] K ¡  ¹ Å Œ Ÿ « W Ä] K ¡ Ê ÝX N Ë; c" e ] K ¡t T ß O Ë] M ö À W ¥ Curl T A 08 ý # a \“ Ô ÛÊ Ý § Ž Ì ¦ Rß Ã Å Œ º

6

] K ¡  ¹ Å Œ Ÿ « W Ä] K ¡ Ê ÝX N Ë; c" e ] K ¡t  T  ß O Ë] M ö À W ¥ Curl T A 08 ý # a \“ Ô ÛÊ Ý § Ž Ì ¦ Rß Ã Å Œ º

+ ä

4 „ ‘ ž · T # Ü ‡ Ú ^∗

"

fÖ  ¦ @ /† < Ɠ § Ó ü t o “ §¹ ¢ ¤ õ , " fÖ  ¦ 151-748 (2008¸   12 Z 4 16{ 9  ~ à Î6 £ §)

Ó ü

t o † < Ɠ É r è  H \  ˜ Ðs t  · ú §  H Æ Ò © œ& h “   > h¥ Æ `  ¦  ê  r    H † < Æë  H& h  : £ ¤f ç `  ¦ ”   . s – Ð “  K  † < ÆÒ q t[ þ t“ É r

†

< Æ_ þ v õ & ñ \ " f # Q 9¹ ¡ §`  ¦ ´ ú §s    ñ™ èô  Ç . s  Qô  Ç  © œI  K ™ è÷ &t  · ú §Ü ¼€   † < Ƹ  s  `  ¦  ° ú ˜Ã º2 Ÿ ¤ Õ ª & ñ • ¸

 d ” K t €  " f † < ÆÒ q t[ þ t _  # Q 9¹ ¡ § • ¸ & t >   ) a  . s ü < q 5 p w ô  Ç \ Vr – Ð Curl\  @ /ô  Ç s K  \ O s  > í ß –\  ë

ß – u ×  æ # Œ & ñ  Œ • ˜ Д > r§ 4  © œs 
 Maxwell ~ ½ Ó& ñ d ” _  Ó ü t o & h “   K $ 3 `  ¦ t  3 l w   H  â Ä º\  ¦ [ þ t à º e ”  .

s

\  ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H † < ÆÒ q t[ þ t _  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ K ™ è l  0 Aô  Ç  „   é ß –> – Ð" f õ † < Ɠ §¹ ¢ ¤ ƒ  ½ ¨_  ^ ‰> & h “   ] X 



 H õ   8Ô  ¦ # Q ì  r$ 3 d  ¦`  ¦ t “ ¦ Curl\  @ /ô  Ç † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ ì  r$ 3  % i  . ƒ  ½ ¨_  r  Œ •Ü ¼– Ð" f Curl\ 

@

/K " f † < ÆÒ q t[ þ t s  Ò q ty Œ •   H  ⠆ ¾ Ó`  ¦ · ú ˜ ˜ Ѐ Œ ¤“ ¦, s \  ¦ ž Ð@ /– Ð Curl › ' aº   ë  H ] j\  ¦ K      H õ & ñ \ " f × ¼

Q
  H # Q 9¹ ¡ §`  ¦ d ” 8 £ x& h Ü ¼– Ð ì  r$ 3    H  Y Vƒ  ½ ¨\  ¦ à º' Ÿ  % i  . Õ ª   õ  † < ÆÒ q t[ þ t s  Curl ë  H ] j\  ¦ K   

  H ~ ½ ÓZ O `  ¦ ¿ º t – Ð
¾ º# Q ^  ¦ à º e ” % 3 Ü ¼ 9, s  Ñ ü t  s _  Ô  ¦{ 9 u  † < ÆÒ q tÜ ¼– Ð # ŒF K # Q 9¹ ¡ §`  ¦   ñ

™

è >  ô  Ç   H  כ `  ¦ · ú ˜ à º e ” % 3  .

PACS numbers: 01.40.Fk

Keywords: Curl, % i † < Æ, † < ÆÒ q t_  Ó ü t o † < Æ_ þ v # Q 9¹ ¡ §

I. " e  ] Ø

{ 9

ì ø Í& h Ü ¼– Ð Ó ü t o  # Q§ >    H ´ ú ˜\  ´ ú §“ É r  | à Ð[ þ t s  { © œ

ƒ

   “ ¦ Ò q ty Œ •ô  Ç . Õ ª Q
 Ó ü t o   = # Q 9î  r t \  @ /K 

"

f  H  | à Ð   (<  ʓ É r ƒ  ½ ¨    ) _ | s   € ª œ  . † < Æ Ò q

t_  Ó ü t o † < Æ_ þ v _  # Q 9¹ ¡ § \  @ /ô  Ç ² D G ? /_  ƒ  ½ ¨[ þ t [1–4] \ 

"

f  H † < ÆÒ q t # Q 9¹ ¡ § \  › ' a ô  Ç „  ì ø Í& h “   ì  r$ 3 õ  s Ä » (< É ª p • ¸ y

Œ

™™ è, Ó ü t o † < Æ_  ‘ : r| 9 & h  8 £ ¤€   1 p x)\  ¦ ] jr  “ ¦ e ”  . ^ ”  B

 â

1 p x [1]“ É r † < ÆÒ q t[ þ t s  Ó ü t o \  ¦ F p \ O  “ ¦ Ö ¼z   H " é ¶ “   ×  æ

\

 
– Ð Ó ü t o  # Q§ >    H X <\ " f ¹ 1 Ԁ Œ ¤ . Õ ªo “ ¦ Ó ü t o 

 # Q 9î  r s Ä »  H > í ß – / B Nd ” \  e ”    H  כ Ü ¼– Ð ˜ Ѐ Œ ¤ . ¢ ¸



 É r ë  H‰  ³ [5]“ É r Ó ü t o † < Æ_  † < Æë  H& h  $ í   s  ¸ ú ˜ ½ ¨› ¸ o÷ &# Q e ”

“ ¦, ¢ - a# 4 ô  Ç  7 H o & h  ^ ‰> \  ¦ t “ ¦ e ” l  M :ë  H \  é ß –¼ # & h 

“

  t d ” _  _ þ v1 p q`  ¦ 3 l q ³ ð– Ð   H † < ÆÒ q t[ þ t _  † < Æ_ þ v „  | Ä Ìõ  ´ ú  t

 · ú § “ ¦ ˜ Ѐ Œ ¤ . ¢ ¸ô  Ç ' ‘ é ß – õ † < Æõ   H 1 l xb  # Q”   † < Ɠ § “ §

¹

¢

¤ _  ? /6   x \ • ¸ ë  H ] j e ” 6 £ §`  ¦ t & h  % i  . ‘† < ÆÒ q t_  Ó ü t o 

†

< Æ_ þ v _  # Q 9¹ ¡ §’ s    H ë  H ] j  H þ j   H \  s / B N >  0 Al    H

² D

G & h “   ë  H ] j– Ð t  s # Q& ’ t ë ß –, s „   Ò'  õ † < Ɠ §¹ ¢ ¤ _ 

×

 æ כ ¹ô  Ç ë  H ] j% i Ü ¼ 9 Ä ºo 
  ÷  r  m   „   [ j> & h Ü ¼– Ð

 â

+ « > “ ¦ e ”   H B Ä º ×  æ כ ¹ô  Ç ë  H ] js  .   " f Æ Ò © œ& h “   Ó

ü

t o † < Æ_  † < Æ_ þ v \  @ /ô  Ç † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ K ™ è # Œ Ó ü t o 

∗

E-mail: [email protected]



 H  8 s  © œ # Q 9î  r õ 3 l q s      ‘K ^  ¦ ë ß –ô  Ç õ 3 l q’ s  ÷ &• ¸ 2

Ÿ

¤ î ß –? /½ + É Ã º e ”   H “ §¹ ¢ ¤ s  € 9 כ ¹  .

Õ

ª Q
 Ó ü t o † < Æ_ þ v \ " f † < ÆÒ q t[ þ t s   â + « >   H # Q 9¹ ¡ §`  ¦ K 

 

 l  0 AK " f  H } Œ •ƒ  ô  Ç a  ¦  ¹ ¡ §`  ¦ : Ÿ x K  Å Ò_ \  ¦ | 9 ×  æ 



 H  כ ë ß –Ü ¼– Ѝ  H ë  H ] j_  ‘ : r| 9 `  ¦ K   ½ + É Ã º \ O  “ ¦ ‘ : r  .



=
 €   # Q 9î  r  כ õ  F p e ”   H  כ “ É r   É r l ï  r Ü ¼– Ð ú <



 l  M :ë  H s  .   " f † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ K ™ è l  0 A K

" f  H ^ ‰> & h “   ] X   H s  € 9 כ ¹  “ ¦ ‘ : r  . Rief [6]  H õ 

†

< Ɠ §¹ ¢ ¤ ƒ  ½ ¨ ^ ‰> & h s  9 õ † < Æ o÷ &l  0 AK " f  H  6 £ § _  _

† < Æ % ƒ~ ½ Ó q Ä »% ƒ! 3  ë  H ] j_  " é ¶ “    € Œ •Â Ò'  ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð s

À Ò# Q4 R ô  Ç “ ¦ ˜ Ѐ Œ ¤ . Õ ª  6 £ § \  3 l q ³ ð  © œI \  ¦ ì  r" î y

 “ ¦, s \  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð ë  H ] j  © œI \  ¦ K ™ è  9“ ¦ K   ô  Ç



“ ¦ ˜ Ѐ Œ ¤ .

1. # î s  µ 1 ÏÒ q t   H " é ¶ “  ½ ¨› ¸ 2. | y © œô  Ç  © œI _  ½ ¨› ¸

3. ¨ 8 Š  _   © œI \  ¦ > h‚  r ~  ´ à º e ”   H ~ ½ ÓZ O  4. _ † < Æ& h  % ƒ~ ½ Ó

s

\  ¦ ‘ : r ƒ  ½ ¨ü < › ' aº  r &  ‘ : r  €  , † < ÆÒ q ts  Ó ü t o † < Æ_ þ v õ

& ñ \ " f # Q 90 >   H  כ s  Á º% Á “  t \  ¦  € Œ • “ ¦,  = Õ ª

Qô  Ç # Q 9¹ ¡ § s  + þ A$ í ÷ &% 3   H t \  ¦ · ú ˜“ ¦ (" é ¶ “  ½ ¨› ¸\  ¦    H

 כ

), % ƒ~ ½ Ó`  ¦ ? /o   H õ & ñ Ü ¼– Ð ë  H ] j K   \  ] X   H   H  כ s

 Reif ´ ú ˜   H õ † < Æ& h “   ] X   H s  “ ¦ ½ + É Ã º e ”  . Õ ªX O 



€   † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ §“ É r ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð # Qb  G>   € Œ •½ + É Ã º e ” 

-48-

`

 ¦  ? s \  ¦ 0 AK  ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H † < ÆÒ q t_  Ó ü t o † < Æ_ þ v # Q 9

¹

¡

§`  ¦ „  ^ ‰& h Ü ¼– Ð  € Œ •½ + É Ã º e ”   H s  : r x 9  ~ ½ ÓZ O & h  d  ¦ – Ð" f t

d ” ’  ¥ Æ d  ¦ [2]`  ¦  6   x % i  .

