1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선
1 포물선
포물선 위의 점이 주어진 포물선의 정의 02
1.1.포물선 의 초점을 F , 포물선의 준선이 축과 만 나는 점을 A 라 하자. 포물선 위의 점 B 에 대하여 AB 이고
BF 가 되도록 하는 의 값이 또는 일 때, 의 값을 구 하시오. (단, ≠ 이다.)
[4점][2012예비(B) 5월/평가원 27]
3 쌍곡선
쌍곡선의 점근선 02
2.2.쌍곡선
의 두 초점
,
을 각각 F F′ 이라 하자. 이 쌍곡선 위를 움직이는 점 P ＞ 에 대 하여 선분 F′P 위의 점 Q 가 FP P Q 를 만족시킬 때, 점 Q 가 나타 내는 도형 전체의 길이는?[4점][2006(가) 9월/평가원 9]
① ②
③ ④ ⑤
기하와벡터 2. 평면곡선의 접선
2 평면곡선의 접선
기울기가 주어진 타원의 접선의 방정식 04
3.3.그림과 같이 좌표평면에서 원점 O 를 중심으로 하고 반지름의 길이 가 인 원 위의 점 P 에서 축에 내린 수선의 발을 P ′ 이라 하자. 점 P ′ 을 초점으로 하고, 축 위에 있는 원의 지름을 장축으로 하는 타원 에 대하여 점 P 에서 타원에 그은 접선 의 기울기가
일 때, 직선
O P 의 기울기는?
[4점][2012예비(B) 5월/평가원 17]
①
②
③
④
⑤
3 매개변수의 미분법
이차곡선을 매개변수로 나타낸 접선 04
4.4.실수 에 대하여 좌표평면에서 원점을 지나고 기울기가 tan sin
인 직선과 원 이 만나는 점 중에서 좌표가 양수인 점을 P 라 하고, 점 P 가 나타내는 곡선을 라 하자. 일 때, 곡선 위의 점 P 에서의 접선과 축 및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는
× 이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 유리수이다.) [4점][2014(B) 3월/교육청 30]
1. 벡터의 연산 Ⅱ 평면벡터
1 벡터의 연산
이차곡선의 벡터의 크기 03
5.5.타원
의 두 초점을 F F′이라 하자. 이 타원 위의 점 P 가 O P O F 을 만족시킬 때, 선분 P F 의 길이는 이다. 의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)
[3점][2007(가) 수능(홀) 20]
기하와벡터 2. 벡터의 성분과 내적
1 위치벡터
성분으로 주어진 평면벡터의 내적 03
6.6.좌표평면 위의 두 점 A , B 에 대하여 O B ∙ AB
일 때, 양수 의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)
[3점][2012예비(B) 5월/평가원 23]
내적의 정의를 이용한 최대 최소 08
7.7.그림과 같이 평면 위에 정삼각형 ABC 와 선분 AC 를 지름으로 하는 원 가 있다. 선분 BC 위의 점 D 를 ∠D AB
가 되도록 정한
다. 점 가 원 위를 움직일 때, 두 벡터 AD CX 의 내적
AD ∙ CX 의 값이 최소가 되도록 하는 점 X 를 점 P 라 하자.
∠ACP
일 때, 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2011(가) /수능 22]
내적의 기하학적 의미의 활용 09
8.8.평면에서 그림과 같이 AB 이고 BC
인 직사각형 ABCD 와 정삼각형 EAD 가 있다. 점 P 가 선분 AE 위를 움직일 때, 옳은 것 만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?[4점][2010(가) 9월/평가원 14]
ㄱ. CB CP의 최솟값은 이다.
ㄴ. CA ∙ CP 의 값은 일정하다.
ㄷ. D A CP의 최솟값은
이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
3. 평면운동 Ⅱ 평면벡터
1 속도와 가속도
등속 원운동에서의 속도와 가속도 03
9.9.좌표평면 위의 반지름의 길이가 인 원 와 이 원 위를 움직이는 점 P 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 점 P 는 원 위를 시계 반대 방향으로 매초 의 속력 으로 움직인다.
(나) 원 는 축의 양의 방향으로 매초 의 속력으로 움 직인다.
원 는 중심이 원점에서, 점 P 는 점 에서 동시에 출발할 때, 원 의 중심과 점 P 를 지나는 직선이 직선 와 만나는 점을 Q 라 하자. 출발한 후
초가 되는 순간, 점 Q 는 직선 위를
매초 의 속력으로 움직인다. 의 값을 구하시오.
