평면벡터의 성분과 내적

3-2

⑴ p²=4_b²+5_a²

4+5 =;9%%;`a²+;9$;`b²

⑵ q²=3_b²-2_a²

3-2 =-2a²+3b²

⑶ m²=1_a²+1_b² 1+1 =a²+b² 

2

1-2

본문 | 109, 111 ^쪽 개념 익히기

6. 평면벡터의 성분과 내적

⑴ p²=1_b²+2_a²

1+ 2 = 2

3 `a²+ 1 3 `b²

⑵ q²=2_ b² -1_ a²

2-1 =-a²+ 2  b²

⑶ m²=1_a²+1_b²

1 +1 = a²+b²  2

1-1

⑴ 2a²+b² =2(2, 1)+(3, -6)

=( 4 +3, 2-6)

=( 7 , -4)

⑵ 2(a²-b²)+c² =2a²-2b²+c²   

=2(2, 1)-2(3, -6)+(-1, 2)

=(4-6-1, 2+12+ 2 )

=(-3, 16 )

2-1

⑶ 2(a²+b²)-(a²-b²) =2a²+2b²-a²+b²   

=a²+3b²   

=(1, 4)+3(-2, -3)

=(1-6, 4-9)

=(-5, -5)

⑷ 3a²+2b²-4c² =3(1, 4)+2(-2, -3)-4(4, -1)

=(3-4-16, 12-6+4)

=(-17, 10)

⑴ a²`º`b²=1_(-1)+2_3=5>0이므로 cos`h= 5

"Ã1Û`+2Û``"Ã(-1Ã)Û`+3Û``= 5 5'2= '2

2 0ùÉhÉ180ù이므로 h=45ùù

⑵ a²`º`b²='3_0+(-1)_'3=-'3<0이므로   cos`(180ù-h)=- -'3

¿¹(¹'3)Û¹`+(¹-1)Û``¿¹0Û`+¹('3)Û``

= '3

2'3=;2!;

0ùÉhÉ180ù이므로 180ù-h=60ù h=120ùù

4-2

본문 | 113~127 ^쪽 확인 문제

점 G가 삼각형 ABC의 무게중심이므로 OG³= OÕA³+OB³+OC³

3 = a²+b²+c² 3

또 점 P는 선분 AC를 2`:`3으로 내분하는 점이므로 OP³= 2OÕC³+3OA³

2+3 =;5#;`a²+;5@;`c²

∴ GP³=OP³-OG³

=;5#;`a²+;5@;`c²- a²+b²+c² 3 =;1¢5;`a²-;3!;`b²+;1Á5;`c²

01-1

^셀파 삼각형의 무게중심의 위치벡터는 a²+b²+c²

3 이다.

AC³=a²+b²이므로 AÕM³= AC³+AD³

2 =(a²+b²)+b²

2 =;2!;`a²+b²

이때 점 P는 선분 BM을 2`:`1로 내분하는 점이므로 AP³= 2AÕM³+AB³2+1

=;3@;{;2!;`a²+b²}+;3!;`a²    =;3@@;`a²+;3@@;`b²

01-2

^셀파 먼저 AÕM³을 a², b²로 나타낸다.

A

P

B C

M D

a

b

네 점 A, B, C, P의 위치벡터를 각각 a², b², c², p²라 하면 PA³+PB³+2PC³=CB³에서

(a²-p²)+(b²-p²)+2(c²-p²)=b²-c² a²+3c²=4p²

∴ p²=a²+3c²

4 = 1_a²+3_c² 1+3

즉, 점 P는 선분 AC를 3`:`1로 내분하 는 점이다. 따라서 삼각형 ABP와 삼 각형 CBP의 넓이의 비는 3`:`1

| 다른 풀이 |

CB³=PB³-PC³이므로 PA³+PB³+2PC³=CB³에서 PA³+PB³+2PC³=PB³-PC³

∴ PA³=-3PC³

실수배의 성질을 이용하여 위의 식을 그 림으로 나타내면 점 P는 ACÓ를 3`:`1로 내분하는 점이다. 따라서 구하는 삼각형 의 넓이의 비는 3`:`1

02-1

^셀파 주어진 식을 위치벡터로 나타내어 본다.

c²=pa²+qb²이므로

(-1, 8)=p(1, 2)+q(2, -1)=(p+2q, 2p-q) 따라서 p+2q=-1, 2p-q=8이므로

두 식을 연립하여 풀면 p=3, q=-2 

03-1

^셀파 c²=pa²+qb²를 성분으로 나타낸다.