Õ

ªo “ ¦ # Q 9¹ ¡ § ì  r$ 3 `  ¦ 0 AK " f „  / B N % i † < Æ`  ¦ à ºy © œ   H

@

/† < ÆÒ q t[ þ t`  ¦ @ / © œÜ ¼– Ð † < ÆÒ q t[ þ t s   â + « >   H Curl \  @ /ô  Ç # Q

9¹ ¡ §`  ¦ Å Ò] j– Ð ¸ ú š€ Œ ¤ . Curl“ É r à º† < Æ& h “   > h¥ Æ s t ë ß – Ó ü t o

† < Æ_  # Œ Q > h¥ Æ `  ¦ [ O " î “ ¦ s K    H X < • ¸¹ ¡ § s   ) a  .

:

£

¤ y  Curl“ É r % i † < Æ\ " f ×  æd ” § 4 õ  › ' aº   ) a ˜ Д > r  © œ`  ¦ s K 

  H X < ×  æ כ ¹  9,  8
  „   l † < Æ_  Maxwell ~ ½ Ó& ñ d ”

 4> h_  d ”  ×  æ 2 > h_  d ” \  Ÿ í† < Ê÷ &# Q e ”  .   " f ' Ÿ § > =

ƒ

 í ß –`  ¦ : Ÿ x ô  Ç ó ø ÍZ > d ” _    õ ë ß –Ü ¼– Ð Curlõ  › ' aº   ) a Ó ü t o 

?

/6   x`  ¦ s K    H  כ ˜ Ð   H, Curl s  Á º% Á `  ¦ _ p    H t 

· ú

˜“ ¦ ? /6   x`  ¦ ] X ô  Ç €   Ó ü t o & h “   ? /6   x`  ¦ s K    H X <\ 

•

¸¹ ¡ § s  | ¨ c  כ s  .

t ë ß – Ó ü t o  “ §¹ ¢ ¤ ì  r  \ " f Curl\  › ' a ô  Ç ƒ  ½ ¨  H  f ”  Â

Ò7 á ¤ ô  Ç z  ´& ñ s  . Ambrose [7]  H ˜ Д > r§ 4 õ  Curl_  › ' a > 

\

 @ /K " f ƒ  ½ ¨ €  " f Curl\  @ /ô  Ç † < ÆÒ q t[ þ t _  s K  à ºï  r s

 ± ú    H  כ `  ¦ µ 1 Ï|  % i t ë ß –, Curlõ  › ' aº   ) a † < ÆÒ q t_  # Q

9¹ ¡ §`  ¦ ì  r$ 3  “ ¦ s \  ¦ K ™ è  9  H ƒ  ½ ¨  H ¹ 1 Ô ˜ Ðl  # Q

§ >

 .   " f ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H Curl  Ö ¸6   x õ  › ' aº   ) a @ /† < ÆÒ q t _

 # Q 9¹ ¡ §`  ¦ ^ ‰> & h Ü ¼– Ð ì  r$ 3  l  0 A # Œ ‚  ' Ÿ  ƒ  ½ ¨\ 



 H  ô  Ç ½ ¨^ ‰& h “   ì  r$ 3 d  ¦`  ¦  Ö ¸6   x # Œ † < ÆÒ q t_  Curl\  @ / ô

 Ç # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “  õ  Õ ª ½ ¨› ¸\  ¦ · ú ˜ ˜ Г ¦  % i  .

II.  Ò Å{  E Ž ì ŏ Œ

 ä

·h  Á þ š ¢ æ ¹˜ + # a b  ¸

#

Q 9¹ ¡ §“ É r † < ÆÒ q t[ þ t s  ë  H ] j\  ¦ K     9  H õ & ñ s 
 [ O " î

`

 ¦ t  3 l w   H  © œ S !  1 p x _   € ª œô  Ç  â Ä º\ 
 ± ú ˜ à º e ” 



 H d ” o   © œI  “ ¦ ^  ¦ à º e ”  . # Q 9¹ ¡ § \  @ /K " f l ” > r _  ë

 H‰  ³`  ¦ ƒ  ½ ¨ô  Ç s 5 p x  B [8]  H † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ §`  ¦  6 £ § õ  ° ú   s

 & ñ _  % i  .

‘ † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ §’ s ê ø Í, ? /6   x, “ § , ¨ î , Ð  o| Ã Ì Ü

¼– Ð ½ ¨$ í ÷ &  H “ §¹ ¢ ¤ כ ¹™ èü < † < ÆÒ q t ç ß –_   © œ  ñ Œ • 6

x _  › ' a > \ " f † < ÆÒ q ts  t y Œ •   H, ? /6   x, “ § ,

¨ î

, Ð  o| à Ì_  ‰ & ³F  à ºï  r õ  Õ ª כ [ þ t \  @ /ô  Ç † < Æ Ò q

t_  l @ / à ºï  r ç ß –_  s  (perceived gap)– Ð Ò q

t|   ‘d ” o & h   © œI ’ (p. 6).

#

Q 9¹ ¡ § \  @ /ô  Ç s  Qô  Ç & ñ _   H “  t ° ú ˜1 p x`  ¦ ƒ  ½ ¨ô  Ç ƒ  

½

¨ [ þ t s  ´ ú ˜   H “  t ° ú ˜1 p x õ  Ä »   . s \  ¦ _ …€  , ^ ”  

% ò

1 p x [9]“ É r Piaget _  “  t µ 1 ϲ ú ˜s  : r`  ¦  À Ҁ  " f  6 £ § õ 

° ú

 s  ƒ  / å L % i  .

Fig. 1. Taber’s two characteristics of Curl.

Piaget \  _  €  , › ¸f ”  o, 1 l x  o, › ¸] X “ É r { 9 7 á x _

 4 Ÿ ¤ ¸ ú šô  Ç ç  H+ þ A ´ ú Æ Òl  ' Ÿ 1 l x Ü ¼– Ð ^  ¦ à º e ”  .

Õ

ª_  s  : r \ " f  “ ¦_  z  ´] j    o  H ç  H+ þ A`  ¦ Æ Ò

½

¨   H ' Ÿ 0 A“   ¨ î + þ A o (equilibration) õ & ñ `  ¦ :

Ÿ

x K  { 9 # Qè ß – . Piaget  H  | à Ð[ þ t s  Õ ª Qô  Ç ç  H + þ

A`  ¦ s À Òl  0 AK   ’  _   “ ¦õ & ñ _  & h ] X $ í

`

 ¦ = å Se ” \ O s   Ž 7 £ x ô  Ç “ ¦ & ñ Ù þ ¡ .

ç

ß –é ß –y  ´ ú ˜K " f, ¨ î + þ A o õ & ñ “ É r  6 £ § õ  ° ú  s 



Œ

•6   x ô  Ç . : £ ¤& ñ ô  Ç • ¸d ” `  ¦ # Q‹ "   |  ¢ ¸  H  © œ S !

\  & h 6   x K " f Õ ª • ¸d ” s  ´ òõ  e ” Ü ¼€   ¨ î + þ

A © œI  Ä »t   ) a  . Õ ª • ¸d ” s  ë ß –7 á ¤ Û ¼ Qî  r    õ

\  ¦ ? / Z  ~ t  · ú §Ü ¼€   Ô  ¦¨ î + þ A (disequilibrium)



© œI  ÷ &“ ¦ Ä ºo   H Ô  ¦¼ # † < Ê`  ¦ Ö ¼Š   . s    Ô

 ¦¼ # † < ʓ É r 1 l x  oü < › ¸] X `  ¦ : Ÿ x K  K   Õ þ ˜`  ¦ Æ Ò½ ¨

 9  H 1 l x l \  ¦ Ô  ¦  Q{ 9 Ü ¼v “ ¦, Õ ª   õ   “ ¦ _

    o\  ¦ 4 Rš ¸>   ) a   (p. 37).

#

Œl \ " f Ô  ¦¨ î + þ A  © œI \ " f Ö ¼z   H Ô  ¦¼ # † < Ês  s 5 p x  B

ƒ

 / å L ô  Ç ‘l @ / à ºï  r ç ß –_  s – Ð Ò q t|   d ” o & h   © œI ’ü < Ä »



  . ¢ ¸ô  Ç d ” o † < Æ  Festinger [10]  H “  t  қ ¸ os  : r (A theory of cognitive dissonance)`  ¦ ™ è> h €  " f † < Æ_ þ v _

 1 l x l  כ ¹“  Ü ¼– Ð" f “  t  қ ¸ o (“nonfitting” relations among cognitive elements) _  ×  æ כ ¹$ í `  ¦ y © œ› ¸ % i  . s % ƒ

!

3  # Œ Q ƒ  ½ ¨ [ þ t“ É r # Q 9¹ ¡ § õ  “  t ° ú ˜1 p x \  @ /K " f ƒ  / å L

€  " f / B N: Ÿ x& h Ü ¼– Ð “  t & h  s  (difference) ×  æ כ ¹  

“

¦ y © œ› ¸ % i  .

CurlU c 7  ø 5  ¤ n > š ß j ¥ o >Ä ©

Taber [11]  H Curl`  ¦ ¿ º t _  : £ ¤f ç Ü ¼– Ð
Ð ü t à º e ” 6 £ §

`

 ¦ ˜ Ð% i  . Õ ª ¿ º t  : £ ¤f ç “ É r 6 f# Qe ”   H 7 ˜'  © œ_  ƒ     õ

 U  ´s    É r f ” ‚  + þ A 7 ˜'  © œ_  ƒ    s  .

Amborse [7]  H @ /† < Æ õ & ñ \ " f Curl\  @ /K " f ˜ Д > r  © œ õ

 Curl_  › ' a > \  › ' a ô  Ç † < ÆÒ q t[ þ t _  s K \  ¦ › ¸  % i  . Õ ª



 H ƒ  ½ ¨\ " f Fig. 2_  Õ ªa Ë >s  Ÿ í† < ʝ ) a  Ž  t \  ¦ > hµ 1 Ï # Œ



6   x % i  . Ambrose_  ƒ  ½ ¨  õ \   Ø Ô€  , Curl_  Ä » Á

º\  @ /ô  Ç & ñ ² ú šÒ  ¦“ É r €  • 20 % & ñ • ¸% i “ ¦, y Œ • case Z > – Ð ˜ Ð

”

> r§ 4  © œ“  t _  # ŒÂ Ò\  ¦ o   H  כ • ¸ & ñ ² ú šÒ  ¦ s  €  • 50 % & ñ

•

¸“    כ Ü ¼– Ð
 z Œ ¤ . Õ ª Q
 s ü < ° ú  “ É r   õ 
š ¸> 

 )

a " é ¶ “  \  @ /ô  Ç d ” 8 £ x& h “   ì  r$ 3 “ É r ] jr ÷ &t  · ú §€ Œ ¤ .