[4점][2009(가) 10월/교육청 30]
시간에 대한 길이의 변화율 04
10.10.길이가 인 선분 AB 를 지름으로 하는 반원이 있다. 그림과 같이 두 점 P Q 가 점 B 에서 동시에 출발하여 다음 조건을 만족시키면서 반원 위를 움직인다.
(가) ∠Q AB ∠P AB
(나) 선분 BP 의 길이의 시간(초)에 대한 변화율은
이다.
11.11.지면에서 회전 중심축까지의 높이가 이고, 길이가 인 풍력 발전기의 날개가 축을 중심으로 일정한 속력으로 시계반대방향으로 돌 고 있다. 지면에서 날개 끝까지의 높이가 가 될 때, 시간(초)에 따른 높이의 변화율이 이고, 풍력 발전기의 날개가 한 바퀴 도는데 걸리는 시간을 초라 하자.
( 는 서로소)일 때, 의 값을 구하시오. (단, 축은 지면과 평행하고 축과 날개의 두께는 고려하 지 않는다.)
[4점][2009(가) 7월/교육청 30]
기하와벡터 3. 평면운동 시간에 대한 넓이의 변화율
05
12.12.그림과 같이 원점 O 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원이 있다. 직선
와 원이 제사분면에서 만나는 점을 A 라 하자.점 P 는 원점 O 를 출발하여 축을 따라 양의 방향으로 매초 의 일정 한 속력으로 움직인다. 점 P 가 원점 O 를 출발하여 초가 되는 순간, 점 P 를 지나고 직선
에 평행한 직선이 제사분면에서 원과 만나는 점을 Q 라 하자.세 선분 AO , O P , P Q 와 호 Q A 로 둘러싸인 부분의 넓이를 라 할 때, 점 Q 의 좌표가 가 되는 순간, 넓이 의 시간(초)에 대한 변화율 을 구하시오. (단, )
[4점][2015(B) 4월/교육청 30]
O
A
Q
P
13.13.그림과 같이 좌표평면에서 원 위의 점 P 가 점
에서 출발하여 원점을 중심으로 매초
(라디안)의 일정한 속력으로 원 위를 시계 반대 방향으로 움직이고 있다. 점 P 에서 축에 평행한 직선을 그을 때, 원과 직선으로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를 라 하 자. 점 P 가 점
을 지나는 순간, 넓이 의 시간(초)에 대한 변화율은 이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연 수이다.)
[4점][2007(가) 수능(홀) 30]
14.14.그림과 같이 좌표평면 위의 반지름의 길이가 인 사분원 O AB 에 대하여 각 AO B 를 이등분하는 직선이 사분원과 만나는 점을 C 라 하 자. 두 점 P , Q 는 점 C 에서 동시에 출발하여 사분원의 둘레를 따라 각각 시계 방향, 시계 반대 방향으로 매초
의 일정한 속력으로 움직
인다. 두 점 P , Q 가 점 C 에서 출발하여 초 가 되는 순 간, 선분 P Q 를 한 변으로 하고 사분원 O AB 에 내접하는 직사각형의 넓이를 라 하자. 출발한 지 초가 되는 순간, 넓이 의 시간 (초)에 대한 변화율은?
[4점][2011(가) 3월/교육청 20]
①
②
③
④
⑤
15.15.그림과 같은 원모양의 시계가 있다. 시계의 중심을 O , 길이가 인 시침의 끝점을 P , 길이가 인 분침의 끝점을 Q 라 할 때, 삼각형 O P Q 의 넓이를 라 하자. 시 정각이 되는 순간, 넓이 의 시간(분) 에 대한 순간변화율은
이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이고, 세 점 O P Q 가 일직선 위에 있는 경우는
으로 한다.)
[4점][2010(가) 7월/교육청 30]
1. 공간도형 Ⅲ 공간도형과 공간좌표
1 위치 관계
공간도형의 위치 관계 01
16.16.그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 인 원기둥과 밑면의 반지름 의 길이가 이고 높이가 인 원뿔이 평면 위에 놓여 있고, 원뿔의 밑면의 둘레가 원기둥의 밑면의 둘레에 내접한다. 평면 와 만나는 원 기둥의 밑면의 중심을 O , 원뿔의 꼭짓점을 A 라 하자. 중심이 B 이고 반지름의 길이가 인 구 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 구 S는 원기둥과 원뿔에 모두 접한다.
(나) 두 점 A , B 의 평면 위로의 정사영이 각각 A′, B′일 때, ∠A′O B′ 이다.
