) dg g −1 + T a(R) g −1 dg − 1 8π
Z
A a ∧ A b ∧ tr T a(R) g −1 T a(L) g − T b(R) g −1 T a(L) g (15)
Ð Å Ò# Qt 9 s ½ Ó É r Wess ü < Zumino " é ¶ _ â Ä º
%
6 £ § _ ¸Ù þ ¡~ @ / Ð G L × G R > s t ç H _ q 6 \ & h q & ñ
© | ¾ Ó` ¦ Õ ª@ / Ð F & ³ô Ç .
s
³ ð & ³[ þ t É r " é ¶ r / B N ç ß _ â Ä º Ð ~ 1 > S X © ½ + É Ã º e
. \ V\ ¦ [ þ t # Q Γ 5 (g) H ç H ª ^ G 0 A_ ý aÄ ºÔ ¦ 5-form ω 5 _ pull-back g ∗ ω 5 _ & h ì r Ü ¼ Ð Å Ò# Qt 9 Õ ª כ
`
¦ > s t oô Ç Γ 5 (g, A) H G L × G R > s t ç H ¨ 8 δg =
i( L g − g R ) \ " f 6 £ § õ ° ú s ô Ç [13].
δΓ 5 (g, A) = − 1 24π 2
Z
d 4 x µνρσ tr L [(∂ µ A νL )(∂ ρ A σL ) − 1
2 i∂ µ (A νL ) A ρL A σL ] − (L → R) (16) Ó
ü
t : r s õ H " é ¶ q 6 \ & h q & ñ © | ¾ Ó > í ß (D µ j L µ ) a = 1
24π 2 µνρσ trT L a ∂ µ (A νL ∂ ρ A σL + 1
2 A νL A ρL A σL ) (17)
õ
{ 9 u ô Ç (modulo Ä »9 þ t o × ¼ o\ _ ô Ç −i ).
IV. Ò Å ® o ºÑ ÷ R « X ì Ä R X N ËV ê sS ë s
II] X õ III] X \ " f Ð ¤1 p w s q 6 \ & h q & ñ © | ¾ Óõ Wess-Zumino ½ Ó\ ? /F H µ 1 Ï ½ ¨ ¸ H y y © ç ß é
ß ô Ç \ V[ þ t Berry_ 0 A © õ ª % i < Æ& h l f . ËF G & ³ © [
þ
t \ ? /F H µ 1 Ï ½ ¨ ¸ü < 1 l x{ 9 ô Ç + þ AI [ þ t s . t ë
ß Berry_ 0 A © õ _ Ã º < Æ& h ½ ¨ ¸_ 1 l x| 9 $ í É r Å Ò D ¥ ê ø Í
`
¦ { 9 Ü ¼v 4 H ô Ç . \ V\ ¦ [ þ t # Q q 6 \ & h q & ñ © | ¾ Ó_ µ
1 Ï ½ ¨ ¸ H [14] \ " f Å Ò © 1 p w s Ó ü t o & h e D h / B N ç ß , 7 £ ¤
" é ¶ r / B N ç ß _ â Ä º, C (3) = A (3) /G (3) © _ µ 1 Ï ½ ¨ ¸
m . # l " f A (3) , G (3) [ þ t É r y y (9 uØ þ à Ô o ) a)
" é ¶ / B N ç ß © \ & ñ _ ) a > s t © , > s t ¨ 8 ç H[ þ t Ð s À
Ò# Q / B N ç ß [ þ t s . s D ¥ ê ø Í_ " é ¶ É r II] X \ " f t & h ô
Ç 0 A © < Æ& h ' a > 7 £ ¤ C ≈ Ω 3 (G) M :ë H s . : £ ¤ y Ω 3 (G) H
" é ¶ Wess-Zumino ¸4 S q_ Ó ü t o & h e D h / B N ç ß s l ¸
¦ µ 1 Ï ½ ¨ ¸\ ¦ loop group G (3) _ × æ © S X © (central extension) Ü ¼ Ð s K H כ ¸ 0 p x l M :ë H \ [6] s
D ¥ ê ø Ís > r F > ) a כ s . ¢ ¸ Berry_ 0 A © s ª % i
< Æ\ " f_ & h H Z O (adiabatic approximation)_ © S !
