9장 표본평균관리도와 범위관리도

9장 표본평균관리도와 범위관리도

김남형 가천대학교 응용통계학과

nhkim@gachon.ac.kr

계량형 관리도(Control Charts for Variables)

 품질특성이 무게, 길이, 인장강도 등과 같이 연속적인 값 을 갖는 계량치로 나타날 때 사용

 표본 평균이나 분산 등의 통계량값들을 타점

 각 관리 항목에 대하여 상세한 정보를 제공

 공정 변화를 민감하게 탐지

 적은 데이터로부터 많은 정보를 얻을 수 있음 경제적

계량형 관리도

 품질특성치의 평균과 변동폭의 변화

계량형 관리도

 평균과 분산은 품질특성치의 분포를 결정하므로 평균 또 는 분산에 중요한 변동이 있었다는 것은 곧 생산공정에 중 요한 변동이 있었다는 것을 의미

 공정의 평균관리：표본평균관리도(𝑥𝑥̅ 관리도)

 공정의 분산(변동폭) 관리：범위관리도(R관리도)

 공정의 평균과 분산 동시 관리：표본평균 및 범위관리도 (𝑥𝑥̅-R 관리도)

제1절 𝑥𝑥̅ 관리도

 𝑥𝑥̅ 관리도에서는 생산공정으로부터 추출한 표본의 평균치 들을 관리도상에 타점하여 이상원인에 의해 품질특성의 공정 평균이 변화하였는지를 판단

 표본평균 𝑥𝑥̅ 와 표본범위 R의 계산 𝑥𝑥̅ = � 𝑥𝑥_𝑖𝑖

𝑛𝑛 𝑖𝑖=1

/n 𝑅𝑅 = max 𝑥𝑥_𝑖𝑖 − min 𝑥𝑥_𝑖𝑖 n: 표본 크기

𝑥𝑥̅ 관리도

 다음과 같은 연속적인 가설검정의 과정 1. 귀무가설 : μ = (공정은 안정상태)

대립가설 : μ ≠ (공정은 안정되지 않은 상태) 2. 사용할 표본통계량은 𝑥𝑥̅

3. α=0.0027, 기각역 z<-3 혹은 z>3

4. 채집한 표본평균이 관리한계를 벗어나면(=기각역에 속하 면) 귀무가설을 기각하고 대립가설 채택공정은 불안정상태 5. 다음 표본으로 4로 이동

예제 : 베이글 당도

 표본평균 : 50mg

 표본평균의 표준편차: 2.5mg

 관리상한= 57.5 mg

 관리하한= 42.5 mg

 관리한계를 벗어나면 모평균의 변화가 생겼다고 판단  틀릴 가능성 0.27%

그림1 표본평균 관리한계

그림2 𝑥𝑥̅ 관리도

𝑥𝑥̅와 R의 분포

 𝑥𝑥̅의 분포

𝑥𝑥̅~𝑁𝑁(𝜇𝜇,𝜎𝜎² 𝑛𝑛 )

 𝜇𝜇̂ = E 𝑥𝑥̅ = 𝑥𝑥̿

 R의 분포

𝐸𝐸 𝑅𝑅 = 𝑑𝑑₂𝜎𝜎, 𝐷𝐷 𝑅𝑅 = 𝜎𝜎_𝑅𝑅 = 𝑑𝑑₃𝜎𝜎

 𝜎𝜎� = _𝑑𝑑^𝑅𝑅�

2

표본평균의 평균 𝑥𝑥̿와 표본범위의 평균 𝑅𝑅�의 계산

𝑥𝑥̿ = � 𝑥𝑥̅_𝑗𝑗

𝑁𝑁 𝑗𝑗=1

/N

𝑅𝑅� = � 𝑅𝑅_𝑗𝑗

𝑁𝑁 𝑗𝑗=1

/N

 N: 표본의 수(즉, 표본의 총 추출횟수)

𝑥𝑥̅관리도의 관리한계선

 공정의 평균 𝜇𝜇와 표준편차 𝜎𝜎를 알 때



관리상한 UCL= 𝜇𝜇 + 3𝜎𝜎/ 𝑛𝑛= 𝜇𝜇 + 𝐴𝐴𝜎𝜎



중심선 CL = 𝜇𝜇



관리하한 LCL= 𝜇𝜇 − 3𝜎𝜎/ 𝑛𝑛= 𝜇𝜇 − 𝐴𝐴𝜎𝜎

※ 𝐴𝐴, 𝑑𝑑

, 𝑑𝑑

, 𝐷𝐷

− 𝐷𝐷

등은 모두 관리도를 위한 계수들

로서 부록B (p. 386)에 수록되어 있음.

