본문 | 64~81 쪽 확인 문제
y=kx+2를 xÛ`=-4y에 대입하면 xÛ`=-4(kx+2)
∴ xÛ`+4kx+8=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
;;4;D;=(2k)Û`-8<0, kÛ`-2<0, (k+'2)(k-'2)<0
∴ -'2<k<'2
01-1
셀파 직선의 방정식을 포물선의 방정식에 대입하여 얻은 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D<0이다.Û D=0, 즉
k=-'2 또는 k="2일 때 한 점에서 만난다. (접한다.) Ü D<0, 즉 -'2<k<'2일 때 만나지 않는다.
직선 y=2x를 y축의 방향으로 k만큼 평행이동한 직선의 방정식 y=2x+k를 yÛ`=6(x+2)에 대입하면
(2x+k)Û`=6(x+2)
∴ 4xÛ`-2(3-2k)x+kÛ`-12=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
;;4;D;=(3-2k)Û`-4(kÛ`-12)=0 9-12k+4kÛ`-4kÛ`+48=0 -12k+57=0 ∴ k=:Á4»:
01-2
셀파 직선을 y축의 방향으로 k만큼 평행이동한 직선의 방 정식을 구하여 포물선의 방정식에 대입한다.xÛ`=20y=4_5_y에서 p=5
x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 60ù인 직선의 기울기는 tan`60ù='3
따라서 구하는 접선의 방정식은 y='3x-('3)Û`_5, 즉 y='3x-15
| 다른 풀이 |
x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 60ù인 직선의 기울기는 tan`60ù='3이므로 구하는 접선의 방정식을 y='3x+n으로 놓자.
이것을 포물선의 방정식 xÛ`=20y에 대입하면 xÛ`=20('3x+n) ∴ xÛ`-20'3x-20n=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
;;4;D;=(-10'3)Û`+20n=0, 20n=-300 ∴ n=-15 따라서 구하는 접선의 방정식은 y='3x-15
02-1
셀파 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 60ù인 직선의 기울기는 tan`60ù='3이다.⑴ yÛ`=-2x=4_{-;2!;}_x에서 p=-;2!;이고, m=;2!;이므로 공식 y=mx+ p
m에 대입하면 구하는 접선의 방정식은
y=;2!;x+-;2!;
;2!; ∴ y=;2!;x-1
⑵ 3x+2y-4=0에서 y=-;2#;x+2
xÛ`=6y=4_;2#;_y에서 p=;2#;이고, m=-;2#;이므로 공식 y=mx-mÛ`p에 대입하면 구하는 접선의 방정식은 y=-;2#;x-;4(;_;2#; ∴ y=-;2#;x-:ª8¦:
| 다른 풀이 |
⑴ 접선의 방정식을 y=;2!;x+n으로 놓고, 이것을 포물선의 방정식 yÛ`=-2x에 대입하면
{;2!;x+n}Û`=-2x, ;4!;xÛ`+nx+nÛ`+2x=0 ∴ xÛ`+4(n+2)x+4nÛ`=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
;;4;D;=(2n+4)Û`-4nÛ`=0, 16n+16=0 ∴ n=-1 따라서 구하는 접선의 방정식은 y=;2!;x-1
확인 체크 01
셀파 특강
⑵ 접선의 방정식을 y=-;2#;x+n으로 놓고, 이것을 포물선의 방정식 xÛ`=6y에 대입하면
xÛ`=6{-;2#;x+n}, xÛ`=-9x+6n ∴ xÛ`+9x-6n=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=9Û`-4_(-6n)=0, 81+24n=0 24n=-81 ∴ n=-:ª8¦:
따라서 구하는 접선의 방정식은 y=-;2#;x-:ª8¦:
포물선 yÛ`=4px에 접하고 기울기가 m (m+0)인 접선의 접 점의 좌표를 (xÁ, yÁ)로 놓으면 접선의 방정식은
yÁy=2p(x+xÁ) yy㉠
yÛ`=4px의 양변을 x에 대하여 미분하면 2y dy
dx=4p ∴ dy dx= 2p
y (단, y+0) yy㉡
㉡에 y=yÁ을 대입하면 m=2p
yÁ ∴ yÁ=2p m 한편 yÁÛ`=4pxÁ이므로 4pÛ`
mÛ`=4pxÁ ∴ xÁ= p mÛ`
xÁ= p
mÛ`, yÁ=2p
m 를 ㉠에 대입하면 2pm y=2p{x+ p
mÛ` } ∴ y=mx+ p m
세미나 음함수를 이용한 접선의 방정식
포물선 xÛ`=-8y 위의 점 (-4, -2)에서의 접선의 방정식은 -4x=2_(-2)_(y-2) ∴ y=x+2