A P

B

3 1 C

A P C

3 1

OA³=-2eÁ²=(-2, 0), OB³=3eª²=(0, 3), OC³=eÁ²-eª²=(1, -1)이므로

3OA³-2OB³+OC³ =3(-2, 0)-2(0, 3)+(1, -1)

=(-6+0+1, 0-6-1)

=(-5, -7)

| 다른 풀이 |

OA³=-2eÁ², OB³=3eª², OC³=eÁ²-eª²이므로

3OA³-2OB³+OC³ =3_(-2eÁ²)-2_3eª²+(eÁ²-eª²)

=-6eÁ²-6eª²+eÁ²-eª²

=-5eÁ²-7eª²

=(-5, -7)

확인 체크 01

셀파 특강

2(x²-a²)-(3b²-x²)=0²에서 2x²-2a²-3b²+x²=0², 3x²=2a²+3b²

∴ x²=;3@; a²+b²

=;3@;(3, 0)+(0, -2)=(2, -2)

03-2

^셀파 a²=(aÁ, aª), b²=(bÁ, bª)일 때, ka²=(kaÁ, kaª), a²Ñb²=(aÁÑbÁ, aªÑbª) (단, 복부호 동순)

점 P의 좌표를 P(x, y)로 놓으면

AP³=OP³-OA³=(x, y)-(-2, 0)=(x+2, y) BP³=OP³-OB³=(x, y)-(2, 0)=(x-2, y)

∴ |AP³|="Ã(x+Ã2)ÛÃ`+yÛ`, |BP³|="Ã(xÃ-2)ÃÛ`+yÛ`

이때 |AP³|+|BP³|=6이므로

"Ã(xÃ+2)ÃÛ`+yÛ`+"Ã(xÃ-2)ÃÛ`+yÛ`=6

"Ã(xÃ+2)ÃÛ`+yÛ`=-"Ã(xÃ-2)ÛÃ`+yÛ`+6 이 식의 양변을 제곱하여 정리하면 9-2x=3"Ã(xÃ-2)ÛÃ`+yÛ`

이 식의 양변을 다시 제곱하여 정리하면 5xÛ`+9yÛ`=45

따라서 구하는 도형의 방정식은 xÛ`

9 + yÛ`

5 =1

04-1

^셀파 점 P의 좌표를 P(x, y)로 놓고 주어진 조건을 이용하 여 x, y 사이의 관계식을 구한다.

점 P의 좌표를 P(x, y)로 놓으면

PA³=OA³-OP³=(1, -2)-(x, y)=(1-x, -2-y) PB³=OB³-OP³=(0, 3)-(x, y)=(-x, 3-y) PC³=OC³-OP³=(2, 2)-(x, y)=(2-x, 2-y) PA³+PB³+PC³=(3-3x, 3-3y)

∴ |PA³+PB³+PC³|="Ã(3Ã-3Ãx)Û`Ã+(3Ã-3y)Û

=3"Ã(xÃ-1Ã)Û`+Ã(y-1)Û`

이때 |PA³+PB³+PC³|=9이므로 3"Ã(xÃ-1Ã)Û`+Ã(y-1)Û`=9 이 식의 양변을 제곱하여 정리하면 (x-1)Û`+(y-1)Û`=9

따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심이 (1, 1)이고, 반지름의 길 이가 3인 원이므로 구하는 도형의 넓이는

p_3Û`=9p

04-2

^셀파 점 P의 좌표를 P(x, y)로 놓고 주어진 조건을 이용하 여 x, y 사이의 관계식을 구한다.

