• 검색 결과가 없습니다.

AC  AE 

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "AC  AE "

Copied!
52
0
0

로드 중.... (전체 텍스트 보기)

전체 글

(1)

1. 공간도형

1 위치 관계

공간도형의 위치 관계 01

1.1.사면체 ABCD 의 면 ABC, ACD 의 무게중심을 각각 P , Q 라고 하 자. <보기>에서 두 직선이 꼬인 위치에 있는 것을 모두 고르면?

[3점][2004(가) 9월/평가원 9]

ㄱ. 직선 CD 와 직선 BQ ㄴ. 직선 AD 와 직선 BC ㄷ. 직선 PQ 와 직선 BD

< 보 기 >

① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

2.2.정사면체 ABCD 에서 두 모서리 AC , AD 의 중점을 각각 M , N 이라 하자. 직선 BM 과 직선 CN 이 이루는 예각의 크기를  라 할 때, cos   

 이다.    의 값을 구하시오. (단,  와  는 서로소인 자연 수이다.)

[4점][2011(가) 10월/교육청 30]

3.3.정각기둥에서 밑면의 한 모서리와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수 를   이라 하자. 예를 들어    ,     이다.

정삼각기둥 정사각기둥 이때,

  



  의 값을 구하시오.

[4점][2007(가) 10월/교육청 20]

4.4.그림은 AC  AE  BE 이고

∠DAC  ∠CAB  °인 사면체의 전개도이다.

이 전개도로 사면체를 만들 때, 세 점 D E F 가 합쳐지는 점을 P 라 하자. 사면체 PABC에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. CP 

 ⋅ BP

ㄴ. 직선 AB와 직선 CP 는 꼬인 위치에 있다.

ㄷ. 선분 AB의 중점을 M 이라 할 때, 직선 PM 과 직선 BC는 서 로 수직이다.

[ 보 기 ]

[4점][2011(가) 9월/평가원 15]

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

(2)

5.5.그림과 같이 한 변의 길이가  인 정 육면체 ABCD  EFGH 에 내접하는 구 가 있다. 변 AE, CG 를    으로 내분 하는 점을 각각 P , R라 하고 변 BF 의 중점을 Q라 한다. 네 점 D , P , Q , R를 지나는 평면으로 내접하는 구를 자를 때 생기는 원의 넓이는?

[4점][2005(가) 10월/교육청 15]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

6.6.그림과 같이 반지름의 길이가 모두

 이고 높이가 서로 다른 세 원기둥이 서로 외접하며 한 평면  위에 놓여 있다. 평면  와 만나지 않는 세 원기둥의 밑면의 중심을 각각 P Q R라 할 때, 삼각형 QPR 는 이등변삼각형이고, 평면 QPR와 평면  가 이루는 각의 크기는 °

이다. 세 원기둥의 높이를 각각 , ,  라 할 때,    의 값을 구하시 오. (단, << )

[4점][2009(가) /수능 24]

P Q

R

7.7.그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가  인 원기둥과 밑면의 반지름의 길이가  이고 높이가  인 원뿔이 평면  위에 놓여 있고, 원뿔의 밑 면의 둘레가 원기둥의 밑면의 둘레에 내접한다. 평면  와 만나는 원기 둥의 밑면의 중심을 O , 원뿔의 꼭짓점을 A 라 하자. 중심이 B이고 반 지름의 길이가  인 구  가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 구 S 는 원기둥과 원뿔에 모두 접한다.

(나) 두 점 A , B의 평면  위로의 정사영이 각각 A′, B′일 때,

∠A′OB′   이다.

직선 AB와 평면  가 이루는 예각의 크기를  라 할 때,

tan    이다.   의 값을 구하시오. (단, 원뿔의 밑면의 중심과 점 A′은 일치한다.)

[4점][2012(가) /수능 29]

8.8.좌표공간에 한 직선 위에 있지 않은 세 점 A , B, C가 있다. 다음 조건을 만족시키는 평면 에 대하여 각 점 A , B, C와 평면  사이의 거리 중에서 가장 작은 값을 라 하자.

(가) 평면 는 선분 AC와 만나고, 선분 BC와도 만난다.

(나) 평면 는 선분 AB와 만나지 않는다.

위의 조건을 만족시키는 평면  중에서 가 최대가 되는 평면을  라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[4점][2018학년(가) 수능 20]

< 보 기 >

(3)

삼수선의 정리 02

9.9.그림과 같이 좌표공간에서 서로 수직인 두 평면   가 있다. 평면

 위의 삼각형 ABC와 평면  위의 삼각형 BDC에 대하여

∠CAB  ∠DCB 

이고 AC   BC CD  이다. 점 A 와

직선 BD 사이의 거리를 라 할 때, 의 값을 구하시오.

[4점][2016(가) 8월/영남권 27]

10.10.그림과 같이 평면  위에 있는 서로 다른 두 점 A B에 대하여 평면  위에 있지 않은 점 P를 AP , AB⊥AP 가 되도록 잡는다.

점 P에서 평면 에 내린 수선의 발을 H 라 할 때, PH  ,

BH  

 이다. 선분 AB의 길이는?

[3점][2016(가) 10월/경남 11]

 ②  ③



④ 

 ⑤



11.11.좌표공간의 점 P     에서  평면에 내린 수선의 발을 H 라 하자.  평면 위의 한 직선  과 점 P 사이의 거리가 

 일 때, 점 H 와 직선  사이의 거리는?

[3점][2014(B) 10월/교육청 9]

①  ②

 ③ 

 ⑤ 

12.12.평면  위에 ∠A  ° 이고 BC  인 직각이등변삼각형 ABC 가 있다. 평면  밖의 한 점 P에서 이 평면까지의 거리가 이고, 점 P 에서 평면  에 내린 수선의 발이 점 A 일 때, 점 P 에서 직선 BC 까지 의 거리는?

[3점][2010(가) /수능 5]

① 

 ②  ③ 

④ 

 ⑤ 

13.13.평면  위에 있는 서로 다른 두 점 A , B를 지나는 직선을 이라 하고, 평면  위에 있지 않은 점 P 에서 평면 에 내린 수선의 발을 H 라 하자. AB  P A  P B  , P H  일 때, 점 H 와 직선  사이의 거리는?