Fig. 2. Ambrose’s four test cases about Curl.

m

 Ð Ï  é  >
 §  ·

#

Q 9¹ ¡ §`  ¦ ì  r$ 3  l  0 Aô  Ç • ¸½ ¨– Ð" f s  â   ñ [2]_  ‘t d ” 

’

 ¥ Æ d  ¦ (The framework of knowledge & belief)’`  ¦ s 6   x

% i  . Fig. 3“ É r t d ” ’  ¥ Æ d  ¦ \  @ /K " f ˜ Ð# ŒÅ ҍ  H Õ ªa Ë >s 



. t d ” ’  ¥ Æ d  ¦“ É r ß ¼>  t d ” , ’  ¥ Æ , ¨ 8 Š â s    H [ j # 3 Å Ò

–

Ð ½ ¨$ í ÷ &# Qe ”  . t d ” \   H > h¥ Æ & h  t d ” , Ð  o| à Ì& h  t d ” , õ

& ñ & h  t d ” s  e ” Ü ¼ 9, s  [ j $ í ì  r“ É r " f– Ð x 9 ] X  >  ½ ¨

$ í

 ) a  . t d ” ’  ¥ Æ d  ¦ [2] \ " f  H s  [ j t  t d ” \  @ /K " f



6 £ § õ  ° ú  s  [ O " î % i  .

t

d ” ’  ¥ Æ d  ¦`  ¦ 7 á §  8 ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð ¶ ú ˜( R˜ Ѐ     6

£

§ õ  ° ú   . Ä º‚   Õ ªa Ë > - ‘ : rë  H _  Fig. 3 - \ 

"

f t d ”  » ¡ ¤ \   H t d ” _  [ j t  7 á x À ӓ   > h¥ Æ 

&

h , õ & ñ & h , Ð  o| à Ì& h  t d ” [ þ t s  y Œ •y Œ •  o  ¸ ú š“ ¦ e ”

 . > h¥ Æ & h  t d ” “ É r > h¥ Æ õ  › ' aº   ) a t d ” `  ¦

´ ú

˜  9, ×  æ כ ¹ô  Ç " é ¶ o [ þ t s  : Ÿ x ½ + ˝ ) a t d ” s  “ ¦

&

ñ _ ½ + É Ã º e ”  . Õ ªa Ë > - ‘ : rë  H _  Fig. 3 - \ 

"

f  H " é ¶& h `  ¦ ×  æd ” Ü ¼– Ð Y O # Q| 9 à º2 Ÿ ¤ > h¥ Æ & h  t  d ”

_  l ‘ : r כ ¹™ è ( z  ´, > h¥ Æ )[ þ t s  » ¡ ¤& h ÷ &€  " f :

Ÿ

x ½ + Ë& h “   t d ”  ^ ‰>  (à º¨ î ƒ    , 0 A>  › ' a > , „  

^

‰& h “   > h¥ Æ ^ ‰> )– Ð ”  ' Ÿ H † d`  ¦ ˜ Ð# Œï  r  .

(×  æ | Ä Ì) õ

& ñ & h  t d ” “ É r õ † < Ɔ < Æ_ þ v õ & ñ \ " f & ñ ˜ Ðü < l  0

p

x`  ¦ # Qb  G>   Ö ¸6   x   H ü < › ' aº   ) a t d ” s  .

\

V\  ¦ [ þ t # Q, ë  H ] j Û  ¦ s  õ & ñ \ " f y Œ • é ß –> \  ¦ ”   '

Ÿ    H „  | Ä Ìs  s \  K { © œô  Ç . ´ ú §“ É r Ó ü t o “ §

¹

¢ ¤ƒ  ½ ¨\ " f † < ÆÒ q t[ þ t s  ë  H ] j K    r  ë  H ] j ³ ð

 ©

œ`  ¦ ] j@ /– Ð 3 l w   H 1 p x _  # Q 9¹ ¡ §`  ¦     H  “ ¦

˜

Г ¦ “ ¦ e ” l \  ë  H ] jK    „  | Ä Ì_    € 9  <  ʓ É r Â

Ò7 á ¤“ É r Ó ü t o \  ¦ † < Æ_ þ v   H † < ÆÒ q t[ þ t s   â + « >   H

#

Q 9¹ ¡ § _  @ /³ ð& h “   " é ¶ “   ×  æ _  
 “ ¦ ½ + É Ã º e ”

 . õ & ñ & h  t d ” \   H ë  H ] j K    „  | Ä Ì s  ü @

\

• ¸  “ ¦ l 0 p x, „ à н ¨ 0 p x§ 4 , ƒ  í ß – 0 p x§ 4  1 p x  

€

ª œô  Ç 7 á x À Ó e ”  . Õ ªa Ë > - ‘ : rë  H _  Fig. 3 - \ 

"

f  H õ & ñ & h  t d ” s  " é ¶& h \ " f Y O # Q| 9  à º2 Ÿ ¤ é ß – í

 H ô  Ç t d ” \ " f 4 Ÿ ¤ ¸ ú š “ ¦ “ ¦ " é ¶& h “   t d ” Ü ¼

–

Ð | 9 & h “   s \  ¦ ˜ Ðs  9 ² ú ˜ f ” `  ¦
 ? /“ ¦ e ”

 .

Fig. 3. The framework of Knowledge & Belief [2].

Ð 

o| à Ì& h  t d ” “ É r Ä ºo  [ j> ü <_  { 9  © œ& h “   ( q + þ Ad ” & h “  )  © œ  ñ Œ •6   x`  ¦ : Ÿ x # Œ + þ A$ í ô  Ç t  d ”

Ü ¼– Ð : £ ¤& ñ ô  Ç  © œ S !  5 Å q \ " f : £ ¤& ñ ô  Ç t d ” `  ¦



6   x   H  כ õ  › ' aº   ) a t d ” s  . Õ ªa Ë > - ‘ : rë  H _

 Fig. 3 - \ " f  H Ð  o| à Ì& h  t d ”  % i r  " é ¶& h \ 

"

f Y O # Q| 9  à º2 Ÿ ¤ Ð  o| à Ì& h  : £ ¤$ í s  & t “ ¦ y © œ› ¸÷ &



 H ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð y Œ • כ ¹™ è[ þ t`  ¦ C u  % i   († < Ɠ § Ð 

o| à Ì\ " f, { 9  © œÒ q t Ö ¸ Ð  o| à Ì,   rë  H  o& h  Ð  o| à Ì,

%

i  & h  Ð  o| Ã Ì í  H Ü ¼– Ð) (p. 287).

s

 Qô  Ç t d ” _   © œI \  % ò † ¾ Ó`  ¦ Šҍ  H  כ “ É r ’  ¥ Æ õ  ¨ 8 Š â s

 . ’  ¥ Æ \   H “  d ”  : r& h  ’  ¥ Æ , ” > r F  : r& h  ’  ¥ Æ , 1 l x l & h 

’

 ¥ Æ s  e ”  . ¨ 8 Š ⠓ É r  € ª œ > 
 ± ú ˜ à º e ” Ü ¼ 9 t d ” ÷  r ë

ß –  m   ’  ¥ Æ \ • ¸ % ò † ¾ Ó`  ¦ ï  r  .   " f t d ” `  ¦ î  r X <

\

 ¿ º“ ¦ ’  ¥ Æ s  t d ” `  ¦ Ñ ü t  Q “ ¦ e ” “ ¦, ¨ 8 Š â s   © œ  

¾ ú

 \  ” > r F  # Œ ’  ¥ Æ õ  t d ” _  + þ A$ í ·    o\  % ò † ¾ Ó`  ¦ ï  r



.   " f t d ” ’  ¥ Æ d  ¦“ É r t d ” õ  ’  ¥ Æ s  ü @Â Ò ¨ 8 Š â \  % ò

†

¾ Ó`  ¦ Šғ ¦~ à ÎÜ ¼ 9    o   H „  ^ ‰& h “   › ' a > \  ¦
  · p : Ÿ x

½

+ Ë& h  ½ ¨› ¸• ¸ “ ¦ ½ + É Ã º e ”  .

III. Ž ì ŏ Œ Ê ÝX N ËÊ Ý U ê s0 n É

1. Ž ì ŏ Œ r œ S c l

‘

: r ƒ  ½ ¨  H @ /† < Æ 2† < Ƹ   õ 3 l q“   „  / B N % i † < Æõ & ñ \ " f ”  ' Ÿ 

÷

&% 3  . s  õ & ñ \ " f † < ÆÒ q t[ þ t“ É r B Å Ò Å Òç ß –˜ Г ¦" f [12]\  ¦ ]

jØ  ¦ % i  . Å Òç ß –˜ Г ¦" f  H B  Å Ò C î  r ? /6   x ×  æ Ù þ ˜d ” & h “   Â

Òì  r`  ¦ כ ¹€  • # Œ l 2 Ÿ ¤ • ¸2 Ÿ ¤   H | 9 ë  H õ  “ §Ã º† < Æ_ þ v õ & ñ

\

" f µ 1 ÏÒ q tô  Ç _ ë  H& h [ þ t`  ¦ l Õ ü t >    H | 9 ë  H`  ¦ Ÿ í† < Ê 

%

i  . ¢ ¸ô  Ç, ô  Ç ² ú ˜\  ô  Ç   m ”  ‘
_  % i † < Æs  l ’   H ] j3 l q _

  l ˜ Г ¦" f ~ ½ Ód ” _  / å J`  ¦ : Ÿ x # Œ  ’  s  % i † < Æ`  ¦ C Ä º

€

 " f & ’ ~   Ò q ty Œ •s 
 _ ë  H& h [ þ t`  ¦ ë  H ] j_  K   õ & ñ 1 p x

`

 ¦ & ñ o  # Œ ] jØ  ¦ >  % i  . { 9 Å Ò{ 9 \  ô  Ç r ç ß –m ”  ƒ  _ þ v

ë

 H ] j Û  ¦ s r ç ß –`  ¦ ¿ º# Q õ ] j– Ð ? /ï  r ƒ  _ þ vë  H ] j\  @ /ô  Ç Û  ¦ s

 x 9   7 H _  r ç ß –`  ¦ & ’  . † < ÆÒ q t[ þ t“ É r — ¸¿ º 1† < Ƹ   õ & ñ _  p

& h ì  r † < Æ Ã º\ O \ " f Curl`  ¦ C  ° ? . à º\ O `  ¦ à ºy © œ   H † < Æ Ò q

t“ É r 11" î s % 3 Ü ¼ 9, €  $  s  † < ÆÒ q t[ þ t`  ¦ @ / © œÜ ¼– Ð Curl\ 

@

/ô  Ç † < ÆÒ q t[ þ t _  Ò q ty Œ •s  # Q* ‹ô  Çt \  ¦ Curl  Ž  t \  ¦ : Ÿ x K 

· ú

˜ ˜ Ѐ Œ ¤ . Õ ªo “ ¦ s \   8K  Curl  Ž  t _    õ \ " f

¿

º× ¼ Q”   : £ ¤f ç `  ¦ ˜ Г   3" î _  † < ÆÒ q t[ þ t ×  æ ô  Ç " î `  ¦ ‚  & ñ 

#

Œ €  { Œ ™`  ¦ : Ÿ x K   Y Vƒ  ½ ¨– Ð" f Curl\  @ /ô  Ç † < ÆÒ q t_  # Q 9

¹

¡

§`  ¦ ì  r$ 3  % i  .

