수학 영역 (나형)

(1)

1 12

2016학년도 11월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역 ^(나형)

제 2 교시

1

1.

 × ^^



의 값은?¹⁾ [2점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

2.

두 집합      ,    에 대하여 집합 ∩의 원소의 개수는?²⁾ [2점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

3. _lim

→∞

^ 

^ 

의 값은?³⁾ [2점]

① 

 ② 

 ③ 

 ④ 

 ⑤ 

4.

함수  ^ 에 대하여  ′의 값은?⁴⁾ [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

(2)

2

^{수학 영역(나형)}

2 12

5.

함수    의 역함수가 일 때, 의 값은?⁵⁾ [3점]

①   ②   ③  ④  ⑤ 

6.

함수











^   ≠ 

   

이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 의 값은?⁶⁾ [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

7.

명제

‘  이면 ^     이다.’

가 참이 되도록 하는 상수 의 값은?⁷⁾ [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

(3)

3

수학 영역(나형)

3 12

8.

함수 가

^^^

이고  일 때, 의 값은?⁸⁾ [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

9.

양수 에 대하여   

 의 최솟값은?⁹⁾ [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

10.

_{공비가 }



 이고 모든 항이 양수인 등비수열



^



^{에 대하여}

__ 일 때, _의 값은?¹⁰⁾ [3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

(4)

4

4 12

11.

함수   의 그래프가 그림과 같다.



O 

  







 

lim

 →

 

lim

 → 

의 값은?¹¹⁾ [3점]

①   ②  ③  ④  ⑤ 

12.

수열



^



^{에 대하여}

  



∞



^ 



^{ }

일 때,

lim

→∞_ 

_

의 값은? (단, _≠ 

)¹²⁾ [3점]

①  ② 

 ③  ④ 

 ⑤ 

(5)

5

5 12

13.

실수 , 에 대하여 는 의 세제곱근이고 ^ 는 의 네제곱근 일 때,



^_^



^^{의 값은?}¹³⁾^[3점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

14.

닫힌 구간     에서 정의된 함수  ^ ^   의 최솟값이  일 때, 최댓값은? (단, 는 상수이다.)¹⁴⁾ [4점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

(6)

6

6 12

15.

전체집합     는 이하의 자연수의 두 부분집합

   ,    에 대하여 다음 조건을 만족시키는

의 부분집합 의 개수는?¹⁵⁾ [4점]

(가)   ∅ (나) ∩  ∅

①  ②  ③  ④  ⑤ 

16.

우물에서 단위 시간당 끌어올리는 물의 양을 양수량이라 한다.

양수량이 일정하면 우물의 수위는 일정한 높이를 유지하게 된다.

우물의 영향권의 반지름의 길이가 m인 어느 지역에 반지름의 길이가  m인 우물의 양수량을 m^분,

원지하수의 두께를 m, 양수 중 유지되는 우물의 수심을 m

라고 할 때, 다음 관계식이 성립한다고 한다.

 _{ }

log



^









_^ ^



(단, 는 양의 상수이다.)

우물의 영향권의 반지름의 길이가 m로 일정한 어느 지역에 두 우물 , 가 있다. 반지름의 길이가 m인 우물 와 반지름의 길이가 m인 우물 의 양수량을 각각 _m^분, _m^분

이라 하자.

우물 , 의 원지하수의 두께가 모두 m일 때, 양수 중 두 우물의 수심이 모두 m를 유지하였다. _

_

의 값은?¹⁶⁾ [4점]

① 

 ② 

 ③ 

 ④ 

 ⑤ 



(7)

7

7 12

17.

양수 에 대하여 함수    

 의 그래프의 점근선인 두 직선과 직선   로 둘러싸인 부분의 넓이가 일 때,

의 값은?¹⁷⁾ [4점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

18.

중심이 O, 반지름의 길이가 이고 중심각의 크기가 인 부채꼴 OA_B_이 있다.