따라서 직선 y=x+2가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 h라 하면 tan`h=1이므로 h=45ù
03-1
셀파 포물선 xÛ`=4py 위의 점 (xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정 식 ⇨ xÁx=2p(y+yÁ)xÛ`=8y에서 p=2이므로 초점은 F(0, 2)
포물선 xÛ`=8y 위의 점 P(8, 8)에서의 접선의 방정식은 8x=4(y+8) ∴ y=2x-8 yy㉠
직선 ㉠의 y절편이 -8이므로 점 Q의 좌표는 Q(0, -8) 이때 오른쪽 그림과 같이 점 P(8, 8)
에서 y축에 내린 수선의 발을 H라 하 면 H(0, 8)이므로
PHÓ=8, QFÓ=2-(-8)=10 따라서 삼각형 PFQ의 넓이는
;2!;_QFÓ_PHÓ=;2!;_10_8=40
03-2
셀파 포물선 xÛ`=4py 위의 점 (xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정 식 ⇨ xÁx=2p(y+yÁ)y=2x-8 O
F H
Q
P(8, 8) y
x xÛ =8y
점 (-1, 2)에서 포물선 yÛ`=12x에 그은 접선의 접점의 좌표를 (xÁ, yÁ)이라 하면 접선의 방정식은
yÁy=2_3(x+xÁ), 즉 yÁy=6(x+xÁ) yy㉠
이 접선이 점 (-1, 2)를 지나므로
2yÁ=6(-1+xÁ) ∴ 3xÁ-yÁ=3 yy㉡
또 점 (xÁ, yÁ)은 포물선 yÛ`=12x 위의 점이므로
yÁÛ`=12xÁ ` yy㉢
04-1
셀파 점 (-1, 2)는 포물선 yÛ`=12x 밖의 점이다.y=x+4
yÛ =4x O
A(-1, 3) B(-4, 0) P
y
x
포물선 yÛ`=4x 위의 점 P에서의 접선이 직선 AB와 평행할 때, 점 P와 직선 AB 사이의 거리가 최소이므로 삼각형 PAB의 넓이 도 최소이다.
두 점 A(-1, 3), B(-4, 0)을 지나는 직선의 방정식은 y= 3-0
-1-(-4)(x+4)=x+4
포물선 yÛ`=4x=4_1_x에 접하고 기울기가 1인 접선의 방정식 은
y=1_x+;1!;=x+1
이때 점 P와 직선 AB 사이의 거리의 최솟값은 직선 y=x+1 위 의 점 (0, 1)과 직선 y=x+4, 즉 x-y+4=0 사이의 거리와 같 으므로
|-1+4|
"Ã1Û`+Ã(-1)Û``= 3 '2= 3'2
2
따라서 ABÓ="Ã(-4Ã+1)ÃÛ`+(Ã0-3)Û`=3'2이므로 구하는 삼각 형 ABP의 넓이의 최솟값은
;2!;_3'2_ 3'22 =;2(;
| 참고 |
삼각형 ABP의 넓이가 최소일 때는 ABÓ를 밑변으로 생각하였을 때 포물 선 위의 점 P와 직선 AB 사이의 거리가 최소일 때이다.
포물선 yÛ`=4x 위의 점 P에서 직선 y=x+4에 내린 수선의 발을 H라 하 면 PHÓ의 최솟값은 직선 y=x+4에 평행, 즉 기울기가 1이고 포물선 yÛ`=4x에 접하는 직선과 직선 y=x+4 사이의 거리와 같다.
02-2
셀파 삼각형 ABP의 넓이가 최소일 때는 ABÓ를 밑변으로 생각하였을 때, 포물선 위의 점 P와 직선 AB 사이의 거리가 최소일 때이다.| 다른 풀이 |
[판별식 D=0을 이용]
포물선 xÛ`=-8y 위의 점 (-4, -2)에서의 접선의 방정식을
y=m(x+4)-2라 하고, 이 식을 포물선의 방정식 xÛ`=-8y에 대입하면 xÛ`=-8(mx+4m-2) ∴ xÛ`+8mx+32m-16=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
:4;D;=(4m)Û`-(32m-16)=0, (m-1)Û`=0 ∴ m=1 따라서 이 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 h라 하면 tan`h=1 ∴ h=45ù
[음함수의 미분법 이용]
방정식 xÛ`=-8y의 양변을 x에 대하여 미분하면 2x=-8dy
dx ∴ dy dx =-;4!;x
포물선 xÛ`=-8y 위의 점 (-4, -2)에서의 접선의 기울기는 -;4!;_(-4)=1이므로 접선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 h라 하면
tan`h=1 ∴ h=45ù
yÛ`=8x=4_2_x에서 p=2이므로 접선의 기울기를 m이라 하 면 접선의 방정식은 y=mx+ 2
m 점 (k, 8)이 직선 y=mx+ 2
m 위의 점이므로 8=mk+ 2
m , kmÛ`-8m+2=0 yy㉠
04-2
셀파 포물선 yÛ`=8x에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정 식은 y=mx+ 2m 이다.