[3점][2015(B) /수능 12]

 ② 

 ③



 ⑤



(4)

14.14.그림과 같이 AB  AC  , BC  

 인 삼각형 ABC가 평 면 위에 있고, 점 P      의 평면 위로의 정사영 Q는 삼각형 ABC의 무게중심과 일치한다. 점 P에서 직선 BC까지의 거리는?

[4점][2015(B) 7월/교육청 15]

A

C B

Q

평면

P

① 

 ②

 ③ 

 ⑤



15.15.중심이 O 이고 반지름의 길이가  인 구와, 점 O 로부터 같은 거리 에 있고 서로 수직인 두 평면  ,  가 있다. 그림과 같이 두 평면 ,

 의 교선이 구와 만나는 점을 각각 A , B 라 하자.

삼각형 OAB 가 정삼각형일 때, 점 O 와 평면  사이의 거리는?

[4점][2008(가) 삼사 12]

O

B

16.16.그림과 같이 한 모서리의 길이가 인 정육면체 ABCD  EFGH 가 있다. 모서리 AB를   로 내분하는 점을 L , 모서리 HG의 중점 을 M 이라 하자. 점 M 에서 선분 LD 에 내린 수선의 발을 N 이라 할 때, 선분 MN 의 길이는?

[4점][2013(B) 10월/교육청 18]

① 

 ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 



17.17.좌표공간에 서로 수직인 두 평면  와  가 있다. 평면  위의 두 점 A , B 에 대하여 AB  

 이고 직선 AB 는 평면  에 평행하다.

점 A 와 평면  사이의 거리가  이고, 평면  위의 점 P 와 평면  사이의 거리는  일 때, 삼각형 PAB 의 넓이를 구하시오.

[4점][2016(B) /수능 27]

(5)

18.18.AB   ∠ACB  ˚ 인 삼각형 ABC 에 대하여 점 C 를 지나고 평면 ABC 에 수직인 직선 위에 CD   인 점 D 가 있다. 삼각형 ABD 의 넓이가  일 때, 삼각형 ABC 의 넓이를 구하시오.

[3점][2017(가) 9월/평가원 25]

19.19.공간에서 평면  위에 세 변의 길이가 AB  AC    BC  

인 삼각형 ABC 가 있다. 점 A 를 지나고 평면  에 수직인 직선  위 의 점 D 에 대하여 AD   이 되도록 점 D 를 잡을 때, ∆DBC 의 넓 이를 구하시오.

[4점][2006(가) 10월/교육청 24]

20.20.사면체 ABCD 에서 변AB 의 길이는 , 삼각형 ABC 의 넓이는

 , 삼각형 ABD 의 넓이는  이 다. 삼각형 ABC 와 삼각형 ABD 가 이루는 각의 크기가 ゚일 때, 사 면체 ABCD 의 부피를 구하시오.

[3점][2003(자) 9월/평가원 28]

21.21.길이가  인 선분 AB 를 지름으로 하는 구 위에 점 C 가 있다. 점 A 를 지나고 직선 AB 에 수직인 직선  이 직선 BC 에 수직이다. 직선

 위의 점 D 에 대하여 BD  , CD   일 때, 선분 AC 의 길이는?

(단, 점 C 는 선분 AB 위에 있지 않다.)

[4점][2016(가) 10월/교육청 15]

 ②  ③

 ⑤

22.22.평면  위에 거리가  인 두 점 A , C 와 중심이 C 이고 반지름의 길이가  인 원이 있다. 점 A 에서 이 원에 그은 접선의 접점을 B 라 하 자. 점 B 를 지나고 평면  와 수직인 직선 위에 BP   가 되는 점을 P 라 할 때, 점 C 와 직선 AP 사이의 거리는?

[4점][2012(가) 10월/교육청 18]

 ②

 ③ 

④  ⑤



23.23.그림과 같이 직선 을 교선으로 하고 이루는 각의 크기가 

인 두 평면 와 가 있고, 평면  위의 점 A 와 평면  위의 점 B가 있다.

두 점 A B에서 직선 에 내린 수선의 발을 각각 C D라 하자.

AB   AD 

 이고 직선 AB와 평면 가 이루는 각의 크기가



일 때, 사면체 ABCD 의 부피는   

 이다.   의 값을 구 하시오. (단,  는 유리수이다.)

[4점][2016(가) 9월/평가원 29]

(6)

직선과 직선, 직선과 평면이 이루는 각 03

24.24.정팔면체 ABCDEF 에서 두 모서리 AC 와 DE 가 이루는 각의 크 기를  라 할 때, cos 의 값은?

단  ≤  ≤ 

[3점][2012(가) 10월/교육청 7]

①  ② 

 ③ 

④ 

⑤ 

25.25.그림과 같이 중심이  이고 반지름의 길이가 4인 반구의 밑면의 둘레 위에 두 점    가 있고, 반구 위에 점  가 있다.

점  에서 밑면에 내린 수선의 발 H 는 선분 OB 위에 있고,

26.26.그림과 같이 AB  AD   AE  인 직육면체 ABCD  EFGH 에서 평면 AFGD 와 평면 BEG 의 교선을  이라 하자. 직선  과 평면 EFGH 가 이루는 예각의 크기를  라 할 때, cos 의 값은?

[4점][2013(B) 7월/교육청 19]

① 

 ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 

27.27.그림과 같이 AB  BF   AD   인 직육면체 ABCD  EFGH 에서 대각선 AG 가 세 면 ABCD  BFGC  ABFE 와 이루는 각의 크기를 각각  ,  ,  라고 할 때, cos  cos  cos 의 값은?

[3점][2006(가) 10월/교육청 7]

(7)

두 평면이 이루는 이면각의 크기 04

28.28.사면체 ABCD 에서 모서리 CD 의 길이는  , 면 ACD 의 넓이는

 이고, 면 BCD 와 면 ACD 가 이루는 각의 크기는 ° 이다. 점 A 에서 평면 BCD 에 내린 수선의 발을 H 라 할 때, 선분 AH 의 길이는?

[3점][2009(가) 9월/평가원 5]

① 

 ②  ③ 

④ 

 ⑤ 

29.29.그림과 같이 사면체 ABCD의 각 모서리의 길이는 AB  AC  ,

BD  CD  , BC  ,

AD  이다. 평면 ABC와 평면 BCD 가 이루는 이면각의 크기를  라 할 때, cos 의 값은? (단,  는 예각)

[4점][2005(가) 10월/교육청 13]

① 

② 

③ 

④ 



⑤ 



30.30.한 모서리의 길이가  인 정사면체 ABCD 에서 선분 AD 를    으로 내분하는 점을 P ,    로 내분하는 점을 Q 라 하자. 두 평면 PBC 와 QBC 가 이루는 예각의 크기를  라 할 때, cos   

 이다.