그림과 같이 호 A_B_을 이등분하는 점 M_에서 두 선분 OA_, OB_에 내린 수선의 발을 각각 P_, Q_이라 하고, 중심이 M_, 반지름의 길이가 M_P_인 부채꼴 M_P_Q_을 그린다. 점 O를 중심으로 하고 호 P_Q_에 접하는 원이 두 선분 OA_, OB_과 만나는 점을 각각 A_, B_라 할 때, 호 P_Q_, 호 A_B_, 선분 P_A_, 선분 Q_B_로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 _^{이라 하자.}

그림 _에 호 A_B_를 이등분하는 점 M_에서 두 선분 OA_, OB_에 내린 수선의 발을 각각 P_, Q_라 하고, 중심이 M_, 반지름의 길이가 M_P_인 부채꼴 M_P_Q_를 그린다. 점 O를 중심으로 하고 호 P_Q_에 접하는 원이 두 선분 OA_, OB_와 만나는 점을 각각 A_, B_이라 할 때, 호 P_Q_, 호 A_B_, 선분 P_A_, 선분 Q_B_으로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 _^{라 하자.}

이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 _^{에 색칠되어 있는} 부분의 넓이를 _이라 할 때,

lim

→∞

_의 값은?¹⁸⁾ [4점]

O A_ P_ A_

B_ Q_

B_ M_

_



O

A_ B_

P_

A_ B_

M_



_

Q_

⋯

① 



^  



② 



^  



③ 



^  



④ 



^  



⑤ 



^  



(8)

8

8 12

19.

다음은 모든 자연수 에 대하여

  





  ^{ }   ^  ⋯⋯ ✽

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(1)   일 때,

(좌변)  ×   × ^ ,

(우변)  ×   × ^   이므로 ✽이 성립한다.

(2)    일 때, ✽이 성립한다고 가정하면



  



  ^{ }   ^ 이다.

    일 때, ✽이 성립함을 보이자.



  



  ^{ }





  



  ^{ }



^가



^{× }^

     ^  



^가



^{× }^





^나



^{× }^{ }^{ }

따라서     일 때도 ✽이 성립한다.

(1), (2)에 의하여 모든 자연수 에 대하여 ✽이 성립한다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 이라 할 때,  × 의 값은?¹⁹⁾ [4점]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

20.

그림과 같이 양수 에 대하여 곡선   ^ 위의 점 P



 ^



을 지나고 선분 OP 에 수직인 직선이 축과 만나는 점을 Q라 하자.

삼각형 OPQ의 넓이를 라 할 때,

lim

 →



의 값은?

(단, O는 원점이다.)²⁰⁾ [4점]

O Q

P

  ^





① 

 ② 

 ③ 

 ④ 

 ⑤ 

(9)

9

9 12

21.

실수 에 대하여 두 함수

   ^ , 



  ^{ } ^{ ≤ }  

의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수를 라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?²¹⁾ [4점]

보 기 ㄱ.

lim

 →  

 

ㄴ. 함수 는   에서 연속이다.

ㄷ. 함수 가   에서 불연속이 되는 모든 의 값의 합은



이다.

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단답형

22.

등차수열



^



^{에 대하여 } _ 일 때, 수열



^



^{의 공차를}

구하시오. ²²⁾[3점]

23.

두 함수  ^ ,    에 대하여  ∘ 의 값을 구하시오.²³⁾ [3점]

(10)

10

10 12

24.

두 수열



^



^,



^



^{에 대하여}



  



_ ,



  





^ 



^{ 일 때,}

  







^ _



^{의 값을 구하시오.}²⁴⁾^[3점]

25.

보다 큰 실수 에 대하여 log_  일 때,  × log_의 값을 구하시오.²⁵⁾ [3점]

26.

함수  ^   가

lim

 →

   

 을

만족시킬 때, 두 상수 , 에 대하여 ^ ^의 값을 구하시오. ²⁶⁾ [4점]

(11)

11

11 12

27.

