⑴ ABÓ="Ã3Û`+2Û`='13이므로 |AB³|='13
⑵ BDÓ="Ã3Û`+1Û`='10이므로 |BD³|='10
⑶ CBÓ="Ã1Û`+2Û`='5이므로 |CB³|='5
⑷ DÕÕAÓ=3이므로 |DÕA³|=3
1-2
한 칸의 가로, 세로의 길이를 모두 1이라 하면
|a²|="Ã3Û`+2Û`='13
⑴ |b²|=|c²|="Ã3Û`+2Û`='13 이므로 벡터 a²와 크기가 같은 벡터는 b², c²이다.
이때 벡터 a²와 방향이 같은 벡터는 b²이므로 벡터 a²와 같은 벡터는 b²
⑵ 벡터 a²와 크기가 같은 벡터는 b², c²이다.
이때 벡터 a²와 방향이 반대인 벡터는 c²이므로 벡터 a²와 크기는 같고 방향이 반대인 벡터는 c²
2-2
⑴ 3(a²+2b²)-2(a²+b²) =3a²+6b²-2a²-2b² =(3-2)a²+(6-2)b² =a²+4b²
⑵ 4(2a²-3b²+c²)-5(-2a²+b²+2c²) =8a²-12b²+4c²+10a²-5b²-10c² =(8+10)a²+(-12-5)b²+(4-10)c² =18a²-17b²-6c²
3-2
⑴ 두 벡터 a²-3b², ma²+9b²가 서로 평행하므로 ma²+9b²=k(a²-3b²) (단, k는 0이 아닌 실수) ma²+9b²=ka²-3kb²
에서 m=k, 9=-3k k=-3이므로 m=-3
⑵ 두 벡터 2a²-5b², 6a²+mb²가 서로 평행하므로 6a²+mb²=k(2a²-5b²) (단 k는 0이 아닌 실수) 6a²+mb²=2ka²-5kb²
에서 6=2k, m=-5k k=3이므로 m=-15
4-2
한 칸의 가로, 세로의 길이를 모두 1이라 하면
|a²|="Ã2Û`+1Û`='5
⑴ |d²|=|e²|="Ã2Û`+1Û`='5이므로
벡터 a²와 크기가 같은 벡터는 d², e² 이다.
이때 벡터 a²와 방향이 같은 벡터는 d²이므로 벡터 a² 와 같은 벡터는 d²
⑵ 벡터 a² 와 크기가 같은 벡터는 d², e²이다.
이때 벡터 a² 와 방향이 반대인 벡터는 e²이므로 벡터 a² 와 크기는 같고 방향이 반대인 벡터는 e²
2-1
두 벡터 2a²-mb², a²-3b²가 서로 평행하므로 2a²-mb²=k(a²-3b²) (단, k는 0이 아닌 실수) 2a²-mb²=ka²-3kb²
에서 2 =k, -m=-3k
∴ m= 6
4-1
⑴ 4(3a²-2b²)-5(2a²-b²) =12a²-8b²-10a²+5b²² =(12-10)a²+(-8+5)b² = 2 a²-3b²
⑵ 2(a²-3b²+2c²)+3(-a²+2b²-c²) =2a²-6b²+4c²-3a²+6b²-3c² =(2-3)a²+(-6+6)b²+(4-3)c² =-a²+ c²
3-1
⑴ 선분 AB의 중점이 D이므로 FEÓ=;2!; ABÓ=ADÓ
∴ FE³=AD³=a²
⑵ 선분 BC의 중점이 E이므로 DFÓ=;2!; BCÓ=BEÓ
∴ DF³=BE³=c²
⑶ 선분 AC의 중점이 F이므로 EDÓ=;2!; ACÓ=AFÓ
∴ ED³=-AF³=-b²
⑷ 선분 BC의 중점이 E이므로 CEÓ=BEÓ
∴ CE³=-BE³=-c²
01-2
셀파 삼각형의 평행선과 선분의 길이의 비에서 DFÓ=;2!;BCÓ, DEÓ=;2!;ACÓ, EFÓ=;2!;ABÓ이다.⑴ AB³+CA³+BC³ =AB³+BC³+CA³ ⇦ 교환법칙
=(AB³+BC³)+CA³ ⇦ 결합법칙
=AC³+CA³=AA³
=0²
⑵ AB³+CD³+DÕA ³=AB³+(CD³+DÕA³) ⇦ 결합법칙
=AB³+CA³
=CA³+AB³ ⇦ 교환법칙
=CB³
02-1
셀파 벡터의 덧셈에 대한 성질을 이용한다.⑴
⑵
확인 체크 01
셀파 특강