   의 값을 구하시오. (단,  와  는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2015(B) 10월/교육청 26]

31.31.그림의 정사면체에서 모서리 OA 를    로 내분하는 점을 P 라 하고, 모서리 OB 와 OC 를    로 내분하는 점을 각각 Q 와 R 라 하 자. ∆PQR 와 ∆ABC 가 이루는 각의 크기를  라 할 때, cos  의 값 은?

[4점][2003예비(가) 12월/평가원 11]

① 

 ② 

③ 

④ 

⑤ 

(8)

32.32.그림과 같이 한 모서리의 길이가  인 정사면체 ABCD 와 모든 모 서리의 길이가  인 사각뿔 G  EDCF 가 있다. 네 점 B, C, D, G 가 한 평면 위에 있을 때, 평면 ACD 와 평면 EDCF 가 이루는 예각의 크 기를  라 하자. cos  의 값은?

[4점][2017(가) 10월/교육청 15]

① 

② 

③ 

④ 

⑤ 

33.33.정육면체 ABCD  EFGH 에서 평면 AFG 와 평면 AGH 가 이루 는 각의 크기를 라 할 때, cos 의 값은?

[3점][2007(가) /수능(홀) 6]

E

여러 가지 방법으로 이면각의 크기 구하기 05

34.34.그림과 같은 정육면체 ABCD  EFGH 에서 네 모서리 AD

CD EF EH 의 중점을 각각 P Q R S 라 하고, 두 선분 RS 와 EG의 교점을 M 이라 하자. 평면 PMQ와 평면 EFGH 가 이루는 예각 의 크기를 라 할 때, tan  sec 의 값을 구하여라.

[4점][2013(가) 삼사 28]

35.35.그림은 어떤 사면체의 전개도이다. 삼각형 BEC는 한 변의 길이가

인 정삼각형이고, ∠ABC  ∠CFA  °, AC  이다. 이 전개도 로 사면체를 만들 때, 두 면 ACF , ABC가 이루는 예각의 크기를  라 하자. cos 의 값은?

[4점][2015(B) 삼사 20]

(9)

36.36.같은 평면 위에 있지 않고 서로 평행한 세 직선 , , 이 있다.

직선  위의 두 점  , , 직선  위의 점 , 직선  위의 점  가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) AB  

 , CD   (나) AC ⊥, AC   (다) BD ⊥, BD  

두 직선 , 을 포함하는 평면과 세 점 A , C, D를 포함하는 평면이 이루는 각의 크기를  라 할 때, tan 의 값을 구하시오.

단     

[4점][2010(가) 9월/평가원 25]

37.37.그림과 같이 AB   AD  인 직사각형 ABCD 모양의 종이가 있다. 선분 AB 위의 점 E와 선분 DC 위의 점 F 를 연결하는 선을 접 는 선으로 하여, 점 B의 평면 AEFD 위로의 정사영이 점 D 가 되도록 종이를 접었다. AE  일 때, 두 평면 AEFD와 EFCB가 이루는 각의 크기가  이다.  cos 의 값을 구하시오. (단,     

이고, 종이의 두께는 고려하지 않는다.)

[4점][2013(가) /수능 28]

38.38.반지름의 길이가  인 구의 중심 O 를 지나는 평면을  라 하고, 평면  와 이루는 각이  인 평면을  라 하자. 평면  와 구가 만나 서 생기는 원을 , 평면  와 구가 만나서 생기는 원을 라 하자.

원 의 중심 A 와 평면  사이의 거리가 

일 때, 그림과 같이 다음 조건을 만족하도록 원  위에 점 P , 원  위에 두 점 Q, R 를 잡는다.

(가) ∠QAR  °

(나) 직선 OP 와 직선 AQ 는 서로 평행이다.

평면 PQR 와 평면 AQPO 가 이루는 각을  라 할 때, cos  

 이 다.    의 값을 구하시오. (단,  와  는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2012예비(B) 5월/평가원 30]

(10)

2 정사영

정사영의 길이 01

정사영을 이용한 타원의 넓이 구하기 02

39.39.밑면의 지름의 길이가  cm, 높이가  cm인 원기둥 모양의 컵에 높이가  cm만큼 물이 채워져 있다. 이 컵의 물이 쏟아지기 직전까지 컵을 최대로 기울였을 때, 수면의 넓이는 몇 cm인가?

[3점][2003(자) 10월/교육청 9]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

두 평면이 이루는 각이 주어지지 않을 때, 정사영의 넓이 03

40.40.그림과 같이 한 변의 길이가  인 정사각형을 밑면으로 하고

OA  OB OC OD  

 인 정사각뿔 O  ABCD 가 있다. 두 선 분 OA , AB 의 중점을 각각 P , Q 라 할 때, 삼각형 OPQ 의 평면 OCD 위로의 정사영의 넓이는?

[4점][2017(가) 7월/교육청 14]

O

A

B

C D

P

Q

① 

 ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 

41.41.다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가  인 정육면체가 있다. CG 의 중점을 I 라 할 때, △FGH 의 △FIH 위로의 정사영의 넓이는?

[3점][2002(자) 7월/부산 12]

A

H G

I

D C

B

(11)

42.42.그림과 같이 좌표공간에 세 점 A    , B   , C   이 있다. 선분 AB 위의 한 점 P 에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 H 라 할 때, P H   이다. 삼각형 PBH 의  평면 위로의 정사영의 넓이는?

[4점][2013(B) 10월/교육청 15]

① 

 ② 

 ③ 



④  ⑤ 



43.43.그림과 같이 한 변의 길이가  인 정육면체 ABCD  EFGH 에 대 하여 모서리 DH 의 중점을 M 이라 하자.

삼각형 EGM 의 세 점 A , F , C 를 포함하는 평면 위로의 정사영의 넓 이가  일 때, 의 값을 구하시오.

[4점][2011(가) 10월/대전 26]

44.44.그림과 같이 정사면체 ABCD 의 모서리 CD 를    로 내분하는 점을 P 라 하자. 삼각형 ABP 와 삼각형 BCD 가 이루는 각의 크기를  라 할 때, cos 의 값은?