직선 AB 와 평면 가 이루는 예각의 크기를 라 할 때,
tan 이다. 의 값을 구하시오. (단, 원뿔의 밑면의 중심과 점 A′은 일치한다.)
[4점][2012(가) /수능 29]
17.17.그림과 같이 반지름의 길이가 모두
이고 높이가 서로 다른 세 원기둥이 서로 외접하며 한 평면 위에 놓여 있다. 평면 와 만나지 않는 세 원기둥의 밑면의 중심을 각각 P Q R 라 할 때, 삼각형 Q P R 는 이등변삼각형이고, 평면 Q P R 와 평면 가 이루는 각의 크기는 °이다. 세 원기둥의 높이를 각각 , , 라 할 때, 의 값을 구하시 오. (단, ＜＜ )
[4점][2009(가) /수능 24]
P Q
R
여러 가지 방법으로 이면각의 크기 구하기 05
18.18.같은 평면 위에 있지 않고 서로 평행한 세 직선 , , 이 있다.
직선 위의 두 점 , , 직선 위의 점 , 직선 위의 점 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) AB
, CD (나) AC ⊥, AC (다) BD ⊥, BD
두 직선 , 을 포함하는 평면과 세 점 A , C , D 를 포함하는 평면이 이루는 각의 크기를 라 할 때, tan 의 값을 구하시오.
단
[4점][2010(가) 9월/평가원 25]
기하와벡터 1. 공간도형
19.19.반지름의 길이가 인 구의 중심 O 를 지나는 평면을 라 하고, 평면 와 이루는 각이 인 평면을 라 하자. 평면 와 구가 만나 서 생기는 원을 , 평면 와 구가 만나서 생기는 원을 라 하자.
원 의 중심 A 와 평면 사이의 거리가
일 때, 그림과 같이 다음 조건을 만족하도록 원 위에 점 P , 원 위에 두 점 Q , R 를 잡는다.
(가) ∠Q AR °
(나) 직선 O P 와 직선 AQ 는 서로 평행이다.
평면 P Q R 와 평면 AQ P O 가 이루는 각을 라 할 때, cos
이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2012예비(B) 5월/평가원 30]
2 정사영
두 평면의 교선을 알 때, 정사영의 넓이를 이용한 이면각 04
20.20.그림과 같이 반지름의 길이가 인 구 와 서로 다른 두 직선 ,
이 있다. 구 와 직선 이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 A , B , 구 와 직선 이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 P , Q 라 하자. 삼 각형 AP Q 는 한 변의 길이가
인 정삼각형이고 AB
,∠ABQ
일 때 평면 AP B 와 평면 AP Q 가 이루는 각의 크기
에 대하여 cos 의 값을 구하시오.
[4점][2016(가) 7월/교육청 29]
A
B
P Q
복잡한 도형의 정사영의 넓이 06
21.21.그림과 같이 평면 위에 ∠A
, AB AC
인 삼각형ABC 가 있다. 중심이 점 O 이고 반지름의 길이가 인 구가 평면 와 점 A 에서 접한다. 세 직선 O A , O B , O C 와 구의 교점 중 평면 까 지의 거리가 보다 큰 점을 각각 D , E , F 라 하자. 삼각형 D EF의 평 면 O BC 위로의 정사영의 넓이를 라 할 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2015(B) 7월/교육청 30]
A
B
C O
D F E
1. 공간도형 Ⅲ 공간도형과 공간좌표 부채꼴과 이등변삼각형으로 나누어진 단면의 정사영의 넓이
07
22.22.서로 수직인 두 평면 의 교선을 이라 하자. 반지름의 길이가
인 원판이 두 평면 와 각각 한 점에서 만나고 교선 에 평행하 게 놓여 있다. 태양광선이 평면 와 °의 각을 이루면서 원판의 면에 수직으로 비출 때, 그림과 같이 평면 에 나타나는 원판의 그림자의 넓 이를 라 하자. 의 값을
라 할 때, 의 값을 구하시 오. (단, 는 자연수이고 원판의 두께는 무시한다.)[4점][2006(가) 9월/평가원 25]
태양빛이 수직으로 만나서 생기는 그림자인 사사영의 넓이 08
23.23.그림과 같이 태양광선이 지면과 °의 각을 이루면서 비추고 있다.