2. Ž ì ŏ Œ U ê s0 n É

Curl ~ É  m 

Curl  Ž  \  ‚ à Ð# Œô  Ç † < ÆÒ q t“ É r 11" î s % 3 Ü ¼ 9, % i † < Æ x 9  ƒ   _

þ v 2 y © œ_ \  ¦ à ºy © œ   H † < ÆÒ q t[ þ t s % 3 “ ¦,  Ž   r l   H ô  Ç † < Æ l

 õ & ñ s  = å Q è ß – r & h s % 3  .  Ž   ~ ½ ÓZ O “ É r † < ÆÒ q t[ þ t \ >  { 9  F ‹

c& h Ü ¼– Ð  Ž  t \  ¦
* $Å Ò# Q Û  ¦ • ¸2 Ÿ ¤ % i  .

 Ž

 t   H Curl ë  H ] jü < Curl\  @ /ô  Ç | 9 ë  H t – Ð ½ ¨$ í s 

÷

&% 3  . Curl ë  H ] j  H case 1, 2, 3, 4 (Fig. 2) – Ð s , X4 R e ” 

“

¦, ë  H ] jÛ  ¦ s  s Ê ê\   H  6 £ § õ  ° ú  “ É r | 9 ë  H`  ¦ ] jr  % i  .

• Curl“ É r Á º% Á s  “ ¦ Ò q ty Œ •   H ?

•
  H Curl \  @ /K " f \ O  
 s K  “ ¦ e ”  “ ¦ Ò q ty Œ •

  H ? (o & à Ô ' ‘ • ¸: 0 ∼ 4)

• · ú ¡_  ' ‘ • ¸\  ¦ ‚  × þ ˜ô  Ç  כ \  @ /ô  Ç s Ä »  H Á º% Á “  ?

• Curl`  ¦ # Qb  G>  C  ° ?  H ?

• Curl`  ¦ † < Æ_ þ v   H X < e ” # Q" f  © œ # Q 9 ° ?~   & h õ  t  F

K  t  # Q 9î  r ë  H ] j e ”  €   Á º% Á “  ?

ð

5 -Ä ©œ ¿  ª ¢ ˆ > ¶ Ç Ô



Y Vƒ  ½ ¨– Ð" f † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ §`  ¦  € Œ • l  0 Aô  Ç ~ ½ ÓZ O Ü ¼

–

Ð €  { Œ ™`  ¦ à º' Ÿ  % i Ü ¼ 9, €  { Œ ™“ É r ì ø Í-½ ¨› ¸ o €  { Œ ™Z O Ü ¼– Ð

½

¨$ í % i  . ì ø Í-½ ¨› ¸ o €  { Œ ™Z O “ É r €  { Œ ™ „  \  # Q* ‹ô  Ç | 9 ë  H Ü

¼– Ð # Qb  G>  @ / o\  ¦ ”  ' Ÿ ½ + É t \  ¦ ½ ¨$ í “ ¦, €  { Œ ™\  ×  æ \ 

€

 { Œ ™_   © œ S ! s 
 x €  { Œ ™ _   © œI \    " f | 9 ë  H s 
 Ã º '

Ÿ `  ¦  Ë ¨# Q ”  ' Ÿ    H ~ ½ ÓZ O s  . €  { Œ ™_  ' Í   P :  Òì  r“ É r

†

< ÆÒ q t\ >  Curlõ  › ' aº   ) a ë  H ] j\  ¦ ] jr    H  כ Ü ¼– Ð Curl ë  H ]

j [7]\  ¦ & h 6   x % i “ ¦, ¿ º   P :  Òì  r“ É r Curl \  @ /K " f † < Æ Ò q

ts  # Qb  G>  Ò q ty Œ •   H t \  ¦ · ú ˜ ˜ Ðl  0 Aô  Ç | 9 ë  H Ü ¼– Ð ½ ¨

$ í

% i  . ¢ ¸ô  Ç €  { Œ ™`  ¦ à º' Ÿ  l  0 AK  µ 1 Ï$ í & h   “ ¦Z O `  ¦

&

h

6   x % i  . µ 1 Ï$ í & h   “ ¦Z O  (Think aloud protocol)s ê ø Í x

€  { Œ ™ – Ð # ŒF K €  { Œ ™ ×  æ \  Ò q ty Œ • “ ¦, ˜ Г ¦, ' Ÿ 1 l x “ ¦, Ö

¼z   H  כ [ þ t \  @ /K " f ´ ú ˜`  ¦ >    H  כ s  . s ü < › ' aº  

# Œ Ericsson 1 p x [13]“ É r ´ ú ˜ >    H  כ (verbalization)s  x

€  { Œ ™ _  ”  ' Ÿ  ×  æ“   Ò q ty Œ •`  ¦ ì ø Í% ò ½ + É Ã º e ”  “ ¦ % i  .

µ

1 Ï o (verbal-encoding)   H õ & ñ \ " f  H ´ ú ˜ 



 H  | à Ð_  ‰ & ³F  é ß –l l % 3  <  ʓ É r  Œ •\ O l % 3 \ " f

#

Q* ‹ô  Ç ? /6   x s   , Xt “ ¦ e ”   H t \  ¦ ì ø Í% ò ½ + É Ã º e ”

 . s  כ “ É r Qa Å @5 Å q \ " f { 9 # Q
  H & ñ ˜ Ð % ƒ o

 õ & ñ `  ¦ \ V8 £ ¤   H  כ s   m  .  r  ´ ú ˜K , Ä

ºo  Á ºƒ   | 9 ë  H`  ¦ ~ à Γ ¦ Õ ª\  @ /K " f ´ ú ˜

 9“ ¦ ½ + É M : é ß –l l % 3 s 
  Œ •\ O l % 3 \  ³ ð © œ

÷

&t  · ú §“ É r ? /6   x“ É r ´ ú ˜½ + É Ã º \ O    H  כ s  .  



" f µ 1 Ï$ í Z O “ É r Ä ºo _  Ò q ty Œ •s  ‰ & ³F  # Qb  G>  ”   '

Ÿ ÷ &“ ¦ e ”   H t \  ¦ ì ø Í% ò ½ + É Ã º e ”   H ~ ½ ÓZ O s  “ ¦

½

+ É Ã º e ”   (p. 226,   % i ).

s

 Qô  Ç µ 1 Ï$ í & h   “ ¦Z O `  ¦  Ö ¸6   x l  0 AK " f x €  { Œ ™ – Ð 

#

ŒF K €  { Œ ™ „  \  µ 1 Ï$ í & h   “ ¦Z O `  ¦ ƒ  _ þ v • ¸2 Ÿ ¤ % i  .

¥ o

>Ä © ˜ + ø Á þ š† \  ⠉  F D 9

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f  H Reif [6] _   s n # Q\  ¦  Ö ¸6   x # Œ † < ÆÒ q t _

  © œI \  ¦  € Œ • “ ¦, s \  ¦ `  ¦   É r  © œI – Ð    or v l  0 A ô

 Ç ~ ½ ÓZ O `  ¦ “ ¦î ß – l  0 AK  † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ §`  ¦ ì  r$ 3  % i  .

Reif  H Ø Ôu   H  כ “ É r † < ÆÒ q ts  s K  “ ¦ e ”   H  © œI \  ¦   



or v   H õ & ñ s  “ ¦ “ ¦, † < ÆÒ q t_   © œI \  ¦ ¸ ú ˜    or v 



 H  כ s  € 9 כ ¹  “ ¦ % i  . s \  ¦ 0 AK  † < ÆÒ q t_  œ íl   © œI  (S i ) ü < þ j7 á x  © œI  (S ^f )\  ¦  € Œ •K   ô  Ç “ ¦ % i  . Õ ªo 

“

¦ œ íl   © œI \ " f þ j7 á x  © œI – Ð s = å J l  0 Aô  Ç “ §Ã º õ & ñ `  ¦ ì

 r" î y  “ ¦, Õ ª õ & ñ \ " f  Ö ¸6   x ½ + É Ã ºé ß – (implement)`  ¦ S X ‰ w n

½ + É  כ `  ¦ y © œ› ¸ % i  . Õ ª  X < Reif_  Šҁ © œ% ƒ! 3  õ † < Æ& h  s

“ ¦ ^ ‰> & h Ü ¼– Ð “ §Ã ºZ O `  ¦ ƒ  ½ ¨ l  0 AK " f † < ÆÒ q t_   © œ I

\  ¦  € Œ •K     H õ & ñ \   H ô  Ç t  ë  H ] j& h s  e ”  . Õ ª

 כ

“ É r  – Ð ƒ  ½ ¨  † < ÆÒ q tõ  €  { Œ ™`  ¦   H õ & ñ \ " f · ú ˜> 

 )

a † < ÆÒ q t_   © œI  “ : r„  ô  Ç † < ÆÒ q t_   © œI  “ ¦ S X ‰ ’  ½ + É Ã º \ O 



  H & h s  .   " f ƒ  ½ ¨  s K ô  Ç † < ÆÒ q t_   © œI ü < † < Æ Ò q

t_  " é ¶ A   © œI \  ¦ ½ ¨ì  r K " f ] X   H ½ + É € 9 כ ¹ e ”  “ ¦ ˜ Ѐ Œ ¤



. s  Qô  Ç { 9  © œ\    H   # Œ ƒ  ½ ¨  † < ÆÒ q t_   © œI \  ¦  

€

Œ

•ô  Ç  כ õ  † < ÆÒ q t_  œ íl   © œI \  ¦ ½ ¨Z >  # Œ † < ÆÒ q t_   © œI \  ¦ s

K   9“ ¦ % i  .

Table 1“ É r Reif _  ¿ º  © œI ÷  r ë ß –  m   ƒ  ½ ¨  † < ÆÒ q t _

  © œI \  ¦ s K ô  Ç ¿ º  © œI \  ¦  8ô  Ç, 8 ú x W 1 t _   © œI \  ¦

˜

Ð# Œï  r  . €  $  Reif ´ ú ˜ô  Ç ¿ º  © œI   H † < ÆÒ q t_  œ íl   © œI  (S i ) ü < þ j7 á x  © œI  (S ^f ) – Ð œ íl   © œI  (S ⁱ )  H † < ÆÒ q ts  l ” > r _ 

 â

+ « >Ü ¼– Ð + þ A$ í “ ¦ e ”   H  © œI s  9, þ j7 á x  © œI  (S f )  H D h

–

Ðî  r  â + « >s 
 † < Æ_ þ v Ü ¼– Ð “  K  œ íl   © œI   Ÿ ÷ ¶  כ s  .

Table 1. students’ states.

State Notation

Initial state of a student S

Final state of a student S

A student’s initial state

that researcher known S

Scientific understanding

state about ’Curl’ S

s

\   8K " f ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f ] jî ß –   H S _i ⁰   H ƒ  ½ ¨  † < ÆÒ q t õ

 €  { Œ ™`  ¦ : Ÿ x K   € Œ •ô  Ç † < ÆÒ q t_  œ íl   © œI s  . s   H † < ÆÒ q t _

 “ ¦Ä »ô  Ç œ íl   © œI ü <  Ø Ô .  =
 €    Á ºo  €  { Œ ™`  ¦ u

x 9  >  ì  r$ 3 `  ¦ ô  Ç   8 • ¸ † < ÆÒ q t_  “ ¦Ä »ô  Ç s K   © œ I

\  ¦ ƒ  ½ ¨  · ú ˜  · p   H  כ “ É r Ô  ¦ 0 p x l  M :ë  H s  .