⑴ 삼각형 AOB는 한 변의 길이가 2인 정삼각형이고, 점 M은 선분 OB의 중점이므로

|OA³|=2, |OÕM³|=1

이때 두 벡터 OA³, OÕM³이 이루는 각의 크기는 60ù이므로

OA³`º`OÕM³=|OA³||OÕM³|cos`60ù =2_1_;2!;=1

⑵ |OA³|=2이고, 두 벡터 OA³, OA³가 이루는 각의 크기는 0ù이 므로

OA³`º`OA³=|OA³||OA³|cos`0ù=2_2_1=4

⑶

위의 그림에서 OBÓ=AÕB'Ó이므로 AO³`º`OB³=AO³`º`AÕB'³ 

 =-|AO³||AÕB'³|cos(180ù-120ù) =-2_2_;2!;=-2

⑷ 위의 그림에서 OBÓ=AÕB'Ó이므로 AÕM³`º`OÕB³=AÕM³`º`AÕB'³

=|AÕM³||AÕB'³|cos`90ù 

='3_2_0=0

O A

B B'

M M' 2

2

1 13 60ù

120ù

05-1

^셀파 두 벡터 a², b²가 이루는 각의 크기가 h(0ùÉhÉ90ù)일 때, a²`º`b²=|a²||b²|cos`h이다.

O

A

M B 2

1 60ù

오른쪽 그림에서 QP³=RÕA³이고,

∠ARQ=120ù

∴ RQ³`º`QP³

 =RQ³`º`RÕA³

 =-|RQ³||RA³|cos(180ù-120ù) =-1_1_;2!;=-;2!!;

05-2

^셀파 먼저 두 벡터 RQ³, QP³의 시점을 일치시킨다.

A

B

P 120ù R2 60ù

Q C

|a²|='1Œ3에서 "Ã(k-Ã1)Û`+2Û`='1Œ3 이 식의 양변을 제곱하여 정리하면 kÛ`-2k-8=0, (k-4)(k+2)=0

∴ k=4 (∵ k>0)

따라서 a²=(3, 2), b²=(3, 8)이므로 a²`º`b² =(3, 2)`º`(3, 8)=3_3+2_8=25

06-1

^셀파 a²=(aÁ, aª)일 때, |a²|="ÃaÁÛ`+aªÛ

ta²+b²=t(1, 0)+(1, 2)=(t+1, 2) a²+tb²=(1, 0)+t(1, 2)=(t+1, 2t) 이때

f(t) =(ta²+b²)`º`(a²+tb²)=(t+1, 2)`º`(t+1, 2t)

=(t+1)Û`+2_2t=tÛ`+6t+1

=(t+3)Û`-8

따라서 f(t)는 t=-3일 때, 최솟값 -8을 가진다.

06-2

^셀파 a²=(aÁ, aª), b²=(bÁ, bª)일 때, a²`º`b²=aÁbÁ+aªbª

⑴ |a²|Û`=(-1)Û`+(-2)Û`=5, |b²|Û`=1Û`+1Û`=2 a²`º`b²=-1_1+(-2)_1=-3

∴ (2a²-b²)`º`(a²+3b²)

=2a²`º`(a²+3b²)-b²`º`(a²+3b²) =2a²º`a²+2a²`º`3b²-b²`º`a²-b²`º`3b² =2|a²|Û`+5`a²`º`b²-3|b²|Û

=2_5+5_(-3)-3_2=-11

07-1

^셀파 ⑴ (2a²-b²)`º`(a²+3b²)=2|a²|Û`+5a²`º`b²-3|b²|Û`

| 다른 풀이 |

a²=(-1, -2), b²=(1, 1)이므로 2a²-b² =2(-1, -2)-(1, 1)

=(-2, -4)-(1, 1)=(-3, -5) a²+3b² =(-1, -2)+3(1, 1)

=(-1, -2)+(3, 3)=(2, 1) ∴ (2a²-b²)`º`(a²+3b²) =(-3, -5)`º`(2, 1)

=-6-5=-11

⑵ |a²-b²|='5의 양변을 제곱하면

|a²-b²|Û` =(a²-b²)`º`(a²-b²)=|a²|Û`-2a²`º`b²+|b²|Û`

5=1-2a²`º`b²+2, 2a²`º`b²=-2 ∴ a²`º`b²=-1

|a²-b²|='7의 양변을 제곱하면

|a²-b²|Û`=|a²|Û`-2a²`º`b²+|b²|Û`

7=4-2a²`º`b²+9 ∴ a²`º`b²=3

∴ (a²+b²)`º`(2a²-b²) =2|a²|Û`+a²`º`b²-|b²|Û

=2_4+3-9=2

07-2

^셀파 |a²-b²|='7의 양변을 제곱하여 a²`º`b²의 값을 구한다.