a b a b
a b
a+b a-b
a
b
a
b
a
b a+b
a-b
AB³+CD ³=(AD³+DB³)+CD³
=AD³+(DB³+CD³) ⇦ 결합법칙
=AD³+(CD³+DB³) ⇦ 교환법칙
=AD³+CB³
∴ AB³+CD³=AD³+CB³
02-2
셀파 AB³=AD³+DB³, CD³=CB³+BD³⑴ 삼각형 ABF에서 두 벡터의 차를 이용하 여 BF³를 나타내면
BF³=AF³-AB³=b²-a²
⑵ 사각형 ABOF는 평행사변형이므로 OA³ =BA³-BO³=-AB³-AF³
=-a²-b²
03-1
셀파 ⑵ 사각형 ABOF는 평행사변형이다.a A b B
C
F
E D b-a
a A b B
C
F
E D -b O -a
2(x²+a²)-5b²=3(3b²-x²)에서
2x²+2a²-5b²=9b²-3x², 5x²=-2a²+14b²
∴ x²=-;;5@@; a²+:Á5¢: b²
04-1
셀파 x², a², b²를 문자로 생각하고 x²에 대하여 정리한다.본문 | 91~103 쪽 확인 문제
⑴ AB³와 크기와 방향이 각각 같은 벡터는 DC³
⑵ BC³와 크기는 같고 방향이 반대인 벡터는 CB³, DA³
01-1
셀파 서로 같은 벡터는 크기와 방향이 각각 같은 벡터이다.x²=-2a²+3b² yy㉠
y²=3a²-5b² yy㉡
㉠_5+㉡_3에서 a²=-5x²-3y²
㉠_3+㉡_2에서 b²=-3x²-2y²
∴ a²+b²=-8x²-5y²
04-2
셀파 a², b²를 각각 x², y²에 대한 식으로 나타낸다.영벡터가 아닌 두 벡터 a², b²가 서로 평행하지 않으므로 (m+3n-4)a²+(m-n)b²=0²에서
m+3n-4=0, m-n=0 두 식을 연립하여 풀면 m=1, n=1
05-1
셀파 영벡터가 아닌 두 벡터 a², b²가 평행하지 않을 때, m a²+n b²=0²이면 m=0, n=0 (m, n은 실수)이다.(3m+n)a²+(m+2n-1)b²
=(2m+2n+5)a²+(-m+n)b² yy㉠
이때 두 벡터 a², b²는 영벡터가 아니고 서로 평행하지 않으므로 3m+n=2m+2n+5, m+2n-1=-m+n
m-n=5, 2m+n=1
두 식을 연립하여 풀면 m=2, n=-3
| 다른 풀이 |
㉠을 변형하면
(3m+n-2m-2n-5)a²+(m+2n-1+m-n)b²=0²
∴(m-n-5)a²+(2m+n-1)b²=0²
이때 두 벡터 a², b²는 영벡터가 아니고 서로 평행하지 않으므로 m-n-5=0, 2m+n-1=0
∴ m=2, n=-3
05-2
셀파 영벡터가 아닌 두 벡터 a², b²가 서로 평행하지 않을 때, m a²+n b²=m' a²+n' b² HjK m=m', n=n'(단, m, n, m', n'은 실수)
본문 | 98 쪽 집중 연습
⑴ AB³+BC³+CD³=AC³+CD³=AD³
⑵ BC³+AB³+DE³+CD³ =(AB³+BC³)+DE³+CD³ =(AC³+CD³)+DE³ =AD³+DE³=AE³
⑶ BA³-BC³=CA³
⑷ AB³-CB³=AB³+BC³=AC³
⑸ AC³+CB³-AB³=AB³-AB³=0²
⑹ AC³+CB³-(-BD³)+BA³ =(AB³+BD³)+BA³ =AD³+BA³
=AD³-AB³=BD³
-BD³=DB³이므로 -(-BD³)=-DB³=BD³
01
⑴ -x²=a²-5b² ∴ x²=-a²+5b²
⑵ 2b²-x²=3x²-6a², -4x²=-6a²-2b² ∴ x²=;2#;`a²+;2!;`b²
⑶ 4x²+8a²-4b²=3a²+6b²+3x² ∴ x²=-5a²+10b²
03
⑴ (주어진 식)=3a²+6b²+2a²-b²=5a²+5b²