한 변의 길이가 인 정사각형의 중앙에 반지름의 길이가 인 원 모양의 구멍이 뚫려 있는 판이 있다. 이 판은 지면과 수직으로 서 있고 태양광 선과 °의 각을 이루고 있다. 판의 밑변을 지면에 고정하고 판을 그림 자 쪽으로 기울일 때 생기는 그림자의 최대 넓이를 라 하자. 의 값
을
라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, , 는 정수 이고 판의 두께는 무시한다.)
[4점][2008(가) 9월/평가원 25]
기하와벡터 2. 공간좌표
3 구의 방정식
구의 위치 관계 02
24.24.평면 에 수직인 직선 을 경계로 하는 세 반평면 , , 가 있 다. , 가 이루는 각의 크기와 , 가 이루는 각의 크기는 모두
이다. 그림과 같이 반지름의 길이가 인 구가 , , 에 동시에 접하고, 반지름의 길이가 인 구가 , , 에 동시에 접한다.
두 구의 중심 사이의 거리를 라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, 두 구는 평면 의 같은 쪽에 있다.)
[4점][2009(가) 10월/교육청 24]
25.25.그림과 같이 평면 위에 놓여 있는 서로 다른 네 구 , , ,
이 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 의 반지름의 길이는 3이고, , , 의 반지름의 길 이는 1이다.
(나) , , 은 모두 에 접한다.
(다) 은 와 접하고, 는 과 접한다.
, , 의 중심을 각각 O, O, O이라 하자. 두 점 O, O 를 지나고 평면 에 수직인 평면을 , 두 점 O, O을 지나고 평면
에 수직인 평면이 과 만나서 생기는 단면을 D 라 하자. 단면 D 의 평면 위로의 정사영의 넓이를
라 할 때, 의 값을 구하시오.
(단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2014(B) 9월/평가원 29]
구의 방정식의 활용 04
26.26.두 구 , 을 각각
라 하자. 두 구 , 가 만나서 생기는 원 위의 한 점을 P 라 하고, 점 P 의 평면 위로의 정사영을 P ′이라 하자. 구 과 축이 만나 는 점을 각각 Q R 라 할 때, 사면체 P Q P ′R 의 부피의 최댓값을 구하 시오.
[4점][2006(가) 수능(홀) 21]
27.27.좌표공간에서 축을 포함하고 평면과 이루는 각의 크기가
인 평면을 라 하자.평면 가 구 과 만나서 생기는 도형의 평면 위로 의 정사영이 영역 ∣ ≤ 에 포함되도록 하는 에 대하여 cos 의 최댓값을 이라 하자. 의 값을 구하시오.
[4점][2010(가) /수능 25]
1. 공간벡터 Ⅳ 공간벡터
1 공간벡터
공간벡터의 덧셈과 뺄셈의 크기 01
28.28.다음 그림은 밑면이 정팔각형인 팔각기둥이다.
AA
이고, 점 P 가 모서리 AB의 중점일 때, 벡터
P Ai P B
의 크기를 구하시오.[3점][2009(가) 9월/평가원 20]
2 공간벡터의 내적
공간벡터의 내적 01
29.29.좌표공간에서 네 점 A, A, A, A이 다음 조건을 만족시킨다.
(가) AA AA (나)
AA∙
AA AA
cos
( )
AA의 최댓값을 이라 할 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2012(가) 9월/평가원 29]
공간벡터의 내적의 연산의 활용 06
30.30.한 모서리의 길이가 인 정사면체 ABCD 에서 삼각형 ABC 의 무 게중심을 O , 선분 AD 의 중점을 P 라 하자. 정사면체 ABCD 의 한 면 BCD 위의 점 Q 에 대하여 두 벡터 O Q 와 O P 가 서로 수직일 때,
P Q의 최댓값은
이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 서로 소인 자연수이다.)
[4점][2017(가) 수능 29]
기하와벡터 2. 도형의 방정식
1 직선과 평면의 방정식
직선과 평면의 활용 05
31.31.좌표공간에서 평면 위의 세 점 A , B , C 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC 의 내부에 점 P 가 있다. 점 P 의 평면 위로의 정사영을 Q 평면 위로의 정사영을 R 평면 위로의 정사영을 S라 하자. Q R Q S 일 때, 사면체 Q P RS 의 부피의 최댓값을 구하시오.
[4점][2007(가) 수능(홀) 23]
32.32.좌표공간에서 세 직선
,
,
가 같은 평면 위에 있을 때, 의 값을 구하시오. (단, ≠ 이다.) [4점][2012예비(B) 5월/평가원 28]
평면과 정사영의 활용 16
33.33.좌표공간에서 삼각형 ABC 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 삼각형 ABC 의 넓이는 이다.