 " f S i ⁰ “ É r † < ÆÒ q t`  ¦ Ø Ôu l  0 AK " f † < ÆÒ q t`  ¦ s K    H é

ß –>  “ ¦ ½ + É Ã º e ”  . ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f ] jî ß –   H ¢ ¸ 
_ 



© œI   H ƒ  ½ ¨  Ò q ty Œ •   H Curl`  ¦ s K ô  Ç  © œI  (S f ⁰ ) s 



.   " f † < ÆÒ q t_  þ j7 á x  © œI  (S ^f )  S f ⁰ õ  q 5 p w  €  

$ í

/ B N& h Ü ¼– Ð † < Æ_ þ v`  ¦ ô  Ç  כ Ü ¼– Ð ‘ : r  .

¥ o

>Ä © ˜ + 5 ³ À

Fig. 4  H ƒ  ½ ¨\  @ /K " f ç ß –| Ä Ì >  ˜ Ð# ŒÅ ғ ¦ e ”  . Stu- dent Area  H † < ÆÒ q t  ’  _   © œI – Ð" f, ƒ  ½ ¨  ¢ - a# 4  >  s

K    H  כ “ É r Ô  ¦ 0 p x ô  Ç % ò % i s  “ ¦ ½ + É Ã º e ”  . Teacher Area  H † < ÆÒ q tõ  €  { Œ ™`  ¦  
 † < ÆÒ q ts  ë  H ] j  © œ S ! , q ¨ î + þ A



© œ S !  1 p x \  ” ¸Ø  ¦ ÷ &% 3 `  ¦ M : × ¼ Qè ß – ƒ  ½ ¨  « Ñ\  ¦ ž Ð@ /– Ð † < Æ Ò q

t_   © œI \  ¦  € Œ •ô  Ç ƒ  ½ ¨  (“ § )_   © œI  (S i ⁰ ) ü < ƒ  ½ ¨



 (“ § ) Ò q ty Œ •   H † < ÆÒ q ts  s K  “ ¦ e ” # Q  ½ + É ë ß –7 á ¤ Û

¼ Qî  r  © œI  (S f ⁰ )\  ¦ Ÿ í† < Êô  Ç . Õ ªo “ ¦ s  ¿ º  © œI  (S i ⁰ , S _f ⁰ ) _  s \  ¦ a % v ) €Å ҍ  H ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð “ §Ã º „  | Ä Ì`  ¦ — ¸Ò  oK   ô

 Ç . s  Qô  Ç “ §Ã º „  | Ä Ìs  & h 6   x ÷ &€   † < ÆÒ q t_   © œI  S i \ 

"

f S ^f – Ð    oô  Ç “ ¦ ˜ Ѝ  H X <, s  M : “ §Ã º „  | Ä Ìs  Ä »´ òÙ þ ¡  H t

\  ¦ S X ‰ “   l  0 AK  ¨ î \  ¦ ô  Ç . ‘ : r ƒ  ½ ¨  H ƒ  ½ ¨  † < Æ Ò q

t_   © œI \  ¦  € Œ • # Œ # Q 9¹ ¡ § _  " é ¶ “  s  Á º% Á “  t \  ¦  

€

Œ

•   H X < œ í& h `  ¦ ´ ú Æ ғ ¦ e ”  . Õ ªo “ ¦ † < ÆÒ q t_  # Q 9¹ ¡ § _ 

"

é

¶ “  `  ¦  € Œ •ô  Ç Ê ê\   H # Q 9¹ ¡ §`  ¦ K ™ è½ + É Ã º e ”   H ~ ½ ÓZ O `  ¦ ]

jr ½ + É Ã º e ”  “ ¦ ‘ : r  .

¢ ˆ

> ¶ Ç Ô & P „ 7  £  · € Dø 5  & P Ç Ú ž óÞ «

€

 { Œ ™`  ¦ 0 l q 2 [ # Œ „   ô  Ç Ê ê\   H t d ” ’  ¥ Æ d  ¦ \    H  ô  Ç ì

 r À Ó  ï× ¼\  ¦ t “ ¦ €  { Œ ™ ? /6   x`  ¦ ì  r$ 3  % i  . ì  r À Ó  ï× ¼



 H t d ” ’  ¥ Æ d  ¦ \ " f ] jr    H l ‘ : r& h “   5> h_  † ½ Ó3 l q ( > h

¥ Æ

: A, Ð  o| à Ì: B, ~ ½ ÓZ O : C, ’  ¥ Æ : D, ¨ 8 Š â : E)\  K { © œ   H

?

/6   x \  Curlõ  › ' aº   ) a ? /6   x`  ¦ & h 6   x # Œ ë ß –[ þ t% 3  . ì ø Í× ¼ r

 Curlõ  › ' a >  e ”   H  כ ë ß –  ï× ¼\  [ þ t # Qç ß –  כ “ É r  m “ ¦,

Fig. 4. The procedure of this study.

Table 2. The sub-elements of conceptual knowledge on Curl.

Concept

Sub-elements Codes

Rotation AA

Force AB

Potential AC

Work AD

Conservative force (or Field) AE

Maxwell’s equation AF

Curl`  ¦ Ò q ty Œ •   H X < e ” # Q" f “ ¦ 9½ + É Ã º e ”   H כ ¹™ è• ¸  ï× ¼

\

 V , % 3  .

Table 2  H Curl \  @ /ô  Ç > h¥ Æ & h  t d ” \  K { © œ   H  0

A כ ¹™ è[ þ t`  ¦ ˜ Ð# Œï  r  . l ‘ : r& h Ü ¼– Ð  r„  \  @ /ô  Ç  כ s  Curl õ  › ' aº  ô  Ç > h¥ Æ \ " f Ø  ¦ µ 1 Ïô  Ç “ ¦ ^  ¦ à º e ”  . Curlõ 

› '

aº  ô  Ç Å Ò  ) a > h¥ Æ & h  t d ” “ É r  r„  õ  Maxwell ~ ½ Ó& ñ d ” , Õ ª o

“ ¦ ˜ Д > r§ 4 s  “ ¦ ½ + É Ã º e ”  . t ë ß – Curl\  @ /ô  Ç > h¥ Æ 

&

h  t d ” s    É r > h¥ Æ [ þ t õ  › ' aº  K " f + þ A$ í ÷ &# Qe ”   H  â Ä º

•

¸ ç ß –õ ½ + É Ã º \ O l  M :ë  H \  torqueü < › ' a >   ) a force ü < po- tential`  ¦ ' ‘  % i  . Table 3“ É r Curl \  @ /ô  Ç Ð  o| à Ì& h  t  d ”

\  K { © œ   H 0 A כ ¹™ è[ þ t`  ¦ ´ ú ˜K ï  r  . Ð  o| à Ì& h  t d ” “ É r Å

ҁ    © œ S ! õ  › ' a > e ”   H  כ Ü ¼– Ð" f ¨ î  © œr  Ò q t Ö ¸ õ  › ' aº   ) a t

d ” `  ¦ _ p ô  Ç . ŠҖ Ð † < ÆÒ q t_   â Ä º\   H school events
 everyday life  Ð  o| à Ì& h  t d ” \ " f Å Ò  ) a % ò † ¾ Ó`  ¦ Å Ò>   ) a  .

Curl õ  › ' aº  K " f  H ŠҖ Ð  r„  õ  › ' aº    ) a  כ `  ¦ * ‹`  ¦w n = à º e ”

“ ¦, s   H { 9  © œÒ q t Ö ¸ \ " f ^  ¦ à º e ”   H  r„  õ  › ' a >   ) a ? /6   x s


  â + « >s  ŠҖ Ð t d ”  + þ A$ í \  % ò † ¾ Ó`  ¦ ï  r  “ ¦ ½ + É Ã º e ” 



.

Table 4  H Curl õ  › ' aº   ) a Ó ü t o  ë  H ] j\  ¦ K      H X <  6   x

½

+ É Ã º e ”   H õ & ñ & h  t d ” \  @ /K " f ˜ Ð# ŒÅ ғ ¦ e ”  . Curl“ É r p

ì  r õ  › ' aº   ) a ƒ  í ß – – Ð differential\  ¦ V , % 3  . ¢ ¸ô  Ç ü @& h  õ

 ƒ  í ß –  ∇“ É r Curl _  > í ß –\  f ” ] X  › ' a # Œ   H  כ Ü ¼– Ð V , 

Table 3. The sub-elements of contextual knowledge on Curl.

Context

Sub-elements Codes

Text books BA

School events BB

Everyday life BC

Social BD

Earth (or World) BE

Historical BF

Table 4. The sub-elements of procedural knowledge on Curl. C means knowledge related with mathematics. C ⁰ means knowledge related with reasoning & intuition.

Process

Sub-elements Codes

Coordinate CA

Differential CB

Integral CC

Dot product CD

Cross product CE

∇ CF

Gradient CG

Divergence CH

Divergence (Gauss’) theorem CI

Curl CJ

Determinant CK

Stokes’ theorem CL

1

r

CM

1

r²

CN

Recalling C

A

Recognition C

B

Reasoning C

C

Meta-cognition C

D

Intuition C

E

%

3 Ü ¼ 9, gradient  H ƒ  í ß –  ∇õ  › ' aº   ) a  כ Ü ¼– Ð V , % 3  .

Curl _  > h¥ Æ õ  ' Ÿ § > =d ” _  > h¥ Æ  % i r  õ & ñ & h  t d ” Ü ¼– Ð V , 

`

 ¦ à º e ”  . s   H à º† < Æ& h  > h¥ Æ Ü ¼– Ð > h¥ Æ & h  t d ” Ü ¼– Ð V , # Q



 ô  Ç   H Ò q ty Œ •`  ¦ ½ + É Ã º• ¸ e ” Ü ¼
 Õ ª > h¥ Æ s  Curlõ  › ' aº   ô

 Ç Ó ü t o & h  ‰ & ³ © œ`  ¦ K $ 3    H X < e ” # Q" f ~ ½ ÓZ O & h “   8 £ ¤€  Ü ¼

–

Ð [ þ t # Q  H  כ s l  M :ë  H \  õ & ñ & h  t d ” \  Ÿ í† < Êr (   .

s

ü < ° ú  “ É r Ð  o| à ÌÜ ¼– Ð ¹ r õ  r ¹

“ É r Ó ü t o † < Æ\ " f  o ü < › ' a > 

 )

a Ó ü t o  Z O g Ë : ×  æ \ " f ×  æd ” § 4  © œõ  › ' a >  # Œ 1 p x  © œ½ + É Ã º e ” 



 H à ºd ” s Ù ¼– Ð Curl`  ¦ s K    H õ & ñ \ " f  6   x| ¨ c à º e ” 



“ ¦ ˜ Ѐ Œ ¤ . ¢ ¸ô  Ç ë  H ] j\  ¦ K      H X < à º† < Æ& h “   ~ ½ ÓZ O  ´ ú ˜

“

¦• ¸ s „  _  l % 3 s 
 Æ Òo , œ í“  t , f ” › ' a 1 p x`  ¦ & h 6   x ½ + É Ã

º e ” l  M :ë  H \  õ & ñ & h  t d ” \  s \  ¦ Ÿ í† < Ê % i  . s [ þ t“ É r

Table 5. The sub-elements of belief on Curl.