⑵ (주어진 식)=6a²+3b²-9c²+a²+2b²-c²=7a²+5b²-10c²
⑶ (주어진 식) =a²-2b²+2c²+3a²-3b²+6c²
=4a²-5b²+8c²
02
두 벡터 3a²+2b², ka²-3b²가 서로 평행하므로 3a²+2b²=t(ka²-3b²)(t는 0이 아닌 실수)에서 3a²+2b²=tka²-3tb²
이때 두 벡터 a², b²는 영벡터가 아니고 서로 평행하지 않으므로 3=tk, 2=-3t
t=-;3@;이므로 -;3@;k=3
∴ k=-;;2((;
확인 체크 02
셀파 특강
p²+r ²=4a²-3b²+(-3a²+5b²)=a²+2b²
q²+r ²=ma²-2b²+(-3a²+5b²)=(m-3)a²+3b² p²+r²와 q²+r²가 서로 평행하므로
q²+r²=k(p²+r²) (단 k는 0이 아닌 실수) (m-3)a²+3b²=k(a²+2b²)=ka²+2kb²
이때 두 벡터 a², b²는 영벡터가 아니고 서로 평행하지 않으므로 m-3=k, 3=2k
k=;2#;이므로 m=;2(;
06-1
셀파 q²+r²=k(p²+r²) (단, k는 0이 아닌 실수)세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으므로 AC³=kAB³ (k+0) yy㉠
를 만족시키는 실수 k가 존재한다.
OA³=a²-2b², OB³=2a²-b², OC³=5 a²+t b²에서 AB³ =OB³-OA³
=2a²-b²-(a²-2b²)
=a²+b² AC³ =OC³-OA³
=5a²+t b²-(a²-2b²)
=4a²+(t+2)b² 이 식을 ㉠에 대입하면
4a²+(t+2)b²=k(a²+b²)=k a²+k b²
이때 두 벡터 a², b²는 영벡터가 아니고 서로 평행하지 않으므로 4=k, t+2=k ∴ t=2
07-1
셀파 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있다.⇨ AC³=kAB³ (단, k+0)
AB³ =OB³-OA³=2a²-b²-(a²+b²)=a²-2b² CD³ =OD³-OC³=a²+2b²-(ka²-4b²)
=(1-k)a²+6b²
AB³와 CD³가 서로 평행하므로 CD³=tAB³ (단, t는 0이 아닌 실수) (1-k)a²+6b²=t(a²-2b²)=t a²-2tb²
이때 두 벡터 a², b²는 영벡터가 아니고 서로 평행하지 않으므로 1-k=t, 6=-2t ∴ t=-3, k=4
06-2
셀파 AB³∥CD³이므로 CD³=tAB³(단, t는 0이 아닌 실수)
OA³=a², OB³=b²이므로 AB³=OB³-OA³=b²-a² ㄱ. OC³=3a²-2b²이므로 AC³ =OC³-OA³
=(3a²-2b²)-a²
=2a²-2b²
=-2(b²-a²)
따라서 AC³=-2AB³이므로 점 C는 직선 AB 위의 점이다.
ㄴ. OD³=2a²-3b²이므로 AD³ =OD³-OA³
=(2a²-3b²)-a²=a²-3b²
따라서 AD³=kAB³를 만족시키는 0이 아닌 실수 k가 존재하 지 않으므로 점 D는 직선 AB 위의 점이 아니다.
ㄷ. OE³=-4a²+5b²이므로 AE³ =OE³-OA³
=(-4a²+5b²)-a²
=-5a²+5b²
=5(b²-a²)
따라서 AE³=5AB³이므로 점 E는 직선 AB 위의 점이다.
그러므로 직선 AB 위의 점은 점 C와 점 E
07-2
셀파 AC³=kAB³, AD³=kAB³, AE³=kAB³를 각각 만족시 키는 0이 아닌 실수 k가 존재하는지 살펴본다.AB³=OB³-OA³=b²-a²
AC³=OC³-OA³=(-4a²+5b²)-a²=5(b²-a²)
∴ AC³=5AB³
따라서 세 점 A, B, C는 한 직선 위에 있다.
