2020 셀파 기하 답지 정답

(1)

⑴ yÛ`=12x=4_3_x 이므로 p=3 초점의 좌표는 ( 3 , 0) 준선의 방정식은 x=-3 또 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ⑵ xÛ`=-8y=4_(-2)_y 이므로 p=-2 초점의 좌표는 (0, -2 ) 준선의 방정식은 y= 2 또 그래프는 오른쪽 그림과 같다. y=2 O -2 2 y x xÛ =-8y

1-1

본문 | 11쪽 개념 익히기

1.

포물선

⑴ 포물선 포물선 yÛ`=8x (y+1)Û`=8(x-2) (2, 0) (4, -1) x=-2 x=0 초점의 좌표 준선의 방정식

2-2

⑵ 포물선 포물선 xÛ`=-8y (x-2)Û`=-8(y+1) (0, -2) (2, -3) y=2 y=1 x축의 방향으로 2만큼 y축의 방향으로 -1만큼 평행이동 본문 | 14~20 쪽 확인 문제 ⑴ 포물선 위의 점을 P(x, y)로 놓고 점 P에서 직선 x=-4에 내린 수 선의 발을 H(-4, y)라 하면 PFÓ="Ã(x-Ã4)Û`Ã+yÛ` PHÓ=|x+4| PFÓ=PHÓ에서 "Ã(x-Ã4)Û`Ã+yÛ`=|x+4| 이 식의 양변을 제곱하여 정리하면 yÛ`=16x ⑵ 포물선 위의 점을 P(x, y)로 놓고 점 P에서 직선 y=1에 내린 수선 의 발을 H(x, 1)이라 하면 PFÓ="ÃxÛ`+Ã(y+1)Û` PHÓ=|y-1| PFÓ=PHÓ에서 "ÃxÛ`+Ã(y+1)Û`=|y-1| 이 식의 양변을 제곱하여 정리하면 xÛ`=-4y | 다른 풀이 | ⑴ 초점의 좌표가 F(4, 0)이고, 준선의 방정식이 x=-4인 포물선이므로 p=4 yÛ`=4_4_x ∴ yÛ`=16x ⑵ 초점의 좌표가 F(0, -1)이고, 준선의 방정식이 y=1인 포물선이므로 p=-1 xÛ`=4_(-1)_y ∴ xÛ`=-4y O -4 H F(4, 0) P(x, y) x=-4 y x x y=1 O H P(x, y) 1 y F(0, -1)

0 1-1

셀파 포물선 위의 점을 P(x, y)로 놓고 점 P에서 주어진 직 선에 내린 수선의 발을 H라 하면 PFÓ=PHÓ이다. ⑴ yÛ`=-4x=4_(-1)_x 이므로 p=-1 초점의 좌표는 (-1, 0) 준선의 방정식은 x=1 또 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ⑵ xÛ`=12y=4_3_y 이므로 p=3 초점의 좌표는 (0, 3) 준선의 방정식은 y=-3 또 그래프는 오른쪽 그림과 같다. y=-3 xÛ =12y O -3 3 y x

1-2

yÛ =-4x x=1 -1 1 y x O yÛ =12x O -3 3 y x x=-3 x축의 방향으로 2만큼 y축의 방향으로 -1만큼 평행이동 포물선 포물선 yÛ`=4x (y-2)Û`=4(x-1) (1, 0) (2, 2) x=-1 x= 0 초점의 좌표 준선의 방정식

2-1

x축의 방향으로 1만큼 y축의 방향으로 2만큼 평행이동 초점의 좌표 준선의 방정식

(2)

포물선 xÛ`=8y의 초점의 좌표가 (0, 2)이므로 점 A는 주어진 포 물선의 초점이고, 포물선의 준선은 y=-2이다. 이때 포물선 위의 임의의 점 P(x, y)에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 H라 하면 포물선의 정의에서 PAÓ=PHÓ이다. 점 B에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 H'이라 하고 선분 BH'과 포물선의 교점을 P'이라 할 때 APÓ+BPÓ=PHÓ+BPÓ AÕÕÕP'Ó+BÕÕÕP'Ó=PÕ'H'ÓÓ+BÕP'Ó 즉, 삼각형 APB의 둘레의 길이는 오른쪽 그림과 같이 점 P가 P'의 위 치에 있을 때 최소이므로 ABÓ+BPÓ+PAÓ =ABÓ+BPÓ+PHÓ ¾ABÓ+BÕP'Ó+PÕ'H'Ó=ABÓ+BÕH'Ó ="Ã(3-Ã0)Û`+Ã(6-2)Û`+8=13 따라서 삼각형 APB의 둘레의 길이의 최솟값은 13 y O A(0, 2) B(3, 6) P' P H' H y=-2 -2 x

0 2-2

셀파 포물선 위의 점 P에서 초점과 준선에 이르는 거리는 같다. 포물선 yÛ`=4x의 초점은 F(1, 0), 준선은 x=-1이다. 이때 세 점 A, B, C의 x좌표를 각각 xÁ, xª, x£으로 놓으면 삼각 형 ABC의 무게중심의 x좌표가 1이므로 xÁ+xª+x£ 3 =1 ∴ xÁ+xª+x£=3 세 점 A, B, C에서 초점까지의 거 리와 준선까지의 거리가 같으므로 세 점 A, B, C에서 준선 x=-1 에 내린 수선의 발을 각각 HÁ, Hª, H£이라 하면 오른쪽 그림에서 AFÓ+BFÓ+CFÓ =AÕHÁÓ+BÕHªÓ+CÕH£Ó =(xÁ+1)+(xª+1)+(x£+1) =(xÁ+xª+x£)+3 =3+3=6 y x x=-1 yÛ =4x O -1 1 A B F C HÁ Hª H£

0 2-1

셀파 세 점 A, B, C에서 초점과 준선에 이르는 거리가 같다. ⑴ 포물선 위의 점을 P(x, y)로 놓고 점 P에서 직선 x=-2에 내린 수선 의 발을 H(-2, y)라 하면 PFÓ="Ã(x-Ã4)Û`Ã+yÛ` PHÓ=|x+2| PFÓ=PHÓ에서 "Ã(x-Ã4)Û`Ã+yÛ`=|x+2| 이 식의 양변을 제곱하여 정리하면 yÛ`=12(x-1) ⑵ 포물선 위의 점을 P(x, y)로 놓고 점 P에서 직선 y=3에 내린 수선 의 발을 H(x, 3)이라 하면 PFÓ="Ã(x-Ã2)Û`Ã+(Ãy+1)Û` PHÓ=|y-3| PFÓ=PHÓ에서 "Ã(x-Ã2)Û`Ã+(Ãy+1)Û`=|y-3| 이 식의 양변을 제곱하여 정리하면 (x-2)Û`=-8(y-1) P(x, y) F(4, 0) O H -2 y x x=-2 y=3 P(x, y) F(2, -1) O H 3 y x

0 3-1

셀파 포물선 위의 점을 P(x, y)로 놓고 점 P에서 주어진 직 선에 내린 수선의 발을 H라 하면 PFÓ=PHÓ이다. ⑴ 포물선 위의 점을 P(x, y)로 놓고 점 P  에서 준선 x=4에 내린 수선의 발을 H(4, y)라 하면 PFÓ="Ã(x-Ã2)Û`Ã+(Ãy-1Å)Û`  PHÓ=|x-4| PFÓ=PHÓ에서 "Ã(x-Ã2)Û`Ã+(Ãy-1Å)Û`=|x-4| 이 식의 양변을 제곱하여 정리하면 (y-1)Û`=-4(x-3) 이 포물선이 점 (k, 3)을 지나므로 4=-4(k-3), 4k=8 ∴ k=2 x O 4 H x=4 P(x, y) F(2, 1) y

0 4-1

셀파 포물선 위의 점에서 초점 F와 준선에 이르는 거리가 같음을 이용한다.

(3)

축이 y축에 평행하므로 구하는 포물선의 방정식을 xÛ`+Ax+By+C=0(B+0)으로 놓으면 이 포물선이 세 점 (0, -2), (-3, 2), (-2, 0)을 지나므로 -2B+C=0, 9-3A+2B+C=0, 4-2A+C=0 세 식에서 A=-1, B=-3, C=-6 따라서 구하는 포물선의 방정식은 xÛ`-x-3y-6=0

0 4-2

셀파 축이 y축에 평행하므로 구하는 포물선의 방정식은 xÛ`+Ax+By+C=0(B+0) 꼴이다. ⑵ 포물선 위의 점을 P(x, y)로 놓고 점 P에서 준선 y=5에 내린 수선 의 발을 H(x, 5)라 하면 PFÓ="Ã(x-Ãk)Û`Ã+(Ãy-3Å)Û`  PHÓ=|y-5| PFÓ=PHÓ에서 "Ã(x-Ãk)Û`Ã+(Ãy-3Å)Û`=|y-5| 이 식의 양변을 제곱하여 정리하면 (x-k)Û`=-4(y-4) 이 포물선이 원점 (0, 0)을 지나므로 kÛ`=16, (k+4)(k-4)=0 ∴ k=-4 또는 k=4 | 다른 풀이 | ⑴ 주어진 포물선은 준선이 y축에 평행하므로 포물선 yÛ`=4px를 평행이동 한 것이다. 이때 포물선의 방정식을 (y-n)Û`=4p(x-m) 으로 놓으면 이 포물선의 초점의 좌표는 (p+m, n), 준선의 방정식은 x=-p+m 주어진 포물선의 초점의 좌표가 (2, 1), 준선의 방정식이 x=4이므로 p+m=2, n=1, -p+m=4 ∴ p=-1, m=3, n=1 따라서 주어진 포물선의 방정식은 (y-1)Û`=-4(x-3) 이 포물선이 점 (k, 3)을 지나므로 4=-4(k-3) ∴ k=2 ⑵ 주어진 포물선은 준선이 x축에 평행하므로 포물선 xÛ`=4py를 평행이동 한 것이다. 이때 포물선의 방정식을 (x-m)Û`=4p(y-n) 으로 놓으면 이 포물선의 초점의 좌표는 (m, p+n), 준선의 방정식은 y=-p+n 주어진 포물선의 초점의 좌표가 (k, 3), 준선의 방정식이 y=5이므로 m=k, p+n=3, -p+n=5 ∴ m=k, n=4, p=-1 따라서 주어진 포물선의 방정식은 (x-k)Û`=-4(y-4) 이 포물선이 원점 (0, 0)을 지나므로 kÛ`=16, (k+4)(k-4)=0 ∴ k=-4 또는 k=4 O H 5 F(k, 3) y=5 y x P(x, y) 꼭짓점이 원점인 포물선의 방정식은 yÛ`=4px, xÛ`=4py를 이 용하면 바로 구할 수 있다. 그러나 꼭짓점이 원점이 아닌 경우 에는 Ú 포물선 위의 한 점에서 초점에 이르는 거리와 준선에 이르 는 거리가 같다. 임을 이용하거나 Û 포물선을 평행이동한 식 을 이용한다. 초점 (xÁ, yÁ)과 준선 x=k(또는 y=k)가 주어지고 Û 포물 선을 평행이동한 식을 이용할 때, 포물선의 방정식은 다음 순 서로 구한다. 1 준선의 방정식을 이용하여 포물선의 꼴을 결정한다. ➊ 준선의 방정식이 x=k 꼴 ⇨ 구하는 포물선은 포물선 yÛ`=4px를 평행이동한 것이 므로 포물선의 방정식을 (y-n)Û`=4p(x-m)으로 놓는다. ➋ 준선의 방정식이 y=k 꼴 ⇨ 구하는 포물선은 포물선 xÛ`=4py를 평행이동한 것이 므로 포물선의 방정식을 (x-m)Û`=4p(y-n)으로 놓는다. 2 주어진 초점의 좌표 (xÁ, yÁ)과 준선의 방정식 x=k(또는 y=k)를 이용하여 상수 m, n, p의 값을 구한 다. ➊ 포물선 (y-n)Û`=4p(x-m)의 초점의 좌표는 (p+m, n), 준선의 방정식은 x=-p+m 이므로 p+m=xÁ, n=yÁ, -p+m=k ➋ 포물선 (x-m)Û`=4p(y-n)의 초점의 좌표는 (m, p+n), 준선의 방정식은 y=-p+n 이므로 m=xÁ, p+n=yÁ, -p+n=k 세미나 꼭짓점이 원점이 아닌 포물선의 방정식 구하기