(나) 삼각형 ABC 의 평면 위로의 정사영의 넓이는 이 다.
삼각형 ABC 의 평면 위로의 정사영의 넓이의 최댓값 은?
[4점][2012(가) /수능 21]
①
②
③
④
⑤
2. 도형의 방정식 Ⅳ 공간벡터
2 평면과 구의 방정식
구와 평면이 교선(원)으로 만나는 경우 02
34.34.좌표공간의 두 점 A
, B
에 대하 여 점 P 는 다음 조건을 만족시킨다.(가) AP
(나) AP 와 AB 가 이루는 각의 크기는
이다.
중심이 원점이고 반지름의 길이가 인 구 위의 점 Q 에 대하여
AP ⋅AQ 의 최댓값이
이다. 의 값을 구하시오.(단, , 는 유리수이다.)
[4점][2016(B) /수능 29]
35.35.구 와 평면 이 만나서 생기는 원을 라 하자. 축을 포함하는 평면 와 구 가 만나서 생기 는 원이 와 오직 한 점에서 만날 때, 평면 의 한 법선벡터를
라 하자. 의 값을 구하시오.
36.36.좌표공간에서 구 와 평면 이 만나서 생기는 원을 라 하자.
구 위의 점 A
과 원 위를 움직이는 점 B 에 대하 여 두 벡터 O A , O B 의 내적 O A ∙ O B 의 최댓값과 최솟값의 곱을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)[4점][2015(B) 10월/교육청 30]
37.37.좌표공간에서 구 와 평면
가 만나서 생기는 원을 라 하자.원 위의 점 A 에 대하여 원 의 지름의 양 끝점 P Q 를
AP AQ 가 되도록 잡고, 점 P 를 지나고 평면 에 수직인 직선이 구
와 만나는 또 다른 점을 R 라 하자. 삼각형 ARQ 의 넓이를 라 할 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2009(가) /수능 25]
기하와벡터 2. 도형의 방정식
38.38.좌표공간에서 구 이 두 평면
와 만나서 생기는 원을 각각 , 라 하자.
원 위의 점 P 와 원 위의 점 Q 에 대하여 P Q의 최솟값을 구하시오.
[4점][2009(가) 9월/평가원 23]
평면 위로의 정사영 03
39.39.좌표공간에서 구 위를 움직이는 두 점 P Q 가 있 다. 두 점 P Q 에서 평면 에 내린 수선의 발을 각각 P Q이라 하고, 평면
에 내린 수선의 발을 각각 P Q라 하자.P Q
PQ
PQ
의 최댓값을 구하시오.[4점][2014(B) /수능 29]
정답과 해설 교육청/평가원
빠른 정답 정답과 해설
1. [정답]
[풀이]
주어진 포물선은 아래와 같다.
포물선의 정의에 의해
⋯⋯ ㉠
∆에서
를㉠에 대입하면 ∴ 또는
∴
2. [정답] ③ [풀이]
다음 그림에서 쌍곡선의 정의에 의하여 ′ 이고
이므로 ′
F' F
P
O Q
P 따라서 점 는 점 ′으로부터 거리가
항상 6인 점이므로 점 ′을 중심으로 하고 반지름의 길이가 6인 원위의 점이다.
한편 주어진 쌍곡선의 점근선의 방정식이 ±
이므로 점근선이
축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 각각
이고, 이때
∠′ 라 하면 일 때
이다.
따라서 점 가 움직이는 도형의 길이는 중심각의 크기가
이고
반지름의 길이가 6인 부채꼴의 호의 길이이므로
×
3. [정답] ③ [풀이]
′ , 단축의 길이를 라 하면
1 2 ③ 3 ③ 4 5
6 7 8 ⑤ 9 10
11 12 13 14 ① 15
16 17 18 19 20
21 22 34 23 30 24 25 11
26 84 27 28 29 30
31 32 33 ① 34 35
36 37 38 39
기하와벡터 정답과 해설
∴ 의 기울기는
4. [정답]
[풀이]
원점을 지나고 기울기가 tansin 인 직선의 방정식은
tan sin ⋯ ㉠ 점 P 는 원과 직선의 교점이므로 원의 방정식 과 연립하면
tan sin
tansin
cossin
cossin
cossin (∵ ) 이를 ㉠에 대입하면
sin sin
그러므로 점 P의 좌표를 라 하면
cossin, sin sin
cossin sin sincos
cossin sin sin × cos
sin sin cossincos
sin sin cossin × cos
일 때, 점 P 의 좌표는
cossin sin sin이므로 P
일 때, 곡선 위의 점 P 에서의 접선의 기울기는
cossin sin sin × cos
sin sin cossin × cos
그러므로 점 P에서의 접선의 방정식은
이때 접선의 절편은 , 절편은 이므로 접선과 축 및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는
× ×
따라서
, 이므로
[참고]
원 은 중심이 원점이고 반지름의 길이가 인 원이고, 점 P가 원 위의 점이므로 OP 이다.