그림과 같이 양수 에 대하여 직선   와 두 곡선  ^ ,

 ^ 가 만나는 점을 각각 A, B라 하자. 점 B를 지나고

축과 평행한 직선이 곡선  ^ 와 만나는 점을 C 라 하고, 점 C 를 지나고 축과 평행한 직선이 곡선  ^ 와 만나는 점을 D라 하자. 두 점 A, D를 지나는 직선의 기울기가 

 일 때,

의 값을 구하시오.²⁷⁾ [4점]



O 

 ^

 ^

   A

D B

C

28.

함수  ^ 에 대하여

점   에서 곡선   에 그은 접선의 기울기가 일 때,

의 값을 구하시오. (단, 는 상수이다.)²⁸⁾ [4점]

(12)

12

12 12

29.

그림과 같이 자연수 에 대하여

점 A    을 지나는 기울기가 양수인 직선이

점 B  을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원에 접할 때, 이 직선이 원과 만나는 점을 C , 축과 만나는 점을 D라 하자.

사각형 OBCD의 둘레의 길이와 넓이를 각각 _, _이라 할 때,

lim

→∞

^

_×_

의 값을 구하시오. (단, O는 원점이다.)²⁹⁾ [4점]

A

B  D

C



O

30.

좌표평면에서 최고차항의 계수가 인 삼차함수 와 원점을 지나는 직선   가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 는   에서 극댓값 을 갖는다.

(나) 함수  는    에서만 미분가능하지 않다.

(다) 곡선   와 직선   는 서로 다른 두 점에서 만난다.

함수 의 극솟값을 구하시오.³⁰⁾ [4점]

※ 확인 사항

답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

(13)

13

13 12

1 ^② 2 ^③ 3 ^④ 4 ^② 5 ^④

6 ^④ 7 ^③ 8 ^⑤ 9 ^① 10 ^④

11 ^② 12 ^① 13 ^⑤ 14 ^③ 15 ^③

16 ^⑤ 17 ^① 18 ^① 19 ^⑤ 20 ^②

21 ^③ 22 ² 23 ⁵ 24 ¹⁰⁰ 25 ¹⁵

26 ¹⁸¹ 27 ¹⁶ 28 ⁴⁸ 29 ⁴ 30 ²³

(14)

14

14 12 1) [출제의도] 지수 계산하기

 × ^^



  ×^^^



  ×   

2) [출제의도] 집합의 연산 이해하기

∩   

∴  ∩ 

3) 3 [출제의도] 수열의 극한 이해하기

 →∞lim^ 

^ 

lim

 →∞

  ^



  



 



4) [출제의도] 도함수 계산하기

′ ^ 이므로 ′ 

5) [출제의도] 역함수 이해하기

 ^{ } 라 하면  

    

  

∴  

6) [출제의도] 함수의 연속 이해하기

함수 가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

  에서 연속이다. 그러므로 lim

 →

^  

lim

 →

^  ,  이므로

∴   

7) [출제의도] 명제 추론하기

    ,   ^     

일 때, 조건 , 의 진리집합을 , 라 하면

    , ^ ^     이다.

명제  → 가 참이면 ⊂이므로

  는 방정식 ^     의 근이다.

∴   

8) [출제의도] 부정적분 이해하기

^^^{  }^^^^(단,^^{는 적분상수)}

 이므로  ^ 

∴  

9) [출제의도] 절대부등식 이해하기

가 양수이므로

  

 ≥ 



^^{ × }

   ×^  

(단, 등호는   

 일 때 성립한다.)

