y
O 2 x 45 A
3 u
y
O 2
45 A
3 n
x
⑵ 두 직선 lª, l£의 방향벡터가 각각 uª²=(-3, 1), u£²=(2, -4)이므로
cos`hª=|uª²`º`u£²|
|uª²||u£²|= |(-3)_2+1_(-4)|
"ÃÃ(-3)Û`Ã+1Û``"Ã2Û`+(Ã-4)Û`
= 10
'10`'20= '2 2
이때 0ùÉhªÉ90ù이므로 hª=45ù
⑴ |p²-c²|=3의 양변을 제곱하여 내적으로 나타내면 |p²-c²|Û`=3Û`, (p²-c²)`º`(p²-c²)=9
p²-c²=(x+3, y-2)이므로 (x+3)Û`+(y-2)Û`=9
따라서 점 P가 나타내는 도형은
중심이 C(-3, 2)이고 반지름의 길이가 3인 원
⑵ p²-c²=(x+3, y-2)이므로 (p²-c²)`º`(p²-c²)
=(x+3)Û`+(y-2)Û ∴ (x+3)Û`+(y-2)Û`=4 따라서 점 P가 나타내는 도형은
중심이 C(-3, 2)이고 반지름의 길이가 2인 원
4-2
본문 | 136~147 쪽 확인 문제
두 점 A, B를 지나는 직선의 방향벡터 AB³는 AB³=OB³-OA³=(-2, 1)
따라서 점 A(2, 1)을 지나고 방향벡터가 AB³=(-2, 1)인 직선 의 방정식은
x-2 -2 =y-1
01-1
셀파 구하는 직선의 방향벡터를 구한다.두 점 A(1, -4), B(5, 4)를 이은 선분 AB를 3`:`1로 내분하는 점 P의 좌표는
{ 3_5+1_13+1 , 3_4+1_(-4)
3+1 } ∴ P(4, 2) 또 직선 x-1
3 = 4-y
2 의 방향벡터 u²는 u²=(3, -2)
따라서 점 P(4, 2)를 지나고 u²=(3, -2)에 평행한 직선의 방정 식은
x-43 =y-2 -2
01-2
셀파 선분 AB를 3`:`1로 내분하는 점 P의 좌표를 먼저 구 한다.점 A(-2, 1)을 지나고 법선벡터가 n²=(1, 3)인 직선의 방정식은 (x+2)+3(y-1)=0 ∴ x+3y-1=0
확인 체크 01
셀파 특강
두 벡터 a²=(1, 5), b²=(2, 1)에 대하여 a²+b²=(1, 5)+(2, 1)=(3, 6)
벡터 a²+b²=(3, 6)에 수직이고 점 (3, 2)를 지나는 직선의 방정 식은
3(x-3)+6(y-2)=0, 3x+6y-21=0
∴ x+2y-7=0
∴ m=2, n=-7
02-2
셀파 a²+b²가 구하는 직선의 법선벡터이다.두 점 A(1, 2), B(-3, 4)를 지나는 직선의 방향벡터 u²는 u²=AB³=(-3, 4)-(1, 2)=(-4, 2)
선분 AB의 중점 M의 좌표는 M{ 1-32 , 2+4
2 }, 즉 (-1, 3) 따라서 점 M(-1, 3)을 지나고 벡터 u²=(-4, 2)에 수직인 직 선의 방정식은
-4{x-(-1)}+2(y-3)=0, -4x+2y-10=0
∴ 2x-y+5=0
02-1
셀파 점 A(xÁ, yÁ)을 지나고 벡터 n²=(a, b)에 수직인 직 선의 방정식 ⇨ a(x-xÁ)+b(y-yÁ)=0본문 | 139 쪽 집중 연습
⑴ x-0
-2 =y-3
3 ∴ x
-2 =y-3 3
⑵ x-5
2 =y-3 -1
01
직선 x+1
3 =y+2의 방향벡터를 uÁ²이라 하면 uÁ²=(3, 1) 직선 [x=t-3
y=3t-1에서 t=x+3, t=y+1 3 이므로 직선 x+3=y+1