\
" f % 6 £ § è> h ) a כ ¸ Õ ª " é ¶ s . 7 £ ¤ ª % i < Æ& h & h
H Z O \ " f H B > h à º / B N ç ß 5 Å q \ " f_ â Ð_ r ç ß B
>
h à º B > h à º % i ½ + É` ¦ l \ µ 1 Ï ½ ¨ ¸ Wess- Zumino ½ Ó\ ? /F H µ 1 Ï ½ ¨ ¸ü < Ä » > s K | ¨ c
èt Ò q t| כ s .
II] X \ " f ê r q 6 \ & h q & ñ © | ¾ Ó\ @ /ô Ç 7 H _ \ ¦ '
l \ 6 \ & h q & ñ © | ¾ Ó 7 £ ¤ > s t ç H G = U (1) â Ä
º\ ¦ Ð . s â Ä º\ H 0 A © < Æ& h Ü ¼ Ð H % ;ô Ç (trivial) Ä »
¸> s © ½ ¨ ¸ë ß > r F ô Ç . 7 £ ¤ s < Êà º\ ¦ ² D G è& h > s t
¨ 8 ` ¦ s 6 x # ½ Ó1 p x" é ¶ Ü ¼ Ð ¨ 8 r ~ ´ Ã º e . t ë
ß 0 A\ " f t & h Ù þ ¡1 p w s Ä » ¸> s t © _ [ jl ¢ ¸ H / B GÒ ¦ s
% ò
s ) a H כ ` ¦ _ t H · ú § H . z ´] j Ð 6 \ & h q & ñ
© | ¾ Ó_ g 1 J É r q 6 \ ç H G ( \ V\ ¦ [ þ t # Q SU(3))\ U(1)` ¦ z 0
> V , # Q q 6 \ & h q & ñ © | ¾ Ó_ g 1 J \ " f ~ 1 > Ä » ¸½ + É Ã º e
. s ~ ½ ÓZ O É r q 6 \ & h q & ñ © | ¾ Ós % ò G = SU (2)_
â
Ä º @ /% i & h q & ñ © | ¾ Ó` ¦ > í ß H X < s p 6 x ) a ~ ½ ÓZ O s
. s ~ ½ ÓZ O Ü ¼ Ð z ´] j ë ß ¸³ ð\ ¦ > í ß K " f % 3 É r
õ ü < { 9 u H Ä » ¸> s t © _ > r F \ ¦ S X ½ + É Ã º e
. 7 £ ¤ s â Ä º\ H 0 A © < Æ& h Ü ¼ Ð H % ; t ë ß © _ [ jl (/ B GÒ ¦) É r % ò s Ä » ¸> s t © s > r F ô Ç . s Ä »
¸> s t © É r q 6 \ & h q & ñ © | ¾ Ó_ â Ä ºü < ° ú s ² D G è& h
>
s t ¨ 8 [ þ t Ð s À Ò# Q > s t ¨ 8 Ü ¼ Ð t > ½ + É Ã
º \ O .
Õ
ª Q [1,2]1 p x \ " f ] jî ß ) a 6 \ ç H _ â Ä º_ 6 £ § õ ° ú
É
r q ² D G è& h @ /6 £ x ½ Ó[ þ t` ¦ ¦ 9K Ð .
S c = 1 96π 2
Z
d 4 x µνρσ ∂ α A α
1
∂ 2 F µν F ρσ (18)
#
l " f > s t © É r ¢ , a < H ¸ ú s ` Ø Ôp : r õ ½ + Ë ) a כ [ þ t s
. 7 £ ¤ A λ = A λL s . s ½ Ó\ > s t ¨ 8 δA λ = ∂ λ Λ` ¦
&
h
6 x , Â Òì r& h ì r Ê ê\ 6 £ § õ \ ¦ % 3 ` ¦ Ã º e .