(4)

본문 | 19 쪽 집중 연습 x 대신 x-(-1)=x+1, y 대신 y-2를 대입한다. ⑴ (y-2)Û`=x+1 ⑵ (y-2)Û`-2(x+1)=0 ∴ (y-2)Û`=2(x+1) ⑶ (y-2)Û`-3(x+1)+2(y-2)-1=0 ∴ yÛ`-3x-2y-4=0 ⑷ (x+1)Û`=4(y-2)

0

1

⑴ 주어진 포물선은 포물선 yÛ`=-12x를 x축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이다. 이때 포물선 yÛ`=-12x=4_(-3)_x  의 초점의 좌표는 (-3, 0), 준선의 방정식은 x=3 이므로 구하는 포물선의 초점의 좌표는 (-3-3, 0), 즉 (-6, 0) 준선의 방정식은 x=3-3, 즉 x=0 ⑵ 주어진 포물선은 포물선 xÛ`=4y를 x축의 방향으로 -1만 큼 평행이동한 것이다. 이때 포물선 xÛ`=4y=4_1_y  의 초점의 좌표는 (0, 1), 준선의 방정식은 y=-1 이므로 구하는 포물선의 초점의 좌표는 (0-1, 1), 즉 (-1, 1) 준선의 방정식은 y=-1 ⑶ 주어진 포물선은 포물선 yÛ`=2x를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다. 이때 포물선 yÛ`=2x=4_;2!;_x  의 초점의 좌표는 {;2!;, 0}, 준선의 방정식은 x=-;2!; 이므로 구하는 포물선의 초점의 좌표는 {;2!;+1, -2}, 즉 {;2#;, -2} 준선의 방정식은 x=-;2!;+1=;2!;, 즉 x=;2!;

0

2

⑴ yÛ`+x+4y+3=0에서 yÛ`+4y+4=-x+1 ∴ (y+2)Û`=-(x-1) 주어진 포물선은 포물선 yÛ`=-x를 x축의 방향으로 1만큼, y 축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다. 이때 포물선 yÛ`=-x=4_{-;4!;}_x 의 초점의 좌표는 {-;4!;, 0}, 준선의 방정식은 x=;4!; 이므로 주어진 포물선의 초점의 좌표는 {;4#;, -2}, 준선의 방정식은 x=;4%; ⑵ xÛ`-8y+2x+17=0에서 xÛ`+2x+1=8y-16 ∴ (x+1)Û`=8(y-2) 주어진 포물선은 포물선 xÛ`=8y를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다. 이때 포물선 xÛ`=8y=4_2_y 의 초점의 좌표는 (0, 2), 준선의 방정식은 y=-2 이므로 주어진 포물선의 초점의 좌표는 (-1, 4), 준선의 방정식은 y=0

0 5-1

셀파 ⑴ (y-n)Û`=4p(x-m) 꼴로 변형한다. ⑵ (x-m)Û`=4p(y-n) 꼴로 변형한다. ⑷ 주어진 포물선은 포물선 xÛ`=-8y를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다. 이때 포물선 xÛ`=-8y=4_(-2)_y  의 초점의 좌표는 (0, -2), 준선의 방정식은 y=2 이므로 구하는 포물선의 초점의 좌표는 (3, -2-1), 즉 (3, -3) 준선의 방정식은 y=2-1, 즉 y=1 포물선 yÛ`=4x에서 초점의 좌표는 (1, 0)이므로 포물선 yÛ`=4(x-a)의 초점의 좌표는 (a+1, 0) 또 포물선 yÛ`=-8x=4_(-2)_x의 초점의 좌표는 (-2, 0) 두 포물선의 초점이 같으므로 a+1=-2 ∴ a=-3

0 5-2

셀파 포물선 yÛ`=4(x-a)는 포물선 yÛ`=4x를 x축의 방향 으로 a만큼 평행이동한 것이다.

(5)

오른쪽 그림과 같이 포물선의 꼭짓점을 원점에 오도록 놓고 포물선의 방정식을 yÛ`=4px`(p>0)라 하면 이 포물선이 점 (6, 6)을 지나므로 6Û`=4_p_6 ∴ p=;2#; | 참고 | 포물선의 방정식을 실생활에서 활용하는 문제는 좌표평면을 도입하여 해 결한다. 이때 문제에 주어진 포물선의 초점과 준선을 파악하여 포물선의 꼭 짓점이 좌표평면의 원점이 되도록 좌표평면을 도입한다. 확인 체크

01

셀파 특강 점 P에서 준선에 내린 수선의 발을 H, x축에 내린 수선의 발을 Q라 하면 포 물선의 정의에 의하여 PFÓ=PHÓ이고 PFÓ=5OFÓ=15 이므로 Q(12, 0) 이때 점 P는 포물선 yÛ`=12x 위의 점 이므로 yÛ`=12_12=144 ∴ y=Ñ12 따라서 P(12, 12) 또는 P(12, -12)이므로 OPÓ="Ã12Û`+12Û`=12'2 yÛ`=12x=4_3_x에서 초점의 좌표는 F(3, 0)이고 준선의 방정식은 x=-3

0

3

셀파 점 P에서 준선과 x축에 내린 수선의 발의 좌표를 구한다. yÛ =12x O Q P y x F(3, 0) H -3 x=-3 yÛ`=6x=4_;2#;_x에서 초점의 좌표는 F{;2#;, 0}이고 준선의 방정식은 x=-;2#; 점 P에서 준선에 내린 수선의 발을 H라 하고 점 P, Q에서 x축에 내린 수선의 발을 각각 P', Q'이라 하면 포 물선의 정의에 의하여 PFÓ=PHÓ에서 PHÓ=4이므로 P'{;2%;, 0} FPÓ'Ó=PÕ'QÓ'Ó이므로 Q'{;2&;, 0} 따라서 점 Q의 x좌표는 ;2&;

0

4

셀파 점 P, Q에서 x축에 내린 수선의 발의 좌표를 구한다. yÛ =6x O 3 2 3 2 3 -₂ F¦-, 0¥ P P' Q Q' 4 y x -H x=--yÛ`=4x=4_1_x에서 초점의 좌표는 F(1, 0)이고 준선의 방정식은 x=-1 두 점 P, Q의 x좌표를 각각 xÁ, xª라 하면 선분 PQ의 중점 R의 x좌표가 2이므로 xÁ+xª 2 =2 ∴ xÁ+xª=4 직선 y=mx-m=m(x-1)이므로 m의 값에 관계없이 초점을 지나는 직 선이다. 오른쪽 그림과 같이 두 점 P, Q에서 준선 x=-1에 내린 수선의 발 을 각각 P', Q'이라 하면 포물선의 정 의에 의하여 PFÓ=PPÓ'Ó, QFÓ=QQÓ'Ó ∴ PQÓ=PFÓ+QFÓ=PPÓ'Ó+QQÓ'Ó =(xÁ+1)+(xª+1)=xÁ+xª+2=6

0

5

셀파 직선 y=mx-m이 m의 값에 관계없이 점 (1, 0)을 지 난다. yÛ =4x O F(1, 0) -1 R Q Q' P' P y x y=mx-m x=-1 초점이 F(0, 2)이고 준선의 방정식이 y=-2인 포물선의 방정식 은 xÛ`=4py에서 p=2이므로 xÛ`=8y

0

1

셀파 초점이 F(0, p)이고 준선의 방정식이 y=-p인 포물선 의 방정식은 xÛ`=4py(단, p+0) 본문 | 22~23 쪽 연습 문제 yÛ`=8x=4_2_x에서 초점의 좌표는 F(2, 0)이고 준선의 방정식은 x=-2 포물선의 정의에 의하여 포물선 위의 점 P에서 초점 F와 준선 x=-2에 이 르는 거리가 같고 점 P와 초점 사이의 거리가 4이므로 a+2=4 (∵ a¾0) ∴ a=2 또 점 P(a, b)는 포물선 위의 점이므로 bÛ`=8a=16 이때 ab>0에서 b>0이므로 b=4 ∴ a+b=6

0

2

셀파 포물선의 정의를 생각한다. O F(2, 0) P(a, b) y yÛ =8x x x=-2 -2 yÛ =4px O 6 6 y x p

(6)

yÛ`=4x=4_1_x에서 초점의 좌표는 A(1, 0)이고 준선의 방정식은 x=-1 다음 그림과 같이 포물선 위의 점 P에서 준선 x=-1에 내린 수 선의 발을 H라 하면 포물선의 정의에 의하여 PAÓ=PHÓ이므로 PAÓ+PBÓ=PHÓ+PBÓ y x B(5, 4) A(1, 0) x=-1 yÛ =4x O 4 P P' H' H -1 5 점 B에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 H'이라 하고, 선분 BH'과 포물선의 교점을 P'이라 하면 점 P가 P'의 위치에 있을 때 PHÓ+PBÓ의 값이 최소이므로 PAÓ+PBÓ=PHÓ+PBÓ¾PÕ'HÓ'Ó+P'ÕBÓ=BHÓ'Ó=6 따라서 PAÓ+PBÓ의 최솟값은 6

0

6

셀파 포물선의 정의를 생각한다. A Q O(E) E' D' C'B'A' P D CB l y x 위의 그림과 같이 포물선의 꼭짓점 E가 좌표평면의 원점에 오도 록 놓고 준선을 l이라 하자. 포물선 위의 점 A, B, C, D, E에서 준선 l에 내린 수선의 발을 각각 A', B', C', D', E'이라 하면 포물선의 정의에 의하여 PAÓ+AQÓ=AÕA'Ó+AQÓ PBÓ+BQÓ=BBÓ'Ó+BQÓ PCÓ+CQÓ=CCÓ'Ó+CQÓ=C'QÓ PDÓ+DQÓ=DDÓ'Ó+DQÓ PEÓ+EQÓ=EEÓ'Ó+EQÓ 따라서 점 A, B, C, D, E중 두 점 P, Q에 이르는 거리의 합이 최소인 경우는 그림에서 CCÓ'Ó+CQÓ이므로 구하는 점은 점 C