Belief

Sub-elements Codes

Epistemological DA

Ontological DB

Motivational DC

Table 6. The sub-elements of environment on Curl.

Environment

Sub-elements Codes

Reference EA

Class (subject) EB

Teacher EC

Peer ED

· ú

¡_  à º† < Æõ  › ' aº   ) a õ & ñ & h  t d ” [ þ t õ   H ½ ¨ì  r ÷ &l  M :ë  H

\

 C ⁰ – Ð ³ ðl  % i  .

Table 5  H [ j t  7 á x À Ó_  ’  ¥ Æ `  ¦ ˜ Ð# ŒÅ ғ ¦ e ”  . ’  ¥ Æ 

“ É

r t d ” _  + þ A$ í \  ´ ú §“ É r % ò † ¾ Ó`  ¦ Å Òl  M :ë  H \  ×  æ כ ¹ô  Ç † ½ Ó3 l q Ü

¼– Ð ] jr   ) a  . s   H Curl ë ß –s   m     É r ? /6   x t d ” \ 

@

/K " f• ¸ / B N: Ÿ x& h Ü ¼– Ð & h 6   x| ¨ c à º e ”  . Õ ªo “ ¦ ’  ¥ Æ “ É r † < Æ Ò q

ts  ‰ & ³ © œ`  ¦   ˜ Ѝ  H  ⠆ ¾ Óõ  Õ ª\  @ /ô  Ç   ñl d ”  <  ʓ É r   Â

Òy Œ ™ 1 p x`  ¦ ì  r$ 3    H l ï  r s  | ¨ c à º e ”  . “  d ”  : r& h  ’  ¥ Æ 

“ É

r # Q‹ "  ‰ & ³ © œ`  ¦ “  d ”  “ ¦ s K    H X < e ” # Q" f # Q‹ "   ⠆ ¾ Ó

`

 ¦ t   H t \  ¦ ´ ú ˜K ×  ¦ à º e ”   H כ ¹™ ès  . ” > r F  : r& h  ’  ¥ Æ 

“ É

r [ j> _    H" é ¶ s  Á º% Á “  t \  @ /ô  Ç b ” 6 £ § Ü ¼– Ð 7 á x “ §& h  ’  

¥ Æ

s  ” > r F  : r& h  ’  ¥ Æ _  @ /³ ð& h “   \ V | ¨ c à º e ”  .  t  }

Œ

•Ü ¼– Ð 1 l x l & h  ’  ¥ Æ “ É r K { © œ ë  H ] j\  @ /ô  Ç 1 l x l & h  8 £ ¤€  Ü ¼

–

Ð, ë  H ] j\  @ /ô  Ç : £ ¤Z > ô  Ç ‚    ñ e ”   H  â Ä º\   H K { © œ ? / 6

x _  t d ” _  + þ A$ í \  % ò † ¾ Ó`  ¦ ×  ¦ à º e ”    כ `  ¦ _ p ô  Ç .

Table 6“ É r t d ” õ  ’  ¥ Æ _  + þ A$ í \  % ò † ¾ Ó`  ¦ ×  ¦ à º e ”   H ¨ 8 Š

 â

& h  8 £ ¤€  \  @ /ô  Ç  כ Ü ¼– Ð y Œ •  $ í  © œô  Ç C  â s   Ø ÔÙ ¼

–

Ð > h“    ´ ú § “ ¦ ½ + É Ã º e ”  .   " f ¨ 8 Š â & h  8 £ ¤€  `  ¦ ì

 r$ 3 ½ + É M :\   H x €  { Œ ™ _   € ª œô  Ç ¨ 8 Š â & h  8 £ ¤€  `  ¦ “ ¦ 9 K

  ô  Ç . s  M :ë  H \  ¨ 8 Š â _  0 A כ ¹™ è  H  – Ð l ï  r s  e ”

  H  כ ˜ Ð   H t d ”  + þ A$ í s 
 ’  ¥ Æ  + þ A$ í \  % ò † ¾ Ó`  ¦ ×  ¦ à º e ”

  H כ ¹™ è\  @ /K " f  H — ¸¿ º “ ¦ 9\  ¦ K   ô  Ç . s X O 1 p w  

€

ª œô  Ç ¨ 8 Š â & h  כ ¹™ è e ” `  ¦ à º e ” t ë ß –, : £ ¤ y  Curl\  @ /ô  Ç t

d ”  + þ A$ í " é ¶ “  \  @ /K " f  H † < Æ_ þ v õ  † < Ɠ §  © œ S ! s    H & h 

`

 ¦ “ ¦ 9 # Œ classü < teacher, peer 1 p x _  % ò † ¾ Ó`  ¦ “ ¦ 9K  

½

+ É  כ s  .

Curl £  · l B  ø 5  ( ‘ ×@ 

†

< ÆÒ q t_   © œI \  ¦ ì  r$ 3  l  0 AK " f  H €  $  ì  r$ 3 \  € 9 כ ¹ ô

 Ç ì  r$ 3 d  ¦ s  € 9 כ ¹  .  – Ð ƒ  ½ ¨  Ò q ty Œ •   H Curl`  ¦

Table 7. Knowledge elements for understanding Curl.

Main-categories Sub-elements Relation Rotation

Concept Work * Stokes’ theorem (conservative) (in process)

Text books Context School events

Everyday life events Coordinate Vector product

∇

Process Curl * Work as a

Determinant conservative force Stokes’ theorem (in concept)

0

C

X

Epistemological Belief Ontological

Motivational Environment

s

K ô  Ç  © œI  (S f ⁰ )\  ¦   & ñ   H  כ “  X <, s   Œ •\ O s  Ä º‚  & h  Ü

¼– Ð € 9 כ ¹ l \  ‘t d ” ’  ¥ Æ d  ¦’`  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð ì  r À Ó  ï× ¼\  ¦ ë

ß –[ þ t “ ¦, s \  ¦ ž Ð@ /– Ð S f ⁰ `  ¦ [ O & ñ % i  . S f ⁰ \  ¦ & ñ   H X <

e ”

# Q" f ¨ 8 Š â õ  ’  ¥ Æ \  @ /K " f  H > h“      â + « >ô  Ç ¨ 8 Š â s


 t “ ¦ e ”   H ’  ¥ Æ s   € ª œ l  M :ë  H \  ƒ  ½ ¨  Ò q t y

Œ

•   H † < ÆÒ q t_  þ j7 á x  © œI \  @ /ô  Ç  כ \   H Ÿ í† < Êr v t  · ú §

€

Œ

¤ . t ë ß – † < ÆÒ q ts  t d ” `  ¦ ½ ¨$ í   H X < e ” # Q" f ’  ¥ Æ õ 

¨ 8

Š ⠓ É r ×  æ כ ¹ô  Ç % i ½ + É`  ¦ Ù ¼– Ð S i ⁰ \  ¦ ì  r$ 3    H X < ’  ¥ Æ õ 

¨ 8

Š â & h  כ ¹™ è\  ¦ “ ¦ 9 % i  . Table 7“ É r S ⁰ _f \  @ /ô  Ç ? /6   x`  ¦

˜

Ð# ŒÅ ҍ  H  כ Ü ¼– Ð, 5> h_  y Œ • † ½ Ó3 l q \  @ /ô  Ç 0 A כ ¹™ è  H ì  r À

Ó  ï× ¼\  e ”   H כ ¹™ è ×  æ \ " f Curlõ  › ' aº   ) a  כ `  ¦ ‚  × þ ˜ 

#

Œ V , “ É r  כ s  . ‚ à Г ¦– Ð # Œl \ " f ] jr    H Curl _  S f ⁰   H

&

h

] X ô  Ç  © œI – Ð" f ë  H ] j_   © œ S ! \    " f  † 1  à º e ”  .

' Í

  P :– Ð Curl\  @ /ô  Ç > h¥ Æ & h  t d ” “ É r  r„  õ  › ' aº  s  e ”

 . { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð 7 ˜'  † < Êà º\  Curl`  ¦ 2 [ >  ÷ &€   é ß –0 A

€

 & h { © œ  r„  | ¾ Ós    H _ p \  ¦ t   H 7 ˜' \  ¦ % 3   H  . M : ë

 H \   r„   > h¥ Æ s  Curl_  > h¥ Æ & h  t d ” \  Ÿ í† < Ê÷ &# Q  ô  Ç



. ¢ ¸ Curlõ  › ' aº   ) a > h¥ Æ \  { 9 `  ¦ Ÿ í† < Êr (   .  =
 €  

∇ × ~ ~ F = 0“   7 ˜'  © œ ~ F   H ˜ Д > r§ 4   © œs l  M :ë  H s  . s  Q ô

 Ç   õ \  ¦ % 3 `  ¦ à º e ”   H  כ “ É r Stokes’ theorem M :ë  H“  X <, Stokes’ theorem“ É r õ & ñ & h  t d ” \  K { © œ Ù ¼– Ð process † ½ Ó 3

l

q \  Ÿ í† < Êr v “ ¦ ~ ∇ × ~ F = 0 ü < Stokes’ theorem_  › ' a > 

\

 ¦ ‘*’ – Ð ³ ðr  % i  .

¿

º   P :– Ð Curl\  @ /ô  Ç Ð  o| à Ì& h  t d ” _  0 A כ ¹™ è– Ð “ § õ

" fü < † < Ɠ §Ò q t Ö ¸ , { 9  © œÒ q t Ö ¸`  ¦ V , % 3  . s   H Curl \  @ /ô  Ç

>

h¥ Æ `  ¦  ’  _  Šҁ    © œ S ! \  # Qb  G>  ƒ  › ' a r &  Ò q ty Œ •   H

Fig. 5. Knowledge elements for understanding Curl.

   H | 9 ë  H`  ¦ : Ÿ x K  Ð  o| à Ì& h  t d ” _  0 A כ ¹™ è\  ¦ ½ ¨$ í ô  Ç

 כ

s  . † < ÆÒ q t“ É r Curl`  ¦ “ §õ " f\  ¦ : Ÿ x K  · ú ˜ à º e ”  . ¢ ¸ô  Ç

†

< Ɠ §Ò q t Ö ¸ \ " f ¢ ¸A  † < ÆÒ q ts 
 ‚  Ò q t_ ” Ü ¼– РÒ'  t d ” `  ¦ + þ A

$ í

Ù þ ¡`  ¦ à º• ¸ e ”  . Ó ü t : r Curl s   r„  _  _ p \  ¦ t “ ¦ e ”  1

p

w s  { 9  © œÒ q t Ö ¸ _   r„     H î  r1 l x s  Ž  H t  " é ¶+ þ A ·
‚  + þ A 1

p

x _   Ó ü t – РÒ'  Curl\  @ /ô  Ç Ò q ty Œ •`  ¦ + þ A$ í ½ + É Ã º• ¸ e ”  .