3 의 방향벡터를 uª²라 하면 uª²=(1, 3) cos`h= |uÁ²`º`uª²|
|uÁ²||uª²|= |3_1+1_3|
"Ã3Û`+1Û``"Ã1Û`Ã+3Û``=;1¤0;=;5#;
03-1
셀파 두 직선의 방향벡터를 먼저 구한다.⑴ 점 (2, 1)을 지나고 방향벡터가 u²=(3, 2)인 직선의 방정 식은
x-2
3 =y-1 2
⑵ 점 (-3, 5)를 지나고 방향벡터가 u²=(-5, 2)인 직선의 방정식은
x-(-3) -5 = y-5
2 ∴ x+3
-5 =y-5 2
02
⑴ 두 점 A, B를 지나는 직선의 방향벡터 AB³는 AB³=OB³-OA³=(1, -1)
따라서 점 A(1, 4)를 지나고 방향벡터가 AB³=(1, -1) 인 직선의 방정식은
x-1=y-4 -1
⑵ 두 점 A, B를 지나는 직선의 방향벡터 AB³는 AB³=OB³-OA³=(2, -6)
따라서 점 A(1, 2)를 지나고 방향벡터가 AB³=(2, -6) 인 직선의 방정식은
x-1
2 =y-2 -6
03
⑴ 3(x-5)-2{y-(-4)}=0 ∴ 3x-2y-23=0
⑵ 2(x-1)+3(y-2)=0 ∴ 2x+3y-8=0
04
두 직선 x-4 3 = y
-'3, x+2
a =y-5
-3 의 방향벡터를 각각 uÁ², uª²라 하면
uÁ²=(3, -'3), uª²=(a, -3)
이때 두 직선이 이루는 각의 크기가 30ù이므로 cos`30ù=|uÁ²`º`uª²|
|uÁ²||uª²|
'32 = |3a+(-'3)_(-3)|
"Ã3Û`+(Ã-'3Å)Û``"ÃaÛ`Ã+(Ã-3)Û``
'32 = |3a+3'3|
2'3`"ÃaÛ`+½9, "ÃaÛ`+½9=|a+'3|
양변을 제곱하여 풀면
aÛ`+9=aÛ`+2'3a+3, 2'3a=6 ∴ a='3
03-2
셀파 두 직선의 방향벡터를 각각 uÁ², uª²라 하면 cos`30ù= |uÁ²`º`uª²||uÁ²||uª²|이다.
두 직선의 방향벡터를 각각 uÁ², uª²라 하면 uÁ²=(-3, 5), uª²=(5, a)
두 직선이 서로 수직이므로 uÁ²`º`uª²=0, (-3, 5)`º`(5, a)=0 -15+5a=0 ∴ a=3
04-1
셀파 두 직선의 방향벡터를 각각 uÁ², uª²라 하면 uÁ²``º`uª²=0Ú 직선 x-1 2 = y-3
a 이 직선 x+1=y-4와 평행하므로 (2, a)=k(1, 1)에서 2=k, a=k
∴ a=2 Û 직선 x-1
2 = y-3
a 이 직선 3-x b = y
4와 수직이므로 (2, a)`º`(-b, 4)=0, -2b+4a=0
Ú에서 a=2를 대입하면 -2b+8=0 ∴ b=4
04-2
셀파 uÁ²=(aÁ, bÁ), uª²=(aª, bª)일 때uÁ²∥uª² HjK (aª, bª)=k(aÁ, bÁ) (단, k+0인 실수) uÁ²⊥uª² HjK aÁaª+bÁbª=0
두 점 (0, -4), (1, -2)를 지나는 직선의 방정식은 x-0
1-0= y-(-4)-2-(-4), 즉 x=y+4 2 이 직선의 방정식을 매개변수 t로 나타내면 x=t, y=2t-4 (단, t는 실수) yy㉠
또 직선의 방정식 x+4
2 =y+3을 매개변수 s로 나타내면 x=2s-4, y=s-3 (단, s는 실수) yy㉡
㉠, ㉡에서 t=2s-4, 2t-4=s-3 두 식을 연립하여 풀면 t=2, s=3 따라서 구하는 교점의 좌표는 (2, 0)