단,     

[4점][2012(가) 7월/교육청 21]

A

D

C B

P

① 

② 

③ 

④ 

⑤ 

45.45.그림과 같이 한 변의 길이가  인 정팔면체 ABCDEF 가 있다. 두 삼각형 ABC , CBF 의 평면 BEF 위로의 정사영의 넓이를 각각 ,

라 할 때,  의 값은?

[4점][2015(B) 10월/교육청 19]

① 

 ③ 

(12)

46.46.그림과 같이 한 모서리의 길이가 인 정육면체 ABCD  EFGH 의 내부에 밑면의 반지름의 길이가 인 원기둥이 있다. 원기둥의 밑면의 중심은 두 정사각형 ABCD , EFGH 의 두 대각선의 교점과 각각 일치 한다.

이 원기둥이 세 점 A F H 를 지나는 평면에 의하여 잘린 단면의 넓이 는?

[4점][2007(가) 10월/교육청 7]

① 

 ②

  ③ 

④ 

 ⑤ 

47.47.그림과 같이 AB   BC   cos∠ABC  

인 사면체 ABCD 에 대하여 점 A 의 평면 BCD 위로의 정사영을 P 라 하고 점 A 에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 Q 라 하자.

cos∠AQP   

일 때, 삼각형 BCP의 넓이는  이다. 의 값을 구하시오.

[4점][2015(B) 9월/평가원 26]

48.48.그림과 같이 평면 와 한 점 A 에서 만나는 정삼각형 ABC가 있 다. 두 점 B C의 평면  위로의 정사영을 각각 B′ C′이라 하자.

AB′

  B′C′  C′A 

 일 때, 정삼각형 ABC의 넓이는?

[4점][2014(B) 삼사 19]

 ② 

 

③ 

 

④ 

  

⑤ 

  

49.49.한 변의 길이가 인 정육면체 ABCD  EFGH 와 밑면의 반지름 의 길이가

 이고 높이가 인 원기둥이 있다. 그림과 같이 이 원기둥 의 밑면이 평면 ABCD에 포함되고 사각형 ABCD 의 두 대각선의 교점 과 원기둥의 밑면의 중심이 일치하도록 하였다. 평면 ABCD 에 포함되 어 있는 원기둥의 밑면을 , 다른 밑면을 라 하자.

평면 AEGC가 밑면 와 만나서 생기는 선분을 MN , 평면 BFHD 가 밑면 와 만나서 생기는 선분을 P Q 라 할 때, 삼각형 MPQ 의 평면 DEG 위로의 정사영의 넓이는 

 이다.  의 값을 구하시오.

(단,  ,  는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2014(B) 7월/교육청 30]

A

B

D

C Q P

M N

(13)

50.50.그림과 같이 평면  위에 점 A 가 있고, 로부터의 거리가 각각

 인 두 점 B C가 있다. 선분 AC를   로 내분하는 점 P 에 대하 여 BP  이다. 삼각형 ABC의 넓이가 9일 때, 삼각형 ABC의 평면

 위로의 정사영의 넓이를 라 하자. 의 값을 구하시오.

[4점][2011(가) 9월/평가원 29]

두 평면의 교선을 알 때, 정사영의 넓이를 이용한 이면각 04

51.51.오른쪽 그림과 같이 정육면체 위에 정사각뿔을 올려놓은 도형이 있다. 이 도형의 모든 모서리의 길이가 이고, 면 PAB와 면 AEFB가 이루는 각의 크기가  일 때, cos의 값은?

단, <<

[3점][2004(자) /수능(홀) 7]

①  

②  

③  

④  

⑤  

52.52.그림과 같이 평면  위에 넓이가  인 삼각형 ABC 가 있고, 평 면  위에 넓이가  인 삼각형 ABD 가 있다. 선분 BC 를    로 내 분하는 점을 P 라 하고 선분 AP 를    로 내분하는 점을 Q 라 하자.

점 D 에서 평면  에 내린 수선의 발을 H 라 하면 점 Q 는 선분 BH 의 중점이다. 두 평면 ,  가 이루는 각을  라 할 때, cos   

 이다.

   의 값을 구하시오. (단,  와  는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2016(가) 10월/교육청 27]

(14)

53.53.그림과 같이 반지름의 길이가  인 구  와 서로 다른 두 직선  ,

 이 있다. 구  와 직선  이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 A , B , 구  와 직선  이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 P , Q 라 하자. 삼 각형 APQ 는 한 변의 길이가 

 인 정삼각형이고 AB  

 ,

∠ABQ  

일 때 평면 APB 와 평면 APQ 가 이루는 각의 크기  에

대하여  cos 의 값을 구하시오.

[4점][2016(가) 7월/교육청 29]

 A

B

P Q

두 평면의 교선을 알 수 없을 때, 정사영 넓이를 이용한 이면각 05

54.54.오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길 이가  인 정육면체 ABCD  EFGH 의 세 모서리 AD BC FG 위에

D P  BQ  G R  인 세 점 P Q R이 있다. 평면 PQR와 평면 CGHD가 이루 는 각의 크기를  라 할 때, cos 의 값 은?

단, << 

[3점][2005(가) /수능(홀) 7]

① 



② 



③ 



④ 



⑤ 



(15)

복잡한 도형의 정사영의 넓이 06

55.55.그림과 같이 반지름의 길이가  인 반구가 평평한 지면 위에 떠 있 다. 반구의 밑면이 지면과 평행하고 태양광선이 지면과 °의 각을 이 룰 때, 지면에 나타나는 반구의 그림자의 넓이는? (단, 태양광선은 평행 하게 비춘다.)

[4점][2007(가) 삼사 22]

지면

 °

 태양광선

①  

  ②   

  ③  

 

④   

  ⑤   

 

56.56.그림과 같이 지면과 이루는 각의 크기가  인 평평한 유리판 위에 반구가 엎어져 있다. 햇빛이 유리판에 수직인 방향으로 비출 때 지면 위 에 생기는 반구의 그림자의 넓이를 , 햇빛이 유리판과 평행한 방향으 로 비출 때 지면 위에 생기는 반구의 그림자의 넓이를 라 하자.

     일 때, tan  의 값은? (단,  는 예각이다.)