0

8

셀파 포물선의 꼭짓점 E가 좌표평면의 원점에 오도록 좌표평 면을 그린다. xÛ`=4y에서 초점의 좌표는 F(0, 1)이고 준선의 방정식은 y=-1 다음 그림과 같이 두 점 A, B에서 준선 y=-1에 내린 수선의 발 을 각각 A', B'이라 하고, 점 A에서 BBÓ'Ó의 연장선 위에 내린 수 선의 발을 G라 하자. y A A' F B G B' O l 3 1 x2_=4y y=-1 x 이때 AFÓ`:`BFÓ=3`:`1이므로 AFÓ=3k, BFÓ=k(k>0)라 하면 포물선의 정의에 의하여 BFÓ=BBÓ'Ó=k, AFÓ=AAÓ'Ó=3k BGÓ=BÕ'ÕGÓ-BBÓ'Ó=AAÓ'Ó-BBÓ'Ó=3k-k=2k 직각삼각형 ABG에서 AGÓ="Ã(4kÃ)Û`-Ã(2k)Û½`=2'3k 따라서 구하는 직선 l의 기울기는 BGÓ AGÓ= 2k2'3k= '33

0

7

셀파 두 점 A, B에서 준선에 내린 수선의 발을 각각 A', B'으 로 놓는다. 점 F(a, 0)과 직선 x=3에 이르는 거리 가 같은 점을 P(x, y)로 놓고, 점 P에서 직선 x=3에 내린 수선의 발을 H(3, y) 라 하면 PFÓ=_{"Ã(x-Ãa)Û`Ã+yÛ`} PHÓ=|x-3| PFÓ=PHÓ에서 "Ã(x-Ãa)Û`Ã+yÛ`=|x-3| 이 식의 양변을 제곱하면 (x-a)Û`+yÛ`=(x-3)Û` yy㉠ 이 도형이 점 A(-2, 2'6)을 지나므로 (-2-a)Û`+(2'6)Û`=(-2-3)Û` aÛ`+4a+3=0, (a+3)(a+1)=0 ∴ a=-3 또는 a=-1

0

9

셀파 포물선 위의 점 (-2, 2'6)에서 초점 (a, 0)과 준선 x=3에 이르는 거리가 같다. x F(a, 0)O H P(x, y) x=3 3 y

(7)

초점이 F(-3, 0)이고 준선이 x=3인 포물선의 방정식은 yÛ`=4_(-3)_x=-12x 이 포물선이 점 (a, -2)를 지나므로 (-2)Û`=-12a ∴ a=-;3!;

10

셀파 초점이 (p, 0)이고 준선의 방정식이 x=-p인 포물선의 방정식은 yÛ`=4px(p+0)이다.  포물선 (y-3)Û`=a(x+2)는 포물선 yÛ`=ax를 x축의 방향으 로 -2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다. 이때 포물선 yÛ`=ax=4_;4A;_x의 초점의 좌표가 {;4A;, 0}이므 로 포물선 (y-3)Û`=a(x+2)의 초점의 좌표는 {;4A;-2, 3} yy㉠  또 포물선 (x+1)Û`=b(y-2)는 포물선 xÛ`=by를 x축의 방향 으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다. 이때 포물선 xÛ`=by=4_;4B;_y의 초점의 좌표가 {0, ;4B;}이므 로 포물선 (x+1)Û`=b(y-2)의 초점의 좌표는 {-1, ;4B;+2} yy㉡  두 포물선의 초점이 같으므로 ㉠, ㉡에서 ;4A;-2=-1, 3=;4B;+2 ;4A;=1, ;4B;=1 ∴ a=4, b=4

11

셀파 먼저 포물선을 평행이동하기 전의 초점을 구한다. yÛ`+4y-4x+4a=0에서 yÛ`+4y+4=4x-4a+4 ∴ (y+2)Û`=4(x-a+1) 주어진 포물선은 포물선 yÛ`=4x를 x축의 방향으로 (a-1)만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다. 이때 포물선 yÛ`=4x=4_1_x의 초점의 좌표가 (1, 0)이므로 주어진 포물선의 초점의 좌표는 (1+a-1, -2), 즉 (a, -2) ∴ a=2

12

셀파 주어진 방정식을 (y-n)Û`=4p(x-m) 꼴로 변형한다. x=yÛ`+2y+k에서 yÛ`+2y+1=x-k+1 ∴ (y+1)Û`=x-k+1 주어진 포물선은 포물선 yÛ`=x를 x축의 방향으로 (k-1)만큼, y 축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다. 이때 포물선 yÛ`=x=4_;4!;_x의 초점의 좌표가 {;4!;, 0}이므로 주어진 포물선의 초점의 좌표는 {;4!;+k-1, -1}, 즉 {k-;4#;, -1} 이 초점이 직선 y=x+1 위에 있으므로 -1={k-;4#;}+1 ∴ k=-;4%;

13

셀파 주어진 포물선을 (y-n)Û`=4p(x-m) 꼴로 변형한다. 포물선 xÛ`=4y-12를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 yÛ`=4x-12 yÛ`=4x-12=4(x-3)이므로 포물선 f(x, y)=0의 초점의 좌 표는 (4, 0) 점 (2, 2)에서 x축과 평행하게 그은 직선은 y=2이므로 이 직선 과 포물선이 만나는 점 P의 x좌표는 2Û`=4(x-3) ∴ x=4 따라서 P(4, 2)이므로 초점과 점 P를 이은 선분의 길이는 2-0=2

14

셀파 포물선 xÛ`=4y-12를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 yÛ`=4x-12이다. 채점 기준 배점 포물선 (y-3)Û`=a(x+2)의 초점의 좌표를 구한다. 40% 포물선 (x+1)Û`=b(y-2)의 초점의 좌표를 구한다. 40% a, b의 값을 구한다. 20% Ú a=-3일 때 ㉠에 a=-3을 대입하면 (x+3)Û`+yÛ`=(x-3)Û` 이 도형은 원점을 지나므로 주어진 조건이 성립하지 않는다. Û a=-1일 때 ㉠에 a=-1을 대입하면 (x+1)Û`+yÛ`=(x-3)Û` 이 도형은 원점을 지나지 않으므로 주어진 조건이 성립한다. Ú, Û에서 구하는 a의 값은 -1

(8)

⑴ xÛ`₉ + yÛ`₄=1 ⇨ (x+1)Û`₉ + (y-3)Û`₄ =1 타원 xÛ`₉ + yÛ`₄=1에서 a=3, b=2이므로 cÛ`=9-4=5 ∴ c=Ñ'5 초점의 좌표는 ('5, 0), (-'5, 0) 따라서 평행이동한 타원의 초점의 좌표 : ('5-1, 3), (-'5-1, 3) 장축의 길이 : 2_3=6 단축의 길이 : 2_2=4 ⑵ xÛ`₈ + yÛ`₉=1 ⇨ (x+1)Û`₈ + (y-3)Û`₉ =1 타원 xÛ`₈ + yÛ`₉=1에서 a=2'2, b=3이므로 cÛ`=9-8=1 ∴ c=Ñ1 초점의 좌표는 (0, 1), (0, -1) 따라서 평행이동한 타원의 초점의 좌표 : (-1, 4), (-1, 2) 장축의 길이 : 2_3=6 단축의 길이 : 2_2'2=4'2

2-2

⑴ xÛ` 16+ yÛ`8 =1, 즉 xÛ` 4Û`+ yÛ` (2'2)Û`=1에서 cÛ`=16-8=8 ∴ c=Ñ2'2 초점의 좌표 : (2'2, 0), (-2'2, 0) 장축의 길이 : 2_4=8 단축의 길이 : 2_2'2=4'2 ⑵ xÛ`₅ + yÛ`₁₂=1, 즉 ₍_'5)Û`xÛ` +₍₂_'3)Û`yÛ` =1에서 cÛ`=12-5=7 ∴ c=Ñ'7 초점의 좌표 : (0, '7), (0, -'7) 장축의 길이 : 2_2'3=4'3 단축의 길이 : 2_'5=2'5

1-2

본문 | 27 쪽 개념 익히기

2.

타원

⑴ xÛ` 81 + yÛ` 64=1, 즉 xÛ` 9Û`+ yÛ`8Û`=1에서 cÛ`=81-64=17 ∴ c=Ñ'¶17 초점의 좌표 : ('¶17, 0), (-'¶17, 0) 장축의 길이 : 2_9=18 단축의 길이 : 2_ 8 = 16 ⑵ xÛ`₂ +yÛ`₄=1, 즉 ₍_'2)Û`xÛ` + yÛ`_2Û`=1에서 cÛ`=4-2=2 ∴ c=Ñ'2 초점의 좌표 : (0, _{'2 ), (0, -'2)} 장축의 길이 : 2_ 2 = 4 단축의 길이 : 2_'2=2'2

1-1

타원 타원 xÛ` 25+ yÛ`16=1 (x-1)Û`` 25 + (y+2)Û` 16 =1 (3, 0), (-3, 0) ( 4 , -2), (-2, -2) 장축의 길이 : 2_ 5 = 10 단축의 길이 : 2_4=8

2-1

_{y축의 방향으로 -2만큼}x축의 방향으로 1만큼평행이동 초점의 좌표 본문 | 30~39 쪽 확인 문제 ⑴ 초점이 x축 위에 있고 거리의 합이 6이므로 구하는 타원의 방 정식을 xÛ`

aÛ`+ yÛ`bÛ`=1`(a>b>0) 로 놓으면 2a=6에서 a=3 c='5에서 bÛ`=aÛ`-cÛ`=9-5=4 따라서 구하는 타원의 방정식은 xÛ`₉+ yÛ`₄ =1 ⑵ 초점이 y축 위에 있고 거리의 합이 8이므로 구하는 타원의 방 정식을 xÛ`

aÛ`+ yÛ`bÛ`=1`(b>a>0) 로 놓으면 2b=8에서 b=4 c=2에서 aÛ`=bÛ`-cÛ`=16-4=12 따라서 구하는 타원의 방정식은 xÛ` 12+ yÛ`16=1

0 1-1

셀파 두 초점으로부터의 거리의 합이 일정한 점의 집합은 타원이다.