05-1
셀파 두 직선 위의 점의 좌표를 각각 t, s로 나타낸 다음 t, s 의 값을 구한다.직선의 방정식 x+1 3 = y-2
-1 를 매개변수 t로 나타내면 x=3t-1, y=-t+2 (t는 실수)이므로 점 H의 좌표는 H(3t-1, -t+2)
AH³ =OH³-OA³=(3t-1, -t+2)-(-5, 0)
=(3t+4, -t+2)
직선의 방향벡터를 u²라 하면 u²=(3, -1) 이때 AH³⊥u²이므로 AH³`º`u²=0에서 (3t+4, -t+2)`º`(3, -1)=0
9t+12+t-2=0, 10t+10=0 ∴ t=-1
∴ H(-4, 3)
| 다른 풀이 | 직선의 방정식 x+1
3 =y-2
-1 를 매개변수 t로 나타내면 x=3t-1, y=-t+2 (t는 실수)이므로 점 H의 좌표는 H(3t-1, -t+2)
한편 점 A(-5, 0)을 지나고 직선 x+1 3 =y-2
-1 에 수직인 직선은 법선 벡터가 n²=(3, -1)이므로
3{x-(-5)}-(y-0)=0 ∴ 3x-y+15=0 이때 점 H는 직선 3x-y+15=0 위의 점이므로
3(3t-1)-(-t+2)+15=0, 10t+10=0 ∴ t=-1
∴ H(-4, 3)
05-2
셀파 직선의 방정식을 매개변수 t로 나타내어 점 H를 t로 나타낸다.|p²-2a²|=4의 양변을 제곱하여 내적으로 나타내면
|p²-2a²|Û`=4Û`, (p²-2a²)`º`(p²-2a²)=16
p²-2a²=(x-2, y-4)이므로 점 P가 나타내는 도형의 방정식은 (x-2)Û`+(y-4)Û`=16
06-1
셀파 |p²-2a²|=4에서 (p²-2a²)`º`(p²-2a²)=16점 P의 좌표를 P(x, y)로 놓고 세 점 A, B, P의 위치벡터를 각 각 a², b², p²라 하면 a²=(-3, 2), b²=(1, -2), p²=(x, y) AP³`º`BP³=0에서 (p²-a²)`º`(p²-b²)=0
(x+3, y-2)`º`(x-1, y+2)=0 (x+3)(x-1)+(y-2)(y+2)=0 xÛ`+2x+yÛ`-7=0 ∴ (x+1)Û`+yÛ`=8
06-2
셀파 AP³`º`BP³=(p²-a²)`º`(p²-b²)=0이다.좌표평면에서 두 점 A(-1, 2), B(3, -4)를 지름의 양 끝점 으로 하는 원의 방정식을 벡터를 이용하여 다음과 같은 두 가 지 방법으로 구할 수 있다.
점 P의 좌표를 점 P(x, y)로 놓고 세 점 A, B, P의 위치벡터 를 각각 a², b², p²라 하면
a²=(-1, 2), b²=(3, -4), p²=(x, y)
방법 1 AP³`º`BP³=0에서
(x+1, y-2)`º`(x-3, y+4)=0 (x+1)(x-3)+(y-2)(y+4)=0 xÛ`-2x+yÛ`+2y-11=0
따라서 구하는 원의 방정식은 (x-1)Û`+(y+1)Û`=13
방법 2 구하는 원의 중심을 C라 하고 점 C의 위치벡터를 c²라 하면
c²=a²+b²
2 =(1, -1) 반지름의 길이는
|CA³|=|a²-c²|=|(-2, 3)|='13 구하는 원의 방정식을 벡터로 나타내면
|p²-c²|='13
따라서 구하는 원의 방정식은 (x-1)Û`+(y+1)Û`=13
세미나 벡터를 이용하여 원의 방정식 구하기
구하는 접선 위의 임의의 한 점을 P(x, y)라 하고, 세 점 A, B, P 의 위치벡터를 각각 a², b², p²라 하면