∴ 최솟값은 

10) [출제의도] 등비중항 이해하기

_는 _과 _의 등비중항이므로 _^ __  모든 항이 양수이므로 _ 

_ _×



^





^^{ , }^^{ }

∴ _  × 

 

11) [출제의도] 함수의 극한 이해하기 lim

 → 

 lim

 → 

      

12) [출제의도] 급수와 일반항의 관계 이해하기

 →∞lim^ ^{ 이므로}lim

 →∞

_ 



 →∞lim_ 

_

  ×lim

 →∞

_ 

 ×lim

 →∞

_

 

13) [출제의도] 거듭제곱근 이해하기

는 의 세제곱근이므로

^ 

^는 의 네제곱근이므로

^^ 

∴



^





^^{ }_^^^^{ }

^

 

14) [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

′ ^         

′ 에서    또는   

닫힌 구간     에서 함수 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

  ⋯  ⋯ 

′   

  ↗    ↘   

닫힌 구간     에서 함수 는 최댓값   , 최솟값   를 갖는다.

     ,   

∴ 최댓값은     

15) [출제의도] 집합 사이의 포함 관계 추론하기 (가)에서 집합 의 원소 , , 은 모두

집합 의 원소이므로 ⊂

(나)에서 집합 는 집합 의 원소 , , 을 원소로 갖지 않으므로 ⊂^

그러므로 전체집합 의 부분집합 는

  ⊂⊂       

∴ 의 개수는 ^{  } ^ 

(15)

15

15 12 16) [출제의도] 로그를 활용하여 문제해결하기

 ,  ,   , 우물의 반지름의 길이가

m인 우물 의 양수량 _는

__{ } log



^





^ ^

 log2



 ,  ,   , 우물의 반지름의 길이가

m인 우물 의 양수량 _는

_ _{ } log



^





^ ^

 log2



∴ _

_

 



17) [출제의도] 유리함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기 함수 _{ }

  

     

  의 그래프의 점근선의 방정식은    ,   

    



  

   

  

O 

두 직선    ,   와 직선   로 둘러싸인 부분의 넓이는 

  ^ 

∴   

18) [출제의도] 등비급수를 활용하여 문제해결하기 그림 _에서

_



O

A_ B_

P_

A_ B_

M_



Q_





M_

_은 직각삼각형 OP_M_에서 부채꼴 M_P_M_와 부채꼴 OA_M_를 뺀 넓이의 두 배이므로

_  ×



^

×  × ^







^{ × }^^{× }





^



^{ × }^^{× }





  ×



^

^

 





^{ }^^^{  }



다음은 그림 _{ }의 일부이다.

_{ }

O

A_ B_

P_

A_{  } B_{  }

M_

Q_ M_{  }

P_{ }

A_{  }

Q_{ }

B_{  }

OM_  ≠ 라 하면 ^OM_{  } 



중심각의 크기가 같은 부채꼴 OA_B_과 부채꼴 OA_{ }B_{ }은 서로 닮음이고 닮음비는 ^OM_ OM_{  }   

   

이다.

그러므로 그림 _과 _{  }에서

새로 얻어진 모양의 도형도 서로 닮음이고 닮음비가 _{  }



이므로 넓이비는 _{  }



이다.

따라서 _은 첫째항이 ^_{  }



이고 공비가 _



인 등비수열의 첫째항부터 제항까지의 합이다.

∴ lim

 →∞

__{ }

  

^_{  }^

_{ }







^^^^{  }





 ^  

 ^  

19) [출제의도] 수학적 귀납법 추론하기

(1)   일 때,

(좌변)  ×   × ^ ,

(우변)  ×    × ^   이므로 ✽이 성립한다.

(2)    일 때, ✽이 성립한다고 가정하면



  



  ^{  }   ^ 이다.

    일 때, ✽이 성립함을 보이자.



  

  

  ^{  }





  



  ^{  }



^{  }



^{× }^

     ^  



^{  }



^{× }^

     ^ 

(16)

16

16 12





^{  }



^{× }^{ }^{ }

따라서     일 때도 ✽이 성립한다.

(1), (2)에 의하여 모든 자연수 에 대하여 ✽이 성립한다.