[4점][2011(가) 삼사 14]

↙↙

평행한 빛

지면 

↘ ↘↘

수직인 빛

유리판

① 

 ② 

③ 

④ 

 ⑤ 

57.57.그림과 같이 평면  위에 ∠A  

, AB AC 

 인 삼각형 ABC가 있다. 중심이 점 O 이고 반지름의 길이가 인 구가 평면 와 점 A 에서 접한다. 세 직선 OA , OB, OC와 구의 교점 중 평면 까지 의 거리가 보다 큰 점을 각각 D, E, F 라 하자. 삼각형 DEF 의 평면 OBC 위로의 정사영의 넓이를  라 할 때, 의 값을 구하시오.

[4점][2015(B) 7월/교육청 30]

A

B

C O

D F E

58.58.반지름의 길이가 , 중심이 O인 원을 밑면으로 하고 높이가 

 인 원뿔이 평면  위에 놓여 있다. 그림과 같이 태양광선이 평면  에 수직인 방향으로 비출 때, 원뿔의 밑면에 의해 평면  에 생기는 그림자 의 넓이는? (단, 원뿔의 한 모선이 평면  에 포함된다.)

[3점][2013(B) 7월/교육청 13]

① 

 ② 

 ③ 

④ 

  ⑤ 

(16)

부채꼴과 이등변삼각형으로 나누어진 단면의 정사영의 넓이 07

59.59.반지름의 길이가 인 반구가 평면  위에 놓여 있다. 반구와 평면

 가 만나서 생기는 원의 중심을 O 라 하자. 그림과 같이 중심 O 로부터 거리가 

 이고 평면  와 °의 각을 이루는 평면으로 반구를 자를 때, 반구에 나타나는 단면의 평면  위로의 정사영의 넓이는

    이다.    의 값을 구하시오. (단, ,  는 자연수이다.) [4점][2007(가) 9월/평가원 24]

60.60.서로 수직인 두 평면   의 교선을  이라 하자. 반지름의 길이가

 인 원판이 두 평면   와 각각 한 점에서 만나고 교선  에 평행하 게 놓여 있다. 태양광선이 평면  와 °의 각을 이루면서 원판의 면에 수직으로 비출 때, 그림과 같이 평면  에 나타나는 원판의 그림자의 넓 이를  라 하자.  의 값을   

  라 할 때,    의 값을 구하시 오. (단,   는 자연수이고 원판의 두께는 무시한다.)

[4점][2006(가) 9월/평가원 25]

61.61.그림과 같이 반지름의 길이가  인 구 모양의 공이 공중에 있다. 벽 면과 지면은 서로 수직이고, 태양광선이 지면과 크기가  인 각을 이루 면서 공을 비추고 있다. 태양광선과 평행하고 공의 중심을 지나는 직선 이 벽면과 지면의 교선  과 수직으로 만난다. 벽면에 생긴 공의 그림자 위의 점에서 교선  까지 거리의 최댓값을  라하고, 지면에 생기는 공의 그림자 위의 점에서 교선  까지 거리의 최댓값을  라 하자. 옳은 것만 을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[4점][2009(가) 9월/평가원 15]

ㄱ. 그림자와 교선  의 공통부분의 길이는  이다.

ㄴ.   ° 이면    이다.

ㄷ. 

  

 

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

(17)

62.62.한 변의 길이가 인 정사각형을 밑면으로 하고 높이가   

 인 직육면체 ABCD  EFGH 가 있다. 그림과 같이 이 직육면체의 바닥에

∠EPF  °인 삼각기둥 EFP  HGQ 가 놓여있고 그 위에 구를 삼각 기둥과 한 점에서 만나도록 올려놓았더니 이 구가 밑면 ABCD 와 직육 면체의 네 옆면에 모두 접하였다. 태양광선이 밑면과 수직인 방향으로 구를 비출 때, 삼각기둥의 두 옆면 PFGQ , EPQH 에 생기는 구의 그림 자의 넓이를 각각   라 하자.  

 의 값은?

[4점][2016(B) 삼사 20]

① 



 ② 

  ③ 



④ 



 ⑤ 

 

태양빛이 수직으로 만나서 생기는 그림자인 사사영의 넓이 08

63.63.그림과 같이 태양광선이 지면과 °의 각을 이루면서 비추고 있다.

한 변의 길이가 인 정사각형의 중앙에 반지름의 길이가 인 원 모양의 구멍이 뚫려 있는 판이 있다. 이 판은 지면과 수직으로 서 있고 태양광 선과 °의 각을 이루고 있다. 판의 밑변을 지면에 고정하고 판을 그림 자 쪽으로 기울일 때 생기는 그림자의 최대 넓이를  라 하자.  의 값

을 

   

라 할 때,    의 값을 구하시오. (단, ,  는 정수 이고 판의 두께는 무시한다.)

[4점][2008(가) 9월/평가원 25]

64.64.그림과 같이 중심 사이의 거리가

 이고 반지름의 길이가 인 두 원판과 평면 가 있다. 각 원판의 중심을 지나는 직선 은 두 원판의 면과 각각 수직이고, 평면 와 이루는 각의 크기가  이다. 태양광선 이 그림과 같이 평면 에 수직인 방향으로 비출 때, 두 원판에 의해 평 면 에 생기는 그림자의 넓이는? (단, 원판의 두께는 무시한다.)

[4점][2011(가) /수능 11]

① 

  

 ② 

  

③ 

  

 ④ 

  

⑤ 

  

(18)

정사면체의 활용 09

65.65.그림과 같이 검은 종이로 만든 정사면체 ABCD 에 면 ABC 와 수 직인 방향으로 빛을 비추고 있다. 빛이 밑면 BCD 의 위에만 비치도록 면 ABC에 정사각형 모양의 구멍을 뚫었다. 이 정사각형의 한 변의 길 이가 2일 때, 빛이 비추어져 밑면에 생긴 부분의 넓이를 구하시오.

[2점][2001(자) 10월/교육청 26]

66.66.그림과 같이 직육면체

ABCDEFGH 와 한 변의 길이가  인 정사면체 PQRS 가 평면  위에 놓 여있다. 변 GH 와 변 RS 가 평행할 때, 삼각형 PRS 의 평면 CGHD 위로 의 정사영의 넓이는?

[3점][2003(자) 6월/평가원 15]

① 

② 

③ 

④ 

⑤ 

67.67.그림은 모든 모서리의 길이가  인 정삼각기둥 ABC  DEF 의 밑 면 ABC와 모든 모서리의 길이가  인 정사면체 OABC의 밑면 ABC 를 일치시켜 만든 도형을 나타낸 것이다. 두 모서리 OB, BE의 중점을 각각 M , N 이라 하고, 두 평면 MCA , NCA 가 이루는 각의 크기를  라 할 때, cos 의 값은?