a²=(-2, 1), b²=(-6, 4), p²=(x, y)
이때 반지름의 길이가 5이므로 AB³`º`AP³=rÛ`에서 (b²-a²)`º`(p²-a²)=5Û`
(-4, 3)`º`(x+2, y-1)=25
-4(x+2)+3(y-1)=25 ∴ 4x-3y+36=0
| 다른 풀이 |
원의 방정식은 (x+2)Û`+(y-1)Û`=5Û`이므로 원 위의 점 B(-6, 4)에서 의 접선의 방정식은
(-6+2)(x+2)+(4-1)(y-1)=25 -4(x+2)+3(y-1)=25
∴ 4x-3y+36=0
확인 체크 03
셀파 특강 구하는 원 위의 임의의 한 점을 P(x, y)라 하고, 세 점 A, B, P의
위치벡터를 각각 a², b², p²라 하면 a²=(2, 1), b²=(4, 3), p²=(x, y)
(p²-a²)`º`(p²-b²)=0에서 (x-2, y-1)`º`(x-4, y-3)=0 (x-2)(x-4)+(y-1)(y-3)=0
xÛ`-6x+yÛ`-4y+11=0 ∴ (x-3)Û`+(y-2)Û`=2
| 다른 풀이 |
두 점 A(2, 1), B(4, 3)의 위치벡터를 각각 a², b²라 하면 원의 중심 C의 위 치벡터 c²는
c²=a²+b² 2 =(3, 2) 반지름의 길이는
|CA³| =|a²-c²|=|(2, 1)-(3, 2)|
=|(-1, -1)|='2
구하는 원의 방정식을 벡터로 나타내면 |p²-c²|='2 따라서 구하는 원의 방정식은 (x-3)Û`+(y-2)Û`=2
확인 체크 02
셀파 특강
|p²+c²|='10의 양변을 제곱하여 내적으로 나타내면
|p²+c²|Û`=('10)Û`, (p²+c²)`º`(p²+c²)=10 p²+c²=(x+2, y-1)이므로
(x+2)Û`+(y-1)Û`=10
즉, 점 P가 나타내는 도형은 중심이 B(-2, 1)이고 반지름의 길 이가 '10인 원이다.
이 원 위의 점 A(1, 2)에서의 접선은 법선벡터가 BA³=(3, 1)이고 점 A(1, 2)를 지난다.
따라서 구하는 접선의 방정식은
3(x-1)+(y-2)=0 ∴ 3x+y-5=0
07-1
셀파 벡터의 성분을 이용하여 점 P가 나타내는 도형을 조사 한다.원 |x²|=2는 중심이 원점 O이므로 원 위의 두 점 A(-1, '3), B(a, b)에서의 두 접선의 법선벡터는 각각 OÕA³=(-1, '3), OB³=(a, b)
두 접선이 서로 수직이므로 OÕA³⊥OB³, 즉 OÕA³`º`OB³=0 (-1, '3)`º`(a, b)=-a+'3b=0에서 a='3b 이때 점 B는 원 |x²|=2, 즉 xÛ`+yÛ`=4 위의 점이므로 aÛ`+bÛ`=4에서 ('3b)Û`+bÛ`=4, bÛ`=1 ∴ b=1 (∵ b>0)
∴ a='3, b=1
07-2
셀파 점 B(a, b)는 원 |x²|=2 위의 점이므로 aÛ`+bÛ`=4이 다.점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 a²=(5, 2), b²=(3, 4), p²=(x, y)
(a²-p²)`º`(b²-p²) =(5-x, 2-y)`º`(3-x, 4-y)
=(5-x)(3-x)+(2-y)(4-y)
=xÛ`-8x+yÛ`-6y+23=0
∴ (x-4)Û`+(y-3)Û`=2
즉, 점 P는 중심이 C(4, 3)이고 반지름의 길이가 '2인 원 위의 점이다.