δS c = 1 96π 2
Z
d 4 x µνρσ ΛF µν F ρσ (19)
s
³ ð & ³ É r 6 \ & h q & ñ © | ¾ Ó\ _ ô Ç ½ Ó` ¦ & ñ S X y © Wô Ç
.
s
q ² D G è& h ½ Ó É r { 9 ì ø Í& h Ü ¼ Ð Ä »m o $ í \ 0 AC ÷ &
H ´ òõ \ ¦ Ð . z ´] j Ð s â Ä º\ s z ´ É r [17] \ " f µ
1 ß) & . Õ ª Q Ä »m o $ í \ # QF M t · ú § H 8
¸ s ½ ÓÜ ¼ Ð e D h / B N ç ß C © \ > r F H Ä » ¸> s t
© ¢ ¸ H µ 1 Ï ½ ¨ ¸\ _ ô Ç ¸í H` ¦ ] j ½ + É Ã º H \ O .
7
£
¤ s @ /6 £ x ½ Ó[ þ t É r Õ ª כ s ² D G è& h s H q ² D G è& h s H > s
t ¨ 8 \ _ ô Ç ½ Ó 7 £ ¤ III] X _ d A 0 + = A + + dθ + \ " f dθ + ½ Ó\ K { © H ½ Óë ß ` ¦ Ò q t$ í ½ + É Ã º e ` ¦ ÷ r s 9 ¸ ú · ú
¦ e 1 p w s s ½ ÓÜ ¼ Ð H F = dA + = dA − % ò s
½ Ó` ¦ © W½ + É Ã º \ O .
0
Aü < ° ú É r ~ ½ Ód Ü ¼ Ð 6 \ & h ¢ ¸ H q 6 \ & h q & ñ © | ¾ Ó
`
¦ © Wr ¸4 S qs # y ¸í H ) a H z ´ É r q [ O 1
l
x : r& h Ü ¼ Ðë ß × ¼ Q l M :ë H \ [ O 1 l x& h > í ß \ _ K " f
H s & h s × ¼ Q t · ú § H . s z ´ É r Gribov Ô ¦S X z ´
$ í
(ambiguity)\ " f s p t & h ) a e H z ´s [5].
Õ
ª Q Green-Schwarz B j m 7 £ § [18] õ Ä » > Wess-
Zumino ½ Ó` ¦ s 6 x K q 6 \ & h q & ñ © | ¾ Ó` ¦ ] j ô Ç ¦
&
ñ K Ð (F ½ © o 0 p x$ í 1 p x _ ë H ] j H { 9 é ß ] X # Q¿ º ¦,
m effective field theory d Ü ¼ Ð ] X H K Ð ). s â Ä
º\ H [12] \ " f ì r$ 3 Ù þ ¡1 p w s g © \ @ /ô Ç â Ð& h ì r Ê ê\ C © _ µ 1 Ï ½ ¨ ¸ F & ³÷ &# Q d (2)\ _ ô Ç µ 1 Ï ½ ¨
¸ü < © Wr ~ ´ à º e H כ Ü ¼ Ð Ð . t ë ß s õ & ñ s
µ 1 Ï ½ ¨ ¸\ ¦ z ´] j Ð F & ³ H t ¢ ¸ F & ³ô Ç # Q
"
à º < Æ& h B j m 7 £ § \ _ K F & ³ H t H 7 á § 8 [ jy ì
r$ 3 | ¨ c 9 כ ¹ e . 7 £ ¤ Atiyah-Singer t à º & ñ o \ ¦ s 6 x ô
Ç q 6 \ & h q & ñ © | ¾ Ó_ s K \ " f Berry_ 0 A © ¸4 S qs
H % i ½ + Éõ ° ú É r 7 á § 8 " î lô Ç [ O " î s 9 כ ¹ .
s
: r[ þ t É r · ú ¡Ü ¼ Ð Green-Schwarz B j m 7 £ §, @ /% i & h
×
æ§ 4 q & ñ © | ¾ Ó [19] Õ ªo ¦ > s t s : r \ " f ] jl ) a
g Ë > s : r (overlap formalism) [20, 21]1 p x õ ' aº K " f 8
´ ú
§ É r ½ ¨ 9 כ ¹ ¦ Ò q ty ) a .