y=mx+4를 4xÛ`+yÛ`=4에 대입하면
4xÛ`+(mx+4)Û`=4, 4xÛ`+mÛ`xÛ`+8mx+16=4
∴ (4+mÛ`)xÛ`+8mx+12=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
;;4;D;=(4m)Û`-12(4+mÛ`)=4mÛ`-48
⑴ 타원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면 D>0이어야 하 므로
4mÛ`-48>0, mÛ`-12>0
(m+2'3)(m-2'3)>0 ∴ m<-2'3 또는 m>2'3
⑵ 타원과 직선이 접하려면 D=0이어야 하므로 4mÛ`-48=0, mÛ`-12=0
(m+2'3)(m-2'3)=0 ∴ m=Ñ2'3
⑶ 타원과 직선이 만나지 않으려면 D<0이어야 하므로 4mÛ`-48<0, mÛ`-12<0
(m+2'3)(m-2'3)<0 ∴ -2'3<m<2'3
05-1
셀파 y=mx+4를 4xÛ`+yÛ`=4에 대입하여 얻은 이차방정 식의 판별식을 이용한다.㉡에서 3xÁ=yÁ+3이고, 이것을 ㉢에 대입하면 yÁÛ`=4yÁ+12, yÁÛ`-4yÁ-12=0
(yÁ+2)(yÁ-6)=0 ∴ yÁ=-2 또는 yÁ=6
∴ yÁ=-2일 때 xÁ=;3!;, yÁ=6일 때 xÁ=3 이것을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은 y=-3x-1 또는 y=x+3
| 다른 풀이 |
[기울기가 주어질 때의 공식 이용]
점 (-1, 2)에서 포물선 yÛ`=12x에 그은 접선의 기울기를 m이라 하면 접선의 방정식은
y=mx+ 3
m yy㉠
접선 ㉠이 점 (-1, 2)를 지나므로 2=-m+ 3
m , mÛ`+2m-3=0
(m+3)(m-1)=0 ∴ m=-3 또는 m=1 이것을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은 y=-3x-1 또는 y=x+3
[판별식 D=0을 이용]
점 (-1, 2)에서 포물선 yÛ`=12x에 그은 접선의 방정식을 x-(-1)=m(y-2), 즉 x=my-2m-1 yy㉠
로 놓고 포물선의 방정식에 대입하면 yÛ`=12(my-2m-1)
∴ yÛ`-12my+24m+12=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
;4;D;=(-6m)Û`-(24m+12)=0 3mÛ`-2m-1=0, (3m+1)(m-1)=0
∴ m=-;3!; 또는 m=1
이것을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은 y=-3x-1 또는 y=x+3
이때 m에 대한 이차방정식 ㉠의 두 실근은 각각 점 (k, 8)에서 포물선 yÛ`=8x에 그은 두 접선의 기울기이고, 두 접선은 서로 수 직이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
;k@;=-1 ∴ k=-2
| 다른 풀이 |
포물선 밖의 한 점에서 포물선에 그은 두 접선이 서로 수직이면 그 점은 포 물선의 준선 위에 있으므로 점 (k, 8)은 포물선 yÛ`=8x의 준선인 직선 x=-2 위에 있다.
∴ k=-2
⑴ xÛ`
4 +yÛ`
8 =1에서 aÛ`=4, bÛ`=8이고, m=;2!;이므로 구하는 접선의 방정식은
y=;2!;xѾ¨4_;¨4!;+8 ∴ y=;2!;xÑ3 확인 체크 02
셀파 특강
타원 xÛ`
5 +yÛ`
4 =1에 접하고 기울기가 1인 접선의 방정식은 y=xÑ'Ä5_1¶+4 ∴ y=xÑ3
직선 y=x-3 위의 한 점 (3, 0)과 직선 y=x+3, 즉 x-y+3=0 사이의 거리는
|3+3|
'Ä1+1 = 6 '2=3'2
따라서 구하는 두 접선 사이의 거리는 3'2
06-1
셀파 타원에 접하고 기울기가 1인 접선의 방정식을 구한다.오른쪽 그림과 같이 타원 위의 점 P 와 직선 AF 사이의 거리가 최대이려 면 점 P에서의 접선의 기울기가 직선 AF의 기울기와 같아야 한다.