𝑥𝑥̅관리도의 관리한계선

 공정의 평균 𝜇𝜇와 표준편차 𝜎𝜎를 모를 때



평균과 표준편차를 표본 자료를 이용하여 추정 𝜇𝜇� = 𝑥𝑥̿, 𝜎𝜎� = 𝑅𝑅�/𝑑𝑑



UCL= 𝑥𝑥̿ + 3𝜎𝜎�/ 𝑛𝑛 = 𝑥𝑥̿ + 3(𝑅𝑅�/𝑑𝑑

)/ 𝑛𝑛 = 𝑥𝑥̿ + 𝐴𝐴

𝑅𝑅�



CL = 𝑥𝑥̿



LCL= 𝑥𝑥̿ − 𝐴𝐴

𝑅𝑅�

예제: 막걸리 필수아미노산 함량

 규격 : 15-25g

 목표값 : 20g

 50분 간격으로 크기 5의 표본 채집 n=5

 총 100개의 자료 N=20

표1 필수아미노산 함량

표본

번호 관측치 표본

번호 관측치

1 21 21 19 20 24 11 15 21 19 20 21 2 23 20 26 21 23 12 17 15 16 20 19 3 21 23 17 21 19 13 13 17 17 19 17 4 21 22 25 24 20 14 22 20 18 21 16 5 17 18 20 20 20 15 17 21 18 21 21 6 18 15 20 21 20 16 17 20 21 19 21 7 23 23 23 18 22 17 19 21 22 17 20 8 23 20 14 21 20 18 21 18 20 23 22

표2 필수아미노산 함량 계산

표본

번호 관측치 범위

(R)

평균 ( )

표본

번호 관측치 범위

(R)

평균 ( ) 1 21 21 19 20 24 5 21 11 15 21 19 20 21 6 19.2 2 23 20 26 21 23 6 22.6 12 17 15 16 20 19 5 17.4 3 21 23 17 21 19 6 20.2 13 13 17 17 19 17 6 16.6 4 21 22 25 24 20 5 22.4 14 22 20 18 21 16 6 19.4 5 17 18 20 20 20 3 19 15 17 21 18 21 21 4 19.6 6 18 15 20 21 20 6 18.8 16 17 20 21 19 21 4 19.6 7 23 23 23 18 22 5 21.8 17 19 21 22 17 20 5 19.8 8 23 20 14 21 20 9 19.6 18 21 18 20 23 22 5 20.8 9 25 24 24 19 19 6 22.2 19 19 26 20 24 28 9 23.4

관리한계

 표본평균의 평균 𝑥𝑥̿=20.45

 범위 평균 𝑅𝑅� =5.65

 n=5 일 때 𝐴𝐴₂=0.577

 관리상한 UCL=𝑥𝑥̿ + 𝐴𝐴₂𝑅𝑅�=20.45+0.577(5.65)=23.71

 중심선 CL= 𝑥𝑥̿ =20.45

 관리하한 LCL=𝑥𝑥̿ − 𝐴𝐴₂𝑅𝑅�=20.45-0.577(5.65)=17.19

그림 3 𝑥𝑥̅ 관리도

𝑥𝑥 관리도 vs. 𝑥𝑥̅ 관리도

 품질 특성이 정규분포를 따르지 않더라도 중심극한 정리 에 의해 품질특성들의 평균은 정규분포에 가까워지므로 𝑥𝑥̅

관리도의 경우 그대로 정규분포 이용할 수 있음

 𝑥𝑥̅ 관리도는 𝑥𝑥 관리도에 비해 공정평균의 변화에 대한 민 감도가 훨씬 더 큼

𝑥𝑥̅ 관리도의 경우 불안정 공정의 원인분석

 평균수준의 급격한 변화: 전반적인 점들의 위치가 급격히 변할 때 이유는 다음과 같다

 생산준비과정에 있어서 조정방법의 변화

 새로운 작업자 또는 미숙련공의 배치

 전혀 다른 원자재의 사용

 기계부품의 고장

 추세현상

 설비의 점진적 마모

 작업장내의 온도나 습도의 점진적 변화

 화학공정의 점성변화

 주기현상

제2절 R관리도

 부분군의 범위인 R값을 타점

 공정의 안정성 또는 변동성에 대한 정보 제공

 모집단의 범위가 어떤 𝑅𝑅₀ 라는 가설에 근거하여 관리한계 설정

 관리한계 벗어나면 모집단의 범위는 더 이상 𝑅𝑅₀가 아니라 고 판단

 관리한계를 벗어나지 않더라도 일정한 모양을 보이거나 추세를 보인다면 모집단의 범위에 변화가 발생하였다고 판단

R관리도

 𝑥𝑥̅ 관리도를 보완하는 것으로 이용

 𝑥𝑥̅ 관리도  모 평균의 이동 감지

 R 관리도  모분산도의 변화 감지

 𝑥𝑥̅ 관리도에서 이상현상이 발생할 경우 : 모집단의 평균에 이상이 발생한 것인지 분산도에 이상이 발생한 것인지 여 부를 알기 위해 𝑥𝑥̅-R관리도 이용