본문 | 124 ^쪽 집중 연습

⑴ a²`º`b² =|a²||b²|cos`0ù=4_5_1=20

⑵ a²`º`b² =|a²||b²|cos`60ù=4_5_;2!;=10

⑶ a²`º`b² =-|a²||b²|cos`(180ù-150ù)   

=-|a²||b²|cos`30ù  =-4_5_ '3

2 =-10'3

01

⑴ a²-b²=(2, 4)-(-3, 1)=(5, 3)이므로 (a²-b²) `º`b² =(5, 3)`º`(-3, 1)

=5_(-3)+3_1=-12

⑵ a²+b²=(-1, 1)+(2, -1)=(1, 0)이므로 a²`º`(a²+b²) =(-1, 1)`º`(1, 0)

=-1_1+1_0=-1 확인 체크 02

셀파 특강

⑴ a²`º`b² =(1, -3)`º`(2, 1)=1_2+(-3)_1=-1

⑵ a²+b² =(2, -1)+(0, 3)=(2, 2)

∴ a²`º`(a²+b² ) =(2, -1)`º`(2, 2)=4-2=2

⑶ a²-b² =(3, -4)-(5, 3)=(-2, -7)

  ∴ (a²-b²)`º`b² =(-2, -7)`º`(5, 3)=-10-21=-31

02

|a²-b²|Û`=|a²|Û`-2a²`º`b²+|b²|Û`에서 7=9-2a²•b²+1 ∴ a²`º`b²=;2#;

cos h= a²`º`b²

|a²||b²|= ;2#;

3_1=;2!; ∴ h=60ù

08-1

^셀파 |a²-b²|Û`=|a²|Û`-2a²`º`b²+|b²|Û`

⑴ a²`º`b²=|a²||b²|cos`60ù=4_6_;2!;=12 ∴ (3a²-b²)`º`(a²+b²) =3|a²|Û`+2`a²`º`b²-|b²|Û`

=3_16+2_12-36=36

⑵ |a²+2b²|Û` =|a²|Û`+4a²`º`b²+4|b²|Û

=1+4_3+4_9=49 ∴ |a²²+2b²|='4Œ9=7

⑶ a²`º`b² =-|a²||b²|cos`(180ù-120ù)   

=-|a²||b²|cos`60ù =-3_2_;2!;=-3

|2a²-3b²|Û` =4|a²|Û`-12a²`º`b²+9|b²|Û`

=4_9-12_(-3)+9_4=108 ∴ |2a²-3b²|='¶10Œ8=6'3

⑷ |a²+b²|='1Œ4에서 |a²+b²|Û`=14 |a²|Û`+2a²`º`b²+|b²|Û`=14 1+2`a²`º`b²+9=14 2a²`º`b²=4 ∴ a²`º`b²=2

03

cos`45ù= a²`º`b²

|a²||b²|= 1_2+k_(-1)

"Ã1Û`+ÅkÛ``"Ã2Û`+Ã(-1Å)½Û``

'22 = 2-k

'5`"Ã1+ÅkÛ``, 5kÛ`+5=2kÛ`-8k+8 3kÛ`+8k-3=0, (3k-1)(k+3)=0

∴ k=-3 (∵ k<0)

08-2

^셀파 두 벡터 a², b²가 이루는 각의 크기가 h(0ùÉhÉ90ù) 일 때, cos`h= a²`º`b²

|a²||b²|

a²+xb²=(-2, 1)+x(1, 1)=(-2+x, 1+x) b²+c²=(1, 1)+(3, 2)=(4, 3)

⑴ 두 벡터 a²+xb², b²+c²가 서로 수직이므로 (a²+xb²)`º`(b²+c²)=0

(-2+x, 1+x)`º`(4, 3)=0 4(-2+x)+3(1+x)=0 7x-5=0 ∴ x=;7%;