직선 OP 의 기울기가 tansin 이므로 직선 OP 와 축의 양의 방향이 이루는 각의 크기는 sin 이다.
따라서 점 P 의 좌표는 Pcossin sin sin 이다.
OP OF
OQ
한편,
F ′P//OQ이므로
F ′P
PF ′ 이다.PF ′ PF 이므로, PF
∴
6. [정답]
[풀이]OB ∙ AB ∙
, 또는
∴양수
7. [정답]
[풀이]
AD ‧ CX AD ‧
AX AC
AD ‧ AX AD ‧ AC ⋯⋯ ㉠
세 점 는 고정된 점이므로 AD ∙ AC는 상수이다.
따라서 ㉠에서 AD ∙ CX의 값이 최소가 되려면 AD ∙ AX의 값이 최소가 되어야 한다.
두 벡터 AD AX가 이루는 각의 크기를 라 하면
AD ∙ AX
AD
AX
cos 이고,
AD
의 값은 상수이므로
AX
cos 의 값이 최소이어야 한다.그림과 같이 직선 AD와 수직인 직선이 원과 접할 때의 접점을 P라 하면
AX
cos ≥
AP
cos
AQ
이 때, ∠POA ∠OAD
이므로
∠ACP ∠AOP에서
∠ACP
×
∴
8. [정답] ⑤ [풀이]
ㄱ. CB CP PB PB이므로
선분 PB 의 길이는 점 P가 점 A와 일치할 때 최소이다.
따라서 최솟값은 AB 이다. (참) ㄴ. △ACD에서 AD, DC 이므로
∠CAD °
△EAD가 정삼각형이므로
정답과 해설 교육청/평가원
CA
(참)
ㄷ. 점 A를 원점, 직선 AD를 축으로 하는 좌표평면에 주어진 도형을 나타내면 그림과 같다.
P E
D
B C A
•
F
G
AD DF인 축 위의 점을 F 라 하고 직사각형 DCGF 를 그리면
DA CP CB CP GC CP GP 이므로 GP 의 최솟값은
점 G 에서 직선 AE 에 이르는 거리와 같다.
직선 AE 의 방정식은
즉, 이므로 구하는 최솟값은
⋅
(참) 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
9. [정답] [풀이]
[출제의도] 미분을 이용하여 속력을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
초 후에 P cos sin이고, 직선의 방정식은
cos
sin 이므로 점 Q의 좌표는
cot
∴
cosec ∴
11. [정답]
[풀이]
[출제의도] 미분을 이용하여 수학외적문제 해결하기
날개의 끝을 점 라 하면
⋯㉠
일 때,
시간에 따른 각의 변화율을 라 하면
sin cos
를 ㉠에 대입하면 따라서 sin
cos를 에 대하여 미분하면
sin ∴
따라서 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간은
∴
∴
12. [정답]
[풀이]
[출제의도] 도함수를 활용하여 문제 해결하기
초가 되는 순간 점 P의 좌표는
∠QOP 라 하면, ∠AOQ
부채꼴 OQA의 넓이는
× ×
삼각형 OPQ의 넓이는
× × × sin sin
sin양변을 에 대하여 미분하면
sin cos
⋯⋯ ㉠
점 P 을 지나고 직선 에 평행한 직선을 이라 하면
직선 의 방정식은 이고 직선 과 원이 만나는 점 Q의 좌표는 Q cos sin이므로 직선 에 대입하면
sin cos ⋯⋯ ㉡
㉡의 양변을 에 대하여 미분하면
기하와벡터 정답과 해설
＜ ＜
이고, 점 P의 좌표는 cos sin 이다.
이 때, 어두운 부분의 넓이 는
sin cos
sin
점 P가
을 지날 때
, cos
, sin
이므로
cos
⋅
∴
14. [정답] ① [풀이]
내접하는 사각형의 축, 축 위의 두 꼭짓점을 각각 S, R 라 하고 선분 OC와 선분 PQ, 선분 RS의 교점을 각각 D, E라 하자.
