³ o - s ð ' [- Ö " e T Â ] Ø; c" e8 ý ( a Ö כ Ç « m8 ý 6 È S ËV R Ë

(1)

³ o - s ð ' [- Ö " e T Â ] Ø; c" e8 ý ( a Ö כ Ç « m8 ý 6 È S ËV R Ë

T

¢ 99 · î m Ú ^∗

© t @ / < Æ § ( É Ó' Ó ü t o < Æõ , " é ¶ Å Ò 220-702 (2003¸ 4 Z 4 29{ 9 ~ Ã Î6 £ §)

l © õ Û ¼º ú © s × æ§ 4 õ © ñ 6 x H © { 9 ì ø Í& h s : r \ " f & ñ © © I r / B Nç ß \ @ /ô Ç ( J $

[ > / B Nç ß _ > | ¾ Ó J $ " f\ ¦ % 3 % 3 ¦, Õ ª l < Æ& h @ /g A$ í ` ¦ & ñ & h r / B Nç ß \ ô Ç& ñ # ì r À Ó % i . Õ ª o

¦ s כ ` ¦ s 6 x # % 3 ` ¦ Ã º e H ^ ¦Ï þ f . Ë_ { 9 ì ø Í& h : £ ¤$ í ` ¦ 7 H_ % i .

PACS numbers: 04.20.Cv, 04.20.Jb

Keywords: { 9 ì ø Í © @ /$ í , ( J $ [ > / B Nç ß , ^ ¦Ï þ f . Ë, ~ ´a A@ /g A

I. " e Â ] Ø

Û

¼º ú -J $ " f s : r É r { 9 ì ø Í © @ / : r_ © ç ß é ß ô Ç Ã º& ñ s

[1]. ¢ ¸ô Ç & ³F ¦ 9÷ & H @ /Â Òì r_ : x{ 9 © s : r \

"

f Û ¼º ú © _ > r F 9 Ã º Ô ¦ [2]. Õ ª Q Û ¼ º

ú © s × æ§ 4 x 9 Qt Ó ü t| 9 õ ½ + Ë H ~ ½ ÓZ O É r ½ Ó s

÷ & H s : r \ t y Ò os . " f Û ¼º ú © s

> r F ½ + É M : { 9 ì ø Í& h Ü ¼ Ð $ í w n H z ´õ : £ ¤Z > ô Ç ~ ½ ÓZ O Ü ¼

Ð ½ + Ë½ + É M :\ ë ß $ í w n H z ´` ¦ ½ ¨Z > # & ñ o H

כ

É r _ p e ` ¦ כ s .

: r 7 Hë H \ " f H Einstein-Maxwell s : r` ¦ 0 AK > hµ 1 Ï ) a (

J $ [ > / B Nç ß > h¥ Æ [3]` ¦ { 9 ì ø Í& h Û ¼º ú - 7 ' -J $ " f s

: r \ & h 6 x½ + É כ s ¦, Õ ª @ /g A$ í \ @ /K 7 H_ ½ + É כ s .

s

\ ¦ 0 A # ( J $ [ > / B Nç ß _ > h¥ Æ ` ¦ כ ¹ K Ð . & ñ © © I

r / B Nç ß \ " f Û ¼º ú - 7 ' -J $ " f s : r É r N > h_ Û ¼º ú

© ϕ ^A (A = 1, . . . , N ) " é ¶ \ " f × æ§ 4 õ ½ + Ëô Ç s

: r Ü ¼ Ð " é ¶» ¡ ¤ è½ + É Ã º e [3,4]:

L = − 1 κ ²

√ γ[R 3 + G AB γ ^ij ∂ i ϕ ^A ∂ j ϕ ^B ] (1)

#

l " f κ ² = 16πG s ¦ γ ^ij H " é ¶ / B Nç ß _ > | ¾ Ó J $ " f, G AB H ϕ ^A ë ß × ¼ H ( J $ [ > / B Nç ß _ > | ¾ Ó J $ " fs . ë ß { 9

ϕ ^A ( J $ [ > λ\ ë ß _ > r Õ ª| ½ Ót î ß (1)\ _ ô Ç î

r1 l x ~ ½ Ó& ñ d É r

R ⁽³⁾ _ij = −∂ i λ∂ _j λ, ξ ^A D _A ξ ^B = 0 (2)

) a . # l " f ξ Â = dϕ Â /dλ, = G AB ξ Â ξ ^B s ¦ D A H (

J $ [ > / B Nç ß \ " f_ > | ¾ ÓJ $ " f G AB _ / B N ¸ < ÊÃ ºs .

∗

E-mail: [email protected]

7 £ ¤, " é ¶ / B Nç ß \ " f_ Ã » ~ ½ Ó& ñ d õ ( J $ [ > / B N ç

ß \ " f_ 8 £ ¤ t ~ ½ Ó& ñ d s ) a . É r ½ Ó © 8 £ ¤ t ~ ½ Ó& ñ d _ î

r1 l x © Ã ºs ¦, Ã » J $ " f_ Bianchi ½ Ó1 p xd \ _ K

λ H ¸ o < ÊÃ º H d` ¦ Å Ò3 l q . : £ ¤ y , = 0 â Ä º

" é ¶ Ã » ~ ½ Ó& ñ d \ _ K γ ij = δ _ij ÷ &Ù ¼ Ð ~ 1

>

^ > K \ ¦ % 3 ` ¦ Ã º e [5].

(

J $ [ > / B Nç ß _ ~ á A(Killing) 7 ' K Â \ ¦ s 6 x ξ Â K _A H 8 £ ¤ t ~ ½ Ó& ñ d _ î r1 l x © Ã º H z ´` ¦ s 6 x

#

¢ - a K \ ¦ % 3 ` ¦ Ã º e [4,5]. ¢ ¸ô Ç, ~ ´a A @ /g As Ø æì r

~ ´a A 7 ' ë ß × ¼ H @ /g A` ¦ s 6 x # · ú 9 K Ð Â

Ò' D h Ðî r K \ ¦ f ] X ë ß [ þ t Ã º ¸ e [3]. " f, ( J $

[ > / B Nç ß _ ~ ´a A @ /g A É r # Q \ " f Ä »6 x .

: r 7 Hë H \ " f H II] X \ " f { 9 ì ø Í& h Û ¼º ú - 7 ' -J $ " f s

: r_ ³ ð & ³õ Õ ª כ _ ( J $ [ > / B Nç ß \ @ /K 7 H_ % i ¦, III] X \ " f H & ñ & h r / B Nç ß \ @ /ô Ç ( J $ [ > / B Nç ß _ l

<

Æ& h @ /g A$ í ` ¦ ì r À Ó % i . Õ ªo ¦, IV] X \ " f H ^ ¦Ï þ f

. Ë \ @ /ô Ç Bogomol’nyi-Prasad-Sommerfield (BPS) ' a > ,

| 9

| ¾ Ó / B Nd 1 p x \ @ /ô Ç Ð : r` ¦ % i .