확인 체크 03
셀파 특강
B
a b
A
O C
3a-2b
O
A B E
a b -4a +5b 세 점이 한 직선 위에 있을 조건
일반적으로 실수 k에 대하여 AP³=kAB³일 때 Ú 0ÉkÉ1이면 점 P는 선분 AB 위에 있다.
Û k<0이면 점 P는 선분 AB의 A쪽의 연장선 위에 있다.
Ü k>1이면 점 P는 선분 AB의 B쪽의 연장선 위에 있다.
LEC TURE
OA³와 방향이 반대이고 크기가 3배인 벡터 중 시점이 O인 벡터 는 OF³
OF³와 같은 벡터는 GA³, EO³, CB³, AD³, BH³이다.
따라서 구하는 벡터의 개수는 6
01
셀파 시점과 종점의 위치에 관계없이 크기와 방향이 각각 같으 면 같은 벡터이다.본문 | 104~105 쪽 연습 문제
a²+c²=b²이므로 a²+b²+c²=2b²
∴ |a²+b²+c²|=|2b²|=2'2 a²-b²=-c²이므로 a²-b²-c²=-2c²
∴ |a²-b²-c²|=|-2c²|=2
∴ |a²+b²+c²|+|a²-b²-c²|=2+2'2
04
셀파 a²+c²=b²이고, a²-b²=-c²이다.PA³+PB³+PC³+PD³+PE³+PF³
=(OA³-OP³)+(OB³-OP³)+`y`+(OF³-OP³)
=(OA³+OB³+`y`+OF³)-6OP³ yy㉠
이때 점 A, B, C, y, F는 원의 둘레를 6등 분하므로 오른쪽 그림과 같이
OD³=-OÕA³, OE³=-OB³, OF³=-OC³
∴ OA³+OB³+`y`+OF³
=OA³+OÕB³+OC³-(OA³+OB³+OC³ ) =0²
이것을 ㉠에 대입하면
PA³+PB³+PC³+PD³+PE³+PF³=-6OP³=6PO³
∴ k=6
05
셀파 PA³=OA³-OP³와 같이 시점이 O인 두 벡터의 뺄셈으로 나타내어 본다.4(a²+x²)-3(2x²+a²-2b²)=0²에서 4a²+4x²-6x²-3a²+6b²=0² 2x²=a²+6b² ∴ x²=;2!; a²+3b² 따라서 m=;2!;, n=3이므로 2mn=2_;2!;_3=3
06
셀파 x²를 미지수로 생각하여 다항식의 연산과 같은 방법으로 계산한다.AB³+BC³=AC³이므로 BC³=AC³-AB³=b²-a²
∴ AD³=2BC³=2b²-2a²=-2a²+2b²
03
셀파 AD³=2BC³이다.평행사변형의 두 대각선의 교점은 서로 다른 대각선을 이등분하 고, OA³=a², OB³=b²이므로
① OC³=-OA³=-a²
② BA³=OA³-OB³=a²-b²
③ CB³ =OB³-OC³=OB³+(-OC³)
=OB³+OA³=a²+b²
④ DC³ =OC³-OD³=OC³+(-OD³)
=OC³+OB³=-a²+b²
⑤ DÕA³ =OA³-OD³
=OA³+(-OD³)=OA³+OB³=a²+b² 따라서 옳은 것은 ⑤
02
셀파 벡터의 덧셈과 뺄셈을 이용한다.A
B C
D
O a
-a
b -b
x²-2y²=2a²-3b² yy㉠
2x²+3y²=-3a²+b² yy㉡
㉠_2-㉡을 하면 -7y²=7a²-7b²
∴ y²=-a²+b²
이것을 ㉠에 대입하여 정리하면 x²=-b²
∴ 3x²-y²=-3b²-(-a²+b²)=a²-4b²
∴ m=1, n=-4
07
셀파 두 식을 연립하여 x², y²를 각각 a², b²로 나타낸다.D A F B
E O
C
오른쪽 그림에서 2a²+b²는 벡터 AF³와 같으므 로
|2a²+b²|=|AF³|
="Ã1Û`+2Û`='5
08
셀파 사각형을 이용하여 벡터 2a²+b²를 나타내 본다.두 벡터 a², b²는 영벡터가 아니고 서로 평행하지 않으므로 1-t=;2S;, ;3@;t=1-s에서 2-2t=s, 2t=3-3s 두 식을 연립하여 풀면
s=;2!;, t=;4#; ∴ 8st=3
09
셀파 두 벡터가 서로 같을 조건을 이용한다.b 2`a+b B
E F
C A D
2 a 1
1
오른쪽 그림과 같이 a², b²를 정하면 OA³=-a²+2b², OB³=3a²+2b², OC³=a²+3b²
OC³=mOA³+nOB³에서
a²+3b²=m(-a²+2b²)+n(3a²+2b²)
=(-m+3n)a²+(2m+2n)b²
이때 두 벡터 a², b²는 영벡터가 아니고 서로 평행하지 않으므로 -m+3n=1, 2m+2n=3
두 식을 연립하여 풀면 m=;8&&;, n=;8%%;
10
셀파 모눈종이의 작은 정사각형에서 점 O를 시점으로 하고 오 른쪽, 위쪽 방향을 각각 벡터 a², b²로 놓는다.O
A B
C
a b
2OA³+OC³=2OB³+OD³에서 2OA³-2OB³=OD³-OC³
2BA³=CD³
즉, 두 벡터 BA³, CD³는 서로 평행하므로 사각 형 ABCD는 BAÓ∥CDÓ인 사다리꼴이다.