V. + s Ç Â ] Ø
>
s t o ) a Wess-Zumino ½ Ós q 6 \ & h q & ñ © | ¾ Ó` ¦ F
& ³ô Ç H כ É r ¸ ú · ú 94 R e ¦ s z ´ É r s " é ¶ \ " f _
q 6 \ & h Ð > r o\ 1 p x © H Wess-Zumino ½ Ó_ â Ä º
\
: £ ¤ y ¸ ú ì r$ 3 ÷ &# Q e Ü ¼ 9 q 6 \ & h Ð > r o\ ¦ Ð# Å Ò l
0 AK s 6 x ÷ &l ¸ Ù þ ¡ . q 6 \ & h q & ñ © | ¾ Ós ¸ H > s
t 1 l x1 p x ô Ç > s t © [ þ t Ð s À Ò# Q B > h à º / B N ç ß 0 A\
> r F H µ 1 Ï ½ ¨ ¸\ _ ô Ç כ s H & h ¸ s p µ 1 ß)
z ´s . t ë ß & ³F t · ú 9 s [ þ t ¿ º & ³ © s
_ ' aº $ í : £ ¤ y > s t o ) a Wess-Zumino ½ Óõ q 6 \
&
h q & ñ © | ¾ Ó\ _ ô Ç µ 1 Ï ½ ¨ ¸[ þ t s _ ½ ¨^ & h à º
< Æ& h ' a$ í É r f ë ß 7 á ¤ Û ¼X O > ] jr ÷ &t · ú § ¤ . s
½
¨\ " f H ¿ º & ³ © ç ß _ ' a > \ ¦ ¸ ú ì r$ 3 K " f Y > t D ¥ ê ø Í [
þ
t` ¦ ] j H X < l # ¦ Ù þ ¡ .
õ
> s t s : r` ¦ & ñ S X > s K H õ & ñ \ " f Ó ü t o
< Æ [ þ t É r q 5 p w ô Ç z ´Ã º\ ¦ ì ø Í4 ¤ K " fô Ç â + « >s e . 60¸
@
/\ q 6 \ & h > s t s : r` ¦ ª o r v H õ & ñ õ Gri- bov Ô ¦S X z ´$ í ` ¦ µ 1 Ï| ¦ s K H õ & ñ s @ /³ ð& h \ V
. ¿ º â Ä º ¸¿ º > s t © _ e D h / B N ç ß C_ 0 A © < Æ
&
h
$ í | 9 \ l ô Ç / B GÒ ¦` ¦ ] j@ / Ð s K t 3 l wÙ þ ¡l M :ë H
\
´ ú § É r D ¥ ê ø Ís e % 3 . H : r& h Ü ¼ Ð ¸ H 0 p x ô Ç > s t
© [ þ t Ð s À Ò# Q / B N ç ß A / B N ç ß , 7 £ ¤ + þ A& h s
#
Q" f & h Ü ¼ Ð Ã º» ¡ ¤ r ~ ´ à º e H © é ß í H ô Ç / B N ç ß s H
&
h s D ¥ ê ø Í` ¦ Ô ¦ Q M ® o . t ë ß > s t ¨ 8 ç H[ þ t Ð s À Ò
#
Q G H B Ä º < É ª p Ðî r 0 A © < Æ& h x 9 l < Æ& h ½ ¨ ¸\ ¦
/ B N ç ß s ¦ s G coset 6 x` ¦ : x K Õ ª ½ ¨ ¸\ ¦ C \ d
# Qï r . \ V\ ¦ [ þ t # Q d (10)ü < d (12)\ " f_ ý a³ ð ¨ 8 , φ → φ + 2πn, É r " é ¶ > s t s : r \ " f H % ò s y
6