∴      ,        ×   ×   

20) [출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

선분 OP에 수직이고 점 P 를 지나는 직선 PQ의 기울기는  

이므로

직선 PQ 의 방정식은   ^  

  

따라서 축과 만나는 점 Q   ^ 삼각형 OPQ 의 넓이 _{ }



×  ×  ^

∴ lim

 → 

lim

 →  



×  ×  ^

 lim

 → 

×  ^_{ }





21) [출제의도] 함수의 연속을 활용하여 추론하기

ㄱ.



  

  

  



O 

 



 

lim

 →   

  (참)

ㄴ.

  O

  









  

lim

 → 

 , lim

 →  

 ,   이므로 함수 는   에서 연속이다. (참)

ㄷ. 두 함수 와 의 그래프가   

에서 접하므로 함수 는









 

  ≤ 





     









^{  }









^

  ≤ 



   





O 

 





   

 

함수 가    ,   

,   에서 불연속이므로 모든 의 값의 합은    

   

이다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

22) [출제의도] 등차수열 이해하기

등차수열 __의 첫째항을 _, 공차를 라 하면

_ _^ ^^ ^{   }

∴   

23) [출제의도] 합성함수 이해하기

 ∘    

24) [출제의도] 수열의 합 이해하기

  





_ 



  



^ ^



  



_



  



 



  



_   



  



_ 

∴ _{  }



^^^^^{ }^^ ^{ }_{  }



^^^^



_{  }^^^     

25) [출제의도] 로그의 성질 이해하기

log_  log_^ log_   log_  , log_  

∴  × log_   × 

 

26) [출제의도] 미분계수 이해하기 lim →

   

 에서 lim →

  이므로 _lim

 →

   이다.

∴  

(17)

17

17 12

       에서

      ⋯⋯ ㉠

lim

 →

   

lim

 →

   

 ′ 

′   이므로

′     ,     ⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡에서    ,   

∴ ^ ^     

27) [출제의도] 무리함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기

A^, B^

점 C의 좌표는 점 B의 좌표와 같으므로

^ ^,   

따라서 C^, D ^

두 점 A, D를 지나는 직선의 기울기는

  

^ ^

 

^

 ^

 (∵   )

^

  

이므로 ^  

∴   

28) [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기 곡선   위의 점   ^ 에서

접선의 기울기는 ′ ^ 이므로 접선의 방정식은

  ^   ^   이고 점   을 지나므로

^  

^  

    (∵ 는 실수) 접선의 기울기는 이므로

′   ×  ^       

  

그러므로  ^ 

∴   ^  ×   

29) [출제의도] 수열의 극한을 활용하여 문제해결하기 그림과 같이 점 A에서 원에 그은 두 접선의 접점 중 점 C가 아닌 점을 E  이라 하자.

B E C

A

O





  

 D



∆AEB와 ∆BOD는 서로 닮음이므로

AE EB  BO OD

        OD

∴ 

OD   

^

OD CD, ^BO BC

_  ×



^  

^

 



^{ }  

^ 

_  × ∆BOD의 넓이

  ×



^

×  ×   

^



^{ }  

^

∴ lim

→∞^

_×_

lim

→∞^^

 ×   

^ 

×   

^



lim

→∞  ^

^ 

 

30) [출제의도] 도함수를 활용하여 그래프 추론하기

조건 (가)에서  , ′  함수    라 할 때, 조건 (나), (다)에서

함수 의 그래프는 점   을 지나고

  ( ≠  )에서 축과 접한다.

따라서      ^

 ,  이므로

  

^ ,    (∵  ≠  )

∴        ^  ^ ^   

 ′ ′  ′ ^   

′ 이므로 ′  ′  

∴  ′ 

  는 원점을 지나는 직선이므로  

  ^ ^   에서

 ^ ^ 

′ ^     

′ 에서    또는   

함수 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

 ⋯  ⋯  ⋯

′     

 ↗  ↘  ↗

따라서 함수 는   에서 극솟값 을 갖는다.

[참고]

O 



 



  

  

수학 영역 (나형)