이때 꼭짓점 A와 초점 F의 좌표는 각각 A(0, -1), F(1, 0)이므로 직 선 AF의 방정식은
y=x-1 또 타원 xÛ`
2 +yÛ`=1에 접하고 기울기가 1인 접선의 방정식은 y=xÑ'Ä2_1¶+1 ∴ y=xÑ'3
이 중 거리가 최대가 되는 점 P에서의 접선의 방정식은
y=x+'3이고, 이 직선 위의 한 점 (0, '3 )과 직선 y=x-1, 즉 x-y-1=0 사이의 거리는
|-'3-1|
'Ä1+1 = '3+1
'2 = '6+'2 2 따라서 구하는 최댓값은 '6+'2
2
06-2
셀파 직선 AF와 평행한 타원의 접선의 방정식을 구한다.y=x-1 y=x+13
O A
F P
13y
x
타원 xÛ`
4 +yÛ`
2 =1 위의 점 P('2, 1) 에서 x축에 내린 수선의 발 H의 좌표 는 H('2, 0)이므로
PHÓ=1
점 P('2, 1)에서의 접선의 방정식은
07-1
셀파 타원 xÛ`aÛ`+yÛ`bÛ`=1 위의 점 (xÁ, yÁ)에서의 접선의 방 정식 ⇨ xÁxaÛ` +yÁy bÛ` =1
O H T
P(12, 1)
-12 12
-2 2
y
x
⑵ 타원 (x+2)Û`
4 +(y-3)Û`
8 =1은 타원 xÛ`
4 +yÛ`
8 =1을 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다.
O 7
3
1
-3 y
x
따라서 구하는 접선은 ⑴에서 구한 접선을 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동하면 된다. 즉, y-3=;2!;(x+2)Ñ3
∴ y=;2!;x+7 또는 y=;2!;x+1
| 다른 풀이 |
⑴ 기울기가 ;2!;인 접선의 방정식을 y=;2!;x+n으로 놓고, 이것을 xÛ`
4 +yÛ`
8 =1, 즉 2xÛ`+yÛ`=8에 대입하면 2xÛ`+{;2!;x+n}Û`=8, 2xÛ`+;4!;xÛ`+nx+nÛ`=8 ∴ 9xÛ`+4nx+4nÛ`-32=0
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
;;4;D;=(2n)Û`-9(4nÛ`-32)=0 -32(nÛ`-9)=0, nÛ`=9 ∴ n=Ñ3 따라서 구하는 접선의 방정식은 y=;2!;xÑ3
⑵ 기울기가 ;2!;인 접선의 방정식을 y=;2!;x+n으로 놓고, 이것을 (x+2)Û`
4 +(y-3)Û`
8 =1, 즉 2(x+2)Û`+(y-3)Û`=8에 대입하면 2(x+2)Û`+{;2!;x+n-3}Û`=8
2xÛ`+8x+8+;4!;xÛ`+(n-3)x+nÛ`-6n+9=8 ∴ 9xÛ`+4(n+5)x+4nÛ`-24n+36=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
;;4;D;={2(n+5)}Û`-9(4nÛ`-24n+36)=0 -32(nÛ`-8n+7)=0, nÛ`-8n+7=0 (n-1)(n-7)=0 ∴ n=1 또는 n=7 따라서 구하는 접선의 방정식은
y=;2!;x+1 또는 y=;2!;x+7
음함수의 미분법을 이용하여 접선의 방정식 구하기
타원 xÛ`
4 +yÛ`
2 =1 위의 점 P('2, 1)에서의 접선의 방정식을 음함수의 미분법을 이용하여 구하여 보자.