£
§ Ã º\ ¦ > s t ¨ 8 < ÊÃ º g ∈ G\ _ ô Ç > s t ¨ 8
\
@ /6 £ x ÷ & 9 A 0 + = A + + dθ + ü < ° ú É r ² D G è& h ý a³ ð ¨ 8 É r
% ò
_ y 6 £ § Ã º\ ¦ > s t ¨ 8 < ÊÃ º\ _ ô Ç > s t ¨ 8
\
@ /6 £ x ) a . Õ ªo ¦ g +− = e inφ _ y 6 £ § Ã º l f . ËF G _ ' Í
P : Chern à ºü < ° ú H z ´ É r " é ¶ s ³ 1 Ï > s t s
: r \ " f_ / B GÒ ¦, d (2),_ & h ì r _ ° ú כs g ∗ ω 5 _ & h ì r ° ú כ Ü
¼ Ð Å Ò# Qt H y 6 £ § à ºü < ° ú H z ´\ @ /6 £ x ) a . (s
'
a > \ ¦ foliation _ â Ä º Ð S X © ô Ç 7 £ x" î É r [22]\ ¦ Ã Ð ¸
.) s coset 6 x Ü ¼ Ð Ò q tl H < É ª p e H 0 A © < Æ& h x 9 l
< Æ& h $ í | 9 [ þ t É r z ´ 7 ' µ 1 Ï_ ì r À Ós : r \ " f Ù þ d
&
h % i ½ + É` ¦ H Grassmann ª ^ ü < Stiefel ª ^ [ þ t
\
" f ¸ 1 p x © 9 [23] s × æ © ç ß é ß ô Ç CP (N ) ª ^
H s " é ¶ ¸4 S q[ þ t \ " f Å Ò 1 p x © t ë ß # y \ v
>
# t H כ ° ú . s & h [ þ t M :ë H \ q 5 p w ô Ç D ¥ ê ø Ís ì
ø Í4 ¤ ÷ & H כ s ¦ Ò q ty ) a .
t } Ü ¼ Ð ¿ º & ³ © ¸¿ º â Ð& h ì r` ¦ 6 x ô Ç ] X HZ O
\
" f Õ ª ½ ¨ ¸ ¸ ú × ¼ Qè ß . â Ð& h ì r \ " f H y ¸4 S q _
@ /g A$ í s ¸ ú Ð > r ÷ &l M :ë H s . x 9 Ðm ª o
\
" f H s G\ _ ô Ç coset 6 x s + þ A o ) a ò ø ÍH $ à Ô / B N ç ß
\
" f 6 x ÷ &l M :ë H \ (Ä ºÛ ¼_ Z O g Ë : + þ AI Ð) Õ ª ½ ¨ ¸ [
þ
t s ¸ ú Ðs t · ú §> ÷ & H כ s . \ V\ ¦ [ þ t q + þ A r Õ
ª ¸4 S q_ â Ä º Faddeev-Popov Ð ³ ð & ³÷ & H ½ Ó\ K
{ © H Á ºô Ç@ / ° ú כ` ¦ t H @ /6 £ x ½ Ó É r â Ð& h ì r \ " f H
~ 1
> s K ÷ &t ë ß x 9 Ðm ª o\ " f H ~ 1 > × ¼ Q t
· ú § H .
P
c p 8 ý ò k >
: r ½ ¨ H F K ¸/ B N õ @ / < Æ § × æ& h / B N ¸õ ] j_ t " é ¶` ¦ ~ Ã Î
É
r כ { 9 m .