OCÓ="Ã(4-Ã0)Û`Ã+(3Ã-0)Û` =5
이때 |p²|는 원점과 원 위의 점 사이의 거 리이므로
최댓값은 OCÓ+CÕPÁÓ=5+'2 최솟값은 OCÓ-CÕPªÓ=5-'2
08-1
셀파 (a²-p²)`º`(b²-p²)=0을 성분으로 나타내어 어떤 도 형의 방정식을 나타내는지 조사한다.y
O
C PÁ
Pª 12 5
x
점 P의 좌표를 P(x, y)라 하면
2OA³-OB³+OP³=2(1, 2)-(6, 0)+(x, y)
=(x-4, y+4) (x-4, y+4)`º`(x, y)=-4
xÛ`-4x+yÛ`+4y=-4 ∴ (x-2)Û`+(y+2)Û`=4
08-2
셀파 OA³=(1, 2), OB³=(6, 0), OP³=(x, y)를 대입한다.두 점 A(3, 2), B(-1, -2)에 대하여 선분 AB를 3`:`2로 외분 하는 점 Q의 좌표는
{ 3_(-1)-2_33-2 , 3_(-2)-2_2
3-2 } ∴ Q(-9, -10) 따라서 두 점 Q(-9, -10)과 C(1, 2)를 지나는 직선의 방정식 은
x-(-9)
1-(-9)= y-(-10)
2-(-10) ∴ x+9
10 =y+10 12
02
셀파 두 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª)를 지나는 직선의 방정식은 x-xÁxª-xÁ=y-yÁ
yª-yÁ이다. (단, xÁ+xª, yÁ+yª)
직선 ax+y+2=0의 법선벡터 n²은 n²=(a, 1)이므로 점 (2, 1)을 지나고 법선벡터가 n²=(a, 1)인 직선의 방정식은 a(x-2)+1_(y-1)=0
∴ ax+y-2a-1=0 yy㉠
이때 ㉠은 (b, 1)`º`(x, y)=3, 즉 bx+y-3=0과 일치하므로 a=b, -2a-1=-3
∴ a=1, b=1
03
셀파 점 (2, 1)을 지나고 법선벡터가 (a, 1)인 직선의 방정식 을 구한다.두 직선 x+3=y-2
a , 3-x=y+5
3 의 방향벡터를 각각 uÁ², uª²라 하면 uÁ²=(1, a), uª²=(-1, 3)
이때 두 직선이 이루는 각의 크기가 45ù이므로 cos`45ù= |uÁ²`º`uª²|
|uÁ²||uª²|= |1_(-1)+a_3|
"Ã1Û`+aÛ``"Ã(-1Ã)Û`+Å3Û`
'22 = |-1+3a|
"ÃaÛ`+1`'10 양변을 제곱하여 정리하면
2aÛ`-3a-2=0, (2a+1)(a-2)=0
∴ a=2 (∵ a>0)
04
셀파 두 직선의 방향벡터는 각각 uÁ²=(1, a), uª²=(-1, 3)직선 x-2 3 = y+5
2 의 방향벡터를 u², x축, y축의 방향벡터를 각각 eÁ², eª²라 하면
u²=(3, 2), eÁ²=(1, 0), eª²=(0, 1)
이때 직선이 x축, y축과 이루는 예각의 크기가 각각 a, b이므로 cos`a= |u²`º`eÁ²|
|u²||eÁ²|= |3_1+2_0|
"Ã3Û`+2Û``"Ã1Û`+0Û`= 3 '13 cos`b= |u²`º`eª²|
|u²||eª²|= |3_0+2_1|
"Ã3Û`+2Û``"Ã0Û`+1Û`= 2 '13
∴ cos`a`cos`b= 3 '13_ 2
'13=;1¤3;
05
셀파 x축, y축의 방향벡터는 각각 eÁ²=(1, 0), eª²=(0, 1)이다.점 (6, -1)을 지나고 방향벡터가 u²=(3, 4)인 직선의 방정식은 x-6
3 = y+1 4
이 직선이 y축과 만나는 점은 x=0을 대입하면 -2= y+14 ∴ y=-9
따라서 구하는 y좌표는 -9
01
셀파 방향벡터가 u²=(a, b)이고 점 (xÁ, yÁ)을 지나는 직선의 방정식은 x-xÁa =y-yÁ b 이다.
본문 | 148~149 쪽 연습 문제
방향벡터를 이용한 직선의 방정식
점 A(xÁ, yÁ)을 지나고 벡터 u²=(a, b)에 평행한 직선의 방정 식은 x-xÁ
a = y-yÁ
b (단, ab+0)
a=0이거나 b=0일 때의 직선의 방정식은 다음과 같다.
➊ a=0, b+0이면 직선의 방정식은 x=xÁ
➋ a+0, b=0이면 직선의 방정식은 y=yÁ
LEC TURE
즉, 점 P는 중심이 C(2, -2)이고 반 지름의 길이가 2인 원 위의 점이다.