따라서 구하는 답은 ①
11
셀파 주어진 식을 변형하여 사각형의 변을 벡터로 나타낸다.A
B
C D
x²+2a²=ka²-b²에서 x²=(k-2)a²-b² yy㉠
3x²-y²=-2a²+2b²에 ㉠을 대입하면 3(k-2)a²-3b²-y²=-2a²+2b²
∴ y²=(3k-4)a²-5b²
x²와 y²가 서로 평행하므로 y²=tx²(t+0)에서 (3k-4)a²-5b²=t(k-2)a²-tb²
이때 두 벡터 a², b²는 영벡터가 아니고 서로 평행하지 않으므로 3k-4=tk-2t, -5=-t
t=5를 3k-4=tk-2t에 대입하면 3k-4=5k-10, 2k=6 ∴ k=3
12
셀파 두 벡터가 서로 평행할 조건을 이용한다. 세 점 M, N, D가 한 직선 위에 있으므로 NÕD³=tNòM³ (단, t+0)
이때 AÕM³=a², AN³=b²라 하면 NÕM³=AÕM³-AN³
=a²-b²
NÕD³=CÕD³-CN³
=3(-AÕM³)-k(-AN³)
=-3a²+kb² NÕD³=tNòM³ (t+0)에서 -3a²+kb²=t(a²-b²) ∴ -3a²+kb²=ta²-tb²
따라서 t=-3, k=-t이므로 k=3
13
셀파 세 점 M, N, D가 한 직선 위에 있다.⇨ ND³=tNÕÕM³(단, t+0)
채점 기준 배점
세 점 M, N, D가 한 직선 위에 있는 조건을 알 수 있다. 30%
NÕM³, NÕD³를 각각 a², b²로 나타낸다. 50%
k의 값을 구한다. 20%
⑴ a²-2b² =(1, 4)-2(-2, -3)
=(1+4, 4+6)
=(5, 10)
⑵ -3c² =-3(4, -1)
=(-12, 3)
2-2
⑴ a²`º`b² =(2, -1)`º`(3, 2)
=2_ 3 +(-1)_2
= 6 -2= 4
⑵ a²`º`b² =(-1, 4)`º`(-1, 3)
=-1_(-1)+4_ 3
=1+ 12 = 13
3-1
⑴ a²`º`b²=3_1+1_2=5>0이므로 cos`h= a²`º`b²
|a²||b²| = 5
"Ã3Û`+1Û``"Ã1Û`+2Û`= 5 5"2 = '2
2
0ùÉhÉ180ù이므로 h=45ù
⑵ a²`º`b²=-1_2+2_1=0이므로 cos`h= a²`º`b²
|a²||b²|= 0
"Ã(-1Ã)Û`+2Û``"Ã2Û`+1Û`= 0 0ùÉhÉ180ù이므로 h=90ù
4-1
⑴ a²`º`b² =(1, 3)`º`(4, 2)
=1_4+3_2
=4+6=10
⑵ a²`º`b² =(0, 2)`º`(-2, -3)
=0_(-2)+2_(-3)