(9)

타원 xÛ` 9 +yÛ`=1 위의 점 P에서 두 초점 F, F'으로부터의 거리의 합은 장축의 길이와 같다. 즉, PFÓ+PFÓ'Ó=2_3=6이고 PFÓ'Ó`:`PFÓ=2`:`1에서 2PFÓ=PFÓ'Ó이므로 PFÓ=2, PFÓ'Ó=4 'Ä9-1=2'2에서 초점의 좌표는 (2'2, 0), (-2'2, 0) ∴ FÕF'Ó=2_2'2=4'2 삼각형 PF'F에서 코사인법칙으로부터 cos`h= PFÓ'ÓÛ`+PFÓÛ`-FFÓ'ÓÛ` 2_PFÓ'Ó_PFÓ =4Û`+2Û`-(4_{2_4_2}'2)Û` =-;4#;

0 2-1

셀파 타원의 정의에서 PFÓ+PFÓ'Ó=2_3=6임을 이용한다. 타원 ₂₅xÛ`+ yÛ`₁₆=1의 초점의 좌표는 (Ñ'Ä25-¶16, 0), 즉 (Ñ3, 0)이므로 두 점 A(3, 0), B(-3, 0)은 이 타원 의 초점이다. 세 점 P, Q, R가 타원 위의 점이므로 타원의 정의에 의하여 PAÓ+PBÓ=QAÓ+QBÓ=RAÓ+RBÓ=2_5=10 이때 PAÓ+QAÓ+RAÓ=12이므로 PBÓ+QBÓ+RBÓ=(10-PAÓ)+(10-QAÓ)+(10-RAÓ) =30-(PAÓ+QAÓ+RAÓ) =30-12 =18

0 2-2

셀파 타원 위의 임의의 점에서 두 초점으로부터의 거리의 합은 타원의 장축의 길이와 같다. 두 점 F(0, 4), F'(0, -4)를 초점으로 하는 타원 xÛ`

aÛ`+ yÛ`bÛ`=1`(b>a>0) 의 한 초점의 y좌표가 4이므로 bÛ`-aÛ`=4Û` yy㉠ 장축의 길이가 2b이므로 타원의 정의에 의하여 AFÓ+AFÓ'Ó=2b, BFÓ+BFÓ'Ó=2b yy㉡ 이때 삼각형 ABF'의 둘레의 길이는 24이므로 ABÓ+BFÓ'Ó+AFÓ'Ó=24 (AFÓ+BFÓ)+BFÓ'Ó+AFÓ'Ó=24 ∴(AFÓ+AFÓ'Ó)+(BFÓ+BFÓ'Ó)=24 이 식에 ㉡을 대입하면 2b+2b=24, 4b=24 ∴ b=6 b=6을 ㉠에 대입하면

aÛ`=6Û`-4Û`=20 ∴ a=2'5 (∵ a>0)

0 3-1

셀파 삼각형 ABF'의 둘레의 길이는

ABÓ+BFÓ'Ó+AFÓ'Ó=(AFÓ+AFÓ'Ó)+(BFÓ+BFÓ'Ó)

코사인법칙

삼각형 ABC에서

aÛ`=bÛ`+cÛ`-2bc`cos`A ⇨ cos`A=bÛ`+cÛ`-aÛ` 2bc bÛ`=cÛ`+aÛ`-2ca`cos`B ⇨ cos`B=cÛ`+aÛ`-bÛ`

2ca cÛ`=aÛ`+bÛ`-2ab`cos`C ⇨ cos`C=aÛ`+bÛ`-cÛ`_2ab

LEC TURE O F F' P -3 3 1 -1 y x h O A B R P Q -4 4 -3 3 -5 5 y x 타원 xÛ` 16+ yÛ`7=1의 장축의 길이가 8이므로 타원의 정의에 의하여 PFÓ+PFÓ'Ó=8 또 PFÓ'Ó`:`PFÓ=3`:`1에서 3PFÓ=PFÓ'Ó이므로 PFÓ=2, PFÓ'Ó=6 yy㉠ a=4, b='7에서 c='Ä16-§7='9=3 F(3, 0), F'(-3, 0)이므로 FFÓ'Ó=6 따라서 삼각형 PF'F는 PFÓ'Ó=FFÓ'Ó=6인 이등변삼각형이므로 점 F'에서 선분 PF에 내린 수선의 발을 H라 하면 피타고라스 정리 에 의하여 F'ÕÕÓHÓ=

_¿¹

FFÓ'ÓÛ`

¹

-FHÓÛ`="Ã6Û`-Å1Û`='¶35 따라서 구하는 삼각형 PF'F의 넓이는 ;2!;_PFÓ_F'ÕHÓ=;2!;_2_'¶35 ='¶35 FHÓ=;2!;_PFÓ=;2!;_2=1

0 3-2

셀파 세 선분 PF', PF, FF'의 길이를 구하여 삼각형 PF'F 가 어떤 삼각형인지 알아본다. O F F' H P -4 -17 17 4 y x O A B F F' -4 4 y x a -a -b b

(10)

타원 위의 점을 P(x, y)로 놓으면 PFÓ+PFÓ'Ó=8이므로 "Ã(x+Ã1)Û`Ã+yÛ`+"Ã(x+Ã1)Û`Ã+(Ãy-4)Û`=8 "Ã(x+Ã1)Û`Ã+yÛ`=8-"Ã(x+Ã1)Û`Ã+(yÃ-4)Û 이 식의 양변을 제곱하여 정리하면 2"Ã(x+Ã1)Û`Ã+(yÃ-4)Û`=-y+10 다시 양변을 제곱하여 정리하면 4(x+1)Û`+3(y-2)Û`=48 ∴ (x+1)Û`₁₂ + (y-2)Û`₁₆ =1 | 다른 풀이 | 초점을 이은 선분 FF'이 y축에 평행하고 타원의 중심은 FÕF'ò의 중점이므로 구하는 타원의 방정식 은 (x+1)Û` aÛ` + (y-2)Û` bÛ` =1 (단, b>a>0) 중심과 초점 사이의 거리가 c이므로 c=2 장축의 길이가 8이므로 2b=8 ∴ b=4

cÛ`=bÛ`-aÛ`에서 2Û`=4Û`-aÛ` ∴ aÛ`=12

따라서 구하는 타원의 방정식은 (x+1)Û` 12 +(y-2)Û`16 =1

0 4-1

셀파 _{점 P의 좌표를 P(x, y)로 놓고 x, y 사이의 관계식을} 구한다. 타원의 중심은 두 초점을 이은 선분의 중점이므로 { 2+2₂ , (1+'3)+(1-'3)`₂ }=(2, 1) 초점을 이은 선분 FF'이 y축에 평행하고 타원의 중심은 FÕF'ò의 중점이므로 구하는 타원의 방정식은 (x-2)Û`

aÛ` + (y-1)Û`bÛ` =1`(단, b>a>0) 중심과 초점 사이의 거리가 c이므로 c='3 cÛ`=bÛ`-aÛ`에서 bÛ`-aÛ`=3 yy㉠

또 장축의 길이와 단축의 길이의 차가 2이므로 2b-2a=2, b-a=1 yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=2 따라서 구하는 타원의 방정식은 (x-2)Û`+ (y-1)Û` 4 =1

0 4-2

셀파 두 초점을 이은 선분의 중점은 타원의 중심과 같다. 두 초점 (0, 3), (-4, 3)을 이은 선분의 중점은 { 0+(-4)₂ , 3+3_{2 }}, 즉 (-2, 3) 두 초점이 x축에 평행한 직선 위에 있으므로 주어진 타원의 방정 식은 (x+2)Û`

aÛ` + (y-3)Û`bÛ` =1 (단, a>b>0) 로 놓을 수 있다. 장축의 길이가 6이므로 2a=6 ∴ a=3 이때 중심과 초점 사이의 거리를 c라 하면 c=0-(-2)=2 cÛ`=aÛ`-bÛ`에서 bÛ`=aÛ`-cÛ`=9-4=5 따라서 타원의 방정식은 (x+2)Û` 9 + (y-3)Û`5 =1 이 식을 일반형으로 나타내면 5xÛ`+9yÛ`+20x-54y+56=0 ∴ A=20, B=-54, C=56 | 다른 풀이 | 주어진 타원의 방정식은 두 점 (0, 3), (-4, 3)에서의 거리의 합이 6인 점 P(x, y)의 집합이므로 "ÃxÛ`+Ã(y-3)Û`+"Ã(x+Ã4)Û`+Ã(y-3)Û`=6 "Ã(x+Ã4)Û`Ã+(Ãy-3Å)Û`=6-"ÃxÛ`+Ã(y-3)Û` 이 식의 양변을 제곱하여 정리하면 3"ÃxÛ`+Ã(yÃ-3)Û`=-2x+5 다시 양변을 제곱하여 정리하면 5xÛ`+9yÛ`+20x-54y+56=0 ∴ A=20, B=-54, C=56

0 5-2

셀파 타원의 중심이 (m, n)인 타원의 방정식은 (x-m)Û` aÛ` + (y-n)Û` bÛ` =1 4xÛ`+yÛ`-16x-6y+21=0에서 4(x-2)Û`+(y-3)Û`=4 ∴ (x-2)Û`+(y-3)Û``₄ =1 즉, 주어진 타원은 타원 xÛ`+yÛ`₄=1을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다. 따라서 주어진 타원의 초점의 좌표는 (2, 3+'3), (2, 3-'3) 장축의 길이는 4 단축의 길이는 2

0 5-1

셀파 주어진 타원의 방정식을 (x-m)Û` aÛ` + (y-n)Û` bÛ` =1 꼴로 고친다. F'(-1, 4) (-1, 2) F(-1, 0) 중심

(11)

점 A, D의 좌표를 각각 (0, b), (a, 0)`(a>b>0), 타원의 초점의 좌표를 F(c, 0), F'(-c, 0)`(c>0)으로 놓으면 O A(0, b) D(a, 0) F(c, 0) F'(-c, 0) B C y x

ADÓ=10이므로 aÛ`+bÛ`=100 yy㉠ c=5'2이므로 (5'2)Û`+bÛ`=aÛ` yy㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 50+2bÛ`=100, bÛ`=25 ∴ a=5'3, b=5`(∵ a>0, b>0) 따라서 구하는 마름모 ABCD의 넓이는 ;2!;_10'3_10=50'3

0 6-1

셀파 마름모는 두 대각선에 의해 합동인 4개의 직각삼각형 으로 나뉜다. ⑴ 9xÛ`+25yÛ`=225에서 ₂₅xÛ`+ yÛ`₉ =1 초점의 좌표 : (4, 0), (-4, 0) 장축의 길이 : 2_5=10 단축의 길이 : 2_3=6

0

2

본문 | 36 쪽 집중 연습 ⑴ 타원 (x-1)Û` 16 + (y+2)Û`9 =1은 타원 xÛ` 16+ yÛ`9=1을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이 동한 것이다. 이때 타원 xÛ` 16+ yÛ`9=1의 초점의 좌표는 ('7, 0), (-'7, 0), 꼭짓점의 좌표는 (4, 0), (-4, 0), (0, 3), (0, -3) 이므로 주어진 타원의 초점의 좌표 : (1+'7, -2), (1-'7, -2) 꼭짓점의 좌표 : (5, -2), (-3, -2), (1, 1), (1, -5) ⑵ 타원 (x+1)Û`₄ + (y-2)Û`₂₅ =1은 타원 xÛ`₄+ yÛ`₂₅=1을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이 동한 것이다. 이때 타원 xÛ`₄ + yÛ`₂₅=1의 초점의 좌표는 (0, '21), (0, -'21), 꼭짓점의 좌표는 (2, 0), (-2, 0), (0, 5), (0, -5) 이므로 주어진 타원의 초점의 좌표 : (-1, 2+'¶21), (-1, 2-'¶21) 꼭짓점의 좌표 : (1, 2), (-3, 2), (-1, 7), (-1, -3) ⑶ 타원 (x+1)Û` 25 + (y-3)Û`16 =1은 타원 xÛ` 25+ yÛ`16=1을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이 동한 것이다. 이때 타원 xÛ` 25+ yÛ`16=1의 초점의 좌표는 (3, 0), (-3, 0), 꼭짓점의 좌표는 (5, 0), (-5, 0), (0, 4), (0, -4) 이므로 주어진 타원의 초점의 좌표 : (2, 3), (-4, 3) 꼭짓점의 좌표 : (4, 3), (-6, 3), (-1, 7), (-1, -1)