xÛ`
4 +yÛ`
2 =1의 양변을 x에 대하여 미분하면 2x4 +2y
2 dy
dx=0 ∴ dy
dx=-;2Ó]; (단, y+0) 이때 타원 위의 점 P('2, 1)에서의 접선의 기울기는 - '2
2_1 =-'2 2
따라서 구하는 접선의 방정식은 y-1=- '2
2 (x-'2 ) ∴ y=-'2 2 x+2
LEC TURE
타원 xÛ`
16 +yÛ`
9 =1 위의 점 P의 좌표를 P(xÁ, yÁ)이라 하면 점 P(xÁ, yÁ)에서의 접선의 방정식은
xÁx16 +yÁy
9 =1 yy㉠
㉠에 x=0을 대입하면 yÁy
9 =1 ∴ y= 9 yÁ
즉, 접선 ㉠과 y축의 교점 Q의 좌표는 Q{0, 9 yÁ }
∴ QOÓ=| 9 yÁ |
또 점 P(xÁ, yÁ)에서 x축에 내린 수선의 발 H의 좌표는 H(xÁ, 0)이므로 PHÓ=|yÁ|
∴ PHÓ_QOÓ=|yÁ|_| 9 yÁ |=9
07-2
셀파 점 P의 좌표를 P(xÁ, yÁ)로 놓고 타원 위의 점 P에서 의 접선의 방정식을 구한다.'2x4 +;2};=1
이때 이 접선과 x축의 교점 T의 좌표는 T(2'2, 0)이므로 HÕTÓ=2'2-'2='2
따라서 구하는 삼각형 PHT의 넓이는
;2!;_HËÍÙØèéóôóôíéèæØÙÕËTÓ_PHÓ=;2!;_'2_1= '2 2
'2x
4 +;2};=1에 y=0을 대입하여 풀면 x=2'2
점 (3, 1)에서 타원 xÛ`
9 +yÛ`
5 =1에 그은 접선의 접점의 좌표를 (xÁ, yÁ)로 놓으면 접선의 방정식은
xÁx 9 +yÁy
5 =1 ∴ 5xÁx+9yÁy=45 yy㉠
이 접선이 점 (3, 1)을 지나므로
15xÁ+9yÁ=45 ∴ 5xÁ+3yÁ=15 yy㉡
또 점 (xÁ, yÁ)은 타원 xÛ`
9 +yÛ`
5 =1 위의 점이므로 xÁÛ`
9 +yÁÛ`
5 =1 ∴ 5xÁÛ`+9yÁÛ`=45 yy㉢
㉡에서 3yÁ=5(3-xÁ) 이것을 ㉢에 대입하면
5xÁÛ`+25(3-xÁ)Û`=45, 30xÁÛ`-150xÁ+180=0 xÁÛ`-5xÁ+6=0, (xÁ-2)(xÁ-3)=0
∴ xÁ=2 또는 xÁ=3 xÁ=2일 때 yÁ=;3%;
xÁ=3일 때 yÁ=0
따라서 접점의 좌표는 {2, ;3%;} 또는 (3, 0)이다.
이것을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은 10x+15y=45, 15x=45
∴ y=-;3@;x+3 또는 x=3
| 주의 | 타원 xÛ`
9 +yÛ`
5 =1에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식은 y=mxÑ"Ã9mÛ`+½5 yy㉠
직선 ㉠이 점 (3, 1)을 지나므로
1=3mÑ"Ã9mÛ`+½5 ∴ Ñ"Ã9mÛ`+½5=-3m+1 이 식의 양변을 제곱하면
9mÛ`+5=9mÛ`-6m+1 6m=-4 ∴ m=-;3@;
이 값을 ㉠에 대입하면 y=-;3@;xÑ3
이때 점 (3, 1)을 지나는 직선은 y=-;3@;x+3 뿐이다.
또 이 방법으로는 점 (3, 1)을 지나면서 y축에 평행한 타원의 접선의 방정 식인 x=3을 구할 수 없다.
이와 같이 기울기가 주어질 때의 타원의 접선의 방정식을 구하는 공식 y=mxÑ"ÃaÛ`mÛ`Ã+bÛ`을 이용하는 경우 주어진 점을 지나지 않는 직선이 나 올 수 있고, y축에 평행한 접선은 구할 수 없는 경우가 있다는 것에 유의하 자.
08-1
셀파 접선이 주어진 점을 지남을 이용한다.y=x+k를 2xÛ`-3yÛ`=6에 대입하면
2xÛ`-3(x+k)Û`=6, 2xÛ`-(3xÛ`+6kx+3kÛ`)=6
∴ xÛ`+6kx+3kÛ`+6=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
;4;D;=(3k)Û`-(3kÛ`+6)=6kÛ`-6
⑴ 쌍곡선과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면 D>0이어야 하므로
6kÛ`-6>0, kÛ`-1>0, (k+1)(k-1)>0 ∴ k<-1 또는 k>1
⑵ 쌍곡선과 직선이 접하려면 D=0이어야 하므로 6kÛ`-6=0, kÛ`-1=0, (k+1)(k-1)=0 ∴ k=Ñ1
⑶ 쌍곡선과 직선이 만나지 않으려면 D<0이어야 하므로
⑶ 쌍곡선과 직선이 만나지 않으려면 D<0이어야 하므로