삼각형 DOP에서
DP OPsin
sin
OD OPcos
cos
∠EOS
이므로 OE ES DP
이다. 그러므로 □PQRS의 넓이 는
PQ ⋅PS
DP ⋅
OD OE
sin
cos sin
sin
cos
sin
sin
sin
′
cos sin
cos
cos sin
′
cos sin
15. [정답]
[풀이]
[출제의도] 미분을 이용하여 수학외적문제 해결하기 분침의 속력 :
시침의 속력 :
시 정각에서 (분) 후 분침과 시침이 이루는 각의 크기를 라 할 때,
시 정각 근처에서
×
× sin
일 때,
∴
16. [정답]
[풀이]
조건 (나)에서 구와 원기둥의 접점 F, 원뿔과 원기둥의 접점 D, A, B는 한 평면 위에 있다.
또, × × 에서, B 에서
에 내린 수선의 발은 원기둥의 밑면 원주 위에 있다.
A, B , D를 지나는 평면으로 자른 단면을 그려보면,
cos
이므로 BC cos
∴ tan AH
BH
∴ tan
17. [정답]
[풀이]
세 점 P Q R 에서 에 내린 수선의 발을 각각 A B C 라 하면
∆ABC는 한 변의 길이가 인 정삼각형이다.
AP BQ CR 라 하면
PQ
, QR
,RP
이고 , 이므로
RP PQ, RP QR
∴ PQ QR이고 ⋯⋯ ㉠
라 하면
PQ QR
,PR
이므로PR의 중점을 M이라 하면 QM⊥PR이므로
QM
∴ ∆PQR
t ∆PQR × cos ∆ABC에서
따라서 이고
[다른풀이]
이 최대이므로 ∆이 이등변삼각형이 되려면
정답과 해설 교육청/평가원
×
∠ 라 놓으면
∆
sin
sin
∴ sin
또 ∆에서 cos
sin cos 을 이용하면
R
P Q
′
′
′
∴ ⇔
∴ ⇔
∴
18. [정답]
[풀이]
두 직선 을 포함하는 평면을 라 하자.
이므로 이다.
직선 위의 두 점 A B 에서 평면 에 내린 수선의 발을 각각 E F 라 하고, 선분 FD 와 직선 의 교점을 G 라 하자.
G F
E
D
C B
A
EC , AE BF 라 하면
FD 이고,
삼각형 AEC 에서 ⋯ ㉠ 삼각형 BFD 에서 ⋯ ㉡
㉡-㉠에서 ,
삼각형 ACD 의 평면 위로의 정사영은 삼각형 ECD 이고, 삼각형 ECD 의 넓이는
× EC × CG
× × 따라서 × cos 에서 cos
∴ tan sec cos
∴ tan
19. [정답]
[풀이]
∆PQR을 평면 AQPO 에 정사영한 도형은 ∆PQA 따라서 cos ∆PQR 의 넓이
∆PQA 의 넓이
OA ⊥에서 ∠OAT °이고
∆AOS는 직각이등변삼각형이므로 OA
QA 이므로 ∴ ∆PQA 의 넓이는
직각이등변삼각형 ARQ 에서 QR 직각삼각형 PQU 에서 PQ
OP ⊥∆OAR이므로 OP ⊥OR 직각삼각형 OPR 에서 PR
∆PQR에서 ∠PRQ 라 하면 cos
, sin
기하와벡터 정답과 해설
∠ABQ
이므로 점 B 는 점 O′ 를 중심으로 하고 반지름이 선분 AO′인 원 위의 점이다.
삼각형 BO′O 에서 O′B , OB , OO′ 이므로
∠BO′O
그러므로 OO′ ⊥O′B, PO′ ⊥O′B
AO′ ⊥PO′, PO′ ⊥O′B이므로 직선 PO′ 는 평면 ABQ 와 수직이고, 평 면 ABQ 와 평면 APQ 는 수직이다.
그러므로 점 B 에서 선분 AQ 에 내린 수선의 발을 H 라 하면 삼각형 APB의 평면 APQ 위로의 정사영은 삼각형 APH 이다.