OCÓ="Ã2Û`+Ã(-2Å)Û`=2'2 따라서 |OP³|의 최솟값은 OCÓ-CÕPÁÓ=2'2-2
O
C(2, -2) PÁ 2 y
x
두 직선 3-x=y-2 k+1, x+1
k = 4-y
2 의 방향벡터를 각각 uÁ², uª²라 하면 uÁ²=(-1, k+1), uª²=(k, -2)
이때 두 직선이 서로 평행하므로
uÁ²=auª² (a+0인 실수)에서 (-1, k+1)=a(k, -2) -1=ak, k+1=-2a
a=-;k!;=- k+12 이므로 k(k+1)=2 kÛ`+k-2=0, (k+2)(k-1)=0
∴ k=-2 또는 k=1
따라서 모든 실수 k의 값의 곱은 -2
06
셀파 두 직선의 방향벡터를 각각 uÁ², uª²라 할 때, uÁ²=auª² (a+0인 실수)에서 k에 대한 이차식을 구한다.점 A(2, -1)을 지나고 방향벡터가 u²=(3, 2)인 직선의 방정식 은
x-2 3 =y+1
2
점 B에서 직선에 내린 수선의 발을 P라 하면 x-2
3 =y+1
2 =t (t는 실수) 에서 점 P의 좌표는 P(3t+2, 2t-1) 이때 BP³=(3t-1, 2t-5)이고 u²⊥BP³이므로 u²`º`BP³=3(3t-1)+2(2t-5)=0
9t-3+4t-10=0, 13t=13 ∴ t=1
따라서 점 P의 좌표가 P(5, 1)이므로 직선과 점 B(3, 4) 사이의 거리는
BPÓ="Ã(3-Ã5)Û`Ã+(4Ã-1)Û`='13
09
셀파 점 B에서 직선에 내린 수선의 발을 P라 하면 u²⊥BP³이다.두 점 A(a, 6), B(5, a)를 지나는 직선의 방향벡터 uÁ²은 uÁ²=(5-a, a-6)
또 직선 3x+2=2y-11, 즉 x+3 2 = y-2
3 의 방향벡터 uª²는 uª²=(2, 3)
두 직선이 서로 수직이므로 uÁ²⊥uª²에서 uÁ²`º`uª²=0 (5-a, a-6)`º`(2, 3)=0, 10-2a+3a-18=0
∴ a=8
07
셀파 방향벡터가 각각 uÁ², uª²인 두 직선이 서로 수직이면 uÁ²`º`uª²=0점 A(-1, 3)을 지나고 방향벡터가 u²=(2, -1)인 직선의 방정 식은
x+1
2 = y-3-1 yy㉠
또 두 점 B(2, 5), C(1, 2)를 지나는 직선의 방정식은 x-2
1-2= y-5
2-5, 즉 x-2=y-5
3 yy㉡
㉠을 매개변수 t로 나타내면
x=2t-1, y=-t+3 (단, t는 실수) yy㉢
㉡을 매개변수 s로 나타내면
x=s+2, y=3s+5 (단, s는 실수) yy㉣
㉢, ㉣에서 2t-1=s+2, -t+3=3s+5 두 식을 연립하여 풀면 t=1, s=-1
t=1을 ㉢에 대입하면 두 직선의 교점의 좌표는 (1, 2)
08
셀파 방향벡터가 u²=(a, b)이고 점 (xÁ, yÁ)을 지나는 직선의 방정식은 x-xÁa =y-yÁ b 이다.
점 A(1, 6)에서 직선에 내린 수선의 발을 H라 하면 x-1
'3 =y-2=t (t는 실수)에서
x='3t+1, y=t+2 ∴ H('3t+1, t+2) AH³ =OH³-OA³=('3t+1, t+2)-(1, 6)
=('3t, t-4)
직선의 방향벡터 u²는 u²=('3, 1)이고, AH³⊥u²이므로 AH³`º`u² =('3t, t-4)`º`('3, 1)
=4t-4=0
∴ t=1
이때 AH³=('3, -3)이므로 AHÓ=¿¹("3)Û`¹+(¹-3)Û`=2'3
정삼각형 ABC의 한 변의 길이를 a라 하 면
'32 a=2'3 ∴ a=4
따라서 삼각형 ABC의 둘레의 길이는 12
60ù A
H C a
B
2 3
10
셀파 점 A에서 직선에 내린 수선의 발을 H, 직선의 방향벡터 를 u²라 하면 AH³⊥u²이다.점 P의 좌표를 P(x, y)라 하면 a²=(3, 0), b²=(0, 2), p²=(x, y) (p²-a²)`º`(p²-b²) =0에서 (x-3, y)`º`(x, y-2)=0
x(x-3)+y(y-2)=0, xÛ`-3x+yÛ`-2y=0
∴ {x-;2#;}Û`+(y-1)Û`=:Á4£:
즉, 점 P가 나타내는 도형은 중심이 {;2#;, 1}이고, 반지름의 길이 가 '13
2 인 원이다.