0

1

⑵ xÛ`+4yÛ`-4x-24y+24=0에서 (x-2)Û`+4(y-3)Û`=16 ∴ (x-2)Û` 16 + (y-3)Û`4 =1 즉, 주어진 타원은 타원 ₁₆xÛ`+ yÛ`₄=1을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다. 따라서 주어진 타원의 초점의 좌표 : (2+2'3, 3), (2-2'3, 3) 장축의 길이 : 2_4=8 단축의 길이 : 2_2=4 ⑶ 4xÛ`+yÛ`-8x+6y-51=0에서 4(x-1)Û`+(y+3)Û`=64 ∴ (x-1)Û`₁₆ + (y+3)Û`₆₄ =1 즉, 주어진 타원은 타원 xÛ` 16+ yÛ`64=1을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이다. 따라서 주어진 타원의 초점의 좌표 : (1, -3+4'3), (1, -3-4'3) 장축의 길이 : 2_8=16 단축의 길이 : 2_4=8

(12)

타원의 중심이 원점에 오도록 타원 궤도를 좌표평면 위에 나타내 면 타원의 방정식을 xÛ`_aÛ`+ yÛ`_bÛ`=1`(a>b>0)로 놓을 수 있다. 이때 장축의 길이가 36 AU, 단축의 길이가 16'2AU이므로 2a=36에서 a=18, 2b=16'2에서 b=8'2 O -18 18 -812 812 y x -c 태양이 위치한 초점의 좌표를 (-c, 0) (c>0)이라 하면 c="ÃaÛ`-ÅbÛ`=¿¹18Û`¹-(¹8'2)Û`=14 혜성과 태양이 가장 가까울 때는 혜성이 꼭짓점 (-18, 0)을 지 날 때이므로 혜성과 태양 사이의 거리는 -14-(-18)=4(AU)

0 7-1

셀파 타원의 중심이 좌표평면의 원점에 오도록 좌표평면 위 에 타원 궤도를 나타낸다.

타원의 방정식을 xÛ`_aÛ`+ yÛ`_bÛ`=1`(a>b>0)로 놓으면 2b=10에서 b=5이고, 3Û`=aÛ`-5Û`, aÛ`=34 따라서 구하는 타원의 방정식은 xÛ` 34+ yÛ`25=1

0

1

셀파 타원 xÛ` aÛ`+ yÛ` bÛ`=1`(a>b>0)의 단축의 길이는 2b이다. 본문 | 40~41 쪽 연습 문제 타원의 두 초점을 F, F'이라 하면 F(0, 4), F'(0, -4)

타원의 방정식을 xÛ`_aÛ`+ yÛ`_bÛ`=1`(b>a>0)로 놓으면 2b=8'2에서 b=4'2이고

4Û`=(4'2)Û`-aÛ`, aÛ`=16 ∴ a=4 따라서 타원의 단축의 길이는 2_4=8

0

2

셀파 원 xÛ`+yÛ`=16과 y축이 만나는 두 점의 좌표는 (0, 4), (0, -4)이다. 타원 4xÛ`+yÛ`=4, 즉 xÛ`+yÛ` 4=1의 두 초점의 좌표를 (0, c), (0, -c)`(c>0)라 하면 c='Ä4-1='3에서 (0, '3), (0, -'3)

타원 xÛ`_aÛ`+ yÛ`_bÛ`=1`(b>a>0)의 장축의 길이가 6이므로 2b=6 ∴ b=3

또 cÛ`=bÛ`-aÛ`에서 3=9-aÛ` ∴ aÛ`=6 ∴ aÛ`+bÛ`=6+9=15

0

3

셀파 초점의 좌표가 y축 위에 있으면 타원 xÛ` aÛ`+ yÛ` bÛ`=1의 장 축의 길이는 2b이다. 타원 ₁₂xÛ`+ yÛ`₈=1의 초점의 좌표는 (2, 0), (-2, 0) 포물선 yÛ`=8x=4_2_x에서 초점의 좌표는 (2, 0), 준선의 방정식은 x=-2 따라서 F(2, 0)이라 하면 포물선의 정의에 의하여 AHÓ=AFÓ 타원의 정의에 의하여 ABÓ+AFÓ=(장축의 길이)이므로 ABÓ+AHÓ=ABÓ+AFÓ=2_2'3=4'3

0

5

셀파 타원의 초점의 좌표와 포물선의 초점의 좌표, 준선의 방정 식을 구한다. 타원 xÛ` 16+ yÛ`12=1의 두 초점의 좌표를 (c, 0), (-c, 0)`(c>0) 이라 하면 c='Ä16-¶12=2에서 (2, 0), (-2, 0) 즉, 두 점 A(-2, 0), B(2, 0)은 주어진 타원의 초점이고, 장축의 길이가 8이므로 타원의 정의에서 PAÓ+PBÓ=8 이때 PAÓ>0, PBÓ>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에서 PAÓ+PBÓ¾2¿¹PAÓ¹_PBÓ (단, 등호는 PAÓ=PBÓ일 때 성립) 8¾2¿¹PAÓ¹_PBÓ ∴ PAÓ_PBÓÉ16 따라서 PAÓ_PBÓ의 최댓값은 16

0

4

셀파 타원의 두 초점의 좌표를 구한다. x=-2 yÛ =8x O A B F H y x

(13)

타원 xÛ`₉ + yÛ`₄ =1의 초점 중 x좌 표가 양수인 점을 F'이라 하자. 타원 위의 점 PÔ(i=1, 2, y, 8) 로부터 두 초점 F, F'까지의 거리 합은 장축의 길이와 같으므로 PÔFÓ+PÔFÓ'Ó=2_3=6 이때 주어진 타원은 y축에 대하여 대칭이므로 PÁÓFÓ=P¢FÓ'Ó, PÓªFÓ=PÓ£F'ÓÓ, PÓ¦FÓ=PÓ¤F'Ó, PÓ¥FÓ=PÓ°FÓ' ∴ ;I8+!PÔFÓ =PÓÁFÓ+PÓªFÓ+PÓ£FÓ+PÓ¢FÓ+PÓ°FÓ+PÓ¤FÓ+PÓ¦FÓ+PÓ¥FÓ =PÓ¢F'Ó+PÓ£F'Ó+PÓ£FÓ+PÓ¢FÓ+PÓ°FÓ+PÓ¤FÓ+PÓ¤F'Ó+PÓ°F'Ó =(PÓ£FÓ+PÓ£F'Ó)+(PÓ¢FÓ+PÓ¢F'Ó)+(PÓ°FÓ+PÓ°F'Ó) +(PÓ¤FÓ+PÓ¤F'Ó)  =4_6=24

0

6

셀파 타원의 또 다른 초점 F'에 대하여 PFÓ=PFÓ'Ó이 성립하는 i를 조사한다. 타원 ₁₆xÛ`+ yÛ`₄=1의 두 초점은 F(2'3, 0), F'(-2'3, 0) 타원의 정의에 의하여 PFÓ+PFÓ'Ó=8 또 두 점 F, F'은 원 xÛ`+yÛ`=12의 지름의 양 끝점이므로 삼각형 PF'F는 ∠FPF'=90ù인 직각삼각형이다. ∴ PFÓÛ`+PFÓ'ÓÛ`=FFÓ'ÓÛ`=(4'3)Û`=48 (PFÓ+PFÓ'Ó)Û`-2PFÓ_PFÓ'Ó=48이므로 8Û`-2PFÓ_PFÓ'Ó=48 ∴ PFÓ_PFÓ'Ó=8 따라서 삼각형 PF'F의 넓이는 ;2!;_PFÓ_PFÓ'Ó=;2!;_8=4

0

8

셀파 원의 지름에 대한 원주각의 크기는 90ù이다. 주어진 타원은 타원 xÛ`₈ + yÛ`₁₂=1을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이다. 이때 타원 xÛ` 8 + yÛ`12=1의 초점의 좌표는 (0, 2), (0, -2)이므로 주어진 타원의 초점의 좌표는 (0+1, 2-3), (0+1, -2-3), 즉 (1, -1), (1, -5)

0

9

셀파 타원을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평 행이동하면 초점의 좌표도 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으 로 n만큼 평행이동한다. 타원의 중심은 두 초점을 이은 선분의 중점이므로 { 5+(-1)₂ , 0} , 즉 (2, 0)

구하는 타원의 방정식을 (x-2)Û`_aÛ` + yÛ`_bÛ`=1`(a>b>0)로 놓으면 타원의 정의에 의하여 PFÓ+PFÓ'Ó=2a 이때 삼각형 PFF'의 둘레의 길이가 16이므로 PFÓ+PFÓ'Ó+FFÓ'Ó=16 FFÓ'Ó=6이므로 2a+6=16 ∴ a=5 또 중심과 초점 사이의 거리를 c라 하면 c=3 cÛ`=aÛ`-bÛ`에서 9=25-bÛ` ∴ bÛ`=16 따라서 구하는 타원의 방정식은 (x-2)Û` 25 + yÛ`16=1

10

셀파 두 초점을 이은 선분의 중점은 타원의 중심이다. O 2 -2 -4 F' F 4 P y x  타원의 두 초점의 좌표는 (0, 3), (0, -3) 이므로 두 점 A(0, 3), R(0, -3)은 주어진 타원의 초점이다.  타원의 정의에 의하여 PAÓ+PRÓ=QAÓ+QRÓ =2_5=10  따라서 삼각형 PQR의 둘레의 길이는  PQÓ+PRÓ+QRÓ=PAÓ+QAÓ+PRÓ+QRÓ  =(PÕAÓ+PRÓ)+(QAÓ+QRÓ) =2_10=20

0

7

셀파 두 초점이 F, F'인 타원 위의 점 P에 대하여 PFÓ+PFÓ'Ó=(장축의 길이) O P Q A R -5 -4 4 5 3 -3 y x 채점 기준 배점 타원의 두 초점의 좌표를 구한다. 20% PAÓ+PRÓ, QAÓ+QRÓ의 값을 구한다. 40% 삼각형 PQR의 둘레의 길이를 구한다. 40% O -3 3 P£ P¤ Pª P¦ P¢ P° PÁ P¥ F F' y x

(14)