⑵ 두 벡터 a²+xb², b²+c²가 서로 평행하므로 (a²+xb²)`º`(b²+c²)=Ñ|a²+xb²||b²+c²|

(a²+xb²)`º`(b²+c²) =(-2+x, 1+x)`º`(4, 3)=7x-5 Ñ|a²+xb²||b²+c²| =Ñ"Ã(-2Ã+x)ÃÛ`+(Ã1+x)Û``"Ã4Û`+3Û`

=Ñ5"Ã2xÛ`Ã-2Ãx+5 따라서 7x-5=Ñ5"Ã2xÛ`Ã-2Ãx+5 이 식의 양변을 제곱하여 정리하면

xÛ`+20x+100=0, (x+10)Û`=0 ∴ x=-10

| 다른 풀이 |

⑵ a²+xb²와 b²+c²가 서로 평행하므로 a²+xb²=k(b²+c²)가 성립하는 0이 아닌 실수 k가 존재한다.

(x-2, x+1)=k(4, 3), (x-2, x+1)=(4k, 3k) ∴ x-2=4k, x+1=3k

두 식을 연립하여 풀면 k=-3, x=-10

09-1

^셀파 두 벡터 a², b²에 대하여

a²⊥b² JHjK a²`º`b²=0, a²∥b² JHjK a²`º`b²=Ñ|a²||b²|

b²∥c²이므로 b²`º`c²=Ñ|b²||c²|

(1, 2)`º`(x, y)=Ñ"Ã1Û`+2Û``"ÃxÛ`+yÛ`

∴ x+2y=Ñ'5`"ÃxÛ`+yÛ`

이 식의 양변을 제곱하여 정리하면 4xÛ`-4xy+yÛ`=0, (2x-y)Û`=0

∴ y=2x

이때 c²=(x, 2x)이므로

c²-a²=(x, 2x)-(4, 3)=(x-4, 2x-3) 또 (c²-a²)⊥b²이므로 (c²-a²)`º`b²=0에서 (x-4, 2x-3)`º`(1, 2)=0

x-4+2(2x-3)=0, 5x-10=0

∴ x=2, y=4

09-2

^셀파 a²⊥b² HjK a²`º`b²=0 HjK aÁbÁ+aªbª=0

b²=(x, y)라 하면 두 벡터 a², b²가 서로 수직이므로 a²`º`b²=0 (2, 1)`º`(x, y)=0 ∴ 2x+y=0 yy㉠

또 |b²|='5이므로 xÛ`+yÛ`=5 yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

x=1, y=-2 또는 x=-1, y=2 따라서 구하는 벡터는

b²=(1, -2) 또는 b²=(-1, 2)

10-1

^셀파 a²⊥b² HjK a²`º`b²=0

AB³⊥AC³이므로 AB³`º`AC³=0 이때

AC³ =AB³+BC³=(1, 2)+(mÛ`, m-4)

=(mÛ`+1, m-2)

이므로 (1, 2)`º`(mÛ`+1, m-2)=0 mÛ`+2m-3=0, (m+3)(m-1)=0

∴ m=-3 또는 m=1

10-2

^셀파 직각삼각형 ABC에서 ∠A=90ù이면 AB³⊥AC³

선분 AB의 중점 M의 위치벡터는 OÕM³=a²+b² 2 이므로 선분 OM을 3`:`1로 외분하는 점 N의 위치벡터는 OÕN³= 13-1 {3_a²+b²

2 -1_0²} =;4#;`a²+;4#;`b²

∴ k=;4#;, l=;4#;

01

^셀파 선분 AB의 중점 M의 위치벡터는 OÕM³=a²+b² 2

본문 | 128~129 ^쪽 연습 문제

삼각형 ABC에서 ABÓ=2, ACÓ=1이고 점 D는 ∠A의 이등분선이 변 BC와 만 나는 점이므로

BDÓ`:`CDÓ=ABÓ`:`ACÓ=2`:`1

즉, 점 D는 선분 BC를 2`:`1로 내분하는 점이므로 AD³= 2AC³+AB³

2+1 =;3!;`AB³+;3@;`AC³

∴ m=;3!!;, n=;3@@;

02

^셀파 각의 이등분선의 성질에 따라 점 D는 선분 BC를 2`:`1로 내분하는 점이다.

