미분 - 3
2014년 3월 17일[수]
정윤수[bukmunro@gmail.com]
접선의 방정식
x
접선
11.1. 접선의 방정식
접선의 방정식
곡선 y=f(x) 위의 점 에서 (1) 접선의 기울기 :
(2) 접선이 방정식 :
(3) 접선이 x 축의 양의 방향과 이루는 각이 라 하면,
) ,
(x1 y1
) )(
(
11
f x x x
y
y
) (x f
f ( x ) tan
11.1. 접선의 방정식
법선 : 접점을 지나고 접선과 수직인 직선을 법선이라고 한다.
(1) 법선의 기울기 :
) (
1 x1
f
) ) (
( 1
1 1
1
x x
x y f
y
(2) 법선의 방정식 :
11.1. 법선의 방정식
접선의 방정식 구하는 방법-1
(i) 접점 의 좌표가 주어질 때, (x1, y1)
접선의 기울기 를 구한다. f (x1)
에 대입한다.
) )(
(
1 11
f x x x
y
y
11.1. 접선의 방정식 구하는 방법
기울기?
접선
) ,
(x1 y1
x1
11.1. 접선의 방정식 구하는 방법
접선의 방정식 구하는 방법-2
에 대입한다.
) )(
(
1 11
f x x x
y
y
(ii) 기울기가 m 일 때,
에서 접점의 x, y 좌표를 구한다.
m x
f ( 1)
11.1. 접선의 방정식 구하는 방법
기울기 m
접선
) ,
(x1 y1
x1
접점 ?
m x
f ( )
11.1. 접선의 방정식 구하는 방법
접선의 방정식 구하는 방법-3
(iii) 곡선 밖의 한 점 이 주어질 때, (x1, y1)
접점을 로 놓는다. (t, f (t))
에 을 대입한다.
) )(
( )
( t f t x t f
y
) ,
(x y
11.1. 접선의 방정식 구하는 방법
접점?
)) (
,
( t f t
) ,
(x1 y1
11.1. 접선의 방정식 구하는 방법
두 곡선의 공통접선 조건 두 곡선 y=f(x), y=g(x) 가
(1) 점 (a,b)에서 접하면, f(a)=g(a)=b ,
(2) 점 (a,b) 에서 직교하면, f(a)=g(a)=b ,
) ( )
( a g a f
1 )
( )
(
a g a f
11.2. 두 곡선의 공통접선 조건
연습문제
곡선 위의 점 (1,1) 에서의 접선의 방정식과 법선의 방정식을 구하여라.
x
3y
4 1
x
[ ] y
11.2. 두 곡선의 공통접선 조건
) (x f
y
x y
O
증가 감소 증가
11.2. 함수의 증가, 감소
함수 f(x) 가 어떤 구간에 속하는 임의의 두 수 에 대하여
(1) 일 때, 이면 함수 f(x)는 그 구간에서 증가하고, 이때,
f(x)가 미분가능하면 이다.
2 1, x x
2 1 x
x f (x1) f (x2)
0 )
(
x f
11.2. 함수의 증가, 감소
(2) 일 때, 이면
함수 f(x) 는 그 구간에서 감소하고, 이 때, f(x) 가 미분가능하면
이다.
2 1 x
x f (x1) f (x2)
0 )
(
x f
11.2. 함수의 증가, 감소
*point-up
0 이면 )
( )
( i f x f(x)는 증가한다.
0 이면 )
(
x
f
f(x)는 감소한다.0 )
(
x
(ii) f(x)는 증가한다.
f
0 )
(
x f
f(x)는 감소한다.
11.2. 함수의 증가, 감소
연습문제
삼차함수
가 증가함수가 되도록 a의 값의 범위를 정하면?
2 )
4 5
3 ( ) 1
(x x3 ax2 a x f
4 1 a
[ ]
11.2. 함수의 증가, 감소
극대 극대
극소
극소
O x
y
a b c d
11.2. 함수의 극대, 극소
함수의 극대, 극소
미분가능한 함수 f(x) 에 대하여 이고, x=a 의 좌우에서 의 부호가
(1) 음(-)에서 양(+)으로 변하면 x=a 에서 극소 (2) 양(+)에서 음(-)으로 변하면 x=a 에서 극대
0 )
(
a f
) (x f
11.2. 함수의 극대, 극소
* point-up
다항함수 f(x) 가
x=a 에서 극값을 가진다.
f ( a ) 0
예)
y x
311.2. 함수의 극대, 극소
* point-up
특히, 함수 f(x) 가 x=a 에서 미분 불가능한 첨점이어도 x=a 의 좌우에서
의 부호가 바뀌면 x=a 에서 극값이 된다.
) (x f
11.2. 함수의 극대, 극소