점 P(2, 3)이 타원 xÛ`_aÛ`+ yÛ`_bÛ`=1 위에 있으므로 4 aÛ`+ 9bÛ`=1 yy㉠ 4 aÛ`>0, 9 bÛ`>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에서 4

aÛ`+ 9bÛ`¾2¾¨ 4aÛ` ¨_ 9bÛ`=;a!b@; {단, 등호는 4aÛ`= 9bÛ`일 때 성립} 1¾;a!b@; ∴ ab¾æ12

12

셀파 점 P의 좌표를 타원의 방정식에 대입한다. 타원 7xÛ`+16yÛ`+Ax+By+C=0의 중심은 두 초점 (0, 2), (-6, 2)를 이은 선분의 중점이므로 { 0-6₂ , 2+2_{2 }} , 즉 (-3, 2) 두 초점이 x축에 평행한 직선 y=2 위에 있으므로 주어진 타원의 방정식은 (x+3)Û`

aÛ` + (y-2)Û`bÛ` =1`(a>b>0) 로 놓을 수 있다. 장축의 길이가 8이므로 2a=8 ∴ a=4 이때 중심과 초점 사이의 거리를 c라 하면 c=0-(-3)=3 cÛ`=aÛ`-bÛ`에서 bÛ`=aÛ`-cÛ`=16-9=7 따라서 주어진 타원의 방정식은 (x+3)Û` 16 + (y-2)Û`7 =1 이 식을 일반형으로 나타내면 7xÛ`+16yÛ`+42x-64y+15=0 ∴ A=42, B=-64, C=15 | 다른 풀이 | 주어진 타원의 방정식은 두 점 (0, 2), (-6, 2)에서의 거리의 합이 8인 점 P(x, y)의 집합이므로 "ÃxÛ`+Ã(yÃ-2)Û`+"Ã(x+Ã6)Û`Ã+(Ãy-2)Û`=8 "ÃxÛ`+Ã(y-Ã2)Û`=8-"Ã(x+Ã6)Û`+Ã(y-2)Û` 양변을 제곱하여 정리하면 4"Ã(x+Ã6)Û`+Ã(y-2)Û`=3x+25 다시 양변을 제곱하여 정리하면 7xÛ`+16yÛ`+42x-64y+15=0 ∴ A=42, B=-64, C=15

11

셀파 중심이 (m, n)인 타원의 방정식 ⇨ (x-m)Û` aÛ` + (y-n)Û` bÛ` =1 오른쪽 그림의 삼각형 COH에서 ∠COH=60ù이므로 OCÓ= 10 cos`60ù= 10_;2!;=20 즉, 타원의 단축의 길이는 ABÓ=20, 장축의 길이는 2OCÓ=40이다.

이때 직선 OC를 x축, 직선 AB를 y축으로 하는 좌표평면을 생각 하면 타원의 방정식은 _20Û`xÛ` + yÛ`_10Û`=1이다. 초점의 좌표를 F(c, 0), F'(-c, 0)`(c>0)이라 하면 c="Ã20Û`Ã-10Û`=10'3이므로 F(10'3, 0), F'(-10'3, 0) 따라서 두 초점 F, F' 사이의 거리는 FFÓ'Ó=2_10'3=20'3

14

셀파 타원의 장축과 단축의 길이를 구한다. O 60ù A B C H 10 10 10 터널의 단면의 타원의 방정식을 xÛ`

aÛ`+ yÛ`bÛ`=1`(a>b>0) 이라 하면 a=15, b=10이므로 타원의 방정식은 xÛ` 15Û`+ yÛ`10Û`=1 조명등의 도로면으로부터의 높이는 x=9일 때의 y의 값이므로 9Û` 15Û`+ yÛ`10Û`=1, yÛ` 100= 144225 ∴ y=12_10₁₅ =8(m) (∵ y>0) 따라서 구하는 조명등의 도로면으로부터의 높이는 8`m

13

셀파 타원의 장축의 길이는 30, 단축의 길이는 20이다. O -15 15 10 9 y x 한편 b>a>0에서 장축의 길이는 2b, 단축의 길이는 2a이고 장 축의 길이와 단축의 길이의 곱 4ab의 값이 최소일 때는 4 aÛ`= 9bÛ`일 때이다. 따라서 4 aÛ`= 9bÛ`를 ㉠에 대입하여 풀면 aÛ`=8, bÛ`=18 ∴ a=2'2, b=3'2 (∵ a>0,b>0)

(15)

xÛ` 9- yÛ`4=1에서 a=3, b=2이므로 c="Ã3Û`+2Û`='13 초점의 좌표 : ( '13 , 0), (-'1§3, 0) 꼭짓점의 좌표 : (3, 0), (-3, 0) 주축의 길이 : 2_3=6 또 그 그래프는 오른쪽 그림과 같다. y x O 3 -3 -1123 1123 - =1 `xÛ 1₉ 1`yÛ_`4

1-1

⑴ xÛ`₉ - yÛ`₁₆=1에서 a=3, b=4이므로 c="Ã3Û`+4Û`=5 초점의 좌표 : (5, 0), (-5, 0) 꼭짓점의 좌표 : (3, 0), (-3, 0) 주축의 길이 : 2_3=6 또 그 그래프는 오른쪽 그 림과 같다. ⑵ xÛ`₈ - yÛ`₄=-1에서 a=2'2, b=2이므로 c="Ã(2'Ã2)Û`+2Û`=2'3 초점의 좌표 : (0, 2'3), (0, -2'3) 꼭짓점의 좌표 : (0, 2), (0, -2) 주축의 길이 : 2_2=4 또 그 그래프는 오른쪽 그 림과 같다. O -3 3 5 -5 y x xÛ 1₉-13₁₆yÛ=1 O -2 2 -213 213 y x xÛ 1₈- =-11yÛ₄

1-2

본문 | 45 쪽 개념 익히기

3.

쌍곡선

xÛ`-yÛ`=1 (x-2)Û`-(y-3)Û`=1 (''2, 0), (-'2, 0) (2+'2, 3), (2-'2, 3) (1, 0), (-1, 0) (3, 3), ( 1 , 3) 주축의 길이 : 2_ 1 = 2 초점의 좌표 꼭짓점의 좌표

2-1

x축의 방향으로 2만큼_{y축의 방향으로 3만큼}평행이동 ⑴ ₁₆xÛ`- yÛ`₉=1 (x+1)Û` 16 - (y-2)Û`9 =1 (5, 0), (-5, 0) (4, 2), (-6, 2) (4, 0), (-4, 0) (3, 2), (-5, 2) 주축의 길이 : 2_4=8 ⑵ xÛ`-yÛ`₄=-1 (x+1)Û`- (y-2)Û`₄ =-1 (0, '5), (0, -'5) (-1, 2+'5), (-1, 2-'5) (0, 2), (0, -2) (-1, 4), (-1, 0) 주축의 길이 : 2_2=4

2-2

x축의 방향으로 -1만큼_{y축의 방향으로 2만큼}평행이동 x축의 방향으로 -1만큼 y축의 방향으로 2만큼 평행이동 꼭짓점의 좌표 초점의 좌표 초점의 좌표 꼭짓점의 좌표 본문 | 48~56 쪽 확인 문제 초점이 y축 위에 있고 거리의 차가 6이므로 구하는 쌍곡선의 방 정식을 xÛ`

aÛ`- yÛ`bÛ`=-1 (a>0, b>0) 로 놓으면 2b=6에서 b=3 c=5에서 aÛ`=cÛ`-bÛ`=5Û`-3Û`=16 따라서 구하는 쌍곡선의 방정식은 xÛ` 16- yÛ`9=-1

0 1-1

셀파 초점이 y축 위에 있는 쌍곡선의 방정식은 xÛ` aÛ` -yÛ` bÛ`=-1 (a>0, b>0) 꼴이다.

(16)

타원 ₂₅xÛ`+ yÛ`₉=1의 두 초점을 F(c, 0), F'(-c, 0) (c>0)이라 하면 c="Ã25-½9=4이므로 F(4, 0), F'(-4, 0) 초점이 x축 위에 있고 거리의 차가 6이므로 구하는 쌍곡선의 방 정식을 xÛ`

aÛ`- yÛ`bÛ`=1 (a>0, b>0) 로 놓으면 2a=6에서 a=3 c=4에서 bÛ`=cÛ`-aÛ`=16-9=7 따라서 구하는 쌍곡선의 방정식은 xÛ` 9 - yÛ`7=1 | 다른 풀이 | 타원 ₂₅xÛ`+yÛ`₉ =1의 두 초점은 F(4, 0), F'(-4, 0) 쌍곡선 위의 점을 P(x, y)로 놓으면 |PF'Ó-PFÓ|=6이므로 |"Ã(x+Ã4)Û`Ã+yÛ`-"Ã(x-Ã4)Û`Ã+yÛ`|=6 "Ã(x+Ã4)Û`Ã+yÛ`="Ã(x-Ã4)Û`Ã+yÛ`Ñ6 이 식의 양변을 제곱하여 정리하면 4x-9=Ñ3"Ã(xÃ-4)ÃÛ`+yÛ` 다시 양변을 제곱하여 정리하면 7xÛ`-9yÛ`=63 ∴ xÛ`₉ -yÛ`₇ =1

0 1-2

셀파 타원 xÛ`_aÛ`+yÛ` bÛ`=1 (a>b>0)의 두 초점을 F(c, 0), F'(-c, 0) (c>0)이라 하면 c="ÃaÛ`-bÛ`이다. ⑴ 쌍곡선 xÛ` 12- yÛ`3=1에서 xÛ` (2'3)Û`- yÛ`('3)Û`=1이므로 a=2'3, b='3 점근선의 방정식 : y=Ñ '₂_'33 x, 즉 y=Ñ;2!;x 꼭짓점의 좌표 : (2'3, 0), (-2'3, 0) 또 그 그래프는 다음 그림과 같다. y x -213 213 12 xÛ 3 yÛ - =1 2 1 y= x y=-₂1x O ⑵ 쌍곡선 ₁₂xÛ`- yÛ`₃ =-1에서 a=2'3, b='3이므로 점근선의 방정식 : y=Ñ '3 2'3x, 즉 y=Ñ;2!;x 꼭짓점의 좌표 : (0, '3), (0, -'3) 또 그 그래프는 다음 그림과 같다. O 13 -13 12xÛ-yÛ3=-1 2 1 y=-2 1 y= x x y x 확인 체크

01

셀파 특강 각의 이등분선의 성질에 의하여 PFÓ'Ó`:`PFÓ=F'ÓAÓ`:`FAÓ=2`:`1 PFÓ=k (k>0)로 놓으면 PFÓ'Ó=2k이 므로 PFÓ'Ó-PFÓ=2k-k=k yy㉠ 쌍곡선의 정의에 의하여 쌍곡선 xÛ`₈- yÛ`₂=1 위의 점 P와 두 초점 F, F'으로부터의 거리의 차는 쌍곡선의 주축의 길이와 같으므로 PFÓ'Ó-PFÓ=4_'2 yy㉡ ㉠, ㉡에서 k=4'2 ∴ PFÓ'ÓÛ`+PFÓÛ`=(8'2)Û`+(4'2)Û`=160 | 참고 |

삼각형 ABC에서 ∠A(또는 ∠A의 외각)의 이등분선과 변 BC(또는 변 BC의 연장선)와의 교점을 D라 할 때 ABÓ`:`ACÓ=BDÓ`:`CDÓ y x O F' F P A 2 1 - =1yÛ₂ xÛ 8 A B _D C

0 2-1

(17)

본문 | 52 쪽

집중 연습

⑴ 초점이 F(10, 0), F'(-10, 0)이므로 구하는 쌍곡선의 방정식을 xÛ`

aÛ`- yÛ`bÛ`=1 (a>0, b>0)로 놓으면 aÛ`+bÛ`=100 yy㉠

또 점근선의 방정식이 y=Ñ;4#;x이므로 ;aB;=;4#; ∴ a=;3$;b yy㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 aÛ`=64, bÛ`=36 ∴ ₆₄xÛ`- yÛ`₃₆=1