A

B D C

네 점 A, B, C, P의 위치벡터를 각각 a², b², c², p²라 하면 2PB³+3PC³=0²에서

2(b²-p²)+3(c²-p²)=0², 5p²=2b²+3c²

∴ p²=2b²+3c² 5

즉, 점 P는 선분 BC를 3`:`2로 내분하 는 점이므로

BPÓ=;5#;_10=6

∴ |PA³|Û` =6Û`+4Û`=52

03

^셀파 주어진 식을 위치벡터로 나타내어 본다.

O

B 3 P 2 C

b c

A

B 6 P C

4

10

대각선 BD의 중점 M의 좌표는 M{0+8

2 , -1+1 2 }, 즉 M(4, 0)이므로

AÕM³=OÕM³-OÕA³=(4, 0)-(p, 2)=(4-p, -2) MÓC³=OC³-OÕM³=(3, q)-(4, 0)=(-1, q) 이때 AÕM³=MÓC³이므로 4-p=-1, -2=q

∴ p=5, q=-2

| 다른 풀이 |

사각형 ABCD에서 대각선 BD의 중점 M에 대하여 AÕM³=MÓC³이므로 AÕMÓ=MÓCÓ이고, 점 M은 대각선 AC의 중점이다.

즉, 두 대각선 BD, AC의 중점이 일치하므로 4=p+3

2 , 0=2+q

2 ∴ p=5, q=-2

04

^셀파 AÕM³, MÓÕC³를 각각 성분으로 나타낸다.

∠A=120ù이므로

∠BAD=∠DAE=∠EAF=∠FAC=30ù AB³`º`AC³=-|AB³||AC³|cos (180ù-120ù) =-3_2_;2!;=-3

AB³`º`AD³=|AB³||AD³|cos`30ù 

      =3_|AD³|_ '32 = 3'32 |AD³|

AB³`º`AF³ =|AB³||AF³|cos`90ù=0 따라서 내적의 값이 가장 큰 것은 AB³`º`AD³

07

^셀파 두 벡터 a², b²가 이루는 각의 크기가 h일 때, a²`º`b²=|a²||b²|cos`h이다.

점 P의 좌표를 P(x, y)라 하면 OP³=(x, y) OP³=kOA³+lOB³이므로

(x, y)=k(3, 1)+l(-1, 4)=(3k-l, k+4l) x=3k-l yy㉠, y=k+4l yy㉡

㉠_4+㉡을 하면 4x+y=13k ∴ k=4x+y 13

㉡_3-㉠을 하면 -x+3y=13l ∴ l=-x+3y 13 이때 k+l=2이므로 4x+y

13 +-x+3y 13 =2 4x+y+(-x+3y)=26

따라서 구하는 도형의 방정식은 3x+4y=26

05

^셀파 OÕA³, OB³, OP³를 성분으로 나타낸 다음 OP³=kOA³+lOB³에 대입한다.

반원에 대한 원주각의 크기는 90ù이므로

∠BAC=90ù 직각삼각형 ABC에서 BCÓ =¿¹^{ABÓ Û`</sup>¹<sup>+ACÓ Û`}

=¿¹('6)¹Û`+(¹'2)Û`=2'2

이고 ABÓ`:`BCÓ`:`ACÓ='3`:`2`:`1이므로

∠ABC=30ù

AB³와 BC³가 이루는 각의 크기는 180ù-30ù=150ù이므로 AB³`º`BC³=-|AB³||BC³|cos (180ù-150ù)

=-'6_2'2_ '3 2 =-6

06

^셀파 두 벡터 AB³, BC³가 이루는 각의 크기가 h일 때 AB³`º`BC³=|AB³||BC³|cos`h

시점이 다른 두 벡터가 이루는 각의 크기

시점이 다른 두 벡터가 이루는 각의 크기는 평행이동하여 시점 을 같게 옮겨 놓은 다음 생각한다.

오른쪽 그림에서 두 벡터 AB³, BC³가 이루는 각의 크기를

∠ABC=30ù로 생각하면 안 된다.

