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정답 및 해설Ⅶ. 입체도형
청담초등학교 홍길동
수학
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1. 어떤 정다면체의 꼭짓점의 개수를 v 개, 모서리의 개수 를 e 개, 면의 개수를 f 개라고 할 때, 5 f = 2e , 3v = 2e 인 관계가 성립한다. 이때, 이 정다면체의 이름 을 말하여라.
(답) 정십이면체
(풀이) 5f = 2e 에서 f = 2 5 e , 3v = 2e 에서 v = 2
3 e 이므로 v -e + f = 2 에 f = 2
5 e , v = 2
3 e 를 각각 대입하면 2
3 e - e + 2
5 e = 2 , 1
15 e = 2 ∴ e = 30 이때, f = 2
5 e = 2
5 ×30 = 12
따라서 면의 개수가 12 개인 정다면체이므로 정십이면 체이다.
2. 대각선의 개수가 35 개인 다각형을 밑면으로 하는 각기 둥의 꼭짓점의 개수, 모서리의 개수, 면의 개수를 각각
v , e , f 라 할 때, v + e +f 의 값을 구하여라.
(답) 62
(풀이) 대각선의 개수가 35 개인 다각형을 n 각형이라 하면 n ( n- 3)
2 = 35 에서
n ( n- 3) = 70 = 10×7 ∴ n = 10 따라서 밑면이 십각형이므로 십각기둥이다.
십각기둥의 꼭짓점의 개수는 10×2 = 20 (개) ∴ v = 20 십각기둥의 모서리의 개수는
10×3 = 30 (개) ∴ e = 30 십각기둥의 면의 개수는
10 + 2 = 12 (개) ∴ f = 12 v + e + f = 20 + 30 + 12 = 62
3. 다음 조건을 모두 만족하는 입체도형의 꼭짓점의 개수를 구하여라.
(가) 두 밑면이 평행하고 합동이다.
(나) 옆면의 모양은 직사각형이다.
(다) 십이면체이다.
(답) 20 개
(풀이) (가), (나)에서 각기둥이므로 구하는 각기둥을 n 각기둥이라 하면 (다)에서
n+ 2 = 12 ∴ n = 10
따라서 십각기둥의 꼭짓점의 개수는 10×2 = 20 (개)
4. 모서리의 개수가 15 개인 각기둥의 면의 개수와 꼭짓점의 개수를 각각 a 개, b 개라 할 때, b-a 의 값을 구하여라.
(답) 3
(풀이) 주어진 각기둥을 n 각기둥이라 하면 3n = 15 ∴ n = 5
즉, 주어진 각기둥은 오각기둥이므로 a = 5+ 2 = 7 , b = 5×2 = 10
∴ b -a = 10- 7 = 3
5. 정사면체의 각 면의 중심을 꼭짓점으로 하여 만든 입체 도형의 한 꼭짓점에 모인 면의 개수를 구하여라.
(답) 3 개
(풀이) 정사면체의 면의 개수만큼 꼭짓점이 생기므로 꼭 짓점의 개수가 4 개인 정사면체가 된다.
따라서 정사면체의 한 꼭짓점에 모인 면의 개수는 3 개 이다.
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6. 다음 중 면의 개수가 가장 많은 것은?
① 사각뿔 ② 육각기둥 ③ 오각뿔대
④ 칠각뿔 ⑤ 팔각뿔대
(답) ⑤
(풀이) 면의 개수는 다음과 같다.
① 5 개 ② 8 개 ③ 7 개 ④ 8 개 ⑤ 10 개
7. 각 면의 모양이 정사각형인 정다면체의 꼭짓점의 개수를 a 개, 모서리의 개수를 b 개, 면의 개수를 c 개라 할 때, a +b+ c 의 값은?
① 14 ② 26 ③ 38
④ 50 ⑤ 62
(답) ②
(풀이) 정육면체이므로 a = 8 , b = 12 , c = 6
∴ a + b +c = 8 +12 + 6 = 26
8. 다음 그림은 정육면체의 전개도이다. 마주 보는 두 면에 적힌 수의 합이 7 일 때, a + b-c 의 값을 구하여라.
(답) 5
(풀이) a 와 마주 보는 면에 적힌 수는 1 이므로 a = 7 -1 = 6
b 와 마주 보는 면에 적힌 수는 3 이므로 b = 7 - 3 = 4
c 와 마주 보는 면에 적힌 수는 2 이므로 c = 7 - 2 = 5
∴ a + b- c = 6 +4 -5 = 5
9. 구각뿔의 꼭짓점, 모서리, 면의 개수를 각각 a 개, b 개, c 개라고 할 때, a+b +c 의 값을 구하여라.
(답) 38
(풀이) a = 9 +1 = 10 b = 2×9 = 18
c = 9 + 1 = 10
∴ a +b +c = 38
10. 면의 개수가 9 개이고 옆면의 모양이 모두 삼각형인 입 체도형의 이름을 말하여라.
(답) 팔각뿔