0

1

9xÛ`-16yÛ`=144에서 xÛ` 16- yÛ`9=1, 즉 xÛ` 4Û`- yÛ`3Û`=1이므로 두 초점의 좌표는 (5, 0), (-5, 0)이고, 점근선의 방정식은 y=Ñ;4#;x이다. 이때 한 초점을 지나면서 점근선과 평행한 직선의 방정식은 y=;4#;(x+5), y=;4#;(x-5), y=-;4#;(x+5), y=-;4#;(x-5) 따라서 이 4개의 직선으로 둘러싸인 도형은 오른쪽 그림의 색칠한 부분과 같으므로 그 넓이는 ;2!;_(2_5)_{2_:Á4°:}=:¦2°: (Ñ"Ã4Û`+3Û`,0) y x O -5 5 y=- x3₄ ₁₅ _{y= 34}x 4 - 15₄

0 3-2

셀파 쌍곡선 xÛ` 16 -yÛ` 9=1의 초점의 좌표와 점근선의 방정 식을 구한다. ⑵ 초점이 F('5, 0), F'(-'5, 0)이므로 구하는 쌍곡선의 방정식을 xÛ`_aÛ`- yÛ`_bÛ`=1 (a>0, b>0)로 놓으면 aÛ`+bÛ`=5  yy㉠

또 점근선의 방정식이 y=Ñ;2!;x이므로 ;aB;=;2!; ∴ a=2b yy㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 aÛ`=4, bÛ`=1

∴ xÛ`₄ -yÛ`=1

⑶ 초점이 F(0, 4), F'(0, -4)이므로 구하는 쌍곡선의 방정 식을 xÛ`_aÛ`- yÛ`_bÛ`=-1 (a>0, b>0)로 놓으면

aÛ`+bÛ`=16  yy㉠ 또 점근선의 방정식이 y=Ñ '3

3 x이므로 ;aB;= '3₃ ∴ a='3b yy㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 aÛ`=12, bÛ`=4

∴ ₁₂xÛ`- yÛ`₄ =-1

⑷ 초점이 F(0, '¶10), F'(0, -'¶10)이므로 구하는 쌍곡선 의 방정식을 xÛ`_aÛ`- yÛ`_bÛ`=-1 (a>0, b>0)로 놓으면 aÛ`+bÛ`=10  yy㉠

또 점근선의 방정식이 y=Ñ3x이므로 ;aB;=3 ∴ b=3a yy㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 aÛ`=1, bÛ`=9 ∴ xÛ`-yÛ`₉ =-1

⑴ 타원 ₁₆₉xÛ` + yÛ`₂₅=1의 초점의 좌표는 (Ñ'¶16Ä9-25, 0), 즉 (Ñ12, 0)이므로 구하는 쌍곡선의 방정식을

xÛ`

aÛ`- yÛ`bÛ`=1 (a>0, b>0)로 놓으면 aÛ`+bÛ`=144 yy㉠ 또 점근선의 방정식이 y=Ñ'3x이므로

;aB;='3 ∴ b='3a yy㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 aÛ`=36, bÛ`=108 ∴ xÛ`

36- yÛ`108=1

0

2

쌍곡선 xÛ`₄ -yÛ`=-1에서 xÛ`_2Û`-yÛ`=-1이므로 a=2, b=1 점근선의 방정식은 y=Ñ;2!;x yy㉠ 포물선 yÛ`=8x=4_2_x의 준선의 방정식은 x=-2 x=-2를 ㉠에 대입하면 쌍곡선의 두 점근선과 포물선의 준선의 교점은 (-2, 1), (-2, -1) ∴ PQÓ=|1-(-1)|=2

0 3-1

셀파 포물선 yÛ`=4px의 준선의 방정식은 x=-p이다.

(18)

⑴ 주어진 조건을 만족시키는 점을 P(x, y)라 하면 주축의 길이 가 2이므로 |PFÓ'Ó-PFÓ|=2 |"Ã(x+Ã1)Û`+Ã(y-3)Û`-"Ã(x+Ã1)Û`Ã+(Ãy+1Å)Û`|=2 "Ã(x+Ã1)Û`+Ã(yÃ-3)Û`="Ã(x+Ã1)Û`Ã+(yÃ+1)Û`Ñ2 이 식의 양변을 제곱하여 정리하면 -2y+1=Ñ"Ã(x+Ã1)Û`+Ã(yÃ+1)Û` 다시 양변을 제곱하여 정리하면 (x+1)Û`-3(y-1)Û`=-3 ∴ (x+1)Û`₃ -(y-1)Û`=-1 ⑵ 주어진 조건을 만족시키는 점을 P(x, y)라 하면 |PFÓ'Ó-PFÓ|=4 |"ÃxÛ`+Ã(y+1)Û`-"Ã(x-Ã8)Û`Ã+(Ãy+1Å)Û`|=4 "ÃxÃÛ`+Ã(yÃ+1)Û`="Ã(x-Ã8)Û`Ã+(yÃ+1)Û`Ñ4 이 식의 양변을 제곱하여 정리하면 2x-10=Ñ"Ã(x-Ã8)Û`+Ã(yÃ+1)Û` 다시 양변을 제곱하여 정리하면 3(x-4)Û`-(y+1)Û`=12 ∴ (x-4)Û` 4 - (y+1)Û`12 =1 | 다른 풀이 | ⑴ 초점을 이은 선분 FF'이 y축에 평행하고 쌍곡선 의 중심은 FFÓ'Ó의 중점이므로 구하는 쌍곡선의 방정식은 (x+1)Û` aÛ` -(y-1)Û` bÛ` =-1 (단, a>0, b>0) 중심과 초점 사이의 거리가 c이므로 c=|3-1|=2 주축의 길이가 2이므로 2b=2 ∴ b=1 aÛ`=cÛ`-bÛ`에서 aÛ`=4-1=3 ∴ (x+1)Û`₃ -(y-1)Û`=-1 ⑵ 초점을 이은 선분 FF'이 x축에 평행하고 쌍곡선의 중심은 FFÓ'Ó의 중점이므로 구하 는 쌍곡선의 방정식은 (x-4)Û` aÛ` -(y+1)Û` bÛ` =1 (단, a>0, b>0) 중심과 초점 사이의 거리가 c이므로 c=|8-4|=4 거리의 차가 4이므로 2a=4 ∴ a=2 bÛ`=cÛ`-aÛ`에서 bÛ`=16-4=12 ∴ (x-4)Û`₄ -(y+1)Û`₁₂ =1 (-1, 3) (-1, -1) (-1, 1) 중심 (4, -1) (8, -1) (0 , -1) 중심

0 4-1

셀파 조건을 만족시키는 점을 P(x, y)로 놓는다. ⑵ 타원 ₂₅xÛ`+ yÛ`₁₆=1의 초점의 좌표는 (Ñ'Ä25-¶16, 0), 즉 (Ñ3, 0)이므로 구하는 쌍곡선의 방정식을 xÛ`

aÛ`- yÛ`bÛ`=1(a>0, b>0)로 놓으면 aÛ`+bÛ`=9 ∴ bÛ`=9-aÛ` yy㉠ 또 이 쌍곡선이 점 ('2, -2'2)를 지나므로 2 aÛ`- 8bÛ`=1 yy㉡㉠, ㉡을 연립하면 2(9-aÛ`)-8aÛ`=aÛ`(9-aÛ`) aÝ`-19aÛ`+18=0, (aÛ`-1)(aÛ`-18)=0 ∴ aÛ`=1 또는 aÛ`=18 이때 bÛ`=8 또는 bÛ`=-9 bÛ`>0이므로 aÛ`=1, bÛ`=8 ∴ xÛ`-yÛ`₈=1 ⑶ 타원 xÛ` 7 + yÛ`16=1의 초점의 좌표는 (0, Ñ'Ä16-7), 즉 (0, Ñ3)이므로 구하는 쌍곡선의 방정식을 xÛ`

aÛ`- yÛ`bÛ`=-1 (a>0, b>0)로 놓으면 aÛ`+bÛ`=9  yy㉠ 또 점근선의 방정식이 y=Ñ'2x이므로

;aB;='2 ∴ b='2a yy㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 aÛ`=3, bÛ`=6 ∴ xÛ`₃- yÛ`₆=-1

⑷ 타원 xÛ`₈ + yÛ`₁₂=1의 초점의 좌표는 (0, Ñ'Ä12-8), 즉 (0, Ñ2)이므로 구하는 쌍곡선의 방정식을

xÛ`

aÛ`- yÛ`bÛ`=-1 (a>0, b>0)로 놓으면 aÛ`+bÛ`=4 ∴ bÛ`=4-aÛ` yy㉠ 또 이 쌍곡선이 점 (3, 2)를 지나므로 9 aÛ`- 4bÛ`=-1 yy㉡㉠, ㉡을 연립하면 9(4-aÛ`)-4aÛ`=-aÛ`(4-aÛ`) aÝ`+9aÛ`-36=0, (aÛ`-3)(aÛ`+12)=0 aÛ`>0이므로 aÛ`=3 ㉠에서 bÛ`=1 ∴ xÛ`₃-yÛ`=-1

(19)

xÛ`-8yÛ`-4x-48y-60=0에서 (x-2)Û`-8(y+3)Û`=-8 ∴ (x-2)Û`₈ -(y+3)Û`=-1 주어진 쌍곡선은 쌍곡선 xÛ` 8-yÛ`=-1 yy㉠ 을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이다. 이때 쌍곡선 ㉠의 중심의 좌표는 (0, 0) 꼭짓점의 좌표는 (0, 1), (0, -1) 초점의 좌표는 (0, 3), (0, -3) 이므로 주어진 쌍곡선의 중심의 좌표 : (2, -3) 꼭짓점의 좌표 : (2, -2), (2, -4) 초점의 좌표 : (2, 0), (2, -6)

0 5-1

셀파 쌍곡선의 방정식을 (x-m)Û` aÛ` -(y-n)Û` bÛ` =Ñ1 꼴 로 고친다. 두 초점이 (0, 4), (0, -4)이고 y축 위에 있으므로 쌍곡선의 방정 식은 xÛ`_aÛ`- yÛ`_bÛ`=-1 (a>0, b>0) 꼴이다.