두 벡터 AB³, BC³가 이루는 각의 크기를 h라 하면

h=180ù-∠ABC    

=180ù-30ù=150ù

LEC TURE

A

B 30ù

h C

16 12 A

B O C

16 12

오른쪽 그림에서

|AB³|=|AF³|=1이고 직각삼각형 ACF에서 CFÓ=2이므로

ACÓ=CFÓcos`30ù='3

∴ (AB³+AF³)`º`AC³   =AB³`º`AC³+AF³`º`AC³

  =|AB³||AC³|cos`30ù+|AF³||AC³|cos`90ù =1_'3_ '3

2 +0=;2#;

09

^셀파 직각삼각형 ACF에서 |AC³|를 구한다.

30ù 60ù A

B

C D

E F

두 점 P, Q가 포물선 yÛ`=2x, 즉 x=;2!;yÛ` 위의 점이므로 P{aÛ`

2, a}, Q{bÛ`

2 , b}로 놓으면 OP³={aÛ`

2 , a}, OQ³={bÛ`

2, b}

∴ OP³`º`OQ³={aÛ`

2 , a}`º`{bÛ`

2, b} =(ab)Û`

4 +ab=;4!;{(ab)Û`+4ab+4}-1 =;4!;(ab+2)Û`-1

따라서 OP³`º`OQ³는 ab=-2일 때, 최솟값 -1을 가진다.

08

^셀파 두 점 P, Q가 포물선 위의 점인 것을 이용하여 OP³, OQ³ 를 각각 성분으로 나타낸다.

채점 기준 배점

|a²+b²|, |a²-2b²|의 값을 구한다. 30%

(a²+b²)`º`(a²-2b²)의 값을 구한다. 30%

h의 값을 구한다. 40%

 a²`º`b²=|a²||b²|cos`60ù=;2!;이므로 |a²+b²|Û`=|a²|Û`+2a²`º`b²+|b²|Û =1+2_;2!;+1=3 ∴ |a²+b²|='3

|a²²-2b²|Û`=|a²|Û`-4a²`º`b²+4|b²|Û =1-4_;2!;+4_1=3 ∴ |a²-2b²|='3

 (a²+b²)`º`(a²-2b²)=|a²|Û`-a²`º`b²-2|b²|Û =1-;2!;-2_1=-;2#;

 (a²+b²)`º`(a²-2b²)<0이므로

  cos`(180ù-h)=- (a²+b²)`º`(a²-2b²)

|a²+b²||a²-2b²|

`=- -;2#;

'3_'3=;2!;

180ù-h=60ù (∵ 0ùÉhÉ180ù) ∴ h=120ù

10

^셀파 |a²+b²|Û`=|a²|Û`+2a²`º`b²+|b²|Û 을 이용한다.

두 벡터 x², y²가 어떤 실수 t에 대해서도 서로 수직이 되지 않으려 면 x²`º`y²+0이어야 한다.

x²`º`y² =(t+1, tÛ`)`º`(tÛ`+kt+1, -t-k)

=(t+1)(tÛ`+kt+1)+tÛ`(-t-k)

=tÛ`+(k+1)t+1

따라서 t에 대한 이차방정식 tÛ`+(k+1)t+1=0이 실근을 갖지 않아야 하므로 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

D=(k+1)Û`-4_1_1<0 kÛ`+2k-3<0, (k+3)(k-1)<0

∴ -3<k<1

11

^셀파 x²`º`y²+0이다.

p²=(x, y)라 하면

a²=(4, 1), b²=(2, 3), c²=(1, -3)이므로 p²+c²=(x+1, y-3), a²-b²=(2, -2) p²+a²=(x+4, y+1), b²+c²=(3, 0) 이때 p²+c²와 a²-b²가 서로 평행하므로 p²+c²=k(a²-b²) (단, k는 0이 아닌 실수) (x+1, y-3)=k(2, -2)

∴ x+1=2k, y-3=-2k yy㉠

또 p²+a²와 b²+c²가 서로 수직이므로 (p²+a²)`º`(b²+c²)=0

(x+4, y+1)`º`(3, 0)=0 3x+12=0 ∴ x=-4

x=-4를 ㉠에 대입하면 k=-;2#;, y=6

∴ p²=(-4, 6)

12

^셀파 p²=(x, y)라 하고 p²+c²=k(a²-b²)(k는 0이 아닌 실수), (p²+a²)`º`(b²+c²)=0을 만족시키는 x, y의 값을 구한다.