삼각형 BO′P 는 직각삼각형이고 O′B , O′P 이므로 PB 삼각형 APB 는 PA PB 인 이등변삼각형이고, AB 이므로 삼각형 APB 의 넓이는
× ×
삼각형 ABQ 와 삼각형 AHB 는 닮음이므로 AH
그러므로 삼각형 APH 의 넓이는
×
× cos 삼각형 APB의 넓이
삼각형 APH의 넓이
따라서 cos ×
21. [정답]
[풀이]
[출제의도] 정사영을 활용하여 추론하기 tan∠AOB tan∠AOC
∠AOB ∠AOC
맞꼭지각의 성질에 의하여
∠DOE ∠DOF
OD OE OF 이므로 DE DF
OB OC 이므로
삼각형 OBC 와 삼각형 OEF의 닮음비가 이고
EF
선분 EF 의 중점을 H라 하자.
DH OH
그러므로 삼각형 DEF 의 넓이 ′은
′ × DH× EF
×
×
평면 OBC 와 평면 OEF 는 같은 평면이므로 두 평면 DEF 와 OBC 가 이루는 예각의 크기는 두 평면 DEF 와 OEF 가 이루는 예각의 크기와 같다.
두 평면 DEF 와 OEF 가 이루는 예각의 크기 는 두 직선 DH, OH가 이루는 예각의 크기와 같다.
cos DH OH OD
22. [정답] 34 [풀이]
반지름의 길이가 인 원판이 평면 , 와 맞닿는 점을 각각 라 하 고, 두 점 에서 교선 에 내린 수선의 발을 라 하고, 점 에서 선분 에 내린 수선의 발을 라 하면 주어진 상황의 단면을 다음 그림과 같이 나타낼 수 있다.
태양광선
따라서 그림자가 부분에 해당되는 영역 ′은 원판에서 다음과 같다.
′
′ {(부채꼴의 넓이) -(삼각형 의 넓이)}
⋅⋅
⋅⋅sin
이 때,
cos
′ 이므로
∴ ,
∴
23. [정답] 30 [풀이]
[출제의도] 정사영의 변화에 따른 최댓값 구하기 판의 단면을 그리면, 원래 위치 PQ에서 만 큼 기울일 때, 그림자의 넓이는 그림자 선분 PR′의 길이가 최대일 때, 동시에 최대가 된 다.
이 때 점 P에서 광선 Q′R′에 내린 수선의 발을 H라 하고, 생각을 바꾸어 그림자가
PH라고 생각하면, 그림자 PR′의 정사영이
PH이고, 동시에 원래의 판 PQ′의 정사영도 PH라 생각할 수 있다.
∴ PR′ cos PH PQ′ ⋅ cos
∴ PR′ ×
⋅cos ≤ 등호는 일 때 PR′가 최대가 된다.
이 때 PQ′의 위치는 PH과 일치하는 곳까지 회전했을 때이다.
∴ S× cos ⋅ S cos
∴ ∴
24. [정답]
정답과 해설 교육청/평가원
∠OAD ∠OBE 이므로 OD
,
OE
이다.
따라서 DE BC
이므로 AB
이다.
이므로 이다.
25. [정답] 11 [풀이]
평면과 평면이 이루는 각을 단면화 시켜서 관찰하기 위하여 우선 도형을 옆에서 관찰하면 다음과 같다.
S의 중심을 O라 하면
OO , OH 이고 ∴ OH
위에서 이 도형의 이면각 를 표현하기 위해 O O O H 를 포함하 는 평면으로 자른 단면을 그려보면 다음과 같다.
이때, sin
cos sin
도형 D의 단면의 넓이는 이므로 정사영의 넓이는 ×
이다
이므로 삼각형 ′의 넓이 는
․ ․
이 때, 사면체 ′의 높이는 이므로 이 사면체의 부피 는
․ ․
그런데 산술평균과 기하평균의 대소 관계에 의해
≥
이므로 ≤ ∴ ≤ ․
따라서 구하는 사면체의 부피의 최댓값은 이다.
27. [정답]
[풀이]
그림에서 평면 가 구 과 만나서 생기는 도형의 평면 위로의 정사영 위의 임의의 한 점의 좌표를 P
cos 이라 하면
cos ≤ 이어야 하므로
cos ≤ 양변을 제곱하여 정리하면 cos cos ≥
≤ ≤ 에서 항상 성립해야 하므로
방정식 cos cos 의 판별식을
라 하면
cos cos ≤
cos cos ≤
∴ cos ≤
∴ ․
28. [정답]
[풀이]
정팔각형의 성질을 이용하여 대각선의 교점을 O라면 삼각형 OAA는 직각삼각형이 되고 AO 이다.
AB의 중점을 P라 하면 PA PB PP이다.
∴
PA PB
PP
OP OP ∵
OP
OP