[4점][2014(B) 10월/교육청 21]

① 

  

② 

 

③ 

 

④ 

 

⑤ 

 

68.68.한 변의 길이가 인 정사면체 OABC가 있다.

세 삼각형 ∆OAB ∆OBC ∆OCA 에 각각 내접하는 세 원의 평면 ABC 위로의 정사영을 각각 , , 이라 하자.

그림과 같이 세 도형 , , 으로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를

 라 할 때,   의 값을 구하시오.

[4점][2008(가) /수능(홀) 24]

(19)

69.69.중심이 O이고 반지름의 길이가 인 구에 내접하는 정사면체 ABCD 가 있다. 두 삼각형 BCD , ACD 의 무게중심을 각각 F , G 라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[4점][2008(가) 9월/평가원 12]

ㄱ. 직선 AF 와 직선 BG 는 꼬인 위치에 있다.

ㄴ. 삼각형 ABC의 넓이는 

보다 작다.

ㄷ. ∠AOG   일 때, cos  

 이다.

< 보 기 >

① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

(20)

2. 공간좌표

1 공간좌표

공간좌표의 이해 01

70.70.좌표공간의 두 점 A         , B        에 대하여 선분 AB 의 길이는?

[2점][2017(가) 7월/교육청 3]

① 

 ②

 ③ 

 ⑤



71.71.좌표공간의 두 점                  에 대하여 선분

 의 길이는?

[2점][2017(가) 10월/전북 3]

 ② 

 ③ 3

 ⑤



72.72.좌표공간에 두 점 A      , C      가 있다. 그림과 같이 각 면이  평면 또는  평면 또는  평면에 평행한 직육면체 ABBA DCCD들 만든다.

면 ABCD들 공유하고 CC  CC가 되도록 그림과 같이 직 육면체 ABBA DCCD을 만든다.

면 ABCD을 공유하고 CC  CC이 되도록 그림과 같이 직 육면체 ABBA DCCD들 만든다.

이와 같은 과정을 계속하여 직육면체

ABB  A   DCC  D  을 만들 때,  의 값이 한없이 커 지면 점 D은 점     에 한없이 가까워진다.  의 값을 구하시 오.

[3점][2007(가) 삼사 27]

A   

73.73.보트가 남쪽에서 북쪽으로  m /초의 등속도로 호수 위를 지나가 고 있다. 수면 위  m 의 높이에 동서로 놓인 다리 위를 자동차가 서쪽 에서 동쪽으로  m /초의 등속도로 달리고 있다.

아래 그림과 같이 지금 보트는 수면 위의 점 P 에서 남쪽  m , 자동차 는 다리 위의 점 Q 에서 서쪽  m 지점에 각각 위치해 있다. 보트와 자동차 사이의 거리가 최소가 될 때의 거리는? (단, 자동차와 보트의 크 기는 무시하고, 선분 PQ 는 보트와 자동차의 경로에 각각 수직이다.)

[1.5점][1996(자) 수능(홀) 27]

①  m ②  m ③  m

④  m ⑤  m

74.74.좌표공간에서 점 P   과 점 A    사이의 거리는 점 P 와 점 B    사이의 거리의 배이다. 양수  의 값은?

[2점][2011(가) /수능 3]

 ②

 ③

④  ⑤

(21)

76.76.좌표공간에 두 점        과        을 지나는 직선  이 있 다. 점        와 직선  사이의 거리가 5일 때, 의 값은?

[4점][2014(B) 9월/평가원 15]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

77.77.좌표공간에서 점 A   를  축에 대하여 대칭이동한 점을 B 라 하고, 점 A 를  평면에 대하여 대칭이동한 점을 C 라 하자. 세 점 A , B , C 를 지나는 원의 반지름의 길이는?

[3점][2011(가) 10월/교육청 13]

① 

 ②

 ③



 ⑤ 

78.78.좌표공간에서 두 점 A     , B

    을 지나는 직선  이 있다. 점 P

  

로부터 직선  에 이르는 거리는?

[3점][2005(가) 9월/평가원 8]

①  ②

④  ⑤

79.79.좌표공간에서 평면   과 평면   의 교선을  이라 하자. 점 P가 직선  위를 움직일 때, 선분 OP 의 길이의 최솟값은? (단, O는 원점이다.)

[3점][2008(가) /수능(홀) 7]

① 

 ②

 ③ 

 ⑤ 

80.80.좌표공간에 점 A    가 있고,  평면 위에 타원



   이 있다. 타원 위의 점 P 에 대하여 AP 의 최댓값을 구하 시오.

[3점][2012(가) /수능 24]

81.81.좌표공간에 두 점 O   , A   이 있고, 점 P    

는 ∆OAP 의 넓이가  가 되도록 움직인다.  ≤  ≤ 일 때, 점 P 의 자취가 만드는 도형을 평면 위에 펼쳤을 때의 넓이는?

[1.5점][1995(자) 수능(홀) 15]

①   ②   ③  

④   ⑤ 

(22)

82.82.한 모서리의 길이가  인 정육면체 ABCD  EFGH 를 다음 두 조 건을 만족시키도록 좌표공간에 놓는다.

(가) 꼭짓점 A 는 원점에 놓이도록 한다.

(나) 꼭짓점 G 는  축 위에 놓이도록 한다.

위의 조건을 만족시키는 상태에서 이 정육면체를  축의 둘레로 회전시 킬 때, 점 B 가 그리는 도형은 점    을 중심으로 하고 반지름의 길이가  인 원이다. 이때,   의 곱   의 값은? (단, 점 G 의  좌표 는 양수이다.)

[4점][2011(가) /삼사 19]

A B

D C

E H

F G

① 

 ② 

③ 

④ 

⑤ 

83.83.좌표공간에  개의 점 A      , B    , C    , D     , E     을 꼭짓점으로 하는 사각뿔 A  BCDE 가 있다.      일 때, 이 사각뿔의 부피가 최대가 되도록 하는 실수  의 값은?

[4점][2011(가) /삼사 18]

① 

 ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 



85.85.좌표공간에서 두 점 A    , B     를 지름의 양 끝 점으로 하는 구  가 있다. 구  위의 한 점 C   에 대하여 삼각 형 ABC 의 넓이는?