지은이가 있는 지점의 위치벡터를 b²=(bÁ, bª)라 하면 두 벡터 a², b²가 서로 수직이므로

a²`º`b²=8bÁ+6bª=0

∴ bª=-;3$;bÁ yy㉠

또 지은이가 10`m 걸어갔으므로

|b²|="ÃbÁÛ`Ã+bªÛ`=10에서 bÁÛ`+bªÛ`=100 yy㉡

㉠을 ㉡에 대입하면 bÁÛ`+:Á9¤:bÁÛ`=100, bÁÛ`=36

∴ bÁ=6 또는 bÁ=-6

bÁ=6일 때 bª=-8, bÁ=-6일 때 bª=8

∴ b²=(6, -8) 또는 b²=(-6, 8)

13

^셀파 지은이가 있는 지점의 위치벡터를 b²=(bÁ, bª)로 놓고 두 벡터 a², b²가 서로 수직인 것을 생각한다.

⑴ 점 A(2, 5)를 지나고 벡터 u²=(3, 4)에 평행한 직선의 방정식은

x-23 = y-5 4

⑵ 점 A(2, 5)를 지나고 벡터 n²=(3, 4)에 수직인 직선의 방정식은

3(x-2)+ 4 (y-5)=0 ∴ 3x+4y-26=0

1-1

두 직선 lÁ, lª의 방향벡터가 각각 uÁ²=(1, -3), uª²=(1, 2)이므로

cos`h= |uÁ²`º`uª²|

|uÁ²||uª²|= |1_1+(-3)_2|

"Ã1Û`+Ã(-3)Û``"Ã1Û`+2Û`

= 5

'1§0`'5= '2 2

이때 0ùÉhÉ90ù이므로 h= 45ù

2-1

두 직선의 방향벡터를 각각 uÕÁ², uÕª²라 하면 uÁ²=(a, 2), uª²=(4, -2)

⑴ 두 직선이 서로 수직이면 uÁ²`º`uª²=0이므로 (a, 2)`º`(4, -2)=0

4a-4=0 ∴ a=1

⑵ 두 직선이 서로 평행하면 uÁ²=kuª² (k+0인 실수) 이므로

(a, 2)=k(4, -2)=(4k, -2k) a=4k, 2=-2k ∴ a=-4

3-2

|p²-c²|=4의 양변을 제곱하면

|p²-c²|Û`=4Û`, (p²-c²)`º`(p²-c²)=16 p²-c²=(x- 2 , y-1)이므로 (x-2)Û`+(y-1)Û`=16

따라서 점 P가 나타내는 도형은

중심이 C(2, 1)이고 반지름의 길이가 4 인 원

4-1

⑴ x-3`

1 = y-25 ∴ x-3=y-2 5

⑵ (x-3)+5(y-2)=0 ∴ x+5y-13=0

1-2

두 직선의 방향벡터를 각각 uÕÁ², uÕª²라 하면 uÕÁ²=(2, a), uÕª²=(1, 2)

⑴ 두 직선이 서로 수직이면 uÕÁ²`º`uÕª²=0이므로 (2, a)`º`(1, 2)= 0

2+2a=0 ∴ a=-1

⑵ 두 직선이 서로 평행하면 uÕÁ²=kuÕª² (k+0인 실수) 이므로

(2, a)=k(1, 2)=(k, 2k) k= 2 , a=2k ∴ a=4

3-1

⑴ 두 직선 lÁ, lª의 방향벡터가 각각 uÁ²=(2, 1), uª²=(-3, 1)이므로

cos`hÁ=|uÁ²`º`uª²|

|uÁ²||uª²|= |2_(-3)+1_1|

"Ã2Û`+1Û``"Ã(-3)Û`Ã+1Û``

= 5

'5`'1Œ0= '22

이때 0ùÉhÁÉ90ù이므로 hÁ=45ù

2-2

본문 | 133, 135 ^쪽 개념 익히기

문서에서 2020 셀파 기하 답지 정답 (페이지 42-50)