Y
c p w à U Ø ô
[1] N. V. Krasnikov, JETP Lett. 40, 1170 (1984).
[2] T. D. Kieu, Phys. Rev. D 44, 2548 (1991).
[3] R. A. Bertlmann, Anomalies in Quantum Field The- ory (Clarendon Press, Oxford, 1996), Chap. 10.
[4] S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields Vol. II (Cambridge Univ. Press, New York, 1996), Chap.
22.
[5] I. M. Singer, Commun. Math. Phys. 60, 7 (1978).
[6] M. Stone and W. E. Goff, Nucl. Phys. B 295, 243
(1988).
[7] M. F. Atiyah and I. M. Singer, Proc. Natl. Acad.
Sci. USA, 81, 2597 (1984).
[8] S. K. Donaldson and P. B. Kronheimer, The Geom- etry of Four Manifolds (Clarendon Press, Oxford, 1997), Chap. 5.
[9] A. Polyakov and P. B. Wiegmann, Phys. Lett.
131B, 121 (1983).
[10] P. Di Vecchia, B. Durhuus and J. L. Petersen, Phys.
Lett. B 144, 245 (1984).
[11] A. O. Gogolin, A. A. Nersesyan and A. M. Tsve- lik, Bosonization and Strongly Correlated Systems 2nd Ed. (Cambridge Univ. Press, New York, 1998), Chap. 14.
[12] E. Witten, Commun. Math. Phys. 144, 189 (1992).
[13] E. Witten, Nucl. Phys. B 223, 422 (1983).
[14] A. J. Niemi and G. W. Semenoff, Phys. Rev. Lett.
55, 927, 2627 (1985); 56, 1019 (1986).
[15] J. Wess and B. Zumino, Phys. Lett. B 37, 95 (1971).
[16] E. Witten, Commun. Math. Phys. 92, 455 (1984).
[17] C. Adam, Phys. Rev. D 56, 5135 (1997).
[18] M. B. Green, J. H. Schwarz and E. Witten, Super- string Theory Vol. 2 (Cambridge Univ. Press, New York, 1987).
[19] E. Witten, Commun. Math. Phys. 100, 197 (1985).
[20] D. B. Kaplan, Phys. Lett. B 288, 342 (1992).
[21] R. Narayanan and H. Neuberger, Nucl. Phys. B 412, 574 (1994).
[22] N. Woodhouse, Geometric Quantization (Clarendon Press, Oxford, 1980).
[23] S. S. Chern, Complex Manifolds without Potential Theory (Van Nostrand, New York, 1967).
On the Line-bundle Structures in Nonabelian Anomaly, the Wess-Zumino-term, and Nonabelian Bosonization
Dae-Gyu Choi ∗
School of Natural Sciences, Kumoh National Institute of Technology, Kumi 730-701 (Received 16 October 2007)
The gauged Wess-Zumino-term is well known to reproduces the nonabelian anomaly. This fact has been analyzed in detail in the case of nonabelian bosonization and has actually been utilized to prove nonabelian bosonization formulae in an alternate way. The fact that the nonabelian anomaly is due to the line bundle structure residing on the configuration space of gauge theory given by the space of all gauge fields modulo gauge transformations has also been pointed out by many authors. However, the relation between the two phenomena has not been given in a fully explicit manner, leading to unnecessary confusion. In this work, we tried to remove some of this confusion by presenting the mathematical structures residing in these phenomena more carefully than the previously given ones.
PACS numbers: 11.10.Kk, 11.15.Tk
Keywords: Nonabelian anomaly, Wess-Zumino-term, Nonabelian bosonization, Line bundle
∗
![2009 4 X N Ë Ê Ý] K ¡Ê Ý w Õ ×Ê ÝX N Ë ö n ÚP I w Ê Ý" e8 ý w Õ ×Ê ÝX N ËÊ Ý 5 Ó Þ8 ý X ì ı n ÇV R Ë Ä Z ØV Ä](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)