[3점][2017(가) 10월/교육청 6]

 ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 

86.86.좌표공간에서  축을 포함하는 평면  에 대하여  평면 위의 원

      의 평면  위로의 정사영의 넓이와  평면 위의 원        의 평면  위로의 정사영의 넓이가  로 같을 때,  의 값은?

[4점][2013(B) 9월/평가원 19]

① 



 ② 



 ③ 



④ 



 ⑤ 



87.87.[그림 ]과 같이 한 변의 길이가  인 정육면체 모양의 블록  개 를 직육면체 모양으로 쌓은 후, 가운데 블록을 없애고 [그림 ]와 같이 반지름의 길이가

 인 구를 정사각형 ABCD 의 네 변에 모두 접하도 록 올려놓았다.

구의 중심으로부터 꼭짓점 P 까지의 거리를  이라 할 때, 의 값은?

[4점][2011(가) 10월/대전 19]

(23)

88.88.좌표공간에 네 점 A    , B   , C   ,

D    이 있다. 그림과 같이 점 P 는 원점 O 에서 출발하여 사각형 OABC 의 둘레를 O→A→B→C→O→A→B→ ⋯ 의 방향으로 움직이 며, 점 Q 는 원점 O 에서 출발하여 삼각형 OAD 의 둘레를

O→A→D→O→A→D→ ⋯ 의 방향으로 움직인다.

두 점 P , Q 가 원점 O 에서 동시에 출발하여 각각 매초  의 일정한 속 력으로 움직인다고 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것 은?

[4점][2010(가) /삼사 22]

O A   

B  

C  

D   

∙Q

P

ㄱ. 두 점 P , Q 가 출발 후 원점에서 다시 만나는 경우는 없다.

ㄴ. 출발 후  초가 되는 순간 두 점 P , Q 사이의 거리는 

이다.

ㄷ. 출발 후  초가 되는 순간 두 점 P , Q 사이의 거리는

 이다.

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ

89.89.오른쪽 그림과 같은 직원뿔 모양의 산 이 있다. A 지점을 출발하여 산을 한 바퀴 돌아 B 지점으로 가는 관광 열차의 궤도를 최단거리로 놓으면, 이 궤도는 처음에는 오 르막길이지만 나중에는 내리막길이 된다. 이 내리막길의 길이는?

[4점][1997(자) 수능(홀) 24]

① 



 ② 





  

90.90.그림과 같이 좌표공간에서 중심이  이고, 반지름의 길이가 5인 구

 가 평면 에 접한다. 구  의 외부에 있는 정육면체

   의 밑면  가 평면  위에 놓여 있고, 모서리

 와 구  가 모서리  의 중점  에서 접한다.

선분  의 평면  위로의 정사영의 길이가 4이고, 모서리  의 중 점과 모서리  의 중점을 지나는 직선을  이라 하자.

직선  위를 움직이는 점  에 대하여    의 최솟값은?

[4점][2017(가) 10월/경남 19]

 ② 

 ③ 



 ⑤



(24)

2 선분의 내분점과 외분점

선분의 내분점과 외분점 01

91.91.좌표공간의 두 점 A   , B    에 대하여 선분 AB 를   으로 내분하는 점의 좌표가   이다. 의 값은?

[2점][2018학년(가) 수능 3]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

92.92.좌표공간의 두 점 A      B      에 대하여 선분 

를    로 내분하는 점이  축 위에 있을 때,    의 값은?

[3점][2017(가) 10월/경남 4]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

93.93.좌표공간의 두 점 A     B   에 대하여 선분 AB를   로 내분하는 점 P 의 좌표가   일 때, 의 값은?

[2점][2016(가) 8월/영남권 3]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

94.94.좌표공간의 두 점 A     , B     에 대하여 선분 AB 를    로 내분하는 점이  축 위에 있을 때,  의 값은?

[2점][2017(가) 9월/평가원 3]

①   ②   ③  

④   ⑤  

96.96.좌표공간에서 두 점 A    B   에 대하여 선분 AB를   로 내분하는 점의 좌표를   라 할 때,      의 값은?

[2점][2016(B) 삼사 3]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

97.97.좌표공간에서 두 점 A   , B    에 대하여 선분 AB를   로 내분하는 점이 축 위에 있을 때,   의 값은?

[3점][2015(B) /수능 5]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

98.98.좌표공간에서 두 점 A    B   에 대하여 선분 AB를   로 내분하는 점의 좌표가   이다.   의 값은?

[점][2014(B) /수능 3]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

99.99.좌표공간에서 두 점 A    B    에 대하여 선분 AB를   로 내분하는 점의 좌표가   이다.   의 값은?

[2점][2013(가) /수능 3]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

(25)

101.101.좌표공간에서 두 점    ,     를 이은 선분 

를    로 외분하는 점의 좌표가    일 때,    의 값은?

[2점][2012예비(B) 5월/평가원 3]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

102.102.좌표공간에서 두 점 A  , B   에 대하여 선분 AB 를    로 내분하는 점이  평면 위에 있을 때,  의 값은?

[2점][2013(B) 7월/교육청 3]

①   ②   ③ 

④  ⑤ 

103.103.좌표공간의 두 점 A    B   에 대하여 선분 AB를   로 외분하는 점이 축 위에 있을 때,   의 값은?

[3점][2017(가) /수능 8]

①   ②   ③  

④   ⑤  

104.104.좌표공간에서 점 P   를  평면에 대하여 대칭이동한 점을 Q 라 하자. 선분 PQ 를   로 내분하는 점의 좌표를   라 할 때,     의 값을 구하시오.

[3점][2010(가) 9월/평가원 18]

105.105.그림과 같이 모든 모서리의 길이가 인 정삼각기둥 ABC­DEF 가 있다. 변 DE의 중점 M 에 대하여 선분 BM 을   로 내분하는 점 을 P 라 하자. CP  일 때,  의 값을 구하시오.

[4점][2015(B) 7월/교육청 27]

E C

P

M

B A

D

F

106.106.좌표공간의 세 점 A    B   C   에 대하여 선분 BC 를    로 내분하는 점을 P , 선분 AC를    로 내분하는 점을 Q 라 하자. 점 P, Q 의  평면 위로의 정사영을 각각 P′, Q′이라 할 때, 삼각형 OP ′Q ′ 의 넓이는? (단, O 는 원점이다.)