II. ³ o - s ð ' [- Ö " eT Â ] ØÊ Ý ( a Ö כ Ç « m

© { 9 ì ø Í& h Û ¼º ú -J $ " f s : r_ Õ ª| ½ Ót î ß É r L 0 = − 1

κ ² p−˜gF (Φ)[ ˜ R + G(Φ)˜ g ^µν ∂ µ Φ∂ ν Φ] (3)

Ð ³ ð & ³½ + É Ã º e . # l " f F (Φ)ü < G(Φ) H Û ¼º ú © Φ_ e _ _ < ÊÃ ºs . Õ ª Q D h Ðî r Û ¼º ú © φ\ ¦ φ = F (Φ) Ð & ñ _ ¦, ω(φ)/φ ² = G(Φ)/( ^δF _δΦ ) ² Ð Z ~ Ü ¼ Õ

ª| ½ Ót î ß (3) É r L 0 = − 1

κ ² p−˜gφ[ ˜ R + ω(φ)

φ ² g ˜ ^µν ∂ _µ φ∂ _ν φ] (4)

-35-

(2)

) a . s ³ ð & ³ É r כ ¹Ø Ôé ß ý a³ ð> (Jordan frame)\ " f

½ + Ë < ÊÃ º ω(φ)\ ¦ ° ú H Brans-Dicke Õ ª| ½ Ót î ß + þ AI s

. # l \ 6 £ § õ ° ú s Û ¼º ú © σ\ ¦ ¸{ 9 ¦ 1 p x y

(conformal) ¨ 8 ` ¦ :

σ = Z p

2ω(φ) + 3 dφ

φ , g _µν = φ˜ g _µν (5) Õ

ª Q Õ ª| ½ Ót î ß (4) É r Ã » ý a³ ð> (Einstein frame) \ " f_ ³ ðï r Û ¼º ú -J $ " f s : r \ K { © H ³ ð & ³ Ü

¼ Ð ÷ ¶ [6]:

L 0 = − 1 κ ²

√ −g[R + 1

2 g ^µν ∂ µ σ∂ ν σ] (6) 1

p

xy ¨ 8 É r { 9 ì ø Í& h @ /g A ¨ 8 s m Ù ¼ Ð כ ¹Ø Ôé ß ý a

³

ð> ü < Ã » ý a³ ð> H " f Ð ½ ¨Z > ÷ & H Ó ü t o / B Nç ß s

. " f # QÖ ¼ 1 p xy ý a³ ð> \ ¦ Ó ü t o / B Nç ß Ü ¼ Ð × þ Ö ¼

\ Ó ü t o & h K $ 3 É r \ ¦ Ã º e . \ V\ ¦ [ þ t כ ¹ Ø

Ôé ß ý a³ ð> \ " f { 9 ì ø Í& h Û ¼º ú © _ \ -t -î r1 l x| ¾ Ó J $

"

f H ô Ç \ -t ¸| ` ¦ ë ß 7 á ¤ t · ú §t ë ß Ã » ý

a³ ð> \ " f H ë ß 7 á ¤ ) a [7]. Õ ª Q : r 7 Hë H \ " f H î r1 l x

~

½ Ó& ñ d _ @ /g A$ í õ Õ ª K \ ¦ % 3 H ~ ½ ÓZ O \ @ /K 7 H_ ½ + É כ s

¦, ¢ ¸ô Ç ^ ¦Ï þ f . Ë_ \ P % i < Æ Ã º H Ð: x © S ! \ " f 1 p xy ý

a³ ð> (conformal frame)\ Á º ' a Ù ¼ Ð [8] # QÖ ¼ 1 p xy ý a

³

ð> \ ¦ × þ Ö ¼ H × æ כ ¹ t · ú § .

© { 9 ì ø Í& h Û ¼º ú - 7 ' -J $ " f Õ ª| ½ Ót î ß É r Ã

» ý a³ ð> \ " f L = − √

−g[ 1

κ ² {R + 1

2 (∂ µ σ) ² } + 1

4 e ^A(σ) F _µν ² + 1

2κ ² e ^−2B(σ) (∂ µ a) ² + a

4 F µν F ˜ ^µν ] (7)

Ð ³ ð & ³½ + É Ã º e . # l " f A(σ)ü < B(σ) H σ_ e _ _

<

ÊÃ ºs ¦, a H axion © , ˜ F µν = µνρσ F ^ρσ /2 s . { 9 ì ø Í

&

h Ü ¼ Ð Û ¼º ú © σ H Ó ü t| 9 _ 7 á x À Ó\ " f y y É r

~

½ ÓZ O Ü ¼ Ð © ñ 6 xô Ç [6]. " f A(σ)ü < B(σ) H

½ Ós ÷ & H s : r \ " f y y É r ° ú כ` ¦ | 9 כ s .

© ç ß é ß ô Ç â Ä º H Ó ü t : r Einstein-Maxwell (EM) s : r s

. Axion © s \ O H â Ä º H Ð: x_ Û ¼º ú - 7 ' -J $

"

f s : r s ¦, : £ ¤ y A(σ) = ασ â Ä º H, α = 0 â Ä

º_ Brans-Dicke (BD) s : r, α = √

3 â Ä º_ ¸ " é ¶ Kaluza-Klein s : r` ¦ í < Ê # , e _ _ ½ + Ë © Ã º α\ ¦

° ú

H Einstein-Maxwell-Dilaon (EMD) s : r s ) a . Õ ª o

¦ A(σ) = B(σ) = σ â Ä º H Û ¼à Ôa A s : r_ $ \ - t

³ ð & ³ Einstein-Maxwell-Dilaton-Axion (EMDA) s

: r s ) a .

&

ñ © © I r / B Nç ß â Ä º > | ¾ Ó J $ " f H ½ Ó © g _µν dx ^µ dx ^ν = −f(dt + ω i dx ⁱ ) ² + 1

f γ _ij dx ⁱ dx ^j (8)

Ð ³ ð & ³½ + É Ã º e . # l " f f, ω i , γ ij H r ç ß t\ _ > r t

· ú § H / B Nç ß ë ß _ < ÊÃ ºs . J $ " f_ ' \ ¦ ` ¦ o ¦ ? /w n = M

: ¼ # o ¸2 ¤ l ï r 7 ' \ ¦ ˆ ∂ t ⊗ ˆ ∂ i Ð & ñ :

∂ ˆ _t = ∂ _t , ∂ ˆ _i = ∂ _i − ω i ∂ _t (9) l

ï r 7 ' ˆ ∂ t ⊗ ˆ ∂ i H § ¨ 8 ÷ &t · ú §6 £ §` ¦ Å Ò_ # ô Ç :

[ ˆ ∂ _i , ˆ ∂ _j ] = −Π ij ∂ ˆ _t , Π _ij = ∂ _i ω _j − ∂ j ω _i (10)

¢

¸ô Ç, l ( J $ [ > ` ¦ A µ = (A t , A i ) ½ + É M : l © J

$ " f H F it = ∂ i A t , F ij = ∂ i A j − ∂ j A i + Π ij A t s ) a .

r

ç ß ~ ½ Ó ¾ ÓÜ ¼ Ð_ ~ ´a A 7 ' ∂ ^t \ ¦ s 6 x # Õ ª| ½ Ót î

ß (7)` ¦ " é ¶» ¡ ¤ è L 3 = − 1

κ ²

√ γ[R 3 + 1

2 (∂ i ln f ) ² − f ²

4 Π ² _ij + 1 2 (∂ i σ) ² + κ ²

4 f e ^A(σ) F _ij ² − κ ² 2

1 f e ^A(σ) F _it ² + 1

2 e ^−2B(σ) (∂ _i a) ² + κ ²

2 a ^ijk F it F jk ] (11)

`

¦ % 3 H . s ] j l ( J $ [ > uü < l ( J $ [ > v\ ¦ ¸{ 9

:

√ κ 2

F ˜ ij = 1

f ijk ∂ ^k u, κ

√ 2 (e ^A(σ) F ij + a ˜ F ij ) = 1 f ijk ∂ ^k v

(12) Õ

ª Q Õ ª| ½ Ót î ß (11)\ ω i Ð ì r` ¦ # % 3 H ~ ½ Ó& ñ d

É r

∇ i [f ² Π ^ij − ^ijk (u∂ k v − v∂ k u)] = 0 s

) a . s ~ ½ Ó& ñ d _ K H e _ _ < ÊÃ º χ\ ¦ ¸{ 9 # Π ij = 1

f ² ijk (∂ ^k χ + u∂ ^k v − v∂ ^k u) (13)

Ð ³ ð & ³½ + É Ã º e . Õ ª| ½ Ót î ß (11) Ð Â Ò' % 3 H Qt î

r1 l x ~ ½ Ó& ñ d É r R _ij = − 1

2 ∂ _i ln f ∂ _j ln f − 1

2f ² τ _i τ _j − 1 2 ∂ _i σ∂ _j σ + 1

f [e ^A(σ) ∂ i u∂ j u + e ^−A(σ) Φ i Φ j ] − 1

2 e ^−2B(σ) ∂ i a∂ j a,

∇ ² ln f = − τ _i ² f ² + 1

f [e ^A(σ) (∂ i u) ² + e ^−A(σ) Φ ² _i ],

∇ i [ 1

f e ^−A(σ) Φ ⁱ ] = τ ⁱ

f ² ∂ i u, (14)

∇ i [ 1

f e ^A(σ) ∂ ⁱ u − 1

f e ^−A(σ) aΦ ⁱ ] = − τ ⁱ

f ² ∂ _i v,

(3)

∇ ² σ = − A ⁰

f [e ^A(σ) (∂ i u) ² − e ^−A(σ) Φ ² _i ] − B ⁰ e ^−2B(σ) (∂ i a) ² ,

∇ i [e ^−2B(σ) ∂ ⁱ a] = 2

f e ^−A(σ) Φ ⁱ ∂ _i u s

. # l " f ⁰ É r σ \ @ /ô Ç p ì r s ¦ τ i = ∂ i χ + u∂ i v − v∂ i u, Φ i = ∂ i v − a∂ i u s . s î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d É r 6 £ §_ Õ

ª| ½ Ót î ß Ü ¼ ÐÂ Ò' ¸ % 3 ` ¦ Ã º e :

L ef f = − 1 κ ²

√ γ[R ₃ + 1

2 (∂ _i ln f ) ² + 1 2f ²

× (∂ i χ + u∂ i v − v∂ i u) ² + 1

2 (∂ i σ) ² − 1

f {e ^A(σ) (∂ i u) ² + e ^−A(σ) (∂ i v − a∂ i u) ² } + 1

2 e ^−2B(σ) (∂ i a) ² ]. (15) s

כ É r # $ Á > h_ Û ¼º ú © u, v, f, χ, σ, a " é ¶ \

"

f × æ§ 4 õ ½ + Ëô Ç Õ ª| ½ Ót î ß + þ AI s . " f ( J $ [ > /

B

Nç ß _ > | ¾ Ó J $ " f H

ds ² = − 1

f [e ^A(σ) du ² + e ^−A(σ) (dv − a du) ² ] + 1 2f ² df ² + 1

2f ² (dχ + udv − vdu) ² + 1

2 dσ ² + 1

2 e ^−2B(σ) da ² (16) s

) a .

III. M ] K ¡X ì Äß Ã Å 6 È S ËV R Ë

>

| ¾ Ó J $ " f_ @ /g A É r ~ ´a A ~ ½ Ó& ñ d

D _A K _B + D _B K _A = 0 (17)

`

¦ ë ß 7 á ¤ H ~ ´a A 7 ' K ^A \ _ ô Ç isometry @ /³ ð& h s

. Õ ª X < > | ¾ Ó J $ " f (16)_ isometry H Ä »´ ò Õ ª| ½ Ót î

ß (15)` ¦ Ô ¦ Ü ¼ Ð ë ß H . " f ~ ´a A 7 ' K ^A ë ß

×

¼ H ( J $ [ > / B Nç ß _ @ /g A ¨ 8 É r î r1 l x ~ ½ Ó& ñ d (14)` ¦ ë ß 7

á

¤ H K / B Nç ß _ @ /g A ¨ 8 s ) a . s z ´` ¦ s 6 x Ø

æì rô Ç ~ ´a A ¨ 8 s > r F ½ + É M : s p · ú 9 ç ß é ß ô Ç K Ð Â

Ò' D h Ðî r ¢ - a K \ ¦ ^ > & h Ü ¼ Ð % 3 ` ¦ Ã º e [3]. ¢ ¸ ô

Ç, ϕ ^A λ\ ë ß _ > rô Ç H & ñ \ , î r1 l x~ ½ Ó& ñ d × æ_

( J $ [ > / B Nç ß _ 8 £ ¤ t ~ ½ Ó& ñ d s ¦, ~ ´a A 7 ' H 8 £ ¤ t

~ ½ Ó& ñ d _ î r1 l x © Ã º\ ¦ ï r H z ´` ¦ s 6 x ¢ - a K

\

¦ ~ 1 > % 3 ` ¦ Ã º e [5].

(

J $ [ > / B Nç ß _ / B GÒ ¦ J $ " f R ABCD / B N © Ã ºs @ / g A/ B Nç ß (symmetric space)s ÷ & ¦ coset / B Nç ß Ü ¼ Ð @ /6 £ x r

~

´ Ã º e [9]. " f D A R BCDE = 0 â Ä º © ´ ú §

É r ~ ´a A 7 ' > r F ½ + É כ s ¦, s ° ú כ\ ~ ´a A @ /g A

`

¦ ì r À Ó H כ s ¼ # o ½ + É כ s . s ] X \ " f H ( J $ [ > / B N ç

ß _ > | ¾ Ó J $ " f | 9 Ã º e H l < Æ& h @ /g A$ í ` ¦ & ñ

&

h r / B Nç ß \ ô Ç& ñ # ì r À Ó½ + É כ s . & ñ & h r / B Nç ß

\

" f H ω i = 0 s Ù ¼ Ð ( J $ [ > / B Nç ß _ > | ¾ Ó J $ " f H

ds ² = − 1

f [e ^A(σ) du ² + e ^−A(σ) (dv − a, du) ² ] + 1

2f ² df ² + 1

2 dσ ² + 1

2 e ^−2B(σ) da ² (18) s

) a . Axion © a \ O H Û ¼º ú - 7 ' -J $ " f s : r_ ( J $

[ > / B Nç ß õ Õ ª @ /g A$ í É r [4] \ " f 7 H_ % i Ü ¼Ù ¼ Ð : r ] X

\

" f H l © s \ O H â Ä ºü < a 6= 0 â Ä º Ð ì r o

#

~ ´a A 7 ' \ ¦ ½ ¨ .

1. u = v = 0 ß Ã Å ß O Ë ¤

l © s \ O H â Ä º / B GÒ ¦ J $ " f R ABCD _ / B N ¸ < Ê Ã

º H

D σ R σaσa = 1

2 e ^−2B(σ) [2B ⁰ (σ)B ⁰⁰ (σ) − B ⁰⁰⁰ (σ)]

`

¦ ] jü @ ¸¿ º 0s . " f e ^−B(σ) 1, σ, c ¹ e ^βσ + c ₂ e ^−βσ â Ä º_ ( J $ [ > / B Nç ß É r @ /g A/ B Nç ß s . # l " f B(σ) = 0 s e ^−B(σ) = σ â Ä º H é ß í H y ¨ î ¨ î ô Ç

" é ¶ Ä »9 þ t o × ¼ / B Nç ß s ÷ & ¦, { © y [ j > h_ # î @ /g Aõ [

j > h_ r @ /g As > r F ½ + É כ s Ù ¼ Ð 8 s © 7 H_ t

´

ú . ¢ ¸ô Ç, e ^−B(σ) c 1 e ^βσ + c ₂ e ^−βσ â Ä º σ\ ¦ F & ñ _

© Ã º\ ¦ c 1 = c 2 = _2β ^η Ð F ¸& ñ ½ + É Ã º e 6 £ §` ¦ Å Ò3 l q

. (e ^−B(σ) ≥ 0` ¦ ë ß 7 á ¤ l 0 AK c 1 = −c 2 â Ä º H ]

jü @ % i .) > l © s \ O H â Ä º H a ¸ F & ñ _ # η = 1 Ð ë ß [ þ t Ã º e . " f ~ ´a A @ /g A_ 7 á x À

Ó H e ^−B(σ) { 9 ì ø Í& h â Ä ºs e ^βσ ¢ ¸ H _2β ¹ (e ^βσ + e ^−βσ ) â Ä º Ð Ð ü t Ã º e .

e ^−B(σ) { 9 ì ø Í& h â Ä º_ ~ ´a A 7 ' H

K ₁ = f ∂ _f , K ₂ = ∂ _a (19)

÷

r s . K 1 É r f \ @ /ô Ç Û ¼H { 9 ¨ 8 ` ¦ ë ß [ þ t ¦ K 2 H a \

@

/ô Ç # î ¨ 8 ` ¦ ë ß H . 7 £ ¤, { 9 ì ø Í& h â Ä º ( J $ [ > / B N ç ß

É r _ p e H @ /g A$ í ` ¦ ° ú t · ú § H . Õ ª Q e ^−B(σ) = e ^βσ â Ä º_ ~ ´a A 7 ' H

K 1 = ∂ a , K 2 = ( a ² 2 − e ^2βσ

2β ² )∂ a + a β ∂ σ , K ₃ = a∂ _a + 1

β ∂ _σ , K ₄ = f ∂ _f (20)

(4)

s

. ~ ´a A 7 ' {K 1 , K 2 , K 3 } H dilaton σ ü < axion a\ _

ô Ç sl(2, R) @ /Ã º\ ¦ ë ß 7 á ¤ô Ç :

[K 1 , K 2 ] = K 3 , [K 1 , K 3 ] = K 1 , [K 2 , K 3 ] = −K 2

(21) K 1 É r a \ @ /ô Ç # î ¨ 8 , K 3 H σ ü < a\ @ /ô Ç Û ¼H { 9

¨ 8

, K 4 H f \ @ /ô Ç Û ¼H { 9 ¨ 8 ` ¦ ë ß [ þ t ¦, s כ [ þ t É r ~ 1

>

f ½ + É Ã º e H @ /g A ¨ 8 s . Õ ª X < K 2 ë ß × ¼ H

¨ 8 É r

s → s + t

2 θ, t → t, f → f (22) s

¦, s כ É r σ ü < a\ @ /ô Ç Harrison + þ AI _ ¨ 8 s [10]. # l " f θ H ¨ 8 Ã ºs ¦

s = ae ^−βσ , t = − 1

β ² e ^βσ − a ² e ^−βσ (23) s

. s ¨ 8 [ þ t` ¦ ¸½ + Ë ç ß é ß ô Ç K \ ¦ s 6 x # © { 9

ì ø Í& h K \ ¦ % 3 ` ¦ Ã º e .

= å

Q Ü ¼ Ð, e ^−B(σ) = _2β ¹ (e ^βσ + e ^−βσ ) â Ä º_ ~ ´a A 7 '

H

K 1 = 1

√ 2 e ^−a ( 1

β ∂ σ + tanh βσ ∂ a ),

K ₂ = 1

√ 2 e ^a ( − 1

β ∂ _σ + tanh βσ ∂ _a ),

K 3 = ∂ a , K 4 = f ∂ f (24) . s . s כ [ þ t ¸ sl(2, R) @ /Ã º (21)\ ¦ ë ß 7 á ¤ô Ç . Õ ªo ¦ K 1 õ K 2 y y ë ß × ¼ H _ p e H ¨ 8 É r

s _1,2 → s 1,2 , t _1,2 → t 1,2 + θ _1,2

√ 2 (25)

s

. # l " f

s _1,2 = e ^∓a cosh βσ, t _1,2 = e ^±a tanh βσ

" f s â Ä º\ ¸ ç ß é ß ô Ç K ÐÂ Ò' © { 9 ì ø Í& h K

\

¦ % 3 ` ¦ Ã º e .

2. σ = 0T w a 6= 0ß Ã Å ß O Ë ¤

s

â Ä º / B GÒ ¦ J $ " f R ^ABCD H a 6= 0s l M :ë H \ / B N

© Ã º | ¨ c Ã º \ O . " f _ p e H @ /g A` ¦ ë ß × ¼ H ~ ´

a A 7 ' > r F t · ú §` ¦ כ Ü ¼ Ð f ½ + É Ã º e . z ´] j

Ð ~ ´a A ~ ½ Ó& ñ d (17)_ K H

K ₁ = ∂ _u , K ₂ = ∂ _v ,

K 3 = u∂ u + v∂ v + 2f ∂ f , K 4 = u∂ v + ∂ a (26) s

. K 1 õ K ₂ H l > s t ¨ 8 , K ₃ H Û ¼H { 9

¨ 8

, K ₄ H axion ¨ 8

u → u, v → v + uθ, f → f, a → a + θ (27)

\

¦ ë ß H .

3. σ 6= 0T w a 6= 0ß Ã Å ß O Ë ¤ s

â Ä º\ ¸ ( J $ [ > / B Nç ß _ / B GÒ ¦ J $ " f H a 6= 0s l M : ë

H \ / B N © Ã º | ¨ c Ã º \ O . z ´] j Ð A(σ)ü < B(σ) { 9 ì

ø Í& h ³ ð & ³{ 9 M : H σ = 0 â Ä º_ ~ ´a A 7 ' (26)ü <

1 l x{ 9 . Õ ª Q A(σ) = ασs ¦ B(σ) = βσ â Ä º H

#

ì r_ ~ ´a A 7 ' > r F ô Ç . 7 £ ¤ α = β = 0 â Ä º_ K 5 = ∂ σ ü < β = α ¢ ¸ H β = 0 â Ä º_

K 5 = − u 2 ∂ u + v

2 ∂ v + 1

α ∂ σ + a∂ a

e . ¢ ¸ô Ç, α = β = 1 â Ä º H # l \ 8K " f K 6 = − v

2 ∂ u + a∂ σ + a ² − e ^2σ 2 ∂ a

> r F ô Ç . " f _ p e H @ /g A ¨ 8 É r EMDA s : r

\

" f_ K ₆ ë ß × ¼ H u → u − v

2 θ, v → v, f → f, s → s + t

2 θ, t → t

÷

r s . # l " f sü < t H ~ ½ Ó& ñ d (23)\ " f β = 1` ¦ @ /{ 9 ô Ç

כ s .