R 관리도의 관리한계

 공정의 표준편차 𝜎𝜎를 알 때, 𝐸𝐸 𝑅𝑅 = 𝜇𝜇_𝑅𝑅 = 𝑑𝑑₂𝜎𝜎, 𝜎𝜎_𝑅𝑅 = 𝑑𝑑₃𝜎𝜎

 UCL = 𝜇𝜇_𝑅𝑅 + 3𝜎𝜎_𝑅𝑅 = 𝑑𝑑₂𝜎𝜎 + 3𝑑𝑑₃𝜎𝜎 = 𝑑𝑑₂ + 3𝑑𝑑₃ = 𝐷𝐷₂𝜎𝜎

 CL = 𝑑𝑑₂𝜎𝜎

 LCL =𝜇𝜇_𝑅𝑅 − 3𝜎𝜎_𝑅𝑅 = 𝑑𝑑₂𝜎𝜎 − 3𝑑𝑑₃𝜎𝜎 = 𝑑𝑑₂ − 3𝑑𝑑₃ = 𝐷𝐷₁𝜎𝜎

 공정의 표준편차 𝜎𝜎를 모를 때

 표본범위 R값으로부터 추정, 𝜇𝜇̂_𝑅𝑅=𝑅𝑅�, 𝜎𝜎� = 𝑅𝑅�/𝑑𝑑₂

 UCL = 𝑅𝑅� + 3𝑑𝑑_{3 𝑑𝑑}^𝑅𝑅�

2 = 1 +^3𝑑𝑑_𝑑𝑑 ³

2 𝑅𝑅� = 𝐷𝐷₄𝑅𝑅�

 CL = 𝑅𝑅�

LCL = 𝑅𝑅� − 3𝑑𝑑 ^𝑅𝑅� = 1 −^3𝑑𝑑3 𝑅𝑅� = 𝐷𝐷 𝑅𝑅�

관리한계를 위한 계수들

예제: 막걸리 필수아미노산 함량

 n=5, 𝐷𝐷₄ = 2.114, 𝐷𝐷₃ = 0

 𝑅𝑅� = 5.65

 관리상한 UCL = 𝐷𝐷₄𝑅𝑅� = 2.114(5.65)=11.9

 중심선 CL = 𝑅𝑅� = 5.65

 관리하한 LCL = 𝐷𝐷₃𝑅𝑅� = 0

R관리도

R관리도의 경우 불안정 공정의 원인분석

 평균수준의 급격한 변화: 전반적인 점들의 위치가 급격히 변할 때 이유는 다음과 같다

 미숙련공의 배치

 투입자재 품질의 변화

 기계사용속도의 급격한 증가

 추세현상

 작업자 기능의 개선

 피곤, 지루함 등으로 인한 작업자 기능의 저하

 투입원자재 품질의 점진적 균일화

 주기현상

관리도의 공정상태 판단

 관리도의 판단

1. 점이 관리한계선을 벗어났을 때에는 공정에 이상원인이 있음을 나타내므로 그 원인을 찾아서 조 처하여야 한다.

2. 점이 관리한계 내에 있으면 원칙적으로 공정은 관리상태에 있다고 본다.

3. 그러나 점이 중심선에 대하여 한쪽에만 연속해서 나타날 경우(run), 특히 점이 7개 이상 연속 한 쪽에 몰리는 경우 이상원인이 있다고 판단한다.

 관리상태에 있는 공정은 일반적으로 점이 한계선을 벗어나지 않는지 여부

 점의 배열에 특이한 습관(규칙)의 여부에 대한 조건을 만족하는지

 관리 한계선이 주된 판단기준이 되고 점의 배열에 대한 특이한 습관은 보 충적인 역할을 담당

안정공정

관리한계 내에 데이터의 값들이 존재하도록 하기 위해 공정으로부터 이상 원인을 제거하 였다면 이 공정은 안정공정이라 한다. 이때 점이 관리한계선을 벗어나지 않거나 점들의 배열이 규칙성이 없는 상태를 의미한다.(한국산업규격 KS A ISO 8258:관리도법).

1) 연속 25점 모두가 관리한계 내에 있을 때

2) 연속 35점 중 34점 이상이 관리한계 내에 있을 때 3) 연속 100점 중 98점 이상이 관리한계 내에 있을 때

런(run)이론



런 (run): 같은 종류에 속한 결과의 연속, 관리도에서는

중심선을 기준으로 같은 쪽에 속하는 연속되는 점들의

한 집단

런의 확률

n개의

점 확률(P) 1

2 =0.25

3 =0.125

4 =0.0625

5 =0.0313

자료의 크기 (n) 최장런의 길이의 한계치

10 5

20 7

30 8

관리도의 구간

불안정 공정상태는 이상원인에 의해 변화하는 것으로서 점들이 관리한 계선 밖으로 나가거나 비정상적으로 큰 폭으로 변동할 때

불안정 공정

1. 구간A 바깥의 하나의 점

2. 구간C 혹은 바깥에 연속되는 9개의 점들

3. 계속적으로 증가, 감소하는 6개의 점들

4. 상승, 하강이 반복되는 14개의 점들

5. 3개의 점들중 2개가 구간A 혹은바깥에

6. 5개의 점들 중 4개가 구간B 혹은바깥에

7. 중심선 위아래구간C에 연속되는 15개의 점

8. 8개의 점이 중심선위아래,

구간 C에는 하나도 없음