[3점][2005(가) 9월/평가원 14]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

(26)

공간도형의 무게중심 02

107.107.좌표공간에서 세 점 A   , B    , C  을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심의 좌표가   일 때,    의 값은?

[2점][2016(B) /수능 3]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

108.108.그림과 같이 반지름의 길이가 각각 , , 이고 서로 외접하 는 세 개의 구가 평면  위에 놓여 있다. 세 구의 중심을 각각 A , B, C라 할 때, △ABC의 무게중심으로부터 평면 까지의 거리를 구하시 오.

[3점][2003예비(가) 12월/평가원 23]

109.109.그림과 같이 좌표공간에서 한 변의 길이가 인 정육면체를 한 변의 길이가 인 개의 정육면체로 나누었다. 이 중 그림의 세 정육면 체 A , B, C 안에 반지름의 길이가 인 구가 각각 내접하고 있다. 개 의 구의 중심을 연결한 삼각형의 무게중심의 좌표를    라 할 때,

     의 값은?

[3점][2007(가) 9월/평가원 8]

①  ② 

 ③ 



④  ⑤ 



110.110.그림과 같이 좌표공간에 있는 정육면체 ABCD  EFGH 에서 A    , E   , F    , H    이다.

(27)

3 구의 방정식

구의 방정식 01

111.111.구             을  평면으로 자른 단 면을 밑면으로 하고, 구에 내접하는 원뿔의 부피의 최댓값은?

[3점][2012(가) 7월/교육청 9]

① 

 ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 



112.112.거리가 인 두 평행한 평면 으로 반지름의 길이가 인 구를 잘 라서 얻어진 두 단면의 넓이의 합 의 최댓값은?

[3점][2001(자) 수능(홀) 5]

① 

 ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 

113.113.좌표공간에서 구           과 구           이 원점에서 서로 접할 때,

   의 값은? (단, ,  는 상수이다.)

[4점][2013(B) 9월/평가원 15]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

114.114.좌표공간에서 중심의  좌표,  좌표,  좌표가 모두 양수인 구

 가  축과  축에 각각 접하고  축과 서로 다른 두 점에서 만난다.

구  가  평면과 만나서 생기는 원의 넓이가  이고  축과 만나 는 두 점 사이의 거리가  일 때, 구  의 반지름의 길이는?

[4점][2014(B) /수능 19]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

115.115.좌표공간에서  평면,  평면,  평면은 공간을  개의 부분으 로 나눈다. 이  개의 부분 중에서

구           가 지나는 부분의 개수는?

[4점][2006(가) /수능(홀) 10]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

116.116.구           과 그 내부를 포함하는 입 체를  평면으로 잘라 구의 중심이 포함된 부분을 남기고 나머지 부분 을 버린다. 남아있는 부분을 다시  평면으로 잘라 구의 중심이 포함된 부분을 남기고 나머지 부분을 버린다. 이때, 마지막에 남아있는 부분에 서 두 평면에 의해 잘린 단면의 넓이는     이다. 두 자연수  ,  의 합    의 값을 구하시오.

[4점][2010(가) /삼사 30]

117.117.좌표공간에 구      과 점 P   가 있다.

다음 조건을 만족시키는 모든 원 에 대하여 의 평면 위로의 정사 영의 넓이의 최댓값을 

라 하자.   의 값을 구하시오. (단, 와  는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2015(B) /수능 29]

(가) 원 는 점 P 를 지나는 평면과 구 가 만나서 생긴다.

(나) 원 의 반지름의 길이는 이다.

(28)

구의 위치 관계 02

118.118.다음 조건을 만족하는 점 P 전체의 집합이 나타내는 도형의 둘레 의 길이는?

[3점][2008(가) 9월/평가원 9]

좌표공간에서 점 P 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 구가 두 개의 구

   

          에 동시에 외접한다.

① 

 ②

  ③ 

④ 

  ⑤ 

119.119.평면 에 수직인 직선 을 경계로 하는 세 반평면 , , 가 있 다. , 가 이루는 각의 크기와 , 가 이루는 각의 크기는 모두

 이다. 그림과 같이 반지름의 길이가 인 구가 , , 에 동시에 접하고, 반지름의 길이가 인 구가 , , 에 동시에 접한다.

두 구의 중심 사이의 거리를  라 할 때,  의 값을 구하시오. (단, 두 구는 평면 의 같은 쪽에 있다.)

[4점][2009(가) 10월/교육청 24]

120.120.그림과 같이 평면  위에 놓여 있는 서로 다른 네 구  , ,

, 이 다음 조건을 만족시킨다.

(가)  의 반지름의 길이는 3이고, , , 의 반지름의 길 이는 1이다.

(나) , , 은 모두  에 접한다.

(다) 은 와 접하고, 는 과 접한다.

, , 의 중심을 각각 O, O, O이라 하자. 두 점 O, O를 지나고 평면  에 수직인 평면을  , 두 점 O, O을 지나고 평면  에 수직인 평면이 과 만나서 생기는 단면을 D 라 하자. 단면 D 의 평면  위로의 정사영의 넓이를 

 라 할 때,    의 값을 구하시오.

(단, 와  는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2014(B) 9월/평가원 29]

참조

관련 문서

인버터 내부에는 전원이 차단된 경우에도 장시간 전압이 충전되어 있으므로 감전의 원인이 됩니다.. l 배선 작업이나 정기 점검을 할 때에는 전원을 차단하고 10분 이상

이 공정은 매일 하나의 뱃치만 작업할 수밖에 없으므로, 이상이 있는 경우 속히 조치를 취하지 않으면 막대한 경제적 피해를 본다.. 이를 관리하기 위해서

Chapman)의

•Well known traditional means of control design (root locus, Bode) is readily applied.. Benefits of Direct

우성 유전: 자식에게 유전병이 있으면 부모 중 한쪽은 반드시 유전병이거나, 부모가 모두 유전병이어도 정상 자식이 나타남.. &lt;문제&gt; 그림은 드물게

Car, Transportation Airplane TV, Radio Communication Computer Automation Movie Entertainment... 문명은

구하도의 자연하천을 개보수하 여 충적단구를 관통하는 인공하 도 설치. 인공하도에는 둑을 설치한

- 자계전류는 1차측 전원에서 계자권선으로 유도작용에 의해 공급됨 - 전기자권선에는 3상 교류전원이 공급됨 → 회전자계 발생.