이때 cÛ`=16이므로 aÛ`=cÛ`-bÛ`=16-bÛ` yy㉠ 두 초점 (0, 4), (0, -4)로부터의 거리의 차가 4이므로 2b=4에서 b=2 b=2를 ㉠에 대입하면 aÛ`=16-4=12 따라서 구하는 쌍곡선의 방정식은 xÛ` 12- yÛ`4 =-1 | 참고 | 쌍곡선 _{12 -}xÛ` yÛ`_{4 =-1의 그래프는 다음과 같다.} (0, 4) (0, -4) -2 2 13 `y= 1x `y=- 13 x1 O - =-1 `xÛ 12 yÛ4 y x

0

1

셀파 두 점 F(0, c), F'(0, -c)로부터의 거리의 차가 2b인 쌍 곡선의 방정식은 xÛ` aÛ` -yÛ` bÛ`=-1 (c>b>0, aÛ`=cÛ`-bÛ`) 꼴이다. 본문 | 58~59 쪽 연습 문제 x y - =-1 (y<0)yÛ₈ xÛ 8 O P(0, -4) Q(0, 4) 점 P를 향해 입사한 빛이 쌍곡선 위의 점에서 반사되어 점 Q를 향해 가므로 두 점 P, Q는 쌍곡선의 초점이다. xÛ` 8- yÛ`8=-1에서 cÛ`=8+8=16이므로 c=Ñ4 ∴ P(0, -4), Q(0, 4) ∴ PQÓ=8

0 6-1

셀파 두 초점의 좌표를 구하여 두 초점 사이의 거리를 구한 다. 12xÛ`-4yÛ`+24x+24y-72=0에서 12(x+1)Û`-4(y-3)Û`=48 ∴ (x+1)Û` 4 - (y-3)Û`12 =1 yy㉠ 주어진 쌍곡선은 쌍곡선 xÛ` 4- yÛ`12=1 yy㉡ 을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다. 이때 쌍곡선 ㉡의 초점의 좌표는 (4, 0), (-4, 0)이므로 쌍곡선 ㉠의 두 초점 F, F'의 좌표는 F(3, 3), F'(-5, 3) FFÓ'Ó=3-(-5)=8 따라서 구하는 삼각형 OFF'의 넓이는 ;2!;_8_3=12 O 3 -5 3 _F F' y x

0 5-2

셀파 쌍곡선의 방정식을 (x-m)Û` aÛ` -(y-n)Û` bÛ` =Ñ1 꼴 로 고쳐 초점의 좌표를 구한다.

(20)

두 초점이 F('3, 0), F'(-'3, 0)이므로 구하는 쌍곡선의 방정 식을 xÛ`_aÛ`- yÛ`_bÛ`=1 (a>0, b>0)로 놓으면

aÛ`+bÛ`=3 ∴ bÛ`=3-aÛ` yy㉠ 이 쌍곡선이 점 P(10, 7)을 지나므로

10Û`

aÛ` - 7Û`bÛ`=1 ∴ 100bÛ`-49aÛ`=aÛ`bÛ` yy㉡㉠을 ㉡에 대입하면

100(3-aÛ`)-49aÛ`=aÛ`(3-aÛ`)

aÝ`-152aÛ`+300=0, (aÛ`-150)(aÛ`-2)=0

∴ aÛ`=2 또는 aÛ`=150 yy㉢㉢을 ㉠에 대입하면 bÛ`=1 또는 bÛ`=-147 이때 bÛ`>0이므로 bÛ`=1 ∴ aÛ`=2, bÛ`=1 따라서 쌍곡선의 방정식은 xÛ` 2 -yÛ`=1 이 쌍곡선이 점 Q(2, k)를 지나므로 2-kÛ`=1, kÛ`=1 ∴ k=1 (∵ k>0)

0

2

셀파 쌍곡선의 방정식을 xÛ` aÛ` -yÛ` bÛ`=1 (a>0, b>0)로 놓고

점 P의 x좌표, y좌표를 각각 x, y에 대입하여 aÛ`, bÛ`의 값을 구한다.

타원 xÛ`_aÛ`+ yÛ`_bÛ`=1 (a>b>0)의 장축의 길이가 4이므로 2a=4 ∴ a=2 yy㉠

또 타원의 두 초점 ("ÃaÛ`-ÅbÛ`, 0), (-"ÃaÛ`-ÅbÛ`, 0) 사이의 거리가 2'3이므로

2"ÃaÛ`-ÅbÛ`=2'3 ∴ aÛ`-bÛ`=3 yy㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 bÛ`=1 ∴ b=1 (∵ b>0) a=2, b=1이므로 주어진 쌍곡선의 방정식은 xÛ` 4 -yÛ`=1 따라서 쌍곡선의 두 초점은 ('Ä4+1, 0), (-'Ä4+1, 0), 즉 ('5, 0), (-'5, 0) 이므로 두 초점 사이의 거리는 2'5

0

3

셀파 타원 xÛ`_aÛ`+yÛ` bÛ`=1 (a>b>0)의 장축의 길이는 2a, 두 초점의 좌표는 ("ÃaÛ`-ÅbÛ`, 0), (-"ÃaÛ`-ÅbÛ`, 0)이다. 쌍곡선 xÛ` 36- yÛ`28=1의 두 초점의 좌표는 F(8, 0), F'(-8, 0) 이다.

0

4

셀파 삼각형 FPF'은 직각삼각형이므로 PFÓÛ`+PFÓ'ÓÛ`=FFÓ'ÓÛ` y x - =1 `xÛ 36 28`yÛ `y=-173x 17 `y= ₃x O P F'(-8, 0) F(8, 0) -6 6 PÕF'ÓÓ=a, PFÓ=b라 하면 FFÓ'Ó=16이므로 삼각형 FPF'에서 피타 고라스 정리에 의하여 aÛ`+bÛ`=16Û`=256 yy㉠ 이때 쌍곡선의 정의에 의하여 |PF'ÓÓ-PFÓ|=|a-b|=12 yy㉡ ㉠, ㉡에서 aÛ`+bÛ`=(a-b)Û`+2ab=256이므로 ab=56 따라서 구하는 삼각형 FPF'의 넓이는 ;2!;ab=;2!;_56=28 점 P는 장축의 길이가 12인 타원 위의 점이므로 타원의 정의에 의하여 PFÓ'Ó+PFÓ=12 또 점 P는 주축의 길이가 4인 쌍곡선 위의 점이므로 쌍곡선의 정 의에 의하여 PFÓ'Ó-PFÓ=4 ∴ PFÓ'ÓÛ`-PFÓÛ`=(PFÓ'Ó+PFÓ)(PFÓ'Ó-PFÓ) =12_4=48

0

5

셀파 타원의 정의와 쌍곡선의 정의를 이용한다. 타원과 쌍곡선 타원 또는 쌍곡선 위의 점 P와 두 초점 F, F'에 대하여 LEC TURE 타원 xÛ` aÛ`+ yÛ` bÛ`=1 (단, a>b>0) 쌍곡선 xÛ` aÛ` -yÛ` bÛ`=1 (단, a>0, b>0) 정의 PÕF'Ó+PFÓ=2a |PFÓ'Õ-PFÓ|=2a 초점의 좌표 (Ñ"ÃaÛ`-bÛ`, 0) (Ñ"ÃaÛ`+bÛ`, 0) 꼭짓점의 좌표 (Ña, 0), (0, Ñb) (Ña, 0)

(21)

쌍곡선의 두 초점을 A, A'이라 하면 쌍곡선 xÛ`₇- yÛ`₉=-1에서 cÛ`=7+9=4Û`이므로 두 초점의 좌표는 (0, 4), (0, -4) ∴ A(0, -4), A'(0, 4) 이때 쌍곡선의 정의에 의하여 PAÓ-PAÓ'Ó=6 이므로 제1사분면 위에 있는 이 쌍곡선 위의 점 P에 대하여 PAÓ+PBÓ=6+PAÓ'Ó+PBÓ ¾6+BAÓ'Ó 이때 BAÓ'Ó="Ã(4-Ã0)Û`Ã+Ã(1-4)Û`=5 따라서 PAÓ+PBÓ의 최솟값은 6+5=11 PAÓ-PÕA'Ó=6에서 PAÓ=6+PÕA'Ó

0

6

셀파 쌍곡선의 두 초점을 A, A'이라 하면 쌍곡선의 정의에 의 하여 PAÓ-PAÓ'Ó=6이다. y x - =-1yÛ₉ xÛ 7 O 1 4 3 -3 B(4, 1) P A'(0, 4) A(0, -4) 타원 xÛ`₄ +yÛ`=1에서 두 초점 F, F'의 좌표는 F('3, 0), F'(-'3, 0) 이때 쌍곡선의 방정식을 xÛ`

aÛ`- yÛ`bÛ`=1 (a>0, b>0)이라 하면 한 초점의 x좌표가 '3이므로

aÛ`+bÛ`=3 yy㉠

쌍곡선의 한 점근선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 45ù이므로 ;aB;=tan`45ù=1 ∴ a=b yy㉡㉡을 ㉠에 대입하면

2aÛ`=3, aÛ`=;2#; ∴ a= '6₂ (∵ a>0) 따라서 쌍곡선의 주축의 길이는 2a=2_ '₂6='6

0

9

셀파 쌍곡선 xÛ` aÛ` -yÛ` bÛ`=1 (a>0, b>0)의 점근선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 h (0ù<h<90ù)이면 ;aB;=tan`h이다. 주어진 쌍곡선은 쌍곡선 ₁₆xÛ`- yÛ`₉=1을 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 a만큼 평행이동한 것이다. 이때 쌍곡선 ₁₆xÛ`- yÛ`₉=1의 초점의 좌표는 (5, 0), (-5, 0)이므 로 주어진 쌍곡선의 초점의 좌표는 (8, a), (-2, a) 한 초점이 점 (8, 8)이므로 a=8 따라서 다른 초점의 좌표는 (-2, 8)

10

셀파 쌍곡선 xÛ` 16 -yÛ` 9 =1을 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방 향으로 a만큼 평행이동한다. 쌍곡선 ₁₆xÛ`- yÛ`₉=1의 주축의 길이는 2_4=8 또 두 점 F, F'은 쌍곡선 ₁₆xÛ`- yÛ`₉=1의 초점이고, 두 점 P, Q는 이 쌍곡선 위의 점이므로 쌍곡선의 정의에 의하여 PFÓ'Ó-PFÓ=8 yy㉠, QFÓ-QFÓ'Ó=8 yy㉡ ㉠+㉡에서 (PFÓ'Ó-QFÓ'Ó)+(QFÓ-PFÓ)=16 이때 PFÓ'Ó-QFÓ'Ó=3이므로 QFÓ-PFÓ=16-3=13

0

8

셀파 점 P, Q는 쌍곡선 위의 점이므로 쌍곡선의 정의에 의하여 PFÓ'Ó-PFÓ=QFÓ-QFÓ'Ó=(주축의 길이)이다. 쌍곡선 xÛ` 4 - yÛ`5=1의 두 초점 F, F'의 좌표는 각각 F(3, 0), F'(-3, 0)이므로 FFÓ'Ó=6 쌍곡선의 정의에 의하여 쌍곡선 위의 점 P에서 두 초점 F, F'으로부터의 거리의 차는 쌍곡선의 주축의 길이 2_2=4와 같으므로 PFÓ-PFÓ'Ó=4 yy㉠ 또 점 P는 선분 FF'을 지름으로 하는 원 위의 점이므로 ∠FPF'=90ù이다. 즉, 삼각형 FPF'은 직각삼각형이므로 PFÓÛ`+PFÓ'ÓÛ`=FFÓ'ÓÛ` ∴ PFÓÛ`+PFÓ'ÓÛ`=36 yy㉡ 이때 PFÓ=x로 놓으면 ㉠에서 PFÓ'Ó=x-4 PFÓ=x, PFÓ'Ó=x-4를 ㉡에 대입하면 xÛ`+(x-4)Û`=36, xÛ`-4x-10=0 ∴ x=2+'¶14 (∵ x>0)

0

7

셀파 선분 FF'은 원의 지름이고 점 P는 원 위의 점이므로 ∠FPF'=90ù이다. y x O F' F P 6 x-4 x - =1yÛ₅ xÛ 4