따라서 구하는 도형의 둘레의 길이는 2_p_ '13
2 ="1½3p
11
셀파 점 P의 좌표를 P(x, y)라 하고 주어진 식을 벡터의 성분 으로 나타낸다.접점의 좌표를 H(a, b)라 하면 CH³=(a-4, b-2)이고 CH³⊥u²이므로
(a-4, b-2)`º`(2, 3)=0
∴ 2a+3b-14=0 yy㉠
또 방향벡터가 u²=(2, 3)이고 점 A(-1, 1)을 지나는 직선의 방 정식은
x+1
2 = y-13 ∴ 3x-2y+5=0 이때 점 H(a, b)는 이 직선 위의 점이므로
3a-2b+5=0 yy㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=4 따라서 구하는 접점의 좌표는 (1, 4)
13
셀파 원과 직선의 접점을 H라 하면 CH³⊥u²이다.세 위치벡터 a²=(-1, 3), b²=(2, 6), p²=(x, y)에 대하여 2|p²-a²|=|p²-b²|에서 4|p²-a²|Û`=|p²-b²|Û`
p²-a²=(x+1, y-3), p²-b²=(x-2, y-6)이므로 4{(x+1)Û`+(y-3)Û`}=(x-2)Û`+(y-6)Û
3xÛ`+12x+3yÛ`-12y=0 ∴ (x+2)Û`+(y-2)Û`=8 따라서 점 P가 나타내는 도형의 방정식은
(x+2)Û`+(y-2)Û`=8`
12
셀파 주어진 식에 a²=(-1, 3), b²=(2, 6), p²=(x, y)를 대입 한다.점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 AP³=OP³-OA³=(x-3, y-4)
|AP³|=2이므로 (x-3)Û`+(y-4)Û`=4
즉, 점 P는 중심이 A(3, 4)이고 반지름의 길이가 2인 원 위의 점이다.
이때 OAÓ="Ã3Û`+4Û`=5이고, 원의 반지름의 길이가 2이므로 구하는 |OP³|의 최댓값은
OAÓ+AÕPÁÓ=5+2=7 따라서 구하는 답은 ⑤
15
셀파 |OP³|가 최대일 때, 직선 OP는 원의 중심을 지난다.O A
PÁ 4
3 y
x
p²-a²=(x-1, y+2)이므로 (p²-a²)`º`(p²-a²)=5에서 점 P가 나타내는 도형의 방정식은 (x-1)Û`+(y+2)Û`=5
오른쪽 그림과 같이 |p²|가 최대인 점 P는 OPÓ가 원의 지름이 되도록 하는 원 위의 점이므로
x+0
2 =1, y+0
2 =-2에서 x=2, y=-4
∴ P(2, -4)
이때 원 위의 점 P에서의 접선은 점 P(2, -4)를 지나고 법선 벡터가 OA³=(1, -2)인 직선이므로 구하는 접선의 방정식은 (x-2)-2(y+4)=0
∴ x-2y-10=0
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셀파 |p²|가 최대인 점 P는 지름 위의 점이다.채점 기준 배점
점 P가 나타내는 도형의 방정식을 구한다. 20%
|p²|가 최대인 점 P의 좌표를 구한다. 30%
접선의 방정식을 구한다. 50%
O
C
P -2
1 y
x
p
ㄱ. 오른쪽 그림과 같이 서로 다른 세 점이 한 직선 위에 있는 경우에는 하나의 평 면을 결정하지 못한다.
ㄴ. 평행한 두 직선은 하나의 평면을 결정한다.
ㄷ. 한 점에서 만나는 두 직선은 하나의 평면을 결정한다.
ㄹ. 오른쪽 그림처럼 꼬인 위치 에 있는 두 직선 CG, EF는 하나의 평면을 결정하지 못 한다.
따라서 하나의 평면을 결정하는 조건은 ㄴ, ㄷ
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