Õ

ª  X <   r& h Ü ¼– Ð
 % i  & h “   Ð  o| à ÌÜ ¼– Ð Curl\  @ /ô  Ç t  d ”

`  ¦ + þ A$ í   H  â Ä º  H × ¼Ó ü t  .   " f S f ⁰ \  ¦   & ñ   H X <

e ”

# Q" f Ð  o| à Ì& h  t d ” \  K { © œ   H 0 A כ ¹™ è\  ¦ { 9  © œÒ q t Ö ¸



t – Ð ô  Ç& ñ % i  .

[

j   P :– Ð Curl\  @ /ô  Ç õ & ñ & h  t d ” _  0 A כ ¹™ è\   H Ã

º† < Æ& h “   > h¥ Æ [ þ t s  ´ ú §s  Ÿ í† < Ê÷ &# Qe ”  . s   H Curl`  ¦ >  í

ß – l  0 AK " f € 9 כ ¹ô  Ç Ã º† < Æ& h “   > h¥ Æ `  ¦ Ÿ í† < Êr †    כ s 



.   " f ý a³ ð > h¥ Æ õ  ü @& h , ƒ  í ß – , Curl_  à º† < Æ& h  >  í

ß – ~ ½ ÓZ O , ' Ÿ § > =d ” , Stokes’ theorem`  ¦ Ÿ í† < Êr (   . õ & ñ & h  t

d ” \  [ þ t # Q  H C ⁰   H  € ª œ >  × ¼ Q
  H  כ Ü ¼– Ð ⁰ C ⁰ X ⁰ (C ⁰ A, C ⁰ B, C ⁰ C, C ⁰ D, C ⁰ E) – Ð ¿ º% 3  .

W

1   P :– Ð Curl\  @ /ô  Ç ’  ¥ Æ “ É r Curl ë  H ] j÷  r ë ß –s   m  



 É r ë  H ] j
 t d ” \ • ¸ / B N: Ÿ x& h Ü ¼– Ð epistemological, onto- logical, motivational _  [ j t  0 A כ ¹™ è × ¼ Q
Ù ¼– Ð

—

¸¿ º Ÿ í† < Êr (   .



$ Á   P :– Ð Curl\  % ò † ¾ Ó`  ¦ Šҍ  H ¨ 8 Š â & h  כ ¹™ è[ þ t`  ¦ Ò q t y

Œ

•½ + É Ã º e ”   H X < s  כ “ É r · ú ¡" f ƒ  / å LÙ þ ¡1 p w s   -Á º
  € ª œô  Ç כ

¹™ è % ò † ¾ Ó`  ¦ ×  ¦ 0 p x$ í s  e ” l  M :ë  H \  q 0 >¿ º% 3  .

· ú

¡" f S f ⁰ \  ¦ Table 7 – Ð ˜ Ð# ŒÅ Ò% 3 t ë ß – † ½ Ó3 l q ç ß –_  › ' a > 


ƒ

   `  ¦ ¸ ú ˜ ˜ Ð# ŒÅ Òl  0 A # Œ Fig. 3\  ¦ ž Ð@ /– Ð S f ⁰ \  ¦ ³ ð‰ & ³ K

 ˜ Ѐ Œ ¤  (Fig. 5).

Fig. 5`  ¦ ˜ Ѐ  , t d ”  % ò % i \   H [ j > h_  » ¡ ¤ s  e ” # Q" f y Œ • y

Œ

• > h¥ Æ & h , Ð  o| à Ì& h , õ & ñ & h  t d ” \  @ /ô  Ç ? /6   x`  ¦ ˜ Ð# Œï  r



. Õ ªo “ ¦ ’  ¥ Æ  % ò % i s  t d ” `  ¦ Ñ ü t  Q “ ¦ e ” Ü ¼€  " f 0 A כ

¹™ è“   “  t & h , ” > r F  : r& h , 1 l x l & h  ’  ¥ Æ Ü ¼– Ð ½ ¨ì  r ) a  . ¨ 8 Š

 â

“ É r  © œ  ¾ ú  \  e ”  . s X O >  ³ ð‰ & ³† < ÊÜ ¼– Ð+ ‹ t d ” _  + þ A

$ í

õ     o\  % ò † ¾ Ó`  ¦ Šҍ  H  כ “ É r ¨ 8 Š â \  _ ô  Ç  כ õ  ¨ 8 Š â \ 

% ò

† ¾ Ó`  ¦ ~ à Γ É r ’  ¥ Æ \  _ ô  Ç  כ e ” `  ¦ ~ 1 >  · ú ˜ ^  ¦ à º e ”  .

Fig. 6. The number of students who correct answer by each case.

½

¨^ ‰& h Ü ¼– Ð ˜ Ѐ   t d ” \ " f > h¥ Æ & h  8 £ ¤€  `  ¦ _ p    H » ¡ ¤ Ü

¼– Ѝ  H  r„   (rotation) > h¥ Æ \  s # Q ˜ Д > r§ 4  © œ\ " f_  { 9  (work on a conservative field)`  ¦ Ò q ty Œ •½ + É Ã º e ”  . Õ ªo “ ¦ õ

& ñ & h  t d ” Ü ¼– Ѝ  H Curl`  ¦ s K  l  0 Aô  Ç Ã º† < Æ& h  ~ ½ ÓZ O 

`

 ¦ ŠҖ Ð Ò q ty Œ •½ + É Ã º e ”  “ ¦ ‘ : r  . Õ ªo “ ¦ à º† < Æ& h  õ & ñ \ 

"

f Stokes’ theorem“ É r ~ F \  ¦ j Ë µÜ ¼– Ð ¿ º€   { 9 _  & ñ _ ü < ° ú  



t Ù ¼– Ð, ˜ Д > r§ 4  © œ\ " f_  { 9 õ  ƒ    | ¨ c à º e ”  . Õ ª µ 1 Ú\ 

•

¸ † < ÆÒ q t[ þ t s  Curl\  @ /K " f  â + « >   H Ð  o| à Ì& h  כ ¹™ è– Ð “ § õ

" f Ð  o| à Ìõ  † < Ɠ § Ð  o| à Ì, Õ ªo “ ¦ { 9  © œÒ q t Ö ¸ Ð  o| à ÌÜ ¼– Ð ¿ º% 3 



. s  Qô  Ç l ï  r`  ¦ t “ ¦  Y Vƒ  ½ ¨_  @ / © œ † < ÆÒ q ts  ”   Curl \  @ /ô  Ç t d ” õ  ’  ¥ Æ `  ¦ ì  r$ 3  % i  .

IV. Ž ì ŏ Œ + s ÇÊ Ý

1. Curl ß e È U  + s ÇÊ Ý õ m Í Ä Z ØV Ä

Fig. 6  H y Œ • case 1, 2, 3, 4_  ë  H ] j[ þ t (Fig. 2) \  @ /K 

&

ñ ² ú š`  ¦ ô  Ç † < ÆÒ q t à º\  ¦ ˜ Ð# ŒÅ ҍ  H y Û ¼ž ÐÕ ªÏ þ ›s  .

†

< ÆÒ q t[ þ t _  [ O " î Ä »+ þ A`  ¦ ˜ Ѐ   à º† < Æ& h “   [ O " î 5" î , & ñ $ í

&

h “   [ O " î 2" î , Õ ªo “ ¦ ¿ º ] X   H`  ¦ — ¸¿ º “ ¦ 9ô  Ç [ O " î s  3" î s % 3  .
 Qt  ô  Ç " î “ É r  ’  _  ² ú š\  @ /K " f [ O " î  t

 · ú §€ Œ ¤ . Õ ªo “ ¦ case 4\  ¦ ´ ú ð  r 5" î _  † < ÆÒ q t[ þ t ×  æ 4" î “ É r Ã

º† < Æ& h “   [ O " î `  ¦ ô  Ç † < ÆÒ q t[ þ t (4/5) s % 3 “ ¦,
 Qt  ô  Ç " î

“ É

r & ñ $ í & h “   [ O " î `  ¦ ô  Ç † < ÆÒ q t (1/2)s % 3  .

 Ž

 t _  ‘Curl“ É r Á º% Á s  “ ¦ Ò q ty Œ •   H ?’   H | 9 ë  H

\

 † < ÆÒ q t[ þ t“ É r Table 8 õ  ° ú  s  ² ú š % i  .

s

 Qô  Ç † < ÆÒ q t[ þ t _  6 £ x ² ú š`  ¦ ß ¼>  [ j t – Ð
¾ º# Q˜ Ѐ Œ ¤



. 7 £ ¤, † < ÆÒ q t[ þ t _  ² ú š  `  ¦ Curl`  ¦  r„  õ  › ' a >   ) a  כ Ü ¼– Ð s

K    H † < ÆÒ q t[ þ t õ  ƒ  í ß – – Ð s K    H † < ÆÒ q t Õ ªo “ ¦ — ¸

 É

r  “ ¦ @ /² ú šô  Ç † < ÆÒ q t[ þ t – Ð
¾ º% 3  . Õ ª ×  æ \ " f ´ ú §“ É r † < Æ Ò q

t[ þ t s  Curl`  ¦  r„  õ  › ' a >   ) a  כ Ü ¼– Ð s K  “ ¦ e ”    H

 כ

`  ¦ · ú ˜ à º e ” % 3  . s   H † < ÆÒ q t[ þ t s  1† < Ƹ   õ & ñ _  p & h ì  r

†

< Æ Ã º\ O \ " f Curl`  ¦ C  ° ?l  M :ë  H s  “ ¦ ½ + É Ã º e ”  .  



" f † < ÆÒ q t[ þ t“ É r Curl s   r„  õ  › ' a >   ) a  כ s  “ ¦ ~ 1 >  ´ ú ˜

½

+ É Ã º e ”  . t ë ß – ‘
  H Curl \  @ /K " f \ O  
 s K  

“

¦ e ”  “ ¦ Ò q ty Œ •   H ?’    H | 9 ë  H _  o & à Ô ' ‘ • ¸ › ¸ 



 H ¨ î ç  H €  • 1.27– Ð
 z Œ ¤ . s – Ð ˜ Ð , † < ÆÒ q t[ þ t“ É r  ’   _

 Curl\  @ /ô  Ç s K à ºï  r`  ¦ ± ú >  ¨ î  “ ¦ e ”    H  כ `  ¦

· ú

˜ à º e ” % 3  . s % ƒ! 3  † < ÆÒ q t[ þ t s  Curls   r„  • ¸\  ¦ ´ ú ˜K Å Ò



 H  כ e ” `  ¦ · ú ˜“ ¦ e ” 6 £ § \ • ¸ Ô  ¦ ½ ¨ “ ¦ Å Ò# Q”   7 ˜'  © œ`  ¦ ¸ ú ˜ K

   t  3 l w “ ¦ s K à ºï  r`  ¦ ± ú >  ¨ î    H  כ “ É r † < ÆÒ q t [

þ

t s  ‘Curl“ É r  r„  • ¸ü < › ' a >   ) a  כ s  .’ “ ¦ ´ ú ˜`  ¦ €  " f

•

¸ z  ´] j– Ð Curls  # Q* ‹ô  Ç  כ “  t \  ¦ d ” 8 £ x& h Ü ¼– Ð s K   t

 3 l w “ ¦ e ”    H  כ `  ¦ ´ ú ˜K Šҍ  H  כ s  .