EMDA s : r \ " f {K ⁴ , K 5 , K 6 }ë ß ¦ 9 dilaton σ ü < axion a\ _ ô Ç sl(2, R) @ /Ã º (21)\ ¦ ë ß 7 á ¤ < Ê` ¦ · ú Ã º e

. Õ ª Q l © \ @ /K " f H > s t ¨ 8 ë ß > r F

¦ Harrison + þ AI _ ¨ 8 É r > r F t · ú § H . s \ ì ø Í

# & ñ © © I r / B Nç ß \ " f EMDA s : r É r \ P > h_ ~ ´a A 7 ' > r F ¦, & h ì r 0 p x < Ês · ú 94 R e [11]. s כ

É

[ > / B Nç ß É r @ /g A/ B Nç ß s t ë ß , & ñ & h r / B Nç ß \ " f H @ /g A /

B

Nç ß s _ õ Ä » . z ´ & ñ & h r / B Nç ß \ " f ¸

"

é

¶ Kaluza-Klein s : r_ ( J $ [ > / B Nç ß É r D (A K _BC) = 0` ¦ ë

ß 7 á ¤ H ~ ´a A J $ " f K ^AB ¿ º > h > r F ¦, s כ s ( J $

[ > / B Nç ß _ 8 £ ¤ t ~ ½ Ó& ñ d ` ¦ & h ì r 0 p x ¸2 ¤ ë ß H [4].

" f & ñ & h r / B Nç ß \ " f_ EMDA s : r ¸ Ä » ô Ç ~ ´

a A J $ " f > r F ½ + É כ s .

(5)

IV. + s Ç Â ] Ø õ m Í º Â ] Ø

&

#

J $ [ > / B Nç ß _ ~ ´a A @ /g A` ¦ ì r À Ó % i . ( J $ [ > / B Nç ß s

@

/g A/ B Nç ß â Ä º H (1) u = v = 0 s ¦ e ^B(σ) = 1, σ, ¢ ¸

H c 1 e ^βσ + c 2 e ^−βσ â Ä º, (2) σ = a = 0 EM s : r, (3) A(σ) = a = 0 BD s : r, (4) a = 0, A(σ) = ασ EMD s

: r \ " f e _ _ α\ @ /ô Ç é ß F G ü < α = 1 EMDA s

~

´a A @ /g A_ õ [11]ü < ´ ú §s 2 £ §` ¦ · ú Ã º e .

(

J $ [ > / B Nç ß s @ /g A/ B Nç ß s & h ì r 0 p x # { 9 ì ø Í& h

¢ -

a K \ ¦ # Qt ~ ½ ÓZ O Ü ¼ Ð % 3 ` ¦ Ã º e ¦, ^ ¦Ï þ f . Ë \ @ / ô

Ç Ä »{ 9 $ í _ 7 £ x" î , | 9 | ¾ Ó/ B Nd _ Ä » ¸ 1 p x \ s 6 x½ + É Ã º e

. Õ ª Q : r 7 Hë H \ " f Ð1 p w s ( J $ [ > / B Nç ß s @ /g A/ B Nç ß

â Ä º H Å Ò : £ ¤Z > . " f { 9 ì ø Í& h s : r \ " f $ í w n

½ + É Ã º e H z ´õ @ /g A/ B Nç ß â Ä º\ ë ß $ í w n H z

´` ¦ ì r o H כ É r _ p e ` ¦ כ s . s כ _ \ V H ^ ¦Ï þ f

. Ë_ BPS Â Ò1 p xd õ | 9 | ¾ Ó/ B Nd s .

Axion s e H â Ä º ¸ H Û ¼º ú - 7 ' -J $ " f s : r_ ( J $

[ > / B Nç ß É r ~ ´a A 7 ' (26)` ¦ ° ú H . s כ ` ¦ s 6 x 8

£

2 = (M + Q √ 2u+ P

√ 2 v) ² + S

2 −f[e ^−A(σ) (Q+aP ) ² +e ^A(σ) P ² ]

= M ² + Σ ² + A ² e ^2B(σ

^∞

⁾ − [e ^−A(σ

^∞

⁾ Q ² + e ^A(σ

^∞

⁾ P ² ] (28) s

H d` ¦ · ú Ã º e . # l " f M É r | 9 | ¾ Ó, Σ H Û ¼º ú , A H axion , Qü < P H l s ¦,

S

2 = 1 4 ( dσ

dλ ) ² + e ^2B(σ) (A − √ 2P u) ² s

. ô Ç¼ # , ½ ¨+ þ A@ /g A â Ä º f → 0 | t ¨ î s > r F

9 ≥ 0s # Q ô Ç . " f ^ ¦Ï þ f . Ë \ @ /K " f H BPS Â Ò1 p xd

M ² + Σ ² + A ² e ^2B(σ

^∞

⁾ ≥ [e ^−A(σ

^∞

⁾ Q ² + e ^A(σ

^∞

⁾ P ² ] (29) s

$ í w n ô Ç . ¢ ¸ô Ç, " é ¶ Û ¼º ú / B GÒ ¦ É r | t ¨ î

\

" f Ä »ô ÇK Ù ¼ Ð S → 0s ) a . Õ ªo ¦ Samrr / B N d

É r

M = 1

4π κ h A h − Q

√ 2 u h − P

√ 2 v h (30) s

) a . # l " f κ h ü < A h H | t ¨ î \ " f ³ ð × æ§ 4 õ

& h s . s כ ` ¦ ¸½ + Ë ^ ¦Ï þ f . Ë É r 6 £ §_ | 9 | ¾ Ó/ B N d

` ¦ ë ß 7 á ¤ < Ê` ¦ · ú Ã º e [4]:

( 1

4π κ h A h ) ² = M ² +Σ ² +A ² e ^2B(σ

^∞

⁾ −[e ^−A(σ

^∞

⁾ Q ² +e ^A(σ

^∞

⁾ P ² ] (31)

Σ = A = 0s H d` ¦ · ú Ã º e . 7 £ ¤, & ñ & h r / B Nç ß \

"

\

@ /ô Ç ^ ¦Ï þ f . Ë_ Ä »{ 9 $ í s 7 £ x" î ) a . [12].

(

J $ [ > / B Nç ß \ " f_ null 8 £ ¤ t â Ä º = 0s Ù ¼ Ð

" é ¶ > | ¾ ÓJ $ " f H γ ij = δ ij ÷ & ¦, ¸ o ~ ½ Ó& ñ d ~ ∇ ² λ = 0 \ _ K ^ > K \ ¦ % 3 ` ¦ Ã º e . " f ^ ¦Ï þ f . Ë_ BPS F Gô Ç\ " f H ½ Ó © ^ > K > r F ô Ç . Õ ª Q

^

≤ 0 â Ä º_ F Gô Ç ¸ ^ > K s l M :ë H s . ¢ ¸ô Ç,

~

½ Ó& ñ d (28)` ¦ Ð u = v = 0 â Ä º H ( J $ [ > / B Nç ß s

ÐE $ Þ Ô+ þ A / B Nç ß s m Ù ¼ Ð null 8 £ ¤ t s > r F ½ + É Ã º \ O

¦, " f × æ$ í ^ > K H > r F t · ú §6 £ §` ¦ · ú Ã º e

.

É

| 9

| ¾ Ó` ¦ ° ú Skyrme s : r õ ° ú É r q + þ A ½ Ó` ¦ ° ú H â Ä

º\ ¸ Ä » ô Ç : r` ¦ % 3 ` ¦ Ã º e H \ ¦ ì r$ 3 H כ ¸ _ p e ` ¦ כ s .

P c

p 8 ý ò k >

s

ô Ç כ e .

Y c

p w Ã U Ø ô

[1] P. G. Bergman, Int. J. Theor. Phys., 1, 25 (1968); C.

Brans and R. H. Dicke, Phys. Rev., 124, 925 (1961).

[2] T. S. Kaluza, Preuss. Acad. Wiss. Berlin, Phys.

Math., K1, 966 (1921); O. Klein, Z. Phys. 37, 895 (1926); Y. M. Cho, J. Math. Phys. 16, 2029 (1975);

M. B. Green and J. H. Schwarz, Phys. Lett., B149,

117 (1984).

(6)

[3] G. Neugebauer and D. Kramer, Ann. Phys., (Leipzig) 24, 62 (1969); D. Kramer, H. Stephani, E.

Herlt and M. MacCallum, Exact Solutions of Ein- stein Field Equations (Cambridge University Press, Cambridge, England, 1980); D. V. Gal’tsov, A. A.

Garc´ıa and O. V. Kechkin, J. Math. Phys., 36, 5023 (1995).

[4] D. H. Park, J. Korean Phys. Soc., 37, 177 (2000);

D. H. Park, J. Korean Phys. Soc., 41, 18 (2002).

[5] G. Cl´ ement and D. G. Gal’tsov, Phys. Rev., D54, 6136 (1996); D. H. Park, J. Korean Phys. Soc., 31, 894 (1997).

[6] Y.M. Cho, Phys. Lett., 199B, 358 (1987); K.

Maeda, Phys. Rev., D39, 3159 (1989); Y.M. Cho, Phys. Rev. Lett., 68, 3133 (1992).

[7] J. D. Bekenstein, Phys. Rev., D11, 2072 (1975); S.

Deser, Phys. Lett, 134B, 419 (1984); C. Barcelo and M. Visser, Phys. Lett, 466B, 127 (1999).

[8] J. Koga and K. Maeda, Phys. Rev., D58, 06420 (1998).

[9] P. Breitenlohner, D. Maison and G. Gibbons, Com- mun. Math. Phys., 120, 295 (1988).

[10] B. K. Harrison, J. Math. Phys., 9, 1744 (1968); D.

V. Gal’tsov and A. A. Garcia, Phys. Rev., D52, 3432 (1995).

[11] D. V. Gal’tsov and O. V. Kechkin, Phys. Rev., D50, 7394 (1994); D. V. Gal’tsov and A. A. Garcia, Phys.

Rev., D52, 3432 (1995); D. V. Gal’tsov, Phys. Rev.

Lett., 74, 2863 (1995).

[12] M. Heusler and N. Straumann, Class. Quant. Grav., 9, 2177 (1992); M. Heusler, Class. Quant. Grav., 12, 779 (1995).

Symmetries of Potential Space in Scalar-Vector-Tensor Theory

K. B. Lee and D. H. Park ^∗

Department of Computer and Electronic Physics, Sangji University, Wonju 220-702 (Received 29 April 2003)

We discuss the potential space formalism of general scala–vector–tensor theories in a stationary space–time and completely classify the Killing symmetries of the potential spaces in a static space–

time. Using the symmetries, we discuss the general properties of black holes.

PACS numbers: 04.20.Cv, 04.20.Jb

Keywords: General relativity, Potential space, Black hole, Killing symmetry

∗

E-mail: [email protected]

³ o - s ð ' [-  Ö " e T Â ] Ø; c" e8 ý ( a  Ö כ  Ç   «  m8 ý 6 È S ËV R Ë

­

³  o - s ð ' [-  Ö " e T  Â ] Ø; c" e8 ý ( a  Ö כ  Ç   «  m8 ý 6  È S ËV R Ë

T

 ¢ 99  ·   î m  Ú ∗



© t @ / < Æ § (  É Ó'    Ó ü t o  < Æõ , " é ¶ Å Ò 220-702 (2003¸  4 Z 4 29{ 9  ~ Ã Î6 £ §)

 

 l  © õ  Û ¼º ú   © s  ×  æ§ 4 õ   ©  ñ  6 x   H  ©  { 9 ì ø Í& h   s  : r \ " f & ñ  ©  © I  r / B Nç ß \  @ /ô  Ç (  J $

[ >  / B Nç ß _  > | ¾ Ó J $ " f\  ¦ % 3 % 3  ¦, Õ ª l   < Æ& h   @ /g A$ í `  ¦ & ñ & h   r / B Nç ß \  ô  Ç& ñ #  ì  r À Ó % i  . Õ ª o

 ¦ s  כ `  ¦ s 6 x #  % 3 `  ¦ Ã º e    H ^  ¦Ï þ f . Ë_  { 9 ì ø Í& h   : £ ¤$ í `  ¦  7 H_  % i  .

PACS numbers: 04.20.Cv, 04.20.Jb

Keywords: { 9 ì ø Í © @ /$ í , ( J $ [ >  / B Nç ß , ^  ¦Ï þ f . Ë, ~ ´a A@ /g A

I. " e Â ] Ø

Û

¼º ú  -J $ " f s  : r É r { 9 ì ø Í © @ / : r_   ©  ç ß é ß ô  Ç Ã º& ñ s

  [1]. ¢ ¸ô  Ç  & ³F   ¦ 9÷ &  H @ /Â Òì  r_  :  x{ 9  ©  s  : r \ 

"

f Û ¼º ú   © _   > r F   9 Ã º Ô  ¦      [2]. Õ ª Q  Û ¼ º

ú   © s  ×  æ§ 4 x 9  Qt  Ó ü t| 9 õ    ½ + Ë   H ~ ½ ÓZ O  É r   ½ Ó s

 ÷ &  H s  : r \     t y  Ò  os  .   " f Û ¼º ú   © s 



> r F ½ + É M : { 9 ì ø Í& h Ü ¼ Ð $ í w n    H  z ´õ  : £ ¤Z > ô  Ç ~ ½ ÓZ O Ü ¼



Ð   ½ + Ë½ + É M :\ ë ß  $ í w n    H  z ´`  ¦ ½ ¨Z >  #  & ñ o    H

 כ

 É r _ p e  `  ¦  כ s  .



: r  7 Hë  H \ " f  H Einstein-Maxwell s  : r`  ¦ 0 AK  > hµ 1 Ï ) a (

J $ [ >  / B Nç ß  > h¥ Æ  [3]`  ¦ { 9 ì ø Í& h   Û ¼º ú  - 7 ' -J $ " f s 



: r \  & h 6 x½ + É  כ s  ¦, Õ ª @ /g A$ í \  @ /K   7 H_ ½ + É  כ s  .

s

\  ¦ 0 A #  ( J $ [ >  / B Nç ß _  > h¥ Æ `  ¦ כ ¹  K   Ð . & ñ  ©  ©  I

 r / B Nç ß \ " f Û ¼º ú  - 7 ' -J $ " f s  : r É r N > h_  Û ¼º ú  



©  ϕ A (A = 1, . . . , N )     " é ¶ \ " f ×  æ§ 4 õ    ½ + Ëô  Ç s 



: r Ü ¼ Ð " é ¶» ¡ ¤  è½ + É Ã º e    [3,4]:

L = − 1 κ 2

√ γ[R 3 + G AB γ ij ∂ i ϕ A ∂ j ϕ B ] (1)

#

l " f κ 2 = 16πG s  ¦ γ ij   H    " é ¶ / B Nç ß _  > | ¾ Ó J $ " f, G AB   H ϕ A  ë ß × ¼  H ( J $ [ >  / B Nç ß _  > | ¾ Ó J $ " fs  . ë ß  { 9

 ϕ A  ( J $ [ >  λ\ ë ß  _  > r   Õ ª| ½ Ót î ß  (1)\  _ ô  Ç î

 r1 l x ~ ½ Ó& ñ d   É r

R (3) ij = −∂ i λ∂ j λ, ξ A D A ξ B = 0 (2)

  ) a . # l " f ξ A = dϕ A /dλ,  = G AB ξ A ξ B s  ¦ D A   H (

J $ [ >  / B Nç ß \ " f_  > | ¾ ÓJ $ " f G AB _  / B N   ¸ < ÊÃ ºs  .

E-mail: [email protected]

7

£ ¤,    " é ¶ / B Nç ß \ " f_     Ã »   ~ ½ Ó& ñ d  õ  ( J $ [ >  / B N ç

ß \ " f_  8 £ ¤ t  ~ ½ Ó& ñ d  s   ) a .  É r  ½ Ó ©  8 £ ¤ t  ~ ½ Ó& ñ d  _  î

 r1 l x  © Ã ºs  ¦,    Ã »   J $ " f_  Bianchi  ½ Ó1 p xd  \  _  K

 λ  H  ¸ o < ÊÃ º H  d`  ¦ Å Ò3 l q  . : £ ¤ y ,  = 0   â Ä º



  " é ¶    Ã »   ~ ½ Ó& ñ d  \  _ K  γ ij = δ ij  ÷ &Ù ¼ Ð ~ 1 

>

 ^ >  K \  ¦ % 3 `  ¦ Ã º e    [5].

(

J $ [ >  / B Nç ß _  ~ ´a A(Killing) 7 '  K A \  ¦ s 6 x   ξ A K A   H 8 £ ¤ t  ~ ½ Ó& ñ d  _  î  r1 l x  © Ã º   H  z ´`  ¦ s 6 x 

#

 ¢ - a  K \  ¦ % 3 `  ¦ Ã º e    [4,5]. ¢ ¸ô  Ç, ~ ´a A @ /g As  Ø  æì  r

  ~ ´a A 7 '  ë ß × ¼  H @ /g A`  ¦ s 6 x #  · ú  9  K  Ð Â

Ò'  D h Ðî  r K \  ¦ f  ] X  ë ß [ þ t Ã º ¸ e    [3].   " f, (  J $

[ >  / B Nç ß _  ~ ´a A @ /g A É r #  Q   \ " f Ä »6 x  .



: r  7 Hë  H \ " f  H II] X \ " f { 9 ì ø Í& h   Û ¼º ú  - 7 ' -J $ " f s

 : r_  ³ ð & ³õ  Õ ª כ _  ( J $ [ >  / B Nç ß \  @ /K   7 H_  % i  ¦, III] X \ " f  H & ñ & h   r / B Nç ß \  @ /ô  Ç ( J $ [ >  / B Nç ß _  l  

 <

Æ& h   @ /g A$ í `  ¦ ì  r À Ó % i  . Õ ªo  ¦, IV] X \ " f  H ^  ¦Ï þ  f

. Ë \  @ /ô  Ç Bogomol’nyi-Prasad-Sommerfield (BPS)  ' a > ,

| 9

| ¾ Ó / B Nd  1 p x \  @ /ô  Ç  Ð : r`  ¦ % i  .

II. ­ ³  o - s ð ' [-  Ö " eT  Â ] ØÊ Ý ( a  Ö כ  Ç   «  m

 ©  { 9 ì ø Í& h   Û ¼º ú  -J $ " f s  : r_  Õ ª| ½ Ót î ß  É r L 0 = − 1

κ 2 p−˜gF (Φ)[ ˜ R + G(Φ)˜ g µν ∂ µ Φ∂ ν Φ] (3)



Ð ³ ð & ³½ + É Ã º e   . # l " f F (Φ)ü < G(Φ)  H Û ¼º ú   ©  Φ_  e  _ _   < ÊÃ ºs  . Õ ª Q  D h Ðî  r Û ¼º ú   ©  φ\  ¦ φ = F (Φ)  Ð & ñ _   ¦, ω(φ)/φ 2 = G(Φ)/( δF δΦ ) 2  Ð Z  ~ Ü ¼   Õ

ª| ½ Ót î ß  (3) É r L 0 = − 1

κ 2 p−˜gφ[ ˜ R + ω(φ)

³ o - s ð ' [- Ö " e T Â ] Ø; c" e8 ý ( a Ö כ Ç « m8 ý 6 È S ËV R Ë

³ o - s ð ' [- Ö " e T Â ] Ø; c" e8 ý ( a Ö כ Ç « m8 ý 6 È S ËV R Ë

¢ 99 · î m Ú ^∗

© t @ / < Æ § ( É Ó' Ó ü t o < Æõ , " é ¶ Å Ò 220-702 (2003¸ 4 Z 4 29{ 9 ~ Ã Î6 £ §)

l © õ Û ¼º ú © s × æ§ 4 õ © ñ 6 x H © { 9 ì ø Í& h s : r \ " f & ñ © © I r / B Nç ß \ @ /ô Ç ( J $

[ > / B Nç ß _ > | ¾ Ó J $ " f\ ¦ % 3 % 3 ¦, Õ ª l < Æ& h @ /g A$ í ` ¦ & ñ & h r / B Nç ß \ ô Ç& ñ # ì r À Ó % i . Õ ª o

¦ s כ ` ¦ s 6 x # % 3 ` ¦ Ã º e H ^ ¦Ï þ f . Ë_ { 9 ì ø Í& h : £ ¤$ í ` ¦ 7 H_ % i .

Keywords: { 9 ì ø Í © @ /$ í , ( J $ [ > / B Nç ß , ^ ¦Ï þ f . Ë, ~ ´a A@ /g A

¼º ú -J $ " f s : r É r { 9 ì ø Í © @ / : r_ © ç ß é ß ô Ç Ã º& ñ s

[1]. ¢ ¸ô Ç & ³F ¦ 9÷ & H @ /Â Òì r_ : x{ 9 © s : r \

f Û ¼º ú © _ > r F 9 Ã º Ô ¦ [2]. Õ ª Q Û ¼ º

ú © s × æ§ 4 x 9 Qt Ó ü t| 9 õ ½ + Ë H ~ ½ ÓZ O É r ½ Ó s

÷ & H s : r \ t y Ò os . " f Û ¼º ú © s

> r F ½ + É M : { 9 ì ø Í& h Ü ¼ Ð $ í w n H z ´õ : £ ¤Z > ô Ç ~ ½ ÓZ O Ü ¼

Ð ½ + Ë½ + É M :\ ë ß $ í w n H z ´` ¦ ½ ¨Z > # & ñ o H

כ

É r _ p e ` ¦ כ s .

: r 7 Hë H \ " f H Einstein-Maxwell s : r` ¦ 0 AK > hµ 1 Ï ) a (

J $ [ > / B Nç ß > h¥ Æ [3]` ¦ { 9 ì ø Í& h Û ¼º ú - 7 ' -J $ " f s

: r \ & h 6 x½ + É כ s ¦, Õ ª @ /g A$ í \ @ /K 7 H_ ½ + É כ s .

\ ¦ 0 A # ( J $ [ > / B Nç ß _ > h¥ Æ ` ¦ כ ¹ K Ð . & ñ © © I

r / B Nç ß \ " f Û ¼º ú - 7 ' -J $ " f s : r É r N > h_ Û ¼º ú

© ϕ ^A (A = 1, . . . , N ) " é ¶ \ " f × æ§ 4 õ ½ + Ëô Ç s

: r Ü ¼ Ð " é ¶» ¡ ¤ è½ + É Ã º e [3,4]:

L = − 1 κ ²

√ γ[R 3 + G AB γ ^ij ∂ i ϕ ^A ∂ j ϕ ^B ] (1)

l " f κ ² = 16πG s ¦ γ ^ij H " é ¶ / B Nç ß _ > | ¾ Ó J $ " f, G AB H ϕ ^A ë ß × ¼ H ( J $ [ > / B Nç ß _ > | ¾ Ó J $ " fs . ë ß { 9

ϕ ^A ( J $ [ > λ\ ë ß _ > r Õ ª| ½ Ót î ß (1)\ _ ô Ç î

r1 l x ~ ½ Ó& ñ d É r

R ⁽³⁾ _ij = −∂ i λ∂ _j λ, ξ ^A D _A ξ ^B = 0 (2)

) a . # l " f ξ Â = dϕ Â /dλ, = G AB ξ Â ξ ^B s ¦ D A H (

J $ [ > / B Nç ß \ " f_ > | ¾ ÓJ $ " f G AB _ / B N ¸ < ÊÃ ºs .

£ ¤, " é ¶ / B Nç ß \ " f_ Ã » ~ ½ Ó& ñ d õ ( J $ [ > / B N ç

ß \ " f_ 8 £ ¤ t ~ ½ Ó& ñ d s ) a . É r ½ Ó © 8 £ ¤ t ~ ½ Ó& ñ d _ î

r1 l x © Ã ºs ¦, Ã » J $ " f_ Bianchi ½ Ó1 p xd \ _ K

λ H ¸ o < ÊÃ º H d` ¦ Å Ò3 l q . : £ ¤ y , = 0 â Ä º

" é ¶ Ã » ~ ½ Ó& ñ d \ _ K γ ij = δ _ij ÷ &Ù ¼ Ð ~ 1

^ > K \ ¦ % 3 ` ¦ Ã º e [5].

J $ [ > / B Nç ß _ ~ á A(Killing) 7 ' K Â \ ¦ s 6 x ξ Â K _A H 8 £ ¤ t ~ ½ Ó& ñ d _ î r1 l x © Ã º H z ´` ¦ s 6 x

¢ - a K \ ¦ % 3 ` ¦ Ã º e [4,5]. ¢ ¸ô Ç, ~ ´a A @ /g As Ø æì r

~ ´a A 7 ' ë ß × ¼ H @ /g A` ¦ s 6 x # · ú 9 K Ð Â

Ò' D h Ðî r K \ ¦ f ] X ë ß [ þ t Ã º ¸ e [3]. " f, ( J $

[ > / B Nç ß _ ~ ´a A @ /g A É r # Q \ " f Ä »6 x .

: r 7 Hë H \ " f H II] X \ " f { 9 ì ø Í& h Û ¼º ú - 7 ' -J $ " f s

: r_ ³ ð & ³õ Õ ª כ _ ( J $ [ > / B Nç ß \ @ /K 7 H_ % i ¦, III] X \ " f H & ñ & h r / B Nç ß \ @ /ô Ç ( J $ [ > / B Nç ß _ l

<

Æ& h @ /g A$ í ` ¦ ì r À Ó % i . Õ ªo ¦, IV] X \ " f H ^ ¦Ï þ f

. Ë \ @ /ô Ç Bogomol’nyi-Prasad-Sommerfield (BPS) ' a > ,

| ¾ Ó / B Nd 1 p x \ @ /ô Ç Ð : r` ¦ % i .

II. ³ o - s ð ' [- Ö " eT Â ] ØÊ Ý ( a Ö כ Ç « m

© { 9 ì ø Í& h Û ¼º ú -J $ " f s : r_ Õ ª| ½ Ót î ß É r L 0 = − 1

κ ² p−˜gF (Φ)[ ˜ R + G(Φ)˜ g ^µν ∂ µ Φ∂ ν Φ] (3)

Ð ³ ð & ³½ + É Ã º e . # l " f F (Φ)ü < G(Φ) H Û ¼º ú © Φ_ e _ _ < ÊÃ ºs . Õ ª Q D h Ðî r Û ¼º ú © φ\ ¦ φ = F (Φ) Ð & ñ _ ¦, ω(φ)/φ ² = G(Φ)/( ^δF _δΦ ) ² Ð Z ~ Ü ¼ Õ

ª| ½ Ót î ß (3) É r L 0 = − 1

κ ² p−˜gφ[ ˜ R + ω(φ)

φ ² g ˜ ^µν ∂ _µ φ∂ _ν φ] (4)

) a . s ³ ð & ³ É r כ ¹Ø Ôé ß ý a³ ð> (Jordan frame)\ " f

½ + Ë < ÊÃ º ω(φ)\ ¦ ° ú H Brans-Dicke Õ ª| ½ Ót î ß + þ AI s

. # l \ 6 £ § õ ° ú s Û ¼º ú © σ\ ¦ ¸{ 9 ¦ 1 p x y

(conformal) ¨ 8 ` ¦ :

φ , g _µν = φ˜ g _µν (5) Õ

ª Q Õ ª| ½ Ót î ß (4) É r Ã » ý a³ ð> (Einstein frame) \ " f_ ³ ðï r Û ¼º ú -J $ " f s : r \ K { © H ³ ð & ³ Ü

¼ Ð ÷ ¶ [6]:

L 0 = − 1 κ ²

2 g ^µν ∂ µ σ∂ ν σ] (6) 1

xy ¨ 8 É r { 9 ì ø Í& h @ /g A ¨ 8 s m Ù ¼ Ð כ ¹Ø Ôé ß ý a

ð> ü < Ã » ý a³ ð> H " f Ð ½ ¨Z > ÷ & H Ó ü t o / B Nç ß s

. " f # QÖ ¼ 1 p xy ý a³ ð> \ ¦ Ó ü t o / B Nç ß Ü ¼ Ð × þ Ö ¼

\ Ó ü t o & h K $ 3 É r \ ¦ Ã º e . \ V\ ¦ [ þ t כ ¹ Ø

Ôé ß ý a³ ð> \ " f { 9 ì ø Í& h Û ¼º ú © _ \ -t -î r1 l x| ¾ Ó J $

f H ô Ç \ -t ¸| ` ¦ ë ß 7 á ¤ t · ú §t ë ß Ã » ý

a³ ð> \ " f H ë ß 7 á ¤ ) a [7]. Õ ª Q : r 7 Hë H \ " f H î r1 l x

½ Ó& ñ d _ @ /g A$ í õ Õ ª K \ ¦ % 3 H ~ ½ ÓZ O \ @ /K 7 H_ ½ + É כ s

¦, ¢ ¸ô Ç ^ ¦Ï þ f . Ë_ \ P % i < Æ Ã º H Ð: x © S ! \ " f 1 p xy ý

a³ ð> (conformal frame)\ Á º ' a Ù ¼ Ð [8] # QÖ ¼ 1 p xy ý a

ð> \ ¦ × þ Ö ¼ H × æ כ ¹ t · ú § .

© { 9 ì ø Í& h Û ¼º ú - 7 ' -J $ " f Õ ª| ½ Ót î ß É r Ã

» ý a³ ð> \ " f L = − √

κ ² {R + 1

2 (∂ µ σ) ² } + 1