s

 Qô  Ç ë  H ] j\  ¦ ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð ˜ Ð €  , Fig. 6\ " f case 1, 2  \  q K  case 3, 4  _  & ñ ² ú šÒ  ¦ s  ± ú  & ’    H  כ `  ¦ · ú ˜ Ã

º e ”   H X <, s   H case 3, 4 _  ë  H ] j Ä »+ þ As  case 1, 2ü <   Ø

Ô   H X <\ " f Õ ª " é ¶ “  `  ¦ ¹ 1 Ô`  ¦ à º e ”  . s \  ¦ _ …€  , case 1 õ  2  H 7 ˜' _  ~ ½ ӆ ¾ Óë ß – ˜ Г ¦ ~ 1 >  ó ø Íé ß –½ + É Ã º e ”   H ë  H ] j

“

  ì ø ̀  , case 3õ  4_   â Ä º\   H 7 ˜' _  ~ ½ ӆ ¾ Ә Ð   H ß ¼ l

_     o _ p    H  כ `  ¦ s K K   Û  ¦ à º e ”   H ë  H ] js 



. s    õ \  ¦ : Ÿ x K  · ú ˜ à º e ”   H  כ “ É r † < ÆÒ q t[ þ t s  Curl_  Ä » Á

º\  ¦ 7 ˜' _  ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð ó ø ÍZ >    H  כ “ É r Curl`  ¦ ó ø ÍZ >    H X

< & h ½ + Ëô  Ç  כ “ É r  m    H  כ s  9, † < ÆÒ q t[ þ t“ É r 7 ˜' _  U  ´s  _

    o Curlõ   © œ › ' a s  e ”    H  כ `  ¦ ç ß –õ  “ ¦ e ”    H

&

h s  . >   † < ÆÒ q t[ þ t ×  æ \ " f à º† < Æ& h “   ] X   H õ  & ñ $ í & h 

“

  ] X   H`  ¦ 1 l x r \    H † < ÆÒ q ts  3" î s % 3 “ ¦, — ¸¿ º case 1, 2, 3  t  ´ ú Æ ғ ¦ case 4  H d  ¦§ 4    H & h • ¸ Å Ò3 l q ½ + É ë ß –ô  Ç    õ

s  . s  כ “ É r † < ÆÒ q t[ þ t s  Curl ë  H ] j\  ¦ K      H X < ¿ º  t

 ~ ½ ÓZ O `  ¦ “ ¦ 9 “ ¦ e ” Ü ¼
 s [ þ t s  " f– Ð ¸ ú ˜ ƒ    ÷ &# Q e ”  t

 · ú §   H  כ `  ¦ _ p ô  Ç . ½ ¨^ ‰& h Ü ¼– Ð s  3" î _  † < ÆÒ q t[ þ t s

 Curl ë  H ] j\  ¦ K    €  " f
 è ß – [ O " î _  : £ ¤f ç “ É r  6 £ § õ

 ° ú   .

• A † < ÆÒ q t -  o¶ ú ˜³ ð_  — ¸€ ª œÜ ¼– Ð f ” › ' a& h “   ó ø Íé ß –`  ¦  t

ë ß – à º† < Æ& h “     õ \  ¦ { 9 é ß – % 3 # Q" f Õ ª כ s  f ” › ' a& h 

“

  ó ø Íé ß –õ    É r  â Ä º\   H à º† < Æ\  ’ < H`  ¦ [ þ t # QÅ Ò% 3  .

Õ

ªo “ ¦ à º† < Æ& h Ü ¼– Ð % 3 t  3 l w ½ + É  â Ä º\   H f ” › ' a& h “   ó

ø Íé ß –Ü ¼– Ð Curl_  Ä »Á º\  ¦ ó ø Íé ß – % i  .

• B † < ÆÒ q t - Curl`  ¦  o¶ ú ˜³ ð_  — ¸€ ª œÜ ¼– Ð ó ø Íé ß – “ ¦, case 4\  ¦ 7 ˜'  f ” ‚  s Ù ¼– Ð  r„  & h  â ì2 £ § s  \ O  “ ¦ ó ø Í é

ß –Ù þ ¡ . Curl`  ¦  6   x   H X <\   H à ºd ” & h “   €  ë ß – · ú ˜

€

   ) a  “ ¦ Ò q ty Œ • % i  .

Table 8. Students’ ideas about Curl.

The number

Classification Answers

of students Criterion of rotation / Criterion of degree of rotation / Degree

of rotation of vector / Something which is rotating? / Degree of

Rotation rotation of the field or fluid / The change of vector at a 8 Arbitrary position / Calculating the elements of rotation /

Methods for determining if rotation exits or not

Operator a kind of operators 1

Unknown I don’t know what Curl means. / I don’t know. 2

• C † < ÆÒ q t - Curl`  ¦  o¶ ú ˜³ ð_  — ¸€ ª œÜ ¼– Ð ó ø Íé ß – “ ¦, à ºd ” 

&

h Ü ¼– Ð ] X   H # Œ s \  ¦  Ž 7 £ x % i  . Õ ªX O t ë ß – case 4\  ¦  ’  _  Ò q ty Œ •Ü ¼– Ð [ O " î t  3 l w % i  .

s

 † < ÆÒ q t[ þ t _  / B N: Ÿ x& h “ É r  o¶ ú ˜³ ð_  — ¸€ ª œÜ ¼– Ð f ” › ' a& h “   ó

ø Íé ß –`  ¦ ô  Ç   H  כ s  . s \   8K  · ú ¡_  ‘Curl“ É r Á º% Á s 



“ ¦ Ò q ty Œ •   H ?’   H | 9 ë  H \  @ /ô  Ç ² ú š  \ " f † < ÆÒ q t[ þ t“ É r Curl _  Ä »Á º\  ¦ ó ø ÍZ >    H X < e ” # Q" f 7 ˜' _  ~ ½ ӆ ¾ Ó\  _ ” > r

l  ~ 1    H  כ `  ¦ · ú ˜ à º e ”  . t ë ß – · ú ¡" f ƒ  / å LÙ þ ¡1 p w s  s

  H case 4 _  Curl Ä »Á º_  ó ø ÍZ > \   H • ¸¹ ¡ § s  ÷ &t  · ú §  H

~

½ ÓZ O s  .  =
 €   case 4_   â Ä º\   H 7 ˜' 
ê ø Í >  C

\ P ÷ &# Q e ” # Q" f 7 ˜' _  ~ ½ ӆ ¾ Óë ß –Ü ¼– Ð ˜ Ѐ    r„   $ í ì  r s 

\ O

 “ ¦ ó ø Íé ß – l  ~ 1 l  M :ë  H s  .   " f † < ÆÒ q t_  & ñ $ í & h 

“

  ] X   H ~ ½ ÓZ O s  7 ˜' _  ~ ½ ӆ ¾ Ó`  ¦ t “ ¦ ó ø Íé ß –   H  כ s  

€

  case 4  H [ O " î l  j Ë µŽ  H ë  H ] j  ) a  .

s

  Ž  \  ¦ : Ÿ x K " f · ú ˜ à º e ”   H  כ “ É r † < ÆÒ q t[ þ t“ É r Curl ë  H ]

j\  ¦ K      H X < e ” # Q" f ŠҖ Ð 7 ˜' _  ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ð Curl_  Ä

»Á º\  ¦ ó ø Íé ß – “ ¦, · ú ¡" f  ê  r 3" î _  † < ÆÒ q t[ þ t % ƒ! 3  & ñ $ í & h “  

~

½ ÓZ O õ  à º† < Æ& h “   ~ ½ ÓZ O `  ¦ 1 l x r \  “ ¦ 9 €  " f• ¸ s  Ñ ü t`  ¦

&

h

] X  >  › ¸ or v t  3 l w   H  â Ä º e ”    H & h s  .

2.  7 `Ž ì ŏ Œ + s ÇÊ Ý õ m Í Ä Z ØV Ä

Ambrose [7]  > hµ 1 Ïô  Ç 4t  ë  H ] j\  @ /K  ‘ : r ƒ  ½ ¨@ / © œ

†

< ÆÒ q ts  ˜ Г   ì ø Í6 £ x õ   “ ¦ õ & ñ _  : £ ¤f ç `  ¦ Table 9 õ  ° ú  s 

&

ñ o  % i  . ' Í   P : ' Ÿ “ É r † < ÆÒ q ts  ˜ Г   : £ ¤f ç s  9, ¿ º    P

: ' Ÿ “ É r  “ ¦ õ & ñ _  : £ ¤f ç s  . : £ ¤ y  Å Ò3 l q ½ + É & h “ É r ë  H ] j 4 _   â Ä º\  † < ÆÒ q ts  Õ ª_  Ò q ty Œ •õ  à º† < Æ& h    õ   s \ " f

° ú

˜1 p x “ ¦ e ”    H  כ s  .

' Í

  P : ë  H ] j\ " f † < ÆÒ q t“ É r Curl`  ¦ 7 ˜'  © œ\  # Qb  G>  & h  6

x K     H t \  ¦ ™ D ¥1 l xÙ þ ¡Ü ¼ 9, Curl # ŒÂ Ò_  ó ø Íé ß –“ É r f ” › ' a

&

h s % 3  . ¿ º   P : ë  H ] j\ " f † < ÆÒ q t_  Curl ” > r F  # ŒÂ Ò_  ó ø Í é

ß –“ É r f ” › ' a& h s % 3 Ü ¼ 9, õ  _   â + « >`  ¦  r © œ   H : £ ¤f ç s 

Fig. 7. The problem 1.

e ”

% 3  . [ j   P : ë  H ] j\ " f † < ÆÒ q t“ É r à º† < Æ& h “   ] X   H`  ¦ r 

•

¸Ù þ ¡Ü ¼ 9, ˜ Д > r  © œ`  ¦ C  ° ?~   õ  _  l % 3 `  ¦ : Ÿ x K  Curl = 0e ” `  ¦ s = å J # Q ? /% 3  .  t } Œ • W 1   P : ë  H ] j  H f ” › ' a& h “   ó

ø Íé ß –Ü ¼– Ð Curl = 0s  “ ¦ ó ø Íé ß –Ù þ ¡Ü ¼
, à º† < Æ& h “     õ 

Curl 6= 0 s 
š ¸€  " f { © œ S ! K  “ ¦, # Q 9¹ ¡ §`  ¦   ñ™ è % i 



.

y

Œ

• ë  H ] j Z > – Ð ½ ¨^ ‰& h “   €  { Œ ™? /6   x õ  † < Êa  ì  r$ 3 ô  Ç   õ 



 H  6 £ § õ  ° ú   .

% K

V  1, 2, 3 Ú r ø  & P „ 7  ' Í

  P : ë  H ] j\  ¦ ] X  “ ¦ † < ÆÒ q t“ É r divergence ü < Curl`  ¦  Œ ™ r

 ™ D ¥1 l x % i  .

¥ o

>Ä ©  : “ % ƒ6 £ § ë  H ] j\  ¦ K ® o`  ¦ M : # Q‹ "   Òì  r \ 

@

/K " f } Œ •˜ 2 ³ “ ¦ ½ + É  Õ ª    Òì  r s  e ” % 3 